Лекции - Аэродинамика и вентиляция. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
Донбасская национальная академия строительства и архитектуры
Кафедра
«ТЕПЛОТЕХНИКА, ТЕПЛОГАЗОСНАБЖЕНИЕ И ВЕНТИЛЯЦИЯ»
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
«АЭРОДИНАМИКА ВЕНТИЛЯЦИИ. Часть 1»
(для специальности ТГВ)
Составитель: доцент кафедры ТТГВ Маркин А.Н.
Утвержден на заседании кафедры
«Теплотехника, теплогазоснабжение и вентиляция»
Протокол № ____ от _______________ 200__г.
Зав. кафедрой _____________________ Губарь В.Ф.
Макеевка 2007
АЭРОДИНАМИКА ВЕНТИЛЯЦИИ. Конспект лекций. Часть 1.
2
ДонНАСА Кафедра ТТГВ. Маркин А.Н.
СОДЕРЖАНИЕ
ЛЕКЦИЯ 1. Уравнения аэродинамики .......................................................................................... 3
Воздух и его свойства ...................................................................................................................... 3
Основные понятия и определения аэродинамики ......................................................................... 4
Уравнение расхода ........................................................................................................................... 6
Уравнение количества движения .................................................................................................... 7
Уравнение неразрывности ............................................................................................................... 8
ЛЕКЦИЯ 2. Уравнения аэродинамики ........................................................................................ 10
Уравнение Бернулли ...................................................................................................................... 10
Уравнения движения (Эйлера, Навье-Стокса) ............................................................................ 12
Уравнения равновесия несжимаемого газа в состоянии покоя ................................................. 14
Уравнения равновесия сжимаемого газа в состоянии покоя ..................................................... 15
ЛЕКЦИЯ 3. Основы кинематики потоков .................................................................................. 17
Математическая модель движения потока (Лагранж, Эйлер) ................................................... 17
Траектории частиц, линии тока и линии отмеченных частиц ................................................... 18
Деформации и угловые скорости вращения частиц ................................................................... 19
Вихревой, безвихревой и винтовой потоки ................................................................................. 20
Виды простейших потоков ............................................................................................................ 20
ЛЕКЦИЯ 4. Движение воздушного потока в трубопроводах .................................................. 22
Потери энергии во время движения воздушного потока ........................................................... 22
Особенности движения воздушного потока в трубопроводах .................................................. 23
Потери давления в воздуховоде постоянного сечения ............................................................... 24
Коэффициент сопротивления трения ........................................................................................... 26
ЛЕКЦИЯ 5. Движение воздушного потока в трубопроводах .................................................. 28
Общие сведения о местных сопротивлениях .............................................................................. 28
Потери давления при входе в воздуховод постоянного сечения ............................................... 28
Потери давления при расширении поперечного сечения воздуховода .................................... 29
Потери давления при сужении поперечного сечения воздуховода .......................................... 31
Потери давления в местных сопротивлениях других типов ...................................................... 32
Взаимное влияние местных сопротивлений ................................................................................ 34
ЛЕКЦИЯ 6. Аэродинамический расчет воздуховодов .............................................................. 35
Основные уравнения аэродинамического расчета ...................................................................... 35
Особенности расчета воздуховодов ............................................................................................. 36
Определение количества вентиляционных систем. Размещение воздуховодов ...................... 36
Скорости движения воздуха в воздуховодах .............................................................................. 37
Порядок выполнения аэродинамического расчета ..................................................................... 38
Увязка ответвлений ....................................................................................................................... 40
ЛЕКЦИЯ 7. Динамика давлений в воздуховодах ...................................................................... 41
Характеристика вентиляционной сети ......................................................................................... 41
Эпюры давлений в сети воздуховодов ......................................................................................... 42
ЛЕКЦИЯ 8. Аэродинамика двухфазных потоков ...................................................................... 44
Аэродинамические сила и момент ................................................................................................ 44
Коэффициент силы лобового сопротивления ............................................................................. 46
Скорости витания и трогания ........................................................................................................ 46
Расчет воздуховодов для двухфазных потоков (системы аспирации и пневмотранспорта) .. 48
ЛЕКЦИЯ 9. Аэродинамика обтекания зданий ........................................................................... 51
Относительное движение тела и жидкости ................................................................................. 51
Распределение давлений по поверхности тела, обтекаемого воздушным потоком ................ 52
Давление ветра на здания и сооружения ..................................................................................... 53
ЛИТЕРАТУРА ..................................................................................................................................... 55
АЭРОДИНАМИКА ВЕНТИЛЯЦИИ. Конспект лекций. Часть 1.
3
ДонНАСА Кафедра ТТГВ. Маркин А.Н.
Лекция 1 – Уравнения аэродинамики. [1, с.5-25; 2, с.11-18, 40-77]
Воздух и его свойства
Основные понятия и определения аэродинамики
Уравнение расхода
Уравнение количества движения
Уравнение неразрывности
Воздух и его свойства
Атмосферный воздух, который состоит из кислорода, азота, углекислого газа, инертных и неко-
торых других газов, всегда содержит некоторое количество водяного пара. Смесь так называемой
сухой части воздуха и водяного пара называют влажным воздухом. Состав сухой части воздуха
приведен в таблице 1.1.
Таблица 1.1
Содержание, % №
п/п
Компоненты
Символ или
формула
по массе по объему
1 Азот N
2
75,55 78,13
2 Кислород O
2
23,10 20,90
3 Аргон, неон, другие инертные газы Ar, Ne 1,3 0,94
4 Углекислый газ CO
2
0,05 0,03
С достаточной для инженерных расчетов точностью можно считать, что влажный воздух под-
чиняется всем законам смеси идеальных газов. Каждый газ, в том числе и водяной пар, которые
входят в состав смеси, занимают одинаковый объем V, м
3
, что и вся смесь, имеет температуру сме-
си T, К, и находится под своим парциальным давлением p
i
, которое определяется в соответствии с
уравнением Клапейрона-Менделеева:
V
TR
v
V
TRm
p
i
i
i
i
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
*
*
µ
, Па, (1.1)
где: m
i
– масса i-го газа, кг;
*
i
µ
– молекулярная масса i-го газа, кг/кмоль;
**
/
iii
mv
µ
= –
количество
молей
i-
го
газа
,
который
входит
в
состав
смеси
,
кмоль
;
R –
универсальная
газовая
постоянная
(R = 8,314·10
3
Дж
/(
кмоль
·
К
)).
В
соответствии
с
законом Дальтона
сумма
парциальных
давлений
компонентов
газовой
смеси
равна
полному
давлению
смеси
:
∑
=
=+++=
n
i
in
ppppP
1
21
...
,
Па
, (1.2)
Влажный
воздух
можно
условно
рассматривать
как
бинарную
смесь
,
которая
состоит
из
водя
-
ного
пара
и
условно
однородного
газа
–
сухой
части
воздуха
,
молекулярная
масса
которого
со
-
ставляет
*
i
µ
= 29
кг
/
кмоль
.
Тогда
барометрическое
давление
,
под
которым
находится
влажный
ат
-
мосферный
воздух
,
будет
равно
сумме
парциальных
давлений
сухого
воздуха
p
св
и
водяного
пара
p
пар
,
т
.
е
.:
парсвб
ppP +=
,
Па
. (1.3)
Плотность
ρ
характеризует
отношение
массы
воздушнопаровой
смеси
m
к
ее
объему
V:
Vm/
=
ρ
,
кг
/
м
3
. (1.4)
Плотность
в
произвольной
точке
воздушного
пространства
является
функцией
давления
и
тем
-
пературы
,
т
.
е
.:
),( Tpf
=
ρ
.
АЭРОДИНАМИКА ВЕНТИЛЯЦИИ. Конспект лекций. Часть 1.
4
ДонНАСА Кафедра ТТГВ. Маркин А.Н.
Связь
между
плотностью
,
давлением
и
абсолютной
температурой
для
i-
го
компонента
газовой
смеси
характеризуется
уравнением
Клапейрона
-
Менделеева
:
TR
p
i
i
⋅=
ρ
, (1.5)
где
: p
i
–
парциальное
давление
i-
го
компонента
газовой
смеси
,
Па
;
*
/
iii
RR
µ
= –
газовая
постоянная
i-
го
компонента
газовой
смеси
, (R
св
= 287
Дж
/(
кг
·
К
)
для
су
-
хого
воздуха
при
Т
= 293
К
).
Связь
между
плотностью
,
абсолютной
температурой
и
давлением
выражается
уравнением
:
21
12
1
2
Tp
Tp
⋅
⋅
=
ρ
ρ
. (1.6)
В
мировой
практике
принято
все
результаты
аэродинамических
исследований
приводить
к
нормальным условиям
(
барометрическое
давление
Р
бн
= 101,325
кПа
,
температура
Т
н
= 273
К
)
или
к
стандартным условиям
(
Р
б ст
= 101,325
кПа
,
температура
Т
ст
= 293
К
)
при
относительной
влажности
воздуха
φ
= 50%
и
R
св
= 287
Дж
/(
кг
·
К
).
Для
стандартных
условий
плотность
воздуха
равна
ρ
= 1,2
кг
/
м
3
.
В
воздушном
потоке
вследствие
действия
сил
внутреннего
трения
возникает
сопротивление
,
которое
называют
вязкостью
воздуха
.
Коэффициент абсолютной вязкости
газа
η
–
это
количественная
характеристика
усилий
сдви
-
га
,
которые
возникают
в
подвижной
среде
на
единице
поверхности
раздела
двух
слоев
,
если
уменьшение
скорости
на
единице
длины
по
нормали
к
этой
поверхности
равно
единице
.
Коэффициент динамической вязкости
газа
µ
–
это
произведение
коэффициента
абсолютной
вязкости
на
ускорение
силы
тяжести
:
g
⋅
=
η
µ
,
Па
/
с
. (1.7)
При
t = 20º
С
величина
µ
в 20
= 1,85·10
-5
Па
·
с
.
Коэффициент кинематической вязкости
ν
зависит
от
динамической
вязкости
и
плотности
га
-
за
и
характеризует
ускорение
частиц
,
вызванное
силами
вязкости
,
и
определяется
по
формуле
:
ρ
µ
ν
/
=
,
м
2
/
с
. (1.8)
Значения
коэффициента
кинематической
вязкости
для
воздуха
других
газов
при
различных
тем
-
пературах
и
давлениях
приводятся
в
справочной
литературе
.
Основные
понятия
и
определения
аэродинамики
Гидроаэромеханика
является
механикой
жидкой
и
газообразной
среды
,
т
.
е
исследует
среду
с
очень
слабыми
связями
между
молекулами
.
Эти
слабые
связи
позволяют
молекулам
жидкостей
и
особенно
газов
перемещаться
в
любом
направлении
,
что
вызывает
беспорядочное
молекулярное
движение
.
Во
избежание
этих
трудностей
Д
’
Аламбер
и
Эйлер
предложили
в
гидроаэромеханике
отказать
-
ся
от
рассмотрения
молекулярного
строения
вещества
,
а
изучать
жидкости
и
газы
,
не
принимая
во
внимание
отдельные
молекулы
и
имеющиеся
между
ними
пустоты
и
считая
эти
среды
сплошны
-
ми
,
непрерывно
заполняющими
пространство
.
Это
допущение
носит
название
постулата о
сплошности
жидкой
и
газообразной
среды
.
Благодаря
этому
допущению
все
механические
характеристики
жидкостей
и
газов
(
давление
,
скорость
и
др
.)
можно
рассматривать
как
непрерывные
функции
координат
точки
и
времени
и
при
решении
различных
задач
гидроаэромеханики
широко
использовать
математический
анализ
.
Од
-
нако
для
объяснения
отдельных
явлений
в
гидроаэромеханике
прибегают
к
рассмотрению
молеку
-
лярного
строения
среды
и
кинетической
теории
газов
.
Движение
жидкости
и
газа
может
быть
установившимся
и
неустановившимся
.
При
неуста
-
новившемся
движении
плотность
,
давление
,
скорость
и
прочие
механические
характеристики
в
каждой
точке
потока
с
течением
времени
изменяются
.
В
случае
установившегося
движения
все
эти
характеристики
в
каждой
точке
потока
остаются
неизменными
во
времени
.
АЭРОДИНАМИКА ВЕНТИЛЯЦИИ. Конспект лекций. Часть 1.
5
ДонНАСА Кафедра ТТГВ. Маркин А.Н.
Примерами
неустановившегося
и
установившегося
движения
могут
служить
процессы
истече
-
ния
жидкости
из
сосуда
соответственно
при
переменном
и
постоянном
уровне
жидкости
в
нем
.
В
дальнейшем
,
как
правило
,
будут
рассматриваться
установившиеся
движения
.
Гидроаэромеханика
при
изучении
движения
различает
два
режима
течений
:
ламинарный
и
турбулентный
.
Ламинарное
режим
характеризуется
тем
,
что
отдельные
струйки
не
смешиваются
между
собой
.
Турбулентное
течение
характеризуется
пульсациями
,
вследствие
которых
происходит
переме
-
шивание
отдельных
струек
,
а
скорости
и
давления
в
каждой
точке
жидкости
или
газа
изменяются
с
течением
времени
.
Поэтому
в
целях
облегчения
исследования
мгновенные
истинные
скорости
и
давления
подменяют
их
осредненными
по
времени
значениями
.
В
жидкостях
и
газах
могут
действовать
разнообразные
силы
.
В
зависимости
от
того
,
как
они
приложены
к
выделенному
объему
жидкости
или
газа
,
их
разделяют
на
объемные
(
массовые
)
и
поверхностные
.
Объемные силы
приложены
к
любой
частице
данного
объема
.
К
ним
относятся
силы
тяжести
и
инерции
.
Поверхностные силы
приложены
только
к
частицам
,
лежащим
на
поверхности
данного
объе
-
ма
.
К
ним
относятся
силы
давления
и
трения
.
При
этом
сила
давления
всегда
направлена
нормаль
-
но
к
поверхности
,
а
сила
трения
–
по
касательной
к
ней
.
Вследствие
большой
подвижности
частиц
силы
являются
рассредоточенными
(
распределенны
-
ми
).
Для
количественной
характеристики
сил
используют
понятие
«
напряжение
силы
».
Напряжением
объемной
силы
называется
сила
,
приходящаяся
на
единицу
объема
.
В
частном
случае
,
когда
рассматривается
сила
тяжести
,
напряжением
является
объемный
вес
.
Напряжением
поверхностной
силы
называется
сила
,
приходящаяся
на
единицу
поверхности
.
Напряжением
силы
давления
является
давление
,
напряжением
силы
трения
–
касательное на-
пряжение
.
Необходимо
отметить
,
что
касательное
напряжение
проявляется
только
при
движении
жидкостей
и
газов
.
Величина
его
по
сравнению
с
величиной
давления
весьма
мала
.
В
гидроаэромеханике
для
упрощения
решения
задач
часто
пренебрегают
силами
вязкости
.
Жидкость
или
газ
,
не
имеющие
вязкости
,
принято
называть
идеальной жидкостью
или
идеаль-
ным газом
.
Для
описания
движения
вводятся
понятия
траектории
частицы
и
струйки
.
Траектория частицы
–
линия
,
по
которой
происходит
перемещение
частицы
последовательно
во
времени
.
Струйка
–
часть
жидкости
или
газа
,
ограниченная
поверхностью
,
образованной
совокупностью
траекторий
частиц
,
проходящих
через
точки
достаточно
малого
замкнутого
контура
,
например
, a-
b-c-d-e (
рисунок
1.1).
Сама
поверхность
носит
название
боковой
поверхности
струйки
.
Необходи
-
мо
отметить
,
что
боковая
поверхность
струйки
принимается
для
жидкости
и
газа
непроницаемой
.
Поверхность
,
перпендикулярная
всем
траекториям
частиц
в
струйке
,
называется
поперечным
или
живым сечением
струйки
.
Различают
струйки
элементарные
и
ко
-
нечного
поперечного
сечения
.
Под
элементарной струйкой
понимают
бесконечно
тонкую
струйку
,
по
поперечно
-
му
сечению
которой
объемный
вес
,
плот
-
ность
и
скорость
крайне
мало
меняются
и
могут
быть
приняты
постоянными
.
В
струй
-
ке
конечного
поперечного
сечения
,
как
пра
-
вило
,
эти
величины
переменны
по
попереч
-
ному
сечению
струйки
.
Количество
жидкости
или
газа
,
протекающее
через
поперечное
сечение
струйки
в
единицу
вре
-
мени
,
называется
расходом
.
a
b
c
d
e
Рис
. 1.1 –
Замкнутый
контур
и
проходящая
через
него
струйка
АЭРОДИНАМИКА ВЕНТИЛЯЦИИ. Конспект лекций. Часть 1.
6
ДонНАСА Кафедра ТТГВ. Маркин А.Н.
Различают
расход
весовой
(
Н
/
с
),
массовый
(
кг
/
с
)
и
объемный
(
м
3
/
с
).
Уравнение
расхода
Выделим
в
движущейся
жидкости
струйку
(
рисунок
1.2).
Проведя
два
поперечных
сечения
1-1
и
2-2,
рассмотрим
объем
жидкости
в
струйке
,
заключенной
между
этими
сечениями
.
За
время
∆
t
объем
на
участке
1, 2
переместится
в
новое
положение
1', 2'.
Согласно
закону
со
-
хранения
вещества
,
масса
рассматриваемого
объема
струйки
на
этих
участках
должна
быть
одина
-
ковой
:
''
2,1
2,1
ММ =
,
или
''''
2,22,12,11,1
ММММ ∆+=+∆
.
При
установившемся
движении
масса
'
2,1
М
до
перемещения
будет
равна
массе
2,1
'
М
после
пе
-
ремещения
.
Отсюда
:
''
2,21,1
ММ ∆=∆
.
Масса
объема
на
участке
1, 1'
равна
:
111
1,1
'
lFМ ∆=∆
ρ
,
где
:
ρ
1
–
плотность
жидкости
;
F
1
–
площадь
поперечного
сечения
1-1;
∆
l
1
–
длина
участка
струйки
1, 1'.
Пусть
скорости
жидкости
в
каждом
сечении
одинаковы
,
тогда
расстояние
между
сечениями
1-1
и
1', 1'
будет
рав
-
но
произведению
скорости
на
время
:
tvl ∆=∆
11
и
,
следователь
-
но
,
tvFМ ∆=∆
111
1,1
'
ρ
.
Аналогично
получаем
,
что
масса
объема
на
участке
2, 2'
равна
:
tvFМ ∆=∆
222
2,2
'
ρ
.
Приравнивая
полученные
значения
масс
между
собой
,
и
сокращая
на
∆
t,
получим
уравнение массового расхо-
да
:
222111
vFvF
ρρ
=
. (1.9)
Таким
образом
,
массовый
расход
вдоль
струйки
сохраняется
постоянным
.
Если
же
плотности
и
скорости
жидкости
в
каждом
поперечном
сечении
не
постоянны
,
то
разде
-
лим
струйку
на
ряд
элементарных
струек
.
Массовый
расход
вдоль
каждой
элементарной
струйки
(
см
.
формулу
(1-9))
будет
постоянен
:
222111
dfvdfv
ρρ
=
,
где
: df –
площадь
поперечного
сечения
элементарной
струйки
.
Массовый
расход
всех
элементарный
струек
также
будет
постоянным
:
∫∫
=
21
222111
FF
dfvdfv
ρρ
.
Применяя
известную
в
математике
теорему
о
среднем
,
получим
уравнение
массового
расхода
в
ином
виде
:
(
)
(
)
222111
FvFv
срср
ρρ
=
,
где
:
ρ
v –
массовая
скорость
.
1
1'
2
2'
2'
2
1'
1
F
1
F
2
∆
l
1
∆
l
2
Рис
. 1.2 –
К
выводу
уравнения
расхода
АЭРОДИНАМИКА ВЕНТИЛЯЦИИ. Конспект лекций. Часть 1.
7
ДонНАСА Кафедра ТТГВ. Маркин А.Н.
Если
в
поперечном
сечении
струйки
плотность
жидкости
не
изменяется
,
то
уравнение
массово
-
го
расхода
упрощается
:
срср
vFvF
222111
ρρ
=
. (1.10)
В
частном
случае
,
когда
плотность
вдоль
струйки
является
постоянной
величиной
(
ρ
1
=
ρ
2
),
уравнения
массового
расхода
упрощаются
и
принимают
вид
уравнений
объемного
расхода
:
2211
vFvF =
, (1.11)
срср
vFvF
2211
=
. (1.12)
Отсюда
следует
,
что
объемный
расход
вдоль
струйки
остается
постоянным
.
Иногда
удобно
пользоваться
уравнением
объемного
расхода
,
содержащего
осевую
скорость
.
Такое
уравнение
может
быть
получено
,
если
среднюю
по
площади
скорость
заменить
осевой
ско
-
ростью
в
соответствии
с
равенством
:
осср
kvv =
,
где
: k –
коэффициент поля скоростей
.
Тогда
получим
:
осос
vFkvFk
222111
=
. (1.13)
При
этом
коэффициент
поля
скоростей
определяется
следующим
образом
:
∫∫
===
1
0
1
fdvvdf
Fvv
v
k
F
осос
ср
,
где
ос
vvv /
=
и
Fdffd /
=
. (1.14)
Уравнение
количества
движения
Выделим
в
движущейся
жидкости
струйку
(
рисунок
1.3).
Проведя
два
поперечных
сечения
1-1
и
2-2,
рассмотрим
объем
жидкости
в
струйке
,
заключенной
между
этими
сечениями
.
За
время
∆
t
объем
на
участке
1, 2
переместится
в
новое
положение
1', 2'.
Применим
к
выделен
-
ному
объему
уравнение
импульса
сил
в
таком
же
виде
,
как
оно
формулируется
в
механике
твердо
-
го
тела
:
импульс
результирующей
силы
равен
геометрической
разности
количеств
движения
.
Рис
. 1.3 –
К
выводу
уравнения
количества
движения
Обозначим
равнодействующую
всех
сил
,
приложенных
к
рассматриваемому
объему
,
через
R,
а
количество
движения
через
К
,
можем
написать
уравнение
в
векторном
виде
:
2,1
2,1
''
KKtR
r
r
r
−=∆
,
где
:
''
2,1
2,1
,
KK
r
r
–
соответственно
количество
движения
в
объемах
на
участках
1,2
и
1',2'.
1
1
1'
1'
2
2
2'
2'
v
1
v
2
θ
1
θ
2
n n
АЭРОДИНАМИКА ВЕНТИЛЯЦИИ. Конспект лекций. Часть 1.
8
ДонНАСА Кафедра ТТГВ. Маркин А.Н.
При
установившемся
движении
количество
движения
в
объеме
на
участке
1',2
во
времени
по
-
стоянно
,
и
поэтому
справедливо
'''
1,12,2
KKtR
r
r
r
−=∆
.
Количество
движения
в
объеме
на
участках
2,2'
и
1,1'
соответственно
равно
:
1
1,11,1
2
2,22,2
''''
,
v
М
Kv
М
K
r
r
r
r
∆=∆=
.
Подставляя
эти
количества
движения
в
уравнение
импульса
сил
,
получим
следующее
уравне
-
ние
количества
движения
:
1
1,1
2
2,2
''
v
М
v
М
tR
r
r
r
∆−∆=∆
.
Запишем
полученное
уравнение
в
проекциях
на
произвольную
ось
n-n.
Проекцию
равнодейст
-
вующей
обозначим
R
n
,
а
проекции
скоростей
определятся
как
vcos
θ
(
θ
–
угол
между
линией
n-n
и
направлением
скорости
),
тогда
получим
:
11
1,1
22
2,2
coscos
''
θθ
v
М
v
М
tR
n
∆−∆=∆
.
Подставляя
в
это
выражение
tvF
М
∆=∆
222
2,2
'
ρ
и
tvF
М
∆=∆
111
1,1
'
ρ
и
сокращая
на
∆
t,
получим
уравнение
количества
движения
:
1
2
1112
2
222
coscos
θρθρ
vFvFR
n
−=
. (1.15)
Если
скорости
в
каждом
поперечном
сечении
струйки
не
одинаковы
,
то
,
разделив
ее
на
элемен
-
тарные
струйки
,
можно
применить
к
каждой
из
них
уравнение
количества
движения
(1.15):
11
2
1122
2
22
coscos
dfvdfvdR
n
θρθρ
−=
.
Проинтегрировав
это
уравнение
(
полагая
,
что
в
каждом
сечении
ρ
и
θ
неизменны
),
получим
:
∫∫
−=
12
1
2
1112
2
222
coscos
FF
n
dfvdfvR
θρθρ
.
Применяя
теорему
о
среднем
,
будем
иметь
:
(
)
(
)
1
2
1112
2
222
coscos
θρθρ
срср
n
vFvFR
−=
.
Заменим
здесь
среднюю
величину
квадрата
скорости
на
квадрат
средней
(
по
площади
)
скоро
-
сти
:
(
)
22
ср
ср
vv ⋅=
β
.
где
:
β
–
коэффициент Буссинеска
.
Тогда
окончательно
получим
уравнение
количества
движения
:
1
2
11112
2
2222
coscos
θρβθρβ
срср
n
vFvFR −=
. (1.16)
Коэффициент
Буссинеска
определяется
из
выражения
:
(
)
∫∫
===
1
0
2
2
2
222
2
11
fdv
k
dfv
Fvkv
v
F
осср
ср
β
,
где
ос
vvv /
=
и
Fdffd /
=
. (1.17)
Коэффициент
β
≥
1,
причем
β
= 1
при
равномерном
поле
скоростей
.
Уравнение
неразрывности
Рассмотрим
в
жидкости
некоторый
объем
∆
W,
имеющий
массу
∆М
.
Согласно
основному
закону
физики
–
закону
сохранения
вещества
–
масса
этого
объема
не
будет
изменяться
с
течением
вре
-
мени
t,
т
.
е
.:
(
)
0=
∆
dt
Md
. (1.18)
В
частном
случае
,
когда
плотность
постоянна
,
АЭРОДИНАМИКА ВЕНТИЛЯЦИИ. Конспект лекций. Часть 1.
9
ДонНАСА Кафедра ТТГВ. Маркин А.Н.
(
)
0=
∆
dt
Wd
. (1.19)
Из
равенства
(1.19)
следует
,
что
объем
жидкости
при
всевозможных
деформациях
,
сопровож
-
дающих
ее
движение
,
остается
неизменным
,
т
.
е
.
остается
заполненным
сплошь
,
без
образования
пустот
и
разрывов
между
отдельными
ее
частицами
.
Отсюда
и
происходит
название
–
уравнение
неразрывности
.
Выделим
в
движущейся
среде
некоторую
точку
А
с
координатами
x, y, z.
Пусть
в
этой
точке
проекции
скорости
равны
v
x
, v
y
, v
z
.
Затем
около
точки
А
построим
весьма
малый
объем
∆
W.
С
этой
целью
дадим
координатам
точки
А
элементарные
приращения
∆
x,
∆
y,
∆
z.
Проводя
затем
через
крайние
точки
этих
отрезков
координатные
плоскости
,
выделим
элементарный
объем
в
виде
пря
-
моугольного
параллелепипеда
(
рисунок
1.4).
Рис
. 1.4 –
Элементарный
параллелепипед
с
различными
скоростями
на
гранях
Учитывая
,
что
в
разных
точках
параллелепипеда
имеются
различные
скорости
,
примем
,
что
скорость
в
конце
ребра
длиной
∆
x
будет
равна
(v
x
+
∆
v
x
),
в
конце
ребра
длиной
∆
y – (v
y
+
∆
v
y
),
в
конце
ребра
длиной
∆
z – (v
z
+
∆
v
z
).
Вследствие
различных
скоростей
в
начале
и
конце
каждого
упомянутого
ребра
последние
за
промежуток
времени
dt
получат
приращения
,
а
именно
:
ребро
длиной
∆
x
превратится
в
ребро
дли
-
ной
(
∆
x +
∆
v
x
dt),
ребро
длиной
∆
y –
в
ребро
длиной
(
∆
y +
∆
v
y
dt),
ребро
длиной
∆
z –
в
ребро
длиной
(
∆
z +
∆
v
z
dt).
Ввиду
весьма
малого
объема
параллелепипеда
можно
принять
,
что
во
всех
точках
каждой
грани
нормальная
к
ней
проекция
скорости
одинакова
.
Поэтому
приращение
объема
параллелепипеда
за
тот
же
промежуток
времени
dt
составит
:
(
)
(
)
(
)
(
)
zyxdtvzdtvydtvxWd
zyx
∆∆∆−∆+∆∆+∆∆+∆=∆
.
Произведя
преобразования
и
пренебрегая
бесконечно
малыми
величинами
высших
порядков
,
получим
:
(
)
dtyxvdtzxvdtzyvWd
zyx
∆∆∆+∆∆∆+∆∆∆=∆
.
Разделив
обе
части
этого
равенства
на
dtzyx
∆
∆
∆
,
а
затем
стягивая
выделенный
объем
к
точке
А
,
в
пределе
получим
уравнение неразрывности
в
следующем
виде
:
0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
v
y
v
x
v
z
y
x
. (1.20)
А
v
х
v
х
+
∆
v
х
v
z
v
z
+
∆
v
z
v
y
v
y
+
∆
v
y
∆
y
∆
z
∆
x
x
y
z
АЭРОДИНАМИКА ВЕНТИЛЯЦИИ. Конспект лекций. Часть 1.
10
ДонНАСА Кафедра ТТГВ. Маркин А.Н.
Лекция 2 – Уравнения аэродинамики.
[1,
с
.10-16, 21-25; 2,
с
.40-66]
Уравнение
Бернулли
Уравнения
движения
(
Эйлера
,
Навье
-
Стокса
)
Уравнения
равновесия
несжимаемого
газа
в
состоянии
покоя
Уравнения
равновесия
сжимаемого
газа
в
состоянии
покоя
Уравнение
Бернулли
Выделим
в
движущейся
жидкости
струйку
(
рисунок
2.1).
Проведя
два
поперечных
сечения
1-1
и
2-2
на
бесконечно
малом
расстоянии
друг
от
друга
,
рассмотрим
объем
жидкости
в
струйке
,
за
-
ключенной
между
этими
сечениями
.
Рис
. 2.1 –
К
выводу
уравнения
Бернулли
Применим
к
выделенному
объему
на
участке
1,2
закон
сохранения
энергии
,
сформулированный
следующим
образом
:
количество
тепла
,
сообщенное
выделенному
объему
за
некоторый
промежу
-
ток
времени
,
сложенное
с
работой
,
которую
произвели
за
то
же
время
приложенные
к
объему
си
-
лы
,
равно
изменению
энергии
выделенного
объема
за
это
время
.
Пусть
за
время
∆
t
объем
на
участке
1,2
переместится
в
новое
положение
1',2'.
Количество
тепла
,
сообщенное
объему
за
время
∆
t,
определяется
из
выражения
:
dqMdQ
∆
=
,
где
:
constMMM =∆=∆=∆
′′
2,21,1
;
dq –
величина
приращения
тепла
,
приходящаяся
на
единицу
массы
жидкости
.
Работа
сил
сложится
из
работы
поверхностных
и
объемных
сил
.
Работа
нормальных
поверхностных
сил
,
приложенных
к
объему
на
участке
1,2,
будет
склады
-
ваться
из
работы
сил
давления
,
приложенных
к
обоим
торцам
данного
объема
,
так
как
работа
нор
-
мальных
сил
,
приложенных
к
боковой
поверхности
струйки
,
равны
нулю
(
нормальные
силы
,
при
-
ложенные
к
боковой
поверхности
струйки
,
перпендикулярны
направлению
перемещения
частиц
).
Обозначим
давление
в
сечении
1-1
через
р
,
а
в
сечении
2-2 –
через
p+dp.
При
этом
давление
p+dp
будет
направлено
в
сторону
,
противоположную
направлению
потока
.
Обозначим
также
объ
-
ем
на
участке
1,1'
через
∆
W,
а
объем
на
участке
2,2'
через
∆
W+d
∆
W.
Работа
нормальных
поверхностных
сил
без
учета
бесконечно
малых
величин
второго
порядка
будет
равна
:
(
)
(
)
(
)
WpdWpdWdpWdWdppWp ∆−=∆−∆−=∆+∆+−∆
.
Работа
касательных
поверхностных
сил
,
т
.
е
.
работа
сил
трения
определяется
из
тех
же
сообра
-
жений
,
как
и
ранее
найденное
количество
тепла
.
Работа
касательных
поверхностных
сил
будет
равна
: -g
∆
Mdh,
где
dh –
потери
энергии
на
трение
,
приходящиеся
на
единицу
веса
жидкости
.
Знак
1
1
1'
1'
2
2
2'
2'
v
v+dv
p
p+dp
dS