Лекции по численным методам (34 часа)
Подождите немного. Документ загружается.
iii
i
i
r
i
i
i
m
i
i
ii
hp
fh
hp
hp
y
hp
qh
yy
2
2
2
2
2
42
2
1
2
1
,
1,1 ni
.
Получим:
iiiiii
yrymy
11
,
1,1 ni
. (46)
Будем искать
i
y
в виде:
1
iiii
ydcy
. (47)
где коэффициенты
ii
dc ,
требуется определить. Выразим
iiii
ydcy
111
и
подставим в исходную систему (46):
iiiiiiii
ydcrymy
)(
111
.
Выразим из последнего выражения
i
y
:
111
11
111
1
iiiii
iiiiii
iiiii
i
ydcr
crmcrm
dcry
y
.
Сравнивая полученную формулу с (47), получим выражения для
ii
dc ,
:
11
1
;
1
iiiii
iii
i
dcrd
crm
c
(48)
Чтобы начать расчеты по этим формулам, надо знать
00
,dс
. Найдем их из
первого краевого условия. Выражая
01
10
0
h
yAh
y
и сравнивая с
)(
1000
ydcy
,
получим
01
0
0
h
c
;
0
0
Ah
d
.
Итак, вычисления, называемые прямым ходом, осуществляют в
следующем порядке:
1. Вычисляют значения
1,1,,, nirm
iii
.
2. Находят
00
, dс
.
3. Вычисляют
ii
dC ,
,
1,1 ni
.
Обратный ход вычислений состоит в следующем:
1. Решают систему из двух уравнений относительно
n
y
и
1n
y
:
nnnn
ydcy
111
By
h
ydcy
n
nnnn
1
11
0
)(
и получают
110
110
hc
dcBh
y
n
nn
n
.
2. Вычисляют
1,1,
1
niydCy
iiii
, начиная с
1n
y
и далее до
1
y
.
3. Находят
01
10
0
h
yAh
y
.
В результате работы алгоритма получим значения
n
yy ,...,
0
исходной
функции в узловых точках
n
xx ,...,
0
, т.е. получим таблицу значений функций,
которая является приближенным решением исходной задачи. Используя
полученную таблицу, можно построить аналитический вид функции. Как
правило, эту функцию строят в виде многочлена.
Для оценки погрешности метода конечных разностей применяют двойной
пересчет с шагом
h
и
2
h
. Приближенная оценка погрешности значения
получается по формуле
iiii
yyyy
**
3
1
, где
i
y
- значение точного решения
краевой задачи в точке
i
x
:
i
y
и
*
i
y
- значения в точке
i
x
, полученные
соответственно с шагом
h
и
2
h
.
8. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
Рассмотрим приближенные методы решения задач для
дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя
независимыми переменными. В общем случае такое уравнение имеет вид:
0,,,,,,,
yyxyxxyx
uuuuuuyxF
(49)
где
yx,
- независимые переменные,
),( yxu
- искомая функция,
yyxyxxyx
uuuuu ,,,,
- первые и вторые частные производные по аргументам
x
и
y
.
Решением уравнения (49) называется функция
yxuu ,
, обращающаяся
это уравнение в тождество. График решения (Рис.13) представляет собой
поверхность в пространстве
Oxyu
(интегральная поверхность).
8.1. Метод сеток для уравнения параболического типа.
В качестве примера уравнения параболического типа остановимся на
уравнении теплопроводности для однородного стержня длиной
lx 0
:
2
2
2
x
u
a
t
u
(50)
где
txuu ,
- температура и
t
- время. Будем предполагать, что
1a
. То есть
от уравнения (50) перейдем к уравнению
2
2
x
u
t
u
(51)
Пусть задано распределение температуры
xxu
1
0,
в начальный
момент времени
0t
и законы изменения температуры в зависимости от
времени на концах стержня
0x
и
lx
:
ttu
2
,0
;
ttlu
3
,
. Требуется
найти распределение температуры
txuu ,
вдоль стержня длиной
lx 0
в
любой момент времени
t
. Функция
txu ,
должна быть непрерывна и дважды
непрерывно дифференцируема по своим переменным в области
lxTtxt ,0,,0:,
.
Область
заменим сеточной (Рис.14), разбивая ее с помощью шага
h
по
x
и с помощью шага
k
по
t
. В результате замены непрерывной области
дискретным множеством узловых точек
mjnitx
jih
,0;,0,,
, исходная
задача деформируется. Теперь будем искать решение
txu ,
только на
дискретном множестве
. Т.е.
),(
jiij
txuu
- двумерная таблица значений
искомой функции в узловых точках.
Представим уравнение (51) в конечно-разностной форме, заменяя
t
u
и
2
2
x
u
конечно-разностным аналогом в узловых точках
ji
tx ,
:
k
uu
k
ktxuktxu
t
txu
ijijjijiji
22
,,,
11
2
11
22
2
2,,2,,
h
uuu
h
thxutxuthxu
x
txu
jiijjijijijiji
Получим конечно-разностный аналог исходной задачи: требуется найти
значение функции
ji
txu ,
, удовлетворяющего конечно-разностному уравнению
вида:
2
1111
2
2
h
uuu
k
uu
jiijjiijij
,
1,1;1,1 mjni
(52).
и дополнительным условиям:
mjttlumjttunixxu
jjjjii
,0,,,,0,,0,,0,0,
321
Получим систему линейных алгебраических уравнений, которую можно
решить любым известным методом. Исследования показали, что значения
h
и
k
должны быть связаны между собой следующим образом:
2
hk
, где
210, Const
. Аппроксимируем уравнение (51) конечно-разностным
2
11
2
11
2
242
2 h
uuu
h
uu
jiijjiijij
(53)
Решая систему (53) с учетом дополнительных условий, получим
),(
ji
txu
-
искомую функцию в точках
mjnitx
ji
,0;,0,,
.
Второй вариант конечно-разностного аналога исходного
дифференциального уравнения, т.н. явная схема, получается за счет того, что
первые производные
t
u
в узловых точках
ji
tx ,
представлены в виде:
k
txuhtxu
t
txu
jijiji
,,,
,
а вторая производная остается прежней. Получим исходное уравнение в
конечно-разностной форме:
2
111
2
h
uuu
k
uu
jiijjiijij
.
Считая, что
2
hk
, получим
jiijjiijij
uuuuu
111
2
или
jiijjiij
uuuu
111
21
,
1,0;1,1 mjni
. По этой формуле для каждого
значения
1ij
u
для слоя
)1( j
по оси
t
используются три значения
jijiij
uuu
11
,,
на предыдущем слое с номером
j
. Для начала вычислений
используем дополнительные условия.
В результате решения задачи в конечно-разностной форме мы получаем
значения искомой функции в точках
ji
tx ,
(Рис.15), которые являются
приближенным решением исходной задачи. На практике полагают
61
,
тогда расчетная формула упрощается и принимает следующий вид:
mjniuuuu
jiijjiij
,0;1,1,4
6
1
111
.
Данная расчетная формула дает наилучшее приближение к искомому
решению, обеспечивая устойчивость конечно-разностной схемы и наилучшую
аппроксимацию исходного уравнения конечно-разностным.
Заметим, что идея метода сеток, которая заключается в замене исходной
области сеточной и замене исходной задачи конечно-разностным аналогом,
используется при решении других типов уравнений в частных производных.
В случае неявной схемы используется другой вид аппроксимации и новое
соотношение между шагами
h
и
k
в виде
kSh
2
. Исходное
дифференциальное уравнение (51) аппроксимируется конечно-разностным
уравнением вида
2
11111
2
1
2
h
uuu
Sh
uu
jiijjiijij
(54)
Начальные и граничные условия остаются теми же, что в предыдущем
случае. Для решения системы линейных алгебраических уравнений (54)
применяется метод прогонки.
Суть метода прогонки состоит в том, что сначала вычисляются значения
ii
u
10
, выбирается значение
S
с целью получения требуемой скорости
продвижения оси
t
. Обозначим
),(
jiij
txuu
,
ii
x
11
)(
,
jj
t
22
)(
,
jj
t
33
)(
.
В прямом ходе на очередном
)1( j
временном слое вычисляются
вспомогательные функции:
jjjj
Sub
S
a
1121111
,
2
1
1,1,,
2
1
11111
11
1
niSubab
aS
a
ijjijiij
ji
ij
В обратном ходе вычисляются значения искомой функции на
)1( j
слое
по формуле
)(
11111
jiijijij
ubau
. Величина
131
jnj
u
является значением
искомой функции в точке
),(
1jn
tx
, а
1210
jj
u
- в точке
),(
10 j
tx
.
Погрешность метода
)(
2
khO
. Из анализа устойчивости неявной схемы
вытекает, что следует назначать
0S
.
8.2. Метод сеток для уравнений гиперболического типа.
Рассмотрим свободные колебания однородной ограниченной струны
длины
l
(
lx 0
). Поперечное сечение
txu ,
при
lx 0
для любого момента
времени
t
удовлетворяет уравнению гиперболического типа вида:
2
2
2
2
2
x
u
a
t
u
(55)
где
Consta
, и будем искать решение уравнения (55) при заданных начальных
и краевых условиях:
xfxu 0,
,
xFxu
t
0,
, при
lx 0
(56)
ttluttu
21
,,,0
при
t0
(57)
Решим эту задачу методом сеток. Как и в случае параболического
уравнения, заменим прямоугольную область
lx 0
и
t0
сеточной
},{
ji
tx
,
где
ihx
i
,
jkt
j
,
,...1,0,,0 jni
. Шаг по оси
OX
-
nlhxxx
iii
1
, шаг по
оси
OT
-
kttt
jjj
1
.
На сетке
},{
ji
tx
приближенно заменим дифференциальное уравнение (55)
конечно-разностным аналогом:
2
11
2
2
11
22
h
uuu
a
k
uuu
jiijjiijijij
(58)
При
ahk
уравнение (58) упрощается и принимает вид:
jijiijij
uuuu
1111
откуда
,...1,0,
1111
juuuu
ijjijiij
(59)
Из уравнения (59) видно, что для получения значений
txu ,
в
1j
-м
слое используются значения
txu ,
в двух предыдущих слоях
j
-м и
1j
-м.
Для начала вычислений по формуле (59) также необходимо знать значения и
},{
0
tx
i
на нулевом слое
0j
. Используя начальное условие
)()0,( xFxu
t
,
можно определить значения
txu ,
на фиктивном слое с номером
1j
. Для
этого заменим производную в условии конечно-разностным соотношением:
i
ii
F
k
uu
01,
, где
ii
xFF
. Отсюда находим
iii
kFuu
01,
. Зная значения
txu ,
на слое
1j
, можно начать вычисления. Краевые условия (59) используются
для получения значений
j
u
0
и
nj
u
.
9. МЕТОД А.Н.lКРЫЛОВА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА.
Этот метод позволяет построить для заданной матрицы
A
характеристический многочлен
)( EA
, который можно записать в виде:
)...()1()(
1
1
1 nn
nnn
ppp
Согласно теореме Гамильтона-Кэли сама матрица
A
удовлетворяет
характеристическому уравнению
0 EA
, а значит
0...
1
1
n
nn
EpApA
.
Умножим это равенство на произвольный вектор
),...,,(
002010 n
bbbb
и получим
0...
00
1
10
bpbApbA
n
nn
. Обозначив
10
bAb
,
210
2
bAbbA
, …,
nn
n
bAbbA
10
, будем иметь
0...
01111
bpbpbpb
nnnn
. Это векторное
равенство эквивалентно системе уравнений относительно коэффициентов
характеристического многочлена
0...
..............................................................
0...
0...
01111
021211212
011111111
nnnnnnnn
nnnn
nnnn
bpbpbpb
bpbpbpb
bpbpbpb
,
где
ij
b
- координаты вектора
i
b
. Решив эту систему каким-либо известным
способом, получим коэффициенты характеристического многочлена
n
ppp ,...,,
21
. При неудачном выборе начального вектора
0
b
рекомендуется
выбрать другой вектор
0
b
и повторить процесс вычислений снова.
ЛИТЕРАТУРА
3.1. Основная литература
1. СамарскийlА.А., ГулинlА.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
2. ДемидовичlБ.П., МаронlИ.А. Основы вычислительной математики. М.:
Физматгиз, 1966.
3. КалиткинlН.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
4. ДемидовичlБ.П., МаронlИ.А., ШуваловаlЭ.З. Численные методы анализа. М.:
Наука, 1967.
5. БахваловlН.С. Численные методы. М.: Наука, 1987.
6. МарчукlГ.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.
7. ВолковlЕ.А. Численные методы. М.: Наука, 1987.
8. Моисеев В.С., Горбунов Д.А. Метод малого параметра для решения задач
анализа и синтеза проектных решений на базе неявно заданных
функциональных зависимостей. //Изв.вузов, Авиационная техника, 1998,
№4, с.3-10.
3.2. Дополнительная литература
1. ИвановlВ.С., ЛяшевlА.С. Лабораторный практикум по дисциплине
«Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах». Казань,
КАИ, 1984.
2. Вахонина Г.С. Методическое руководство к выполнению лабораторных работ по
дисциплине “Методы вычислений”. – Казань: КАИ, 1982.
3. ГорбуновlД.А., ВахонинаlГ.С. Применение численных методов для решения
инженерных задач на ЭВМ. Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2001, 40с.