Кузюрин Н.Н. Фомин С.А. Эффективные алгоритмы и сложность вычислений
Подождите немного. Документ загружается.
4.4. Вероятностное округление 181
y
i
— принадлежность вершины части разреза:
v
i
∈ S → y
i
= 1, v
i
∈ T → y
i
= −1.
Ребро (v
i
, v
j
) ∈ (S, T ) ⇔ y
i
y
j
= −1.
R(S, T ) — Вес разреза (S, T ). R(S, T ) =
P
i<j
1−y
i
y
j
2
w
ij
.
Задача целочисленного квадратичного программирования:
Z
ЦП
=
X
i<j
1 − y
i
y
j
2
w
ij
→ max
∀i y
i
∈ {−1, 1}.
Видно, что постановка задачи 24 «MAX-CUT(ЦП)» внешне
похожа на задачу 22 «VP», однако целочисленные ограничения
в задаче 24 «MAX-CUT(ЦП)» делают ее существенно слож-
нее для решения. Рассмотрим следующую релаксацию зада-
чи 24 «MAX-CUT(ЦП)».
Задача 25. «MAX-CUT(VP)»
Z
V P
=
X
i<j
1 − v
i
· v
j
2
w
ij
→ max
∀i v
i
· v
i
= 1,
∀i v
i
∈ R
n
.
Эту задачу мы уже можем решать эффективно (см. выше),
осталось разобраться, можно ли использовать решение зада-
чи 25 «MAX-CUT(VP)» для нахождения решения (возможно
приближенного) задачи 24 «MAX-CUT(ЦП)».
Сначала заметим, что для оптимумов задач 24 «MAX-
CUT(ЦП)» и 25 «MAX-CUT(VP)» выполняется
Z
∗
ЦП
≤ Z
∗
V P
.
182 Глава 4. Вероятностные алгоритмы и их анализ
Этот факт следует из того, что задача 25 «MAX-CUT(VP)»
содержит задачу 24 «MAX-CUT(ЦП)» как частный случай.
Используя полученное решение задачи 25 «MAX-CUT(VP)»
для вероятностного округления, получаем алгоритм 34 «SDP-
округление MAX-CUT» (концептуально аналогичный рассмот-
ренному ранее алгоритму 33 «вероятностный MAX-SAT»).
Нам понадобится небольшой технический факт.
Лемма 4.4.5.
min
0<θ≤π
2θ
π(1 − cos θ)
≥ 0.878.
Доказательство. Рассмотрим график нашей функции на раз-
личных интервалах (Рис. 4.5). Функция имеет сингулярности
в точках 0 и 2π, а на интервале (0; 2π) функция выпуклая и
имеет один минимум. Судя по построенным графикам, на ин-
тервале (0; 2π) функция не меньше 0.878.
Чтобы убедиться в этом, найдем минимум (по равенству
нулю производной) и вычислим значение функции в точке
минимума. Воспользуемся системой компьютерной алгебры
Maxima: возьмем производную и с помощью метода Ньютона
найдем ее единственный нуль в интересующем нас интервале.
< load("newton");
< y:2*x/%pi/(1-cos(x));
< x0:newton(diff(y,x),3);
> 2.331122370414422B0
< y(x0),numer;
> 0.87856720578485
Таким образом, можно даже утверждать, что
min
0<θ≤π
2θ
π(1 − cos θ)
> 0.8785672057848.
4.4. Вероятностное округление 183
Рис. 4.5. График функции
2θ
π(1−cos θ)
«зона» S
«зона» T
v
i
v
j
r
θ
ij
Рис. 4.6. Вектора в вероятностном округлении «MAX-CUT»
184 Глава 4. Вероятностные алгоритмы и их анализ
Алгоритм 34. «SDP-округление MAX-CUT»
Вход: Формулировка задачи 23 «MAX-CUT» в виде зада-
чи 24 «MAX-CUT(ЦП)»
(v
1
, . . . , v
n
) ← решения релаксации 25 «MAX-CUT(VP)»
случайно выбираем r из равномерного распределения векторов
единичной длины
S ← T ← ∅
for all i ∈ {1..n} do
if v
i
· r ≥ 0 then
S ← S ∪ {i}
else
T ← T ∪ {i}
end if
end for
Выход: (S,T) — приближенное решение (23).
Теперь оценим качество алгоритма.
Теорема 4.4.6. Пусть (S
∗
, T
∗
) — оптимальный разрез для за-
дачи 23 «MAX-CUT», тогда для математического ожидания
величины разреза (S
0
, T
0
), полученного вероятностным алго-
ритмом 34 «SDP-округление MAX-CUT», выполняется
E[R(S
0
, T
0
)] ≥ 0.878 · R(S
∗
, T
∗
).
Доказательство. Возьмем некоторые i и j и соответствующие
им векторы решения релаксации v
i
и v
j
. Затем оценим вероят-
ность того, что при вероятностном округлении соответствую-
щие вершины попадут в разные части разреза. Получим
P(y
i
6= y
j
) = P(y
i
y
j
= −1) =
θ
ij
π
,
где θ
ij
— угол между векторами v
i
и v
j
.
4.4. Вероятностное округление 185
Отсюда, используя определение математического ожида-
ния:
E
X
i<j
1 − y
i
y
j
2
w
ij
=
X
i<j
2 · P(y
i
6= y
j
)
2
w
ij
=
X
i<j
θ
ij
π
w
ij
.
С другой стороны, значение решения релаксации 25 «MAX-
CUT(VP)» тоже можно выразить через углы θ
ij
:
Z
V P
=
X
i<j
1 − v
i
· v
j
2
w
ij
=
X
i<j
1 − cos θ
ij
2
w
ij
.
Теперь оценим минимальное качество решения, используя
лемму 4.4.5:
E[R(S
0
, T
0
)]
R(S
∗
, T
∗
)
≥
E[R(S
0
, T
0
)]
Z
V P
=
=
P
i<j
θ
ij
π
w
ij
P
i<j
1−cos θ
ij
2
w
ij
≥ min
0<θ≤π
2θ
π(1 − cos θ)
≥ 0.878.
186 Глава 4. Вероятностные алгоритмы и их анализ
Рис. 4.7. Карта-памятка раздела 4.4.2
Глава 5
Методы дерандомизации
5.1. Метод условных вероятностей
Оказывается, в некоторых случаях вероятностные алгорит-
мы могут быть «дерандомизированы», т. е. конвертированы
в детерминированные алгоритмы. Один из общих методов,
позволяющих сделать это, называется методом условных ве-
роятностей.
Проблемы, связанные с дерандомизацией вероятностных
алгоритмов при построении хороших целочисленных решений,
в настоящее время находятся в центре внимания многих иссле-
дователей (см. [MR95]). После работы [Rag88], в которой ве-
роятностным методом было доказано существование хороших
целочисленных решений в задаче аппроксимации на решетке,
появилось много работ, в которых та же техника использова-
лась для других задач. Эта техника получила название метода
условных вероятностей.
При этом подходе эффективный детерминированный ал-
горитм нахождения искомого целочисленного вектора можно
построить путем аппроксимации исходной задачи некоторым
функционалом (обычно связанным с оценками вероятностей
некоторых событий), и затем использовать покоординатное по-
строение требуемого решения.
Опишем этот подход на примере следующей задачи: име-
188 Глава 5. Методы дерандомизации
ется величина X(x), где в булевом векторе x = (x
1
, . . . , x
n
)
компоненты являются независимыми случайными величинами,
причем P {x
i
= 1} = p
i
, P {x
i
= 0} = 1 − p
i
.
Так, в задаче 20 «MAX-SAT» X(x
1
, . . . , x
n
) равно числу
невыполненных скобок в КНФ при вероятностном округлении.
Требуется найти любой булев вектор ^x, для которого вы-
полнено неравенство
X(^x) ≤ E X. (5.1)
Обозначим через X(x| x
1
= d
1
, . . . , x
k
= d
k
) новую случай-
ную величину, которая получена из X фиксированием значе-
ний первых k булевых переменных.
Рассмотрим покомпонентную стратегию определения иско-
мого вектора ^x. Для определения его первой компоненты в
x = (x
1
, . . . , x
n
) вычисляем значения f
0
← E X(x| x
1
= 0)
и f
1
← E X(x| x
1
= 1). Если f
0
< f
1
, полагаем x
1
= 0, ина-
че полагаем x
1
= 1. При определенной таким образом первой
компоненте (обозначим ее d
1
) вычисляем значения функциона-
ла f
0
← E X(x| x
1
= d
1
, x
2
= 0) и f
1
← E X(x| x
1
= d
1
, x
2
= 1).
Если f
0
< f
1
, полагаем x
2
= 0, иначе полагаем x
2
= 1.
Фиксируем вторую координату (обозначая ее d
2
) и продол-
жаем описанный процесс до тех пор, пока не определится по-
следняя компонента решения (см. рис. 5.1).
Почему найденный вектор будет удовлетворять (5.1)?
Рассмотрим первый шаг алгоритма. Имеем
E X = P{x
1
= 1} E X(x| x
1
= 1)+P{x
1
= 0} E X(x| x
1
= 0) =
= p
1
E X(x| x
1
= 1) + (1 − p
1
) E X(x| x
1
= 0) ≥
≥ p
1
E X(x| x
1
= d
1
) + (1 − p
1
) E X(x| x
1
= d
1
) =
= (p
1
+ 1 − p
1
) E X(x| x
1
= d
1
) = E X(x| x
1
= d
1
).
Продолжая эту цепочку неравенств для каждого шага, по-
лучаем на последнем n-м шаге
5.1. Метод условных вероятностей 189
E X ≥ E X(x| x
1
= d
1
, . . . , x
n
= d
n
).
Но
E X(x| x
1
= d
1
, . . . , x
n
= d
n
) = X(d
1
, . . . , d
n
),
и для построенного вектора ^x = (d
1
, . . . , d
n
) выполнено нера-
венство (5.1).
x
1
= 0 x
1
= 1
x
3
= 1
x
2
= 1x
2
= 0
x
3
= 0
E X (x
1
= 0, x
2
= 1, x
3
= 0) = 1
E X (x
1
= 0, x
2
= 1) = 2.1
E X (x
1
= 0, x
2
= 1, x
3
= 1) = 4
E X (x
1
= 0) = 2.5 E X (x
1
= 1) = 6.4
E X = 4.78
E X (x
1
= 0, x
2
= 0) = 5.3
Рис. 5.1. Дерандомизация на основе минимизации оценок математического
ожидания
Как оценить число шагов описанной процедуры? На каж-
дой итерации вычисляются два условных математических ожи-
дания (f
0
и f
1
) и затем находится минимум этих величин. Если
это делается за время O(L), то при общем числе итераций n
получим оценку O(nL). Таким образом, изложенный общий
метод позволяет осуществлять «дерандомизацию», если у нас
есть эффективный алгоритм вычисления условных математи-
ческих ожиданий (или условных вероятностей).
Теперь используем описанный выше метод условных веро-
ятностей для задачи 20 «MAX-SAT».
190 Глава 5. Методы дерандомизации
Алгоритм 35. Дерандомизация вероятностного алгорит-
ма 33 «вероятностный MAX-SAT» по методу условных веро-
ятностей
Вход: Формулировка задачи 20 «MAX-SAT» в виде (4.1).
Выход: (x
1
, . . . , x
m
) — приближенное решение (4.1).
(p
1
, . . . , p
n
) ← решения линейной релаксации (4.2).
for all i ∈ {1..n} do
f
0
= E X(x| x
i
= 0) {Вычисляется через (5.4)}
f
1
= E X(x| x
i
= 1) { и (5.2)}
if f
0
< f
1
then
x
i
← 0
else
x
i
← 1
end if
end for
return x
Математическое ожидание X равно сумме вероятностей
невыполнения скобок:
E X =
m
X
j=1
P
j
, (5.2)
где вероятность невыполнения j-й дизъюнкции есть
P
j
= P
X
i∈C
+
j
x
i
+
X
i∈C
−
j
(1 − x
i
) = 0
.
Для полученного вектора (d
1
, . . . , d
n
) выполнено неравен-
ство
X(x
1
= d
1
, . . . , x
n
= d
n
) ≤ E X. (5.3)