Кузнецов О.Л., Никитин А.А., Черемисина Е.Н. Геоинформатика и геоинформационные системы
Подождите немного. Документ загружается.
ляют отношение правдоподобия (ОП) для конкурирующих гипотез исходя из
цены (силы) свидетельств (утверждений):
OП(H
1
/E)=P(E/ H
1
)/P(E/ H
0
) (8.3)
ОП определяется как вероятность события или утверждения (сви-
детельства) Е при условии заданной конкретной гипотезы Н
1
в дальней-
шем (Н), деленная на вероятность этого утверждения при условии лож-
ной гипотезы Н
0,
в дальнейшем (не Н). Если через р(Н) обозначим априор-
ную вероятность гипотезы при отсутствии любых свидетельств, а через р
(Н/Е) – апостериорную вероятность Н при наличии свидетельств Е, то,
согласно формуле Байеса,
Р(Н/Е) = P(Е/Н)p(Н)/Р(Е), (8.4)
Р(Е) = Р(Е/Н)р(Н) + Р(Е/не Н) р(не Н). (8.5)
В дальнейшем будем пользоваться обозначениями Р(Е/Н)=р
+
и
Р(Е/не Н) = р
-
, для которых формула (8.4) примет вид:
P(H/E)= р
+
р ⁄ [р
+
р
+
p
-
(1–p)]. (8.6)
В формуле Байеса отчетливо проявлены достоинства этого подхода.
Первоначальным значением для гипотезы Н была априорная вероятность
р=р(H), которая хранится в БЗ. Вычислив новую величину р(Н/Е), т. е. задав
конкретный вопрос о наличии у рассматриваемого образца горной породы
того или иного свойства, можно забыть первоначальную вероятность р(Н) и
воспользоваться значением р(Н/Е), как более правдоподобным. Причем ука-
занный процесс повторяется многократно для каждого свидетельства, уве-
личивая или уменьшая вероятность гипотезы Н по формуле (8.4) путем ис-
пользования новой априорной вероятности, получаемой из апостериорной
вероятности на предыдущем шаге.
Структуру байесовского подхода для вычисления коэффициентов
уверенности (коэффициентов определенности) тех утверждений, об истин-
ности которых можно судить при выполнении ряда факторов, имеющих
разную цену, можно представить в виде табл. 14. В первом столбце пере-
числяются правила – утверждения, знания об истинности или ложности ко-
торых влияют на коэффициент уверенности целевого утверждения (заклю-
чения, вывода), во втором и третьем столбах указываются соответственно
подтверждающие и опровергающие цены факторов, т. е. степень их влияния
на целевое утверждение.
При байесовском подходе коэффициенту уверенности целевого ут-
верждения (например, х – образец относится к ультраосновным породам)
сначала следует присвоить некоторое априорное значение. Это обстоятель-
ство является самым тонким моментом при использовании байесовского
подхода, поскольку истинное априорное значение неизвестно. С другой
стороны, чем больше накапливается свидетельств, тем менее важна оценка
априорных значений. Диапазон значений А
i
и В
i
в разных ЭС различный.
Так, в отечественной системе ЭКСПЕРТ абсолютное значение положитель-
ных и отрицательных весов 100, в ряде других ЭС диапазон значений весов
±5.
Таблица 14
Структура байесовского подхода
Отношение правдоподобия в ряде ЭС используют для уточнения шан-
сов в пользу рассматриваемой гипотезы, если становится известным, что
произошло событие Е.
Шансы о (Н) и вероятность р(Н) связаны между собой простыми соот-
ношениями:
Фактор Цена
(
вес) фактора
А
i
B
i
Е1; Правило (утверждение) 1 А
1
B
1
Е2; Правило (утверждение) 2 A
2
B
2
………………… ………… ……….
ЕМ; Правило (утверждение) М A
М
В
М
о(Н)=р(Н)/[1-р(Н)],
р(Н)=о(Н)/[1+о(н)].
Преобразование оценки "шансы против" (В) в оценку "шансы за"
также весьма просто; о=1/В. Байесовская схема уточнения может быть сведе-
на к выражению
о'(Н) = о(Н) ОП(Н/Е), (8.7)
где о(Н) – априорные шансы в пользу Н, а о' (Н) – результирующие апостери-
орные шансы, при условии наступления события Е. Однако в целом вероят-
ности по Байесу более предпочтительны, чем шансы, так как крайние значе-
ния шансов равны ±∞, что соответствует вероятностям 0 и 1.
При обратной цепочке рассуждений возникает проблема очередности
задания того или иного вопроса с целью поддержания свидетельства относи-
тельно выбранной гипотезы. Именно при этом оказываются важными оценки
свидетельств. Каждому элементу свидетельства приписывается цена, отра-
жающая его роль в процессе логического вывода, и в первую очередь зада-
ется тот вопрос, для которого цена оказывается наибольшей.
Цену свидетельства можно оценить выражением:
( ) ( )
∑
=
−=
n
i
неEHipEHipЦС
1
//
. (8.8)
ЦС вычисляется для каждого свидетельства Е как сумма макси-
мальных изменений вероятностей, которые могут произойти во всех n-
гипотезах и к которым это свидетельство приложимо, т. е. первым всегда
задается тот вопрос, у которого такая цена оказывается наибольшей. ЦС
вычисляется для каждого свидетельства Е из базы знаний. Затем ЭС на-
ходит максимальное значение ЦС и требует информацию для соответст-
вующего свидетельства. По мере уточнения апостериорной вероятности
р(Н
i
/Е) они приводят к непрерывному изменению цен свидетельств.
Например, если в ходе диалога какое-то конкретное множество
гипотез окажется почти полностью "уничтоженным", то будет мало
шансов, что их вероятности существенно изменятся. В то же время по мере
того, как ряд гипотез становится более вероятным, возрастают шансы их
свидетельств. В результате для таких свидетельств цены будут заданы с
большей вероятностью.
Дело выглядит таким образом, как будто система располагает опре-
деленной мерой "внимания", уделяемого в основном тем гипотезам, отно-
сительно которых имеются наибольшие шансы их прояснения в каждый
данный момент.
На практике главная задача состоит в выборе последовательности
задаваемых вопросов.
8.3. Примеры построения баз знаний и логического
вывода в ЭС
При разработке ЭС основные усилия направлены на две компоненты:
базу знаний и механизм логического вывода. БЗ – сумма человеческого опы-
та в некоторой, достаточно узкой области знаний и машина логического вы-
вода должна "думать" над БЗ.
Конкретная БЗ для диагностики заболеваний в медицине использует
две разновидности формата для данных. Рассмотрим их на примерах из гео-
логии.
В первом формате хранятся знания о конкретном объекте: название
объекта, априорная вероятность появления данного объекта, число при-
знаков, которые могут быть использованы как признаки этого объекта, ли-
бо как противоречащие этому объекту.
Первый элемент формата – название объекта, может включать назва-
ние минералов, горной породы, структуры, рудного тела, месторождения,
рудного поля и т.д.
Второй элемент – вероятности; при байесовском подходе – это апри-
орная вероятность данного объекта.
Третий элемент – число признаков, используемых для "диагностики"
конкретного объекта.
Далее составляются трехэлементные поля, так называемые ряды
троек, где первый элемент – порядковый номер признака; второй элемент –
вероятность того, что этот признак наблюдается для данного объекта р
+
; тре-
тий элемент – вероятность того, что этот же признак может наблюдаться при
отсутствии данного объекта р
-
, т.е. тройка (j, р
+
, р
-
). Второй тип данных отно-
сится к самим признакам: номер признака, название признака, вопрос кото-
рый следует задать в отношении данного признака. Здесь образуется всего
три поля: первым идет номер признака, т.е. тот номер, который используется
для ссылок на признаки в данном объекте, или первый элемент тройки. Вто-
рым является имя признака. В третьем поле содержится вопрос, который
можно задать при попытке определить, проявлен ли этот конкретный при-
знак у данного объекта. Все описанное и представляет базу знаний.
Рассмотрим конкретный пример формата данных в БЗ с учетом двух
позиций:
(1) название объекта, р, число применяемых признаков;
(2) номер признака, название признака, вопрос, который следует
задать.
Например: (ГРАНИТ – объект; 0,01; 2); (1; 1; 0,1); (2; 0,8; 0,2) и связан-
ные с этим объектом два следующих признака:
1) интрузивная порода; вопрос – имеет ли данная порода интрузив-
ное происхождение?
2) содержание кварца; вопрос – каково содержание кварца?
Пусть априорная вероятность того, что данная порода представляет
гранит, равна 0,01. С диагностикой гранита, как объекта, связано два при-
знака (правила). Это составляет содержание первой тройки: название объ-
екта, 0,01, 2.
Первый признак (правило 1 – Е
1
): наличие интрузива. Вероятность ин-
трузивного происхождения для гранита равна 1. Вероятность интрузивного
происхождения породы при отсутствии гранита равна 0,1, так как бывают
граниты метасоматического происхождения. Таким образом, содержание
второй тройки: 1; 1; 0,1.
Второй признак (правило 2 – Е
2
): содержание кварца 40%. Пусть ве-
роятность того, что в граните содержится 40% кварца, равна 0,8, а вероят-
ность того, что при отсутствии гранита содержание 40% кварца в породе рав-
на 0,2, т.е. содержание тройки: 2; 0,8; 0,2.
Вероятности р
+
и р
-
соответственно равны р(Е/Н) и р(Е/не Н), основы-
ваясь на них, вычисляют апостериорные вероятности по формуле (8.4) и
цены свидетельств при наличии нескольких гипотез по формуле (8.8), т.е.
р(Н/Е
1
) = 1 · 0,01/(1 · 0,01 + 0,1 · 0,99) = 0,1,
р(Н/Е
2
) = 0,8 · 0,01/(0,8· 0,01 + 0,2 · 0,99) = 0,05.
Соответственно:
р(Н/не Е
1
) = 0,001 и р(Н/не Е
2
) = 0,0025.
Более сложный пример построения БЗ по локализации оловорудных
проявлений Дальнего Востока в различных структурно-вещественных ком-
плексах приведен в табл.14.
В качестве геологических признаков Е
1
используются такие, как
многообразие пород и напряженность разрывной тектоники. Соответствую-
щий вопрос задается в форме: "Отмечается ли на данном участке, многообра-
зие пород и интенсивность разрывной тектоники?" В качестве геохимиче-
ских признаков Е
2
используется один – продуктивность ореолов олова, а со-
ответствующий этому признаку вопрос звучит как "Есть ли продуктивный
ореол олова?" Наконец, в качестве геофизических признаков Е
3
использу-
ются два: наличие гравитационной ступени и изменчивость магнитного по-
ля. Для упрощения примера два геологических и два геофизических призна-
ка объединены в один.
Априорные вероятности трех гипотез приняты равными 0,1. Услов-
ные вероятности р
+
= Р(Е/Н) и р
–
= Р(не Е/Н) для указанных признаков по
каждой гипотезе приведены в табл. 15.
Таблица 15
Пример базы знаний
Гипотезы
Признаки
Геологиче-
ские Е
1
Геохимические
Е
2
Геофизические
Е
3
j, р
+
, р
–
j, р
+
, р
–
j, р
+
, р
–
1.Наличие скрытых
оловорудных
проявлений 1; 0,6; 0,5 2; 0,8; 0,5 3; 0,7; 0,42.
2.Наличие вскрытого
оруденияолова(эродиро-
ванные месторождения) 1; 0,8; 0,1 2; 1; 0,2 3; 0,7; 0,4
3.Наличиерудных
месторождений другого
вида полезного
ископаемого 1; 0,3; 0,9 2; 0,2; 1,0 3; 0,2; 0,7
Апостериорные вероятности гипотез для Е
1
можно найти по формуле
Байеса:
р(Н
1
/Е
1
) =
1 11
1 1 1 2 1 2 33 1 3
( )( / )
0,1 0,6
0,35.
( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) 0,1 0,6 0,1 0,8 0,1 0,3
pH PE H
pH PE H pH PE H pH P E H
•
= =
+ + • +•+•
аналогично находим
р(Н
2
/Е
1
) = 0,47; р(Н
3
/Е
1
)= 0,18.
Соответственно по формуле Байеса находим:
р(Н
1
/ не Е
1
)= 0,47; р(Н
2
/не Е
1
) = 0,07; р(Н
3
/не Е
1
) = 0,6.
С учетом формулы (8.8) "цена" (свидетельства) геологических
признаков ЦСЕ
1
= 0,84.
Аналогично определяем апосториорные вероятности для геохимиче-
ских признаков Е
2
:
р(Н
1
/ Е
2
)=0,4; р(Н
2
/ Е
2
)=0,5 р(Нз/Ез) = 0,1
и р(Н
1
/не Е
2
)=0,3; р(Н
2
/не Е
2
) = 0,12; р(Н
3
/не Е
2
) = 0,6,
по которым находим "цену" (свидетельства) геохимических признаков:
ЦС Е
2
=0,98.
Наконец, для геофизических признаков Е
3
имеем:
Р(Н
1
/Ез) = 0,44; р(Н
2
/Е
3
)=0,44; р(Нз/Е
3
)=0,13;
р(Н
1
/не Е
3
) = 0,27; р(Н
2
/не Е
3
) = 0,27; р(Нз/не Е
3
) = 0,5; и их "цена" ЦС Е
3
= 0,7.
Рассмотренный пример показывает, что для различения гипотез
первым должен быть задан вопрос о наличии продуктивности ореола
олова с «ценой» ЦС Е
2
=0,98.
Другим результатом из байесовского подхода является получение
максимальной апостериорной вероятности для гипотезы Н
2
в предполо-
жении о независимости признаков. Действительно, для k-й гипотезы H
k
по
формуле Байеса имеем:
1 123
123
1 123 1 2 123 2 3 123 3
( )( / )
(/ )
( )( / ) ( )( / ) ( )( / )
k
k
pH PEEE H
pH EEE
pH PEEE H pH PEEE H pH PEEE H
=
++
.
Из условия независимости признаков Е
1
, Е
2
и Е
3
следует, что
P(E
1
E
2
E
3
/H
k
)=P(E
1
/ H
k
)P(E
2
/ H
k
)P(E
3
/ H
k
).
Тогда с учетом данных табл. 8.2 для гипотез Н
ь
Н
2
, Н
3
соответст-
венно получаем
P(E
1
E
2
E
3
/H
1
) = 0,6-0,8-0,7 = 0,336,
P(E
1
E
2
E
3
/H
2
) = 0,8-1,0 • 0,7 = 0,56,
P(E
1
E
2
E
3
/H
3
) = 0,3-0,2-0,2=0,012.
Отсюда апостериорные вероятности гипотез
P(H
1
/ E
1
E
2
E
3
) = 0,37;
P(H
2
/ E
1
E
2
E
3
) = 0,62,
P(H
3
/ E
1
E
2
E
3
)=0,013,
т.е. при наличии перечисленных в табл. 14 поисковых признаков резко
возрастают вероятности оловорудных проявлений: для вскрытого – в
6,2 раза, для скрытого – в 3,7 раза; в то же время при тех же поисковых
признаках падает вероятность наличия месторождений другого вида ми-
нерального сырья с 0,1 до 0,013.
При условии привлечения новых признаков (правил) в качестве
априорной вероятности в формуле Байеса можно будет использовать уже
полученные апостериорные вероятности гипотез: 0,37, 0,62 и 0,013, как об-
новленные значения р(Н
k
). Таким образом, весь описанный процесс можно
повторять неоднократно, увеличивая или уменьшая вероятности, но ка-
ждый раз обращаясь к одной и той же формуле Байеса, подставляя в нее
каждый раз новую априорную вероятность, получаемую из апостериор-
ной вероятности на предыдущем шаге.
Недостатки байесовского подхода сводятся к двум моментам: 1)
если в БЗ отсутствует признак, наиболее информативный для различе-
ния гипотез, то это приводит к искажению величин
Р(Е)=
∑
Р(E/H
k
)p·(H
k
);
2) необходимо иметь количественную информацию по каждой гипотезе и
по каждому признаку (правилу) в виде вероятностей. Хотя следует заме-
тить, что по мере того, как вероятности Р(Е/Н
k
) асимптотически прибли-
жаются к своим крайним значениям, точные цифры перестают быть важ-
ными при достижении нижнего порога для отбрасывания гипотезы Н
k
и
верхнего порога для принятия гипотезы Н
k
(см. рис. 8.2).
0,5
1,0
0
p(H /E
k
)
p /p
-
+
=
=
=
=
p(H/E)
=
p(H/R)
=
p(H)
=
p(H/ E
HE
)
=
а)
б)
Рис. 8.2 Учет неопределенности в ответе пользователя.
Учет неопределенности, заключенной в реакции пользователя, для
системы PROSPECTOR состоит в задании одиннадцатибалльной шкалы, на
которой +5 означает "да", –5 означает "нет", а 0 – "я не знаю"; все осталь-
ные варианты ответа располагаются в промежуточных точках шкалы (см.
рис. 8.2, б). В этом случае вычисления протекают практически так же, как
и ранее, но с заменой р(Н/Е) на р(Н/R), рассчитанную по формуле:
р(H/R) = p(H/E)P(E/R) + p(H/неE)P(неE/R),
где R представляет ответ пользователя по одиннадцатибалльной шкале.
Иначе, чтобы допустить неопределенность, система должна допус-
тить некоторую вероятность p(H/E) и некоторую вероятность p(H/неE),
значения которых зависят от той степени, в которой ответ пользователя
поддерживает или опровергает конкретный признак объекта.
Очевидно, что если ответ пользователя нулевой, то p(H/R)=p(H),
т.е. ничего не меняется, а при других ответах неопределенность оценива-
ется путем кусочно-линейной интерполяции между p(H/E) и p(H/неE).
Последовательность действий при работе с ЭС с рассмотренной
выше структурой БЗ следующая.
1. Для каждой гипотезы определяется априорная вероятность. Это мож-
но сделать путем просмотра БЗ и извлечения вероятности для ка-
ждой из гипотез р(Н
k
).
2. Для каждого свидетельства (признака) находится его цена, в прин-
ципе соответствующая его информативности. Для этого снова про-