Лекции по численным методам (34 часа)
Подождите немного. Документ загружается.
Для таблицы узловых точек, приведенных выше, построим
аппроксимационный многочлен второго порядка методом наименьших
квадратов вида:
01
2
22
)( axaxaxP
.
Для этого необходимо вычислить следующие суммы
388.2;207.2;358.3;88.2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
i
ii
i
i
i
i
i
i
yxyxx
041.3;544.6;504.4
2
0
2
2
0
4
2
0
3
i
ii
i
i
i
i
yxxx
и решить СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов
210
,, aaa
вида:
.041.3544.6504.4358.3
;388.2504.4358.388.2
;207.2358.388.24
210
210
210
aaa
aaa
aaa
Значения неизвестных коэффициентов равны:
323.0;146.1;004.0
210
aaa
.
Тогда искомый многочлен второго порядка будет иметь вид:
004.0146.1323.0)(
2
2
xxxP
.
Нетрудно заметить, что в узловых точках значения многочлена и
табличной функции не совпадают. Погрешность вычислений по данной
формуле в контрольной точке, по сравнению с истинным значением, составляет
022.0844.0866.0)
3
()
3
sin(
2
P
.
6. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И
СИСТЕМ.
Дифференциальные уравнения являются основным математическим
инструментом моделирования и анализа разнообразных явлений и процессов в
науке и технике.
Методы их решения подразделяются на два класса:
1) аналитические методы, в которых решение получается в виде
аналитических функций;
2) численные (приближенные) методы, где искомые интегральные
кривые получают в виде таблиц их численных значений.
Применение аналитических методов позволяет исследовать полученные
решения методами математического анализа и сделать соответствующие
выводы о свойствах моделируемого явления или процесса. К сожалению, с
помощью таких методов можно решать достаточно ограниченный круг
реальных задач. Численные методы позволяют получить с определенной
точностью приближенное решение практически любой задачи.
Решить дифференциальное уравнение
yxf
dx
dy
,
(16)
численным методом означает, что для заданной последовательности
аргументов
n
xxxx , . . . , , ,
210
и числа
)(
00
xyy
, не определяя аналитического
вида функции
xFy
, найти значения
n
yyy , . . . , ,
21
, удовлетворяющие
условиям:
, 1 , ,
00
nkxFyyxF
kk
.
Рассмотрим три наиболее распространенных при решении практических
задач численных метода интегрирования Эйлера, Рунге-Кутта и Адамса.
6.1. Метод Эйлера.
Этот метод является сравнительно грубым и применяется в основном для
ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера,
являются исходными для ряда других численных методов.
Пусть дано дифференциальное уравнение с начальными условиями
(задача Коши)
00
, y)f(x,y yxy
(17)
и удовлетворяются условия существования и единственности решения.
Требуется найти решение
)(xy
задачи Коши (17) на отрезке
ba ,
.
Находим решение в виде таблицы
niyxy
ii
,1,)(
. Для этого разобьем отрезок
ba ,
на
n
равных частей и построим последовательность
, ,0 , , , . . . , ,
010
niihxxxxx
in
где
nabh )(
- шаг интегрирования.
Проинтегрируем исходное уравнение на отрезке
1
,
kk
xx
:
kk
x
x
k
x
x
k
x
x
yyxyxyxydx
dx
dy
dxyxf
k
k
k
k
k
k
11
1 1
1
)()()(),(
Полученное соотношение можно переписать так
1
),(
1
k
k
x
x
kk
dxyxfyy
(18)
Если считать подинтегральную функцию постоянной на участке
1
,
kk
xx
и равной значению в начальной точке этого интервала
k
xx
, то получим
),())(,(),(),(
1
1
1
kkkkkk
x
x
kk
x
x
kk
yxhfxxyxfxyxfdxyxf
k
k
k
k
Подставляя полученный результат в формулу (18) получаем основную
расчетную формулу метода Эйлера:
nkyxfhyy
kkkk
,0 , ),(
1
(19)
Вычисление значений
n
yyy , . . . ,,
21
осуществляется с использованием
формулы (19) следующим образом. По заданным начальным условиям
0
xa
и
0
y
полагая
0k
в выражении (19) вычисляется значение
),(
0001
yxfhyy
(20)
Далее определяя значение аргумента
x
по формуле
hxx
01
, используя
найденное значение
1
y
и полагая в формуле (19)
1k
вычисляем следующее
приближенное значение интегральной кривой
)(xFy
, как
),(
1112
yxfhyy
(21)
Поступая аналогичным образом при
1,2 nk
определяем все остальные
значения
k
y
, в том числе последнее значение
),(
111
nnnn
yxfhyy
, которое
соответствует значению аргумента
bx
n
.
Таким образом, соединяя на координатной плоскости точки
),(, . . . ),,( ),,(
n1100
yxyxyx
n
отрезками прямых в качестве приближенного
представления искомой интегральной кривой
)(xFy
, получаем ломанную
линию с вершинами в точках
),(, . . . ),,(),,(
111000 nnn
yxMyxMyxM
.
Метод Эйлера может быть применен к решению систем
дифференциальных уравнений.
Пусть задана система двух уравнений первого порядка
),,(
),,(
2
1
zyxf
dx
dz
zyxf
dx
dy
(22)
с начальными условиями
0000
)( ,)( zxzyxy
.
Необходимо найти решение этой задачи Коши. Проводя аналогичные
рассуждения, получаем расчетные формулы вида:
10, , x
),,(
),,(
1-k
21
11
nkhx
zyxhfzz
zyxhfyy
k
kkkkk
kkkkk
(23)
где
h
- шаг интегрирования.
При расчетах полагается, что
0
xa
и
n
xb
. В результате применения
расчетной схемы (23) получается приближенное представление интегральных
кривых
)(
1
xFy
и
)(
2
xFz
в форме двух ломанных Эйлера, построенных по
полученным таблицам
nizxyx
iiii
,0,,,,
. Точность метода Эйлера
)(
2
h
.
6.2. Метод Рунге-Кутта.
Данный метод является одним из наиболее распространенных численных
методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. По
сравнению с описанным выше методом Эйлера метод Рунге-Кутта имеет более
высокую точность.
Пусть на отрезке
ba,
требуется найти численное решение задачи Коши
(17), где
0
xa
. Как и в предыдущем методе разобьем этот участок на
n
равных
частей и построим последовательность значений
n
xxx , . . . , ,
10
аргумента
x
искомой функции
)(xy
. Предполагаем существование непрерывных
производных функции
)(xy
до пятого порядка.
Выражение (18) можно переписать в виде:
kkk
yyy
1
(24)
где
k
y
- приращение искомой функции
)(xy
на
)1( k
-ом шаге
интегрирования.
Придадим аргументу
x
приращение, равное шагу интегрирования
h
, и
разложим функцию
)( hxy
в ряд Тейлора в окрестности точки
x
, сохранив в
нем пять членов:
)(
24
)(
6
)(
2
)()()(
)4(
432
xy
h
xy
h
xy
h
xyhxyhxy
Перенося первое слагаемое в этой сумме в левую часть получим, что
)(
24
)(
6
)(
2
)()()()(
)(
432
xy
h
xy
h
xy
h
xyhxyhxyxy
IV
(25)
Здесь производные
)(),(),(
)(
xyxyxy
IV
определяются последовательным
дифференцированием уравнения (16).
Вместо непосредственных вычислений по формуле (25) в методе Рунге-
Кутта для каждого значения
)(
kk
xyy
определяются четыре числа:
),(
)
2
,
2
(
)
2
,
2
(
),(
34
2
3
1
2
1
kkkk
k
kkk
k
kkk
kkk
kyhxhfk
k
y
h
xhfk
k
y
h
xhfk
yxhfk
(26)
Доказывается, что если числа
kkkk
kkkk
43 21
, ,,
последовательно умножить
на
61,31,31,61
и сложить между собой, то выражение:
)22(
6
1
4321 kkkkk
kkkky
.
(27)
Формула Рунге-Кутта имеет погрешность
)(
5
h
.
Таким образом, рабочая формула Рунге-Кутта для интегрирования
1,0),22(
6
1
43211
nkkkkkyy
kkkkkk
.
В отличие от расчетной схемы метода Эйлера, в которой каждое
следующее значение
1k
y
вычисляется непосредственно по единой формуле
(19), в методе Рунге-Кутта необходимо проведение промежуточных
вычислений по формулам (26) и (27).
Метод Рунге-Кутта может быть использован и при решении систем
дифференциальных уравнений. Рассмотрим задачу Коши для системы второго
порядка (22). В этом случае приращения
k
y
и
k
z
вычисляются по формулам:
)22(
6
1
)22(
6
1
4321
4321
kkkkk
kkkkk
mmmmz
kkkky
(28)
где
)., , (
);, , (
);5,0, 5,0, 5,0(
);5,0, 5,0, 5,0(
);5,0, 5,0, 5,0(
);5,0, 5,0, 5,0(
);,,(
);,,(
3324
3314
2223
2213
1122
1112
21
11
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkkkk
kkkk
kkkk
mzkyhxhfm
mzkyhxhfk
mzkyhxhfm
mzkyhxhfk
mzkyhxhfm
mzkyhxhfk
zyxhfm
zyxhfk
(29)
Приближенное интегрирование системы уравнений (22) осуществляется
по формулам вида:
n0,k,
,
1
1
kkk
kkk
zzz
yyy
(30)
6.3. Метод Адамса.
Пусть для задачи Коши найдены каким-либо способом (например,
методом Эйлера или Рунге-Кутта) три последовательных значения искомой
функции
);3()();2()();()(
033022011
hxyxyyhxyxyyhxyxyy
Вычислим величины
),(
00
'
00
yxhfhyq
,
),(
11
'
11
yxhfhyq
,
),(
22
'
22
yxhfhyq
,
),(
33
'
33
yxhfhyq
.
Метод Адамса позволяет найти решение задачи – функцию
)(xy
- в виде
таблицы функций. Продолжение полученной таблицы из четырех точек
осуществляется по экстраполяционной формуле Адамса:
,...4,3,
8
3
12
5
2
1
3
3
2
2
11
kqqqqyy
kkkkkk
Затем уточнение проводится по интерполяционной формуле Адамса:
,...4,3,
24
1
12
1
2
1
3
3
2
2
11
kqqqqyy
kkkkkk
.
Метод Адамса легко распространяется на системы дифференциальных
уравнений. Погрешность метода Адамса имеет тот же порядок, что и метод
Рунге-Кутта.
6.4. Применение дифференциальных уравнений с малым параметром для
решения нелинейных трансцендентных и алгебраических уравнений.
Пусть задана некоторая непрерывно-дифференцируемая функция
f x( )
.
Требуется решить нелинейное или трансцендентное уравнение вида
Rxxf ,0)(
(31)
Встречающиеся на практике уравнения не удается решить прямыми
методами, поэтому для их решения используются итерационные методы. Все
итерационные методы решения трансцендентных и алгебраических уравнений
вида (31) можно разбить на две группы:
дискретные схемы решения.
непрерывные схемы решения.
Дискретные схемы решения были рассмотрены выше. Заметим, что
основными недостатками вышеперечисленных методов являются:
зависимость от начальных условий или от интервала нахождения
корня;
сравнительно низкая скорость сходимости;
ничего не говорится о правилах перехода от корня к корню
уравнения (31) в случае, если их несколько.
При применении непрерывных схем для решения уравнения (31) процесс
нахождения корней осуществляется путем решения соответствующего
обыкновенного дифференциального уравнения
0
'
)0()),(),(( xxxfxf
dt
dx
(32)
Пусть
)(xf
определена и монотонна при
0x
и существует
конечная производная
)(
'
xf
. Задачу нахождения корней уравнения
(31), являющуюся непрерывным аналогом метода простых итераций, можно
рассматривать как предел при
t
решения задачи Коши
0
)0(),( xxxf
dt
dx
(33)
если этот предел существует. Обозначим через
)(txx
решение задачи Коши
(33),
*
x
- искомое решение уравнения (31). Тогда должно иметь место
тождество
)(
*
*
xf
dt
dx
. Вводя обозначение для отклонения
*
)()( xtxtz
и
вычитая из (33) последнее уравнение имеем
)()(
*
xfxf
dt
dz
. (34)
Разлагая
)(xf
в ряд Тейлора в окрестности точки
*
x
с сохранением
линейных членов
))(()()(
**'*
xxxfxfxf
и подставляя полученное выражение
в (34), получаем дифференциальное уравнение в отклонениях
zxf
dt
dz
)(
*'
,
решение которого имеет вид
txf
Cetz
)(
*'
)(
(35)
Видим, что условием сходимости
)(tx
к корню
*
x
является требование
0)(
*'
xf
, так как в этом случае
0)( tz
при
t
, и, следовательно
*
)( xtx
.
Считая, что
)(xf
монотонна при
0x
, последнее уравнение можно
распространить на всю рассматриваемую выше область. Таким образом,
условием применения непрерывной схемы метода простых итераций (33)
является
0)(
'
xf
(36)
Непрерывные схемы решения обладают более высокой скоростью
сходимости и более высокой точностью решения по сравнению с
соответствующими дискретными схемами. Но проблема зависимости от
начальных условий и отсутствие правил перехода от корня к корню в случае,
когда уравнение (31) имеет более одного решения, остается открытой.
Как видно из дифференциального уравнения (33) и уравнения (31) левая
часть последнего заменяется производной
dt
dx
. Данная замена является грубым
приближением решения задачи (33) к решению задачи (31). Это влечёт за собой
не только большую погрешность при вычислениях, но и к снижению скорости
расчётов.
Перепишем уравнение (31) в виде
)(xf
dt
dx
(37)
где
- малый параметр,
10
.
Переход от задачи (31) к задаче (37) теоретически обоснован, так как
интегральные кривые, являющиеся решением уравнения с малым параметром
(37), проходят через все решения уравнения (31). Задача нахождения корней
этого уравнения непрерывным сингулярным аналогом метода простых
итераций можно рассматривать как предел при
t
и
0
решения задачи
Коши вида
0
)0(),( xxxf
dt
dx
(38)
если этот предел существует.
Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям, приведенным выше,
получим, что решение уравнения (37) в точке
*
x
будет иметь вид:
t
xf
Cetz
)(
*'
),(
(39)
При этом, так как
0
, то условие сходимости (36) останется прежним.
Полученная модификация классических схем решения не зависит от
начальных условий и обладают более высокой точностью решения. Для
доказательства более быстрой скорости сходимости предположим, что
применение итерационных методов никогда не дает точного решения и вводим
точность решения
. Моменты нахождения решений с точностью
классическими и модифицированными методами обозначим как
1
t
и
2
t
.
Используя решения (35) и (39), запишем неравенства вида
txf
Cetz
)(
*'
)(
,
t
xf
Cetz
)(
*'
),(
.
Из соотношений видно, что
)(
)ln(
*'
1
xf
C
tt
и
)(
)ln(
*'
2
xf
C
tt
. Сопоставляя
полученные значения
1
t
и
2
t
, видим, что
1
2
1
t
t
, т.е. скорость сходимости при
решении задачи модифицированными методами в
1
раз выше, чем
классическими.
7. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА.
Пример 1. Рассмотрим простейшую двухточечную краевую задачу.
Найти функцию
xyy
, удовлетворяющую дифференциальному
уравнению второго порядка вида:
yyxfy
,,
(40)
и принимающую при
ax
и
bx
ba
заданные значения
BbyAay ;
.
Геометрически (Рис.10) это означает, что требуется найти интегральную
кривую, проходящую через данные точки
AaM ,
и
BbN ,
.
Пример 2. Найти такое решение
xyy
дифференциального уравнения
(40), чтобы производные имели заданное значение
11
; BbyAay
.
Геометрически (Рис.11) это сводится к отысканию интегральной кривой,
пересекающей прямые
ax
и
bx
под заданными соответственно углами
и
такими, что
1
Atg
и
1
Btg
.
7.1. Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка методом конечных разностей.
Рассмотрим двухточечную краевую задачу для линейного
дифференциального уравнения. Найти решение уравнения
xfyxqyxpy
(41)
с дополнительными краевыми условиями
Bbyby
Aayay
10
10
(42)
где числа
1010
,,,
считаются известными и
0,0
2
1
2
0
2
1
2
0
,
то есть одна из величин не равна нулю.
Коэффициенты
xfxqxp ,,
являются непрерывными функциями на
некотором отрезке
ba,
. Решением этого уравнения является некоторая
непрерывная на
ba,
функция
)(xy
, имеющая первую и вторую производные
на
ba,
, удовлетворяющая исходному уравнению и дополнительным краевым
условиям.
Поставленная краевая задача решается с помощью перехода от исходной
задачи к новой, записанной в конечно-разностной форме. Тогда решение новой
задачи будет являться приближенным решением исходной задачи. В силу того,
что первая и вторая производные, входящие в уравнение и в краевые условия,
будут заменены приближенными конечно-разностными формулами, решения с
применением метода конечных разностей получается не в виде непрерывной
функции
xy
, а виде таблицы ее значений в отдельных точках (Рис.12). Для
этого разобьем
ba,
на
n
частей так, чтобы
nabhhxxxbxa
iin
,,,
10
.
Наша задача – найти значения функции
)(xy
в точках
nkx
k
,0,
. Для того,
чтобы перейти от исходной задачи к конечно-разностной, надо получить
формулы для представления первой и второй производных в конечно-
разностном виде. Они получаются, если применить разложение функции
xy
в
окрестности
)( h
некоторой точки
bax
i
,
в ряд Тейлора, ограничиваясь
вторыми производными:
iiii
iiii
xy
h
xyhxyhxy
xy
h
xyhxyhxy
2
2
2
2
.
Складываем эти ряды и получаем выражение второй производной в
конечно-разностной форме:
2
2
2
2
h
hxyxyhxy
xy
xyhxyhxyhxy
iii
i
iiii
.
Аналогично получим формулу для первой производной, если вычтем
ряды:
h
hxyhxy
xy
xhyhxyhxy
ii
i
iii
2
2
'
.
Обозначим:
1111
;,
iiiiiiii
yxyhxyyxyhxyyxy
.
iiiiii
fxfqxqpxp ;,
.
С учетом введенных обозначений запишем исходное уравнение для
узловых точек
i
x
:
iii
ii
i
iii
fyq
h
yy
p
h
yyy
2
2
11
2
11
,
1,1 ni
(43)
Представим
h
yy
h
xyhxy
xyay
0100
0
;
h
yy
h
hxyxy
xyby
nnnn
n
1
;
в конечно-разностной форме, тогда к системе (43) добавляется еще два
уравнения, соответствующие краевым условиям:
Ay
h
yy
01
01
0
(44)
By
h
yy
n
nn
1
1
0
(45)
Получили систему линейных алгебраических уравнений (43) – (45) с
неизвестными
n
yy ,...,
0
. Решив эту систему любым известным методом,
получим приближенное решение
n
yy ,...,
0
для исходной задачи.
Заметим, что система представляет собой систему с разряженной
матрицей, имеющей трехдиагональный вид. Поэтому, для решения системы
применяют специальные методы, позволяющие оперировать только с
элементами матрицы, отличными от нуля. Одним из таких методов является
метод прогонки.
7.2. Метод прогонки.
Запишем систему (45) в канонической форме:
iiiiiii
fhhpyqhyhpy
2
1
2
1
22422
,
1,1 ni