Лекции - Электромагнитные поля и волны
Подождите немного. Документ загружается.
11
Закон сохранения заряда:
t
jdiv
∂
∂
−=
→
ρ
Уравнение непрерывности:
0=
→
полн
jdiv
Закон Ома:
→→
= Ej
σ
Уравнения Максвелла в интегральной форме описывают электромагнитное поле в не-
которых объёмах, ограниченных контурами и поверхностями интегрирования, а уравнения
Максвелла в дифференциальной форме характеризуют поле в точках. Из уравнений следует,
что электрическое и магнитное поля взаимосвязаны между собой и способны порождать
друг друга. В частности, электрическое поле создает вокруг себя магнитное поле (рис.2.а), а
всякое изменение магнитного поля сопровождается образованием электрического поля
(рис.2.б). В целом изменение одного поля вызывает появление другого поля, в результате
действует и существует суммарное электромагнитное поле (рис.2.в), переносящее энергию в
атмосфере, кабелях, волноводах, световодах и любых других направляющих системах.
Рис.2 – Взаимосвязь векторов электромагнитного поля
Однако, в ряде случаев взаимной обусловленностью электрического и магнитного по-
лей можно пренебречь. В соответствии с данным критерием среди всего многообразия элек-
тромагнитных полей принято выделять ряд классов:
- статические поля – поля, создаваемые системами неподвижных зарядов, постоян-
ных магнитов и постоянных токов в тех областях, где токи отсутствуют; в этом случае сис-
тема уравнений Максвелла распадается на две подсистемы, каждая из которых содержит ли-
бо электрические, либо магнитные величины:
Система уравнений электростатики Система уравнений магнитостатики
→→
= 0Erot ,
ρ
=
→
Ddiv
→→
= ED
a
ε
→→
= 0Hrot , 0=
→
Bdiv
→→
= HB
a
µ
- стационарное электромагнитное поле – поле, создаваемое системами неподвижных
зарядов, постоянных магнитов и постоянных токов в тех областях, где токи существуют; от-
12
личие стационарного случая от статического состоит в том, что в анализируемой области
пространства присутствуют постоянные токи; электрическое и магнитное поля можно счи-
тать независимыми в стационарном случае, если ток
→→
= Ej
σ
определяется как независящий
от самого поля.
Система уравнений стационарных полей
→→
→
→→
=
=
=
ED
D
E
a
ε
ρ
div
0rot
→→
→
→→
=
=
=
HB
B
jH
a
µ
0div
rot
- квазистационарное электромагнитное поле – поле, источники которого представ-
ляют собой относительно медленно меняющиеся во времени функции, таким образом, что
пространственный период изменения поля оказывается существенно меньше, чем линейные
размеры анализируемой области пространства. При этом описание электромагнитных явле-
ний может быть осуществлено аналогично стационарному случаю;
- быстропеременные поля, для которых пространственный период изменения поля
одного порядка или меньше размеров анализируемой области пространства; в этом случае
целесообразно применение полной системы уравнений Максвелла
Особое место традиционно отводится монохроматическому электромагнитному полю,
как практически важному случаю. На самом деле, практически любой сигнал, встречающийся
в радиотехнике может быть представлен в виде суперпозиции монохроматических состав-
ляющих. Монохроматическими называются процессы, изменяющиеся во времени по закону
косинуса или синуса, описываемые соответственно скалярными и векторными функциями ви-
да:
(
)
ϕωψψ
+⋅= t
m
cos ,
( ) ( ) ( ) ( )
3
0
2
0
1
0
ϕωϕωϕω
+⋅++⋅++⋅=
→→→→
tcosAztcosAytcosAxtA
zmymxm
.
При анализе таких процессов широко используется метод комплексных амплитуд,
состоящий в формальной замене функции ψ на комплексное изображение
•
ψ
, следующим об-
разом:
( )
ti
m
ti
m
ee
ωϕω
ψψψ
•
+
•
==
, где
−=
•
ϕ
ψψ
i
mm
e
комплексная
амплитуда. При этом очевидно,
что
•
=
ψψ
Re
. Комплексное представление векторных величин выглядит следующим обра-
зом:
( )
( ) ( )
( )
+
+=
+
→
+
→
+
→→
321
0
0
0
ϕω
ϕωϕω
ti
zm
ti
ym
ti
xm
eAzeAyeAxRetA
,
( ) ( ) ( )
321
0
0
0
ϕωϕωϕω
+
→
+
→
+
→
•
→
++=
ti
zm
ti
ym
ti
xm
eAzeAyeAxA
,
ti
i
zm
i
ym
i
xm
e)eAzeAyeAx(A
ω
ϕϕϕ
3
21
0
0
0
→→→
•
→
++=
,
13
~
ст
I
ст
I
ст
пр
j
t
D
jH
r
r
r
r
+
∂
∂
+=rot
3
21
0
0
0
ϕϕϕ
i
zm
i
ym
i
xm
m
eAzeAyeAxA
→→→
•
→
++=
- комплексная амплитуда вектора
•
→
A
.
Поскольку уравнения Максвелла содержат только линейные операции, в случаях, в
которых параметры среды не зависят от поля, формальная замена соответствующих вели-
чин их комплексными изображениями не меняет вида этих уравнений (все линейные опе-
рации могут проводиться раздельно над действительной и мнимыми частями комплексных
величин).
Уравнения
Максвелла
для
монохроматического
поля выглядят следующим образом.
Первое уравнение Максвелла:
m
a
mm
EiEH
•
→
•
→
•
→
+=
ωεσ
rot . (23)
Группировка слагаемых в правой части позволяет выделить общий сомножитель
m
a
a
m
EiiH
•
→
•
→
−=
ωε
σ
ωε
1rot , (24)
где
−=
a
a
~
a
i
ωε
σ
εε
1
-
комплексная
диэлектрическая
проницаемость
,
учитывающая
инерцион
-
ность
процессов
имеющих
место
в
веществе
,
связанных
с
воздействием
электрического
поля
.
Аналогичным
образом
записывается
второе
уравнение
Максвелла
для
монохромати
-
ческого
поля
:
•
→
•
→
−=
m
a
m
HiE
~
rot
µω
. (25)
Взятие
операции
дивергенции
от
обеих
частей
(23)
и
(25)
позволяет
легко
показать
,
что
третье
и
четвертое
уравнения
для
монохроматического
поля
выводятся
соответственно
из
первого
и
второго
.
При
записи
уравнений
Максвелла
под
вектором
плотности
тока
проводимости
подра
-
зумевается
плотность
тока
,
который
возникает
в
проводящей
среде
под
воздействием
элек
-
трического
поля
.
Однако
,
помимо
это
-
го
тока
,
в
рассматриваемой
области
пространства
могут
существовать
и
такие
токи
,
которые
сами
являются
ис
-
точниками
возникновения
в
этой
об
-
ласти
электромагнитного
поля
,
и
,
к
то
-
му
же
,
они
считаются
известными
.
Эти
токи
принято
называть
сторонними
.
Аналогично
вводятся
сторонние
заряды
.
С
учетом
сторонних
источников
уравнения
Максвелла
в
имеют
вид
:
стст
EEjEj
r
r
r
r
r
σσσ
+=+=
14
Интегральная форма Дифференциальная форма
∫
++=
→→
Г
ст
смпр
,IIIldH
∫ ∫
→→→→
−=
Г
S
SdB
dt
d
ldE
∫
+=
→→
S
ст
qqSdD
∫
=
→→
S
SdB
0
ст
смпр
jjjHrot
→→→→
++=
t
B
Erot
∂
∂
−=
→
→
ст
Ddiv
ρρ
+=
→
0=
→
Bdiv
4. Граничные условия и краевые задачи электродинамики
В
электродинамике
встречается
ряд
задач
по
вычислению
поля
вблизи
границы
раз
-
дела
сред
с
макроскопическими
параметрами
.
При
этом
возникает
следующая
ситуация
:
макроскопические
параметры
среды
изменяются
в
пределах
объема
диффузии
сред
.
Как
пра
-
вило
,
линейные
размеры
этого
объема
оказываются
сравнимы
с
внутримолекулярными
раз
-
мерами
вещества
,
что
позволяет
предполагать
,
с
макроскопической
точки
зрения
,
что
пара
-
метры
ε
,
µ
,
σ
меняются
скачкообразно
.
При
скачкообразном
изменении
одного
или
несколь
-
ких
параметров
разрыв
будут
претерпевать
функции
,
стоящие
под
знаком
производной
в
уравнениях
Максвелла
,
поэтому
эти
уравнения
в
дифференциальной
форме
утрачивают
свой
физический
смысл
.
Для
компенсации
разрывов
векторов
поля
при
переходе
через
границу
раздела
вводят
функции
,
имеющие
смысл
зарядов
и
токов
,
определяемых
на
поверхности
раздела
.
Эти
токи
и
заряды
называют
поверхностными
,
и
характеризуют
соответст
-
венно
плотностью
поверхностного
тока
L
I
j
L
S
∆
∆
=
→∆
0
lim
и
плотно
-
стью
поверхностного
заряда
S
Q
S
S
∆
∆
=
→∆
0
lim
ρ
.
Далее
из
уравнений
Максвелла
получают
систему
граничных
условий
,
раздельно
фор
-
мулируемых
для
тангенциальных
и
нормальных
составляющих
векторов
поля
:
Полная
система
граничных
условий
.
;
;
;
21
21
21
21
S
nn
Snn
jHH
BB
EE
DD
=−
=
=
=
−
ττ
ττ
ρ
(26)
Если
одна
из
сред
может
считаться
идеальным
проводником
,
поле
во
второй
среде
от
-
сутствует
,
0
2222
====
→→→→
HBED
и
система
граничных
условий
принимает
вид
:
0
n
r
0
τ
r
n
E
E
r
τ
E
15
1
1
a
S
n
E
ε
ρ
=
, 0
1
=
τ
E
, 0
1
=
n
H
,
S
jH =
τ
1
. (27)
Иными
словами
,
электрическое
поле
всегда
перпендикулярно
поверхности
проводни
-
ка
,
а
магнитное
–
касательно
.
Нормальные
и
тангенциальные
компоненты
векторов
поля
на
поверхности
цилиндрического
проводника
показаны
на
рис
.3.
Обобщая
вышеизложенное
,
можно
утверждать
,
что
электродинамическая
задача
представляет
собой
систему
урав
-
нений
Максвелла
в
дифференциальной
форме
,
с
конкретными
сторонними
источниками
,
дополненные
системой
граничных
условий
,
для
устранения
неоднозначности
,
возникающей
при
интегрировании
дифференциальных
уравнений
.
Такие
задачи
называют
краевыми
или
граничными
.
Решить
электродинами
-
ческую
задачу
–
значит
отыскать
такие
функции
(
либо
векторы
поля
,
либо
заряды
и
токи
),
которые
удовлетворяют
уравнениям
Максвелла
и
граничным
условиям
.
Электродинамические
задачи
,
как
и
любые
задачи
математической
физики
,
традици
-
онно
задачи
подразделяют
на
прямые
и
обратные
.
Сторонними
источниками
в
прямых
зада
-
чах
являются
заряды
и
токи
,
в
обратных
–
векторы
поля
.
Как
правило
,
исследование
реальных
физических
процессов
требует
многократного
поочередного
решения
прямых
и
обратных
за
-
дач
.
Кроме
того
,
задачи
электродинамики
разделяют
на
внутренние
и
внешние
.
Внутренняя
задача
сводится
к
вычислению
поля
внутри
некоторой
области
,
ограниченной
замкнутой
иде
-
ально
проводящей
поверхностью
.
Решение
внешней
задачи
определяется
полем
в
области
внешней
по
отношению
к
поверхности
,
на
которой
распределены
сторонние
источники
.
5. Энергетические соотношения в электродинамике
Поскольку
электромагнитное
поле
материально
,
то
для
него
выполняется
закон
со
-
хранения
и
превращения
энергии
.
Пусть
V
–
произвольный
объем
(
рис
.4),
в
котором
существует
электромагнитное
поле
.
В
объеме
определенным
образом
распределены
сторонние
источники
с
суммарной
мощно
-
стью
Р
ст
.
Умножим
каждый
член
первого
уравнения
Максвелла
скалярно
на
→
E
,
а
каждый
член
второго
уравнения
Максвелла
скалярно
на
→
H
и
вычтем
второе
получившееся
уравне
-
ние
из
первого
,
учитывая
,
что
−=
−−
→→→→→→
HEHE
Е
H
,divrotrot
.
Получим
при
этом
следую
-
щее
соотношение
:
+
+
∂
∂
+=−
→→→→→
HE
HE
t
EEj
aa
ст
,div
22
22
2
µεσ
. (28)
Z
→
τϕ
E
→
z
E
τ
→
n
E
Рис.3
Компоненты векторов поля
на поверхности цилиндриче-
ского проводника
16
Все
слагаемые
правой
части
имеют
смысл
соответствующих
объемных
плотностей
мощностей
,
в
левой
части
–
плотность
мощности
сторонних
источников
.
Кроме
того
,
произ
-
ведение
→
2
Е
σ
-
определяет
плотность
мощности
тепловых
потерь
,
а
+
∂
∂
22
22
HE
t
aa
µε
-
скорость
изменения
во
времени
объемной
плотности
энергии
электромагнитного
поля
в
объ
-
еме
V
.
Каждый
член
,
стоящий
под
знаком
производной
,
представляет
собой
соответственно
объемные
плотности
энергии
электрического
и
магнитного
полей
.
Таким
образом
,
со
време
-
нем
энергия
электрического
поля
переходит
в
энергию
магнитного
поля
и
наоборот
.
Обозначая
→→→
Π=
H,E
,
проинтегрируем
полученное
уравнение
(28)
по
всему
объему
V
,
используя
теорему
Остроградского
:
∫∫∫∫
→→→→
Π+
++=⋅−
SV
aa
VV
ст
SddV
HE
dt
d
dVEdVjE
22
22
2
µε
σ
. (29)
Полученное
уравнение
носит
название
теоремы Умова-Пойтинга
в
интегральной
форме
.
Анализ
(29)
позволяет
заключить
,
что
энергия
электромагнитного
поля
может
быть
вычислена
по
формуле
:
m
V
aa
WWdV
EE
W +=
+=
∫
→→
⋅⋅
э
22
2
µε
,
Интеграл
П
V
PdVE =
∫
σ
2
– определяет мощность тепловых потерь, а
ст
V
ст
PdVjE =⋅−
∫
→→
– мощность сторонних источников, поступающая в объем.
Вектор
→
П
имеет смысл
плотности
потока
энергии
, то есть определяет электромаг-
нитную энергию, переносимую через единицу поверхности в единицу времени и носит на-
звание
вектора
Пойнтинга
. Таким образом, теорема
Умова
-
Пойтинга
является формули-
ровкой закона сохранения и превращения энергии для электромагнитного поля.
Рассмотрим далее формулировку закона сохранения энергии для монохроматического
электромагнитного поля, поскольку она содержит ряд специфических особенностей.
При рассмотрении периодических процессов удобно анализировать не мгновенные
значения, а их средние за период значения определяемые как
∫
=
T
ср
dttf
T
f
0
)(
1
.
Воспользуемся следующими преобразованиями, не имеющими четкого физического
смысла, однако позволяющими избежать изменения вида уравнений, проявляющегося при
выполнении нелинейных операций по вычислении энергетических характеристик:
17
+=
∗•
ψψψ
2
1
,
+=
∗
→
•
→→
aaa
2
1
Тогда вектор Пойнтинга может быть выражен как:
+
+
=Π
−
∗
→
∗
→
•
→
•
→
∗
→
•
→→
ti
mm
ti
mm
eH,EeH,EH,ERe
ωω
22
4
1
2
1
. (30)
Легко показать, что
~
ср
ReH,ERe
→
∗
→
•
→→
Π=
=Π
2
1
, где
−
=Π
∗
→
•
→→
H,ERe
~
2
1
комплексный век-
тор Пойнтинга. Средняя за период мощность тепловых потерь определяется выражением:
dVEEP
V
Пср
∗
→
•
→
∫
=
σ
2
1
. (31)
Средняя мощность сторонних источников записывается как:
dVEjReP
V
ст
срст
∫
•
→
−=
r
2
1
. (32)
Средние за период энергии электрического и магнитного полей:
dVEEW
V
aсрЭ
∗
→
•
→
∫
=
ε
4
1
, dVHHW
aсрm
∗
→
•
→
∫
=
µ
4
1
. (33)
Проводя преобразования, аналогичные использованным при выводе (29) нетрудно по-
казать, что
теорема
Умова
-
Пойнтинга
для
монохроматического
поля
будет иметь вид:
→→
∗
→
•
→
∗
→
•
→
∗
→
•
→
∗
→
•
→
∫∫∫∫∫
Π+
−+=− SddVEEdVHH
i
dVEEdVjE
S
~
V
a
V
a
V
ст
V
εµ
ω
σ
22
1
2
1
. (34)
Нижеследующая запись позволяет выявить физический смысл входящих в (34) сла-
гаемых:
( )
срЭcрм
S
~
стп
ст
~
WWiSdPP −+Π+=
→→
∫
ω
2 . (35)
Выделяя в (35) действительную и мнимую части легко получить, соответственно,
уравнения
баланса
активных
и
реактивных
мощностей
:
→→
∫
Π+= SdRePPRe
S
~
срП
~
ст
,
( )
срЭсрм
S
~
m
ст
~
m
WWSdIPI −+Π=
→→
∫
ω
2 . (36)
Определим далее с
корость
распространения
электромагнитной
энергии
, для чего
выделим в объеме, в котором существует электромагнитное поле, цилиндр с площадью ос-
нования
∆
S и длиной
∆
l (рис.4).
18
Скорость переноса энергии определим следующим обра-
зом
t
l
limzV
t
Э
∆
∆
=
→∆
→→
0
0
. Величина переносимой энергии
∫
∆
∆=∆
S
ср
dSwlW . По определению вектора
→
П
,
∫
∆
→→
Π=
∆
∆
S
Sd
t
W
.
Тогда скорость переноса электромагнитной энергии мо-
жет быть определена следующим образом:
∫
∫
∆
∆
→→
→∆
→
Π
=
∆
∆
=
S
ср
S
t
Э
dSw
Sd
t
l
limV
0
, или
ср
~
Э
w
Re
V
→
→
Π
= . (37)
6. Электромагнитное поле волнового характера (поле излучения)
Система дифференциальных уравнений Максвелла представляет собой систему из 4-х
векторных уравнений (12 скалярных, если задача 3-х мерная), причем в первые два из них
входит электрическая и магнитная величины. С практической точки зрения представляет ин-
терес уменьшение размерности системы уравнений.
Исторически сложилось так, что ЭМП в однородной изотропной среде принято ха-
рактеризовать двумя векторными функциями (силовыми характеристиками), хотя такой спо-
соб описания не является единственным. Следовательно, для представления целесообразно
выбрать иную систему векторных или скалярных функций, так, чтобы уравнения описыва-
лись наиболее простым способом. Такими функциями являются разного рода
электродина
-
мические
потенциалы
.
Рассмотрим произвольный объем V, в котором определенным образом дислоцирова-
ны проводящие тела и сторонние источники электрического типа
ст
→
j , где
−
→
r
радиус-вектор точки наблюдения,
−
′
→
r
радиус-вектор точки поверхности, несущей сторонний ток.
Исключая в уравнениях Максвелла электрический или магнитный вектор и вводя век-
торный и скалярный электродинамические потенциалы для сокращения размерности систе-
мы следующим образом
→→
=
А
H rot
1
0
µ
,
ϕω
grad−−=
→→
А
iE , (38)
нетрудно получить уравнение второго порядка относительно векторного потенциала:
ст
000
22
→→→
−=+∇ jAA
µµεω
. (39)
При этом на
→
А
и
ϕ
накладывается
условие
Лоренцевой
калибровки
:
l
∆
S
∆
Z
Рис.4 – К определению
скорости переноса
энергии
19
0div
00
=+
→
ϕµωε
iA .
(40)
Правомочность условия (40) вытекает из того обстоятельства, что векторный потен-
циал
→
А
определен с точностью до градиента произвольной скалярной функции.
Общее решение уравнения (40) для случая источников электрического типа известно
в виде интеграла:
Vd)r,r(G)r(j)r(
А
V
∫
⋅
′
⋅
′
=
→→→→→→
0
µ
. (41)
Аналогичные рассуждения приводят к решению для скалярного потенциала:
dV)r,r(G)r()r(
V
→→→→
′
⋅
′
=
∫
ρ
ε
ϕ
0
1
, (42)
где −
′
→
)r(
ρ
поверхностный заряд, наведенный на поверхности проводника, связанный с
плотностью поверхностного тока законом сохранения электрического заряда:
)(div)(
→→→
′
=
′
rj
i
r
S
ω
ρ
. (43)
Интегрирование производится по объему, занимаемому током )r(j
→→
′
или зарядом
)r(
→
′
ρ
.
′
→→
r,rG
– функция Грина, для среды без потерь,
→→
′
−⋅⋅−
→→
′
−
=
′
→→
rr
е
r,rG
rrki
π
4
,
λ
π
2
=k , (44)
Наличие множителя
→→
′
− rr
в экспоненте в функции Грина указывает на то обстоя-
тельство, что интегралы (41-42) описывают волновой процесс, а источники в условиях на-
стоящей задачи, являются источниками излучения.
Излучением называется процесс создания в пространстве электромагнитного поля
волнового характера. Волновое поле описывается запаздывающими функциями и представ-
ляет собой процесс, переносящий энергию.
Следовательно, не всякое поле является полем излучения, т.к. не переносит энергию
(например, статическое поле). С точки зрения теории Максвелла уход энергии в виде элек-
тромагнитного поля так же естественен, как ответвление электрической энергии по ветвям
электрической цепи.
По характеру электромагнитного поля, излучаемого источником возмущения во
внешнее пространство, это пространство делится на две зоны: ближнюю и дальнюю. Ближ-
ней зоной называется ближайшая к источнику возмущения область пространства, для кото-
20
рой длина волны существенно больше расстояния. Дальняя зона - это область пространства,
в которой расстояние от источника существенно превышает длину волны. Границей раздела
этих зон условно можно принять равенство расстояния от источника возмущения 1/6 длины
волны. Электромагнитное поле, действующее в ближней зоне, называется полем индукции, а
в дальней — полем излучения.
В ближней зоне электрическое и магнитное поля сдвинуты по фазе на 90°, а вектор
Пойнтинга имеет лишь реактивную составляющую, поэтому вся энергия электромагнитного
поля сосредоточена около источника возмущения и непрерывный перенос энергии во внеш-
нее пространство, характерный для процессов излучения, отсутствует. В ближней зоне про-
исходят преимущественно местные перемещения энергии, связанные с периодическими пре-
образованиями электрической энергии в магнитную, и обратно. В дальней зоне имеет место
процесс излучения электромагнитной энергии: часть энергии от источника возмущения пе-
реносится во внешнее пространство на большее расстояние от источника.
Не всякое поле является полем излучения, т.к. не переносит энергию (например, стати-
ческое поле). С точки зрения теории Максвелла уход энергии в виде электромагнитного поля
так же естественен. как ответвление электрической энергии по ветвям электрической цепи.
Элементарный электрический вибратор (излучатель) – ЭЭВ.
ЭЭВ называется электрически малый отрезок прямолинейного электрического (пере-
менного) тока, амплитуда и фаза тока в каждой точ-
ке которого одинаковы.
Волновое число:
λ
π
2
=К
, где λ – простран-
ственный период изменения поля (или длина вол-
ны). Задача об излучении ЭЭВ является базовой для
расчетов поля излучающих систем, состоящих из
тонких проводников (например, проволочных ан-
тенн).
Еще одним важным условием элементарности излучателя является то, что поле ищет-
ся на расстоянии, значительно превышающем его длину:
Если вибратор расположен в свободном пространстве
и его диаметр значительно меньше длины, то можно счи-
тать, что ток течет только по оси z, т.е.:
ст
m
S
ст
m
IzSj
0
r
r
=∂
∫
∆
; т.к. сторонний ток имеет одно и то же
значение в каждой точке излучателя, то его можно вынести и
перейти от объемного интервала к интервалу по координате:
0
ϕ
0
θ
y
x
z
r
ϕ
l
0
r
tII
ст
mст
ω
cos=
l
r
R
S
∆
ξ
(
)
θ
ϕ
,,rM
z
∫
−
•
=
V
ikr
ст
m
a
m
dV
R
ej
A
r
r
π
µ
4