Лекции - Электромагнитные поля и волны
Подождите немного. Документ загружается.
21
∫
−
−
•
=
2
2
0
4
l
l
ikR
ст
m
a
m
d
R
e
IzA
ξ
π
µ
r
r
т
.
е
.
интегрированию
подвергается
только
функция
Грина
.
Как
было
указано
выше
: r >> l,
поэтому
можно
пренебречь
R
и
сказать
:
r
R
≈
и
ikrikR
ee
−−
≈
После
интегрирования
получим
:
zm
ст
ma
m
Az
r
I
zA
•
•
==
00
4
rr
r
π
µ
Нахождение
векторов
поля
:
,rot
1
m
a
m
AH
•
•
=
r
r
µ
.rot
m
a
m
H
i
E
••
−=
rr
ωε
Переведем
потенциал
из
декартовых
координат
в
сфериче
-
ские
:
Компоненты
векторного
потенциала
в
сферических
коор
-
динатах
:
θ
cos
zmr
AA =
,
θ
θ
sin
zm
AA −=
, 0
=
ϕ
A
Определим
электрическое
поле
элементарно
излучателя
:
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
•
•
=
•
θ
ϕ
θ
ϕθ
ϕ
θ
θ
θ
θ
ϕθ
rm
m
mmrm
m
A
Ar
rr
rArAA
r
rr
r
r
A
0
0
00
2
0
sin
sin
sin
rot
r
43421
r
r
r
r
Магнитное
поле
:
ikr
ст
m
m
e
kr
i
kr
lkI
H
−
•
−=
θ
π
ϕ
sin
11
4
2
2
0
r
r
Можно
показать
,
что
электрическое
поле
будет
иметь
радиальную
и
меридианную
компоненты
:
mrmm
EErE
θ
θ
••
•
+=
00
r
r
r
,
ikr
a
ст
m
rm
e
kr
i
kr
lkI
E
−
•
−
=
θ
πωε
cos
11
2
32
3
,
ikr
a
ст
m
m
e
krkr
i
kr
lkiI
E
−
•
−
−=
θ
πωε
θ
sin
111
4
32
3
,
ikr
ст
m
m
e
kr
i
kr
lkiI
H
−
•
−=
θ
π
ϕ
sin
11
4
2
2
0
z
r
0
r
r
0
θ
r
θ
A
r
A
r
r
A
r
θθθ
sincos
00 zmzm
AArA
r
r
r
−=
22
Из
приведенных
результатов
видно
,
что
выражения
для
векторов
поля
ЭЭВ
весьма
сложны
.
Для
анализа
характера
поля
пространство
вокруг
излучателя
условно
делят
на
три
зоны
,
учитывая
,
что
в
выражениях
для
векторов
поля
присутствуют
составляющие
,
изме
-
няющиеся
с
расстоянием
32
111
krkrkr
.
Ближняя
зона
:
λ
π
<<
→
<<
rkr
21
Оставляют
3
1
kr
для
E
,
2
1
kr
для
H
.
Компоненты
векторов
поля
определяются
следующими
выражениями
:
( )
krti
a
ст
m
r
e
r
liI
E
−
•
−=
ω
θ
πωε
cos
2
3
,
( )
krti
a
ст
m
e
r
liI
E
−
•
−=
ω
θ
θ
πωε
sin
4
3
,
( )
krti
ст
m
e
r
lI
H
−
•
=
ω
ϕ
θ
π
sin
4
2
,
Для
λ
π
<<
r
2
имеем
1≈
−ikr
e
t
r
lI
H
ст
m
ωθ
π
ϕ
cossin
4
2
0
r
r
=
.
–
аналогично
формуле
для
магнитного
поля
прямолинейного
,
постоянного
тока
.
t
r
liI
rE
a
ст
m
r
ωθ
πωε
sincos
2
3
0
r
r
=
,
t
r
liI
E
a
ст
m
ωθ
πωε
θ
θ
sincos
4
3
0
r
r
=
–
как
электрическое
поле
диполя
.
Дальняя
зона
:
λ
π
>>
→
>>
rkr
21
Составляющими
2
1
kr
и
−
3
1
kr
пренебрегают
.
λ
π
2
=k
,
( )
( )
=
=
−
−
krti
ст
m
krti
a
a
ст
m
e
r
liI
H
e
r
liI
E
ω
ϕ
ω
θ
θ
λ
θ
ε
µ
λ
sin
2
sin
2
-
поля
синфазны
в
любой
точке
пространства
-
это
запаздывающие
функции
,
описывающие
волновой
процесс
,
следовательно
в
дальней
зоне
поле
изменяется
по
волновому
закону
.
Фазовая
скорость
00
00
0
00
Vr
r
k
rVrv
фф
r
r
rrr
====
µε
ω
.
–
сферическая
волна
,
распространяющаяся
со
скоростью
света
.
23
Перенос
энергии
в
дальней
зоне
θ
ε
µ
λ
2
2
0
~
sin
22
1
Re
a
a
ст
m
ср
r
lI
r
⋅=Π=Π
r
rr
.
Скорость
переноса
энергии
00
00
0
Vr
r
V
Э
r
r
r
==
µε
.
Характеристическое
сопротивление
среды
c
a
a
Z
H
E
==
ε
µ
ϕ
θ
.
для
вакуума
Ом
Z
c
,120
0
0
π
ε
µ
==
.
Промежуточная
зона
(
зона
интерференции
): 1
≈
kr
Существенное
влияние
на
величину
поля
оказывают
все
компоненты
,
таким
образом
,
присутствуют
как
индукционное
поле
,
так
и
поле
волнового
характера
.
Направленные
свойства
ЭЭВ
.
Анализ
выражений
для
поля
в
дальней
зоне
ЭЭВ
позволяет
сделать
вывод
о
том
,
что
интенсивность
излучения
в
различных
направлениях
различна
.
В
частности
ЭИ
не
излучает
вдоль
своей
оси
(
πθ
,0=
),
а
при
2
π
θ
=
интенсивность
излучение
максимальна
.
Для
того
чтобы
охарактеризовать
угловую
зависимость
любой
системы
в
дальней
зо
-
не
пользуются
характеристикой
направленности
.
Выражение
излучающей
системы
имеет
следующую
структуру
:
{
{
( )
321
44 344 21
r
r
фаза
krti
XH
амплитуда
a
a
ст
m
орт
e
r
lIi
E
−
•
⋅⋅
⋅⋅
⋅=
ω
θ
ε
µ
λ
θ
sin
2
0
Зависимость
амплитуды
поля
от
угловых
координат
при
фиксированном
расстоянии
до
точки
наблюдения
–
характеристика
направленности
(
ХН
):
(
)
(
)
ϕθϕθ
,, fE
m
=
(
)
( )
( )
−=
ϕθ
ϕθ
ϕ
θ
,
,
,
00
F
E
E
макс
m
нормированная
ХН
.
То
есть
нормированная
ХН
не
зависит
от
амплитуды
токов
излучателя
и
определяется
только
его
геометрическим
размером
.
Для
ЭЭИ
ХН
в
полярных
координатах
имеет
вид
:
(
)
(
)
θ
θ
ϕ
θ
sin,
=
=
FF
0
0
=
θ
0
180
=
θ
0
270
=
θ
E
θ
0
90=
ϕ
0
0=
ϕ
0
270=
ϕ
0
180=
ϕ
ϕ
E
(
)
1
=
ϕ
F
24
В
декартовых
координатах
Мощность
излучения
∫
Π=
∑
S
cр
cр
SdP
444 3444 21
3
8
2
0 0
3
sin
22
1
π
π π
ϕθθ
ε
µ
λ
=
∑
∫∫
⋅⋅⋅⋅
⋅
= dd
lI
P
a
a
ст
m
ср
( )
2
2
3
ст
m
a
a
ср
I
l
P ⋅⋅
⋅=
∑
ε
µ
λ
π
Для
0
ε
ε
=
a
и
0
µµ
=
a
( )
2
2
2
40
ст
mср
I
l
P ⋅
=
∑
λ
π
2
2
1
mср
RIP =
По
аналогии
с
законом
Джоуля
–
Ленца
вводится
сопротивление
излучения
∑
R
,
тогда
(
)
2
2
1
ст
mср
IRP
∑∑
=
∑
R
-
сопротивление
резистора
,
амплитуда
тока
в
котором
равна
амплитуде
тока
в
ЭЭИ
,
а
рассеиваемая
мощность
равна
средней
излучаемой
мощности
a
a
l
R
ε
µ
λ
π
⋅
⋅=
∑
2
3
2
Для
свободного
пространства
:
.80
2
2
⋅=
∑
λ
π
l
R
Понятие
∑
R
применимо
к
любым
излучающим
системам
,
образованным
линейными
токами
.
Если
распределение
тока
в
излучающей
системе
неравномерно
,
то
различают
0
∑
R
-
в
узле
и
п
R
∑
-
в
пучности
токовой
функции
.
7. Электромагнитные параметры материальных сред
Материальные
среды
могут
существенно
отличаться
друг
от
друга
по
величинам
электрофизических
параметров
.
В
реальных
средах
всегда
присутствует
как
ток
проводимости
,
так
и
ток
смещения
.
Принято
среду
считать
проводящей
,
когда
выполняется
условие
1.0
<
σ
ωε
a
.
Диэлектрики
ха
-
0
0
180
0
270
360
0
90
0
1
(
)
θ
F
θ
25
рактеризуются
неравенством
10
>
σ
ωε
a
.
Металлы
,
практически
во
всем
диапазоне
частот
,
являются
проводниками
.
Диэлек
-
трики
(
полистирол
,
полиэтилен
,
гетинакс
и
др
.)
на
всех
частотах
действуют
как
изоляция
с
преобладанием
токов
смещения
.
Естественные
среды
(
почва
,
вода
,
лед
)
обнаруживают
про
-
водниковые
свойства
в
области
низких
частот
,
а
выше
они
проявляют
себя
как
диэлектрики
.
Коэффициенты
затухания
и
фазы
в
материальной
среде
могут
быть
вычислены
:
-
для
диэлектрических
сред
)1tg1(
2
2
−+=
δ
µε
ωα
аа
,
)1tg1(
2
2
++=
δ
µε
ωβ
аа
.
-
для
проводящих
сред
σµπβα
⋅⋅⋅==
a
f
.
Фазовый
сдвиг
между
электрическим
и
магнитным
полями
определяется
углом
ди
-
электрических
потерь
δ
,
причем
-
для
диэлектрических
и
полупроводящих
сред
α
ωε
σ
δ
=tg
,
для
проводящих
2
π
δ
=
,
соответственно
Е
r
и
Н
r
сдвинуты
по
фазе
на
4
π
.
Скорость
распространения
электромагнитного
поля
для
диэлектрических
и
полу
-
проводящих
сред
β
ω
=V
,
для
проводящих
сред
,
σµ
π
σµ
ω
aa
f
V
⋅
== 2
2
.
Глубина
проникновения
поля внутрь среды:
α
1
=∆ .
Волновое
сопротивление
для диэлектрических и полупроводящих сред:
;
cos
α
α
ε
δµ
=
c
Z
для проводящих сред:
σ
ωµ
σ
ωµ
α
π
α
2
)1(
4
+== iеZ
i
c
,
σ
ωµ
α
=
c
Z
,
где
ω
- циклическая частота ( f
π
ω
2
=
).
8. Краевые задачи электродинамики для направляющих систем
Из курса ЭМП и В известно, что при падении однородной плоской волны на границу
раздела с металлической средой, во всех случаях (при любом угле падения) возникает на-
правляемая волна, распространяющаяся вдоль границы раздела. Заметим, что свойства гра-
ницы раздела двух сред направлять электромагнитную энергию сохраняется и при цилинд-
рическом искривлении этой границы.
26
Устройства, в которых происходит образование и распространение направляемых
электромагнитных волн, называются линиями передачи. Выделяют две основные группы ли-
ний передачи: открытые линии передачи и волноводные линии передачи. Волноводные ли-
нии передачи – линии передачи, имеющие одну или несколько проводящих поверхностей с
поперечным сечением в виде замкнутого проводящего контура, охватывающего область рас-
пространения электромагнитной энергии. Поле волноводной линии передачи полностью эк-
ранировано его внешней оболочкой. Поле в открытых линиях передачи не экранировано
снаружи и потому частично существует в пространстве, окружающем линию.
Ниже будут рассматриваться волновые явления в регулярных линиях передач, у кото-
рых в продольном направлении неизменны форма поперечного сечения и электромагнитные
параметры заполняющей среды. На рис.5 изображены основные типы линий передач, кото-
рые часто применяются в технике связи.
Рис.5 – Линии передачи, применяемые в технике связи
Их многообразие обусловлено особенностями работы в различных диапазонах частот.
Если продольную ось регулярной, не имеющей потерь, линии передачи совместить с
осью
О
Z, то комплексную амплитуду любого из векторов монохроматического поля, напри-
мер, вектора
→
E
, можно представить в следующем виде:
e
yxEzyxE
zi
mm
)(
),(),,,(
β
−
•
→
•
→
⋅=
, (45)
e
)r,(E),z,r,(E
)zi(
mm
β
ϕϕ
−
•
→
•
→
⋅=
. (46)
Представление (45) относится к декартовой системе координат, а представление (46) к
цилиндрической системе координат. Волновые уравнения для этих двух случаев имеют вид:
27
0
2
2
=+
•
→
⊥
•
→
⊥
∇
)y,x(E)y,x(E
mm
γ
, (47)
0
2
2
=+
•
→
⊥
•
→
⊥
∇
)r,(E)r,(E
ϕϕ
γ
. (48)
В этих уравнениях применены следующие обозначения:
222
βγ
−=
⊥
k ,
2
2
22
z
∂
∂
−∇=∇
⊥
. (49)
Аналогично могут быть получены уравнения и для вектора
→
H
:
0
2
2
=+
•
→
⊥
•
→
⊥
∇
)y,x(H)y,x(H
mm
γ
,
0
2
2
=+
•
→
⊥
•
→
⊥
∇
)r,(H)r,(H
ϕϕ
γ
. (50)
Величина
⊥
γ
в значительной степени определяет структуру поля направляемой вол-
ны в поперечном сечении линии передачи, и поэтому носит название
поперечного
коэффици
-
ента
распространени
я (волнового числа).
Для упрощения процесса решения записанных уравнений поступают следующим об-
разом. На первом этапе определяются
продольные
составляющие
полей
, используя уравне-
ния вида:
0
2
2
=+
•
⊥
•
⊥
∇
zmzm
ЕЕ
γ
, (51)
0
2
2
=+
•
⊥
•
⊥
∇
zmzm
НН
γ
. (52)
На втором этапе определяются поперечные составляющие полей. Для этого сначала
переходят от векторных уравнений Максвелла к скалярным уравнениям, которые связывают
между собой все составляющие векторов
→
E
и
→
H
, а затем из них определяют неизвестные
поперечные составляющие. При этом учитывается, что все компоненты векторов электро-
магнитного поля зависят от координаты z как
zi
e
β
−
. Уравнения, связывающие между собой
поперечные и продольные составляющие векторов поля, получили название
соотношений
связи
. Для волн, имеющих продольную компоненту вектора
→
E
и не имеющих продольной
компоненты вектора
→
H
( 00 =≠
••
zmzm
Н,Е ), соотношения связи имеют вид:
)
Е
grad
i
E
zm
(
m
•
⊥
⊥
•
→
⋅
−
=
γ
β
2
,
⋅=
⊥
•
→
⊥
•
→
mm
E,z
Н
a
r
β
ωε
. (53)
28
Для волн, имеющих продольную компоненту вектора
→
H
и не имеющих продольной
компоненты вектора
→
E
( 00 =≠
••
zmzm
Е
,
Н
), аналогичные соотношения записываются как
•
⊥
⊥
•
→
⋅
−
= )zm
m
H(
i
Н grad
2
γ
β
,
⋅=
⊥
•
→→
•
→
m
a
Н
,zE
β
ωε
. (54)
Как видно из (53) и (54), структура поля направляемой волны зависит от того, какой
вектор поля имеет продольную составляющую
Различают четыре класса направляемых волн:
1. Электрическая Е-волна, вектор
→
E
которой имеет поперечную и продольные со-
ставляющие, а вектор
→
H
лежит в плоскости, перпендикулярной направлению распростране-
ния (не имеет продольной составляющей): 00 =≠
••
zmzm
Н
,
Е
.
2. Магнитная Н-волна, вектор
→
H
которой имеет поперечную и продольные состав-
ляющие, а вектор
→
E
лежит в плоскости, перпендикулярной направлению распространения
(не имеет продольной составляющей): 00 =≠
••
zmzm
Е
,
Н
.
3. Гибридная (смешанная) волна, векторы
→
E
и
→
H
которой имеют поперечные и про-
дольные составляющие 00 ≠≠
••
zmzm
Е
,
Н
. Обозначение: ЕН-волна или НЕ- волна.
4. Поперечная электромагнитная волна, векторы
→
E
и
→
H
которой лежат в плоскости,
перпендикулярной направлению распространения, т.е 00 ==
••
zmzm
Е
,
Н
. Для такой волны
принято обозначение: T-волна (ТЕМ - волна). Взаимное расположение компонент векторов
поля в направляющей системе схематически показано на рис.6.
Рис. 6 – Взаимное расположение компонент векторов поля в направляющей системе
→
E
→
H
→
⊥
→
⊥
HE
T
,
0
0
=
≠
z
z
H
E
E
0
0
=
≠
z
z
E
H
H
0
0
или
≠
≠
z
z
E
H
HEEH
→
E
→
H
→
E
→
H
→
E
→
H
z
E
→
z
E
→
z
H
→
z
H
→
29
9. Параметры направляемых волн в линиях передачи
К основным параметрам направляемых волн относятся: критическая длина волны,
критическая частота, коэффициент фазы, фазовая скорость и скорость распространения, дли-
на волны в линии и характеристическое сопротивление.
Критическая
длина
волны
определяется по формуле
λ
кр
=
⊥
γ
π
2
. (55)
Ей соответствует критическая частота
кр
кр
v
f
λ
0
= , где
0
v - скорость света в среде, за-
полняющей линию. Значения
λ
кр
(f
кр
) зависят от формы и размеров поперечного сечения ли-
нии передачи, класса и типа волны, параметров среды, заполняющей линию. Термин «крити-
ческая» будет пояснен позднее.
Коэффициент
фазы
(продольное волновое число) с учетом (49) имеет вид
β=
22
⊥
−
γ
k =
22
)
2
()
2
(
кр
λ
π
λ
π
−
=
2
)(1
кр
k
λ
λ
−
. (56)
Фазовая
скорость
с учетом того, что
ф
V
ω
β
=
и
0
v
k
ω
= , определяется по формуле
V
ф
=
2
0
)(1
кр
v
λ
λ
−
. (57)
Скорость
распространения
энергии
с учетом известного тождества
2
0
vVV
эф
=⋅
опре-
деляется как
2
0
)(1
кр
э
vV
λ
λ
−=
. (58)
Графики зависимостей фазовой скорости и скорости распространения энергии от час-
тоты показаны на рис.7.
Длина
волны
в
линии
передачи
определяется из фор-
мулы связи длины и продольного волнового числа
Λ
=
π
β
2
. В результате её можно вычислить следующим об-
разом:
2
)(1
2
кр
λ
λ
λ
β
π
−
==Λ . (59)
Рис. 7
ω
30
Характеристическое
сопротивление
определяется как отношение поперечных со-
ставляющих напряженностей электрического и магнитного полей
m
m
c
H
E
Z
⊥
•
⊥
•
= . (60)
Для Т-волн
а
а
c
r
c
ZZ
ε
µ
== - характеристическое сопротивление среды, заполняющей
линию. Для Е- и Н- волн справедливы соотношения
2
)(1
кр
c
E
c
ZZ
λ
λ
−= ,
2
)(1
кр
c
H
c
Z
Z
λ
λ
−
=
. (61)
Из формул, приведенных выше, следует, что фазовая скорость и скорость распростра-
нения энергии направляемых волн в общем случае зависят от длины волны
λ
, а следователь-
но, и от частоты f. Это означает, что в линии передачи имеет место дисперсия. С ростом час-
тоты дисперсия ослабевает. Кроме того, как видно из (61) дисперсия на любой частоте отсут-
ствует в тех линиях передачи, для которых
λ
кр
=∞ (f
кр
=0).
Условия
распространения
. При
λ
>
λ
кр
коэффициент фазы становится чисто мнимой
величиной, так как
β=
2
)(1
кр
k
λ
λ
− =
α
λ
λ
iik
кр
±=−±
1)(
2
, (62)
где знак «+» выбирается для волн, распространяющихся в направлении убывания координа-
ты z, а знак «-» в направлении возрастания координаты z. В связи с этим фазовый множитель
в превращается в экспоненту
e
e
e
zziizi )())(()(
ααβ
−−−−
== , а векторы поля приобретают вид, описы-
ваемый выражениями:
)z(
mm
e)y,x(EE
α
−
•
→
•
→
⋅= ,
)z(
mm
e)y,x(EE
α
−
•
→
•
→
⋅= . (63)
Это означает, что при
λ
>
λ
КР
поле в линии передачи теряет характер распространяю-
щейся (бегущей) волны и его амплитуда экспоненциально уменьшается с расстоянием. Сле-
довательно, условием распространения волны в линии передачи является неравенство
λ
<
λ
кр
, или f > f
кр
. (64)
Таким образом, f
кр
–минимальная частота, при которой еще возможно распростране-
ние энергии в линии передачи, т.е. линия передачи в некотором смысле является фильтром
верхних частот. Волна, имеющая наименьшую f
кр
среди всех волн, которые могут распро-
страняться по линии – называется основной (низшей), а остальные типы – высшими.
Режим, при котором f > f
кр
называется режимом отсечки, а сама линия, работающая в