Кузьмин Д.В. Моделирование динамики мехатронных систем. Уравнения и алгоритмы
Подождите немного. Документ загружается.
этих сил. Непосредственно по обобщенным координатам на механизм
действуют силы (моменты) Q
i
. Связи, наложенные на звенья механизма,
будем по-прежнему считать стационарными и идеальными.
Кинематическое состояние звена i в неподвижной системе отсчета
характеризуется векторами линейной скорости центра масс
i
r
и угловой
скорости
i
,
ni ,,2,1
. Так как звенья образуют кинематические пары,
эти векторы могут принимать лишь те величины и направления, которые
допускаются связями в кинематических парах. Соответственно, связный
граф рассматриваемой системы в обобщенной векторной форме будет
иметь вид (рис. 3.3).
На графе обозначены: Q
Л
– вектор сил, Q
У
– вектор моментов,
действующих по обобщенным координатам,
Л
q
- вектор линейных
обобщенных скоростей,
У
q
- вектор угловых обобщенных скоростей. Граф
показывает, что в формировании скоростей
i
r
участвуют скорости
линейных и угловых обобщенных координат, тогда как в формировании
скоростей
i
участвуют только угловые обобщенные скорости. Получим
уравнения, описывающие функциональные преобразователи угловых
обобщенных скоростей
k
q
,
sk ,,2,1
, в угловые скорости звеньев
i
,
41
л
q
1
Q
л
1
i
r
ii
rm
dt
d
F
i
у
q
1
Q
у
1
i
ii
J
dt
d
M
i
Рис. 3.3
звено i
звено i - 1
звено i
звено i - 1
1
2
1
2
ni ,,2,1
. Известно, что вектор угловой скорости звена
T
i
z
i
y
i
xi
определяется матрицей
0
0
0
1
ixiy
ixiz
iyiz
iii
AA
. (3.7)
Так как матрицы
i
A
ортогональные, то
T
ii
AA
1
и в соответствии с (3.7)
проекции угловых скоростей звеньев на оси неподвижной системы
координат будут иметь вид
iiiiii
ix
aaaaaa
233322322131
,
)(
133312321131
iiiiii
iy
aaaaaa
, (3.8)
iiiiii
iz
aaaaaa
132312221121
.
Учитывая, что
k
s
k
k
i
i
q
q
a
a
1
, из (3.8) получим
k
s
k
ikix
q
1
,
k
s
k
ikiy
q
1
,
k
s
k
ikiz
q
1
, (3.9)
где
i
k
i
ik
a
q
a
2
3
1
3
,
i
k
i
ik
a
q
a
1
3
1
3
,
i
k
i
ik
a
q
a
1
3
1
2
- функциональные
преобразователи. Равенства (3.9) дают структуру участка связного графа
системы, которая отображает динамику вращения звеньев вокруг их
центров масс (рис. 3.4). Применяя к узлам графа закон (2.2), получим
уравнения, описывающие динамику вращательных движений звеньев в
векторной форме [27, 28]
ii
n
i
ikk
MKQ
1
,
sk ,,2,1
, (3.10)
где
T
i
k
i
k
i
kik
,
T
i
z
i
y
i
xi
KKKK
;
iii
JK
- кинетические моменты
звеньев относительно их центров масс, Q
k
– составляющие моментов,
42
звено i
звено i - 1
звено i
звено i - 1
1
2
1
2
действующих по угловым обобщенным координатам, которые
обеспечивают вращение звеньев относительно их центров масс.
Векторы
i
K
вычисляются по формулам
iiiiii
JJK
,
T
iziyixi
, проекции угловых ускорений на оси неподвижной
системы координат
k
s
kl
l
l
ik
k
s
k
ikix
qq
q
q
,1
,
k
s
kl
l
l
ik
k
s
k
ikiy
qq
q
q
,1
,
(3.11)
k
s
kl
l
l
ik
k
s
k
ikiz
qq
q
q
,1
.
Таким образом, уравнения динамики рассматриваемой системы с
учетом поступательного движения звеньев будут иметь вид
43
k
q
1
Q
k
1
ix
1
iy
1
iz
ix
K
iy
K
iz
K
ix
M
iy
M
iz
M
ik
ik
ik
sis
q
sis
q
11
q
i
11
q
i
11
q
i
sis
q
Рис. 3.4
звено i
звено i - 1
звено i
звено i - 1
1
2
1
2
n
i
iiijiiiijj
MKFrmtQ
1
)(
,
mj ,,2,1
. (3.12)
Если
j
q
- линейное перемещение, то матрицы поворота
i
A
,
ni ,,2,1
, не
будут зависеть от
j
q
,
0
ij
и слагаемое (3.10) в уравнениях (3.12) будет
равно нулю. С точки зрения механики это означает, что инерция вращений
звеньев относительно их центров масс и главные моменты активных сил
M
i
не оказывают влияния на динамику приводов, управляющих движением
в поступательных кинематических парах. Равенство нулю (3.11) будет
иметь место и в том случае, когда J
i
= 0, M
i
= 0,
ni ,,2,1
, что
соответствует модели механизма с точечными массами звеньев.
Покажем, что уравнения (3.10) следуют из уравнений динамики
вращательных движений звеньев в форме Лагранжа. Кинетическая энергия
вращения звена относительно его центра масс
iziziyiyixixi
T
ii
KKKKT
5.05.0
с учетом (3.9) приводится к виду
ki
s
k
ikk
s
k
izikiyikixiki
qKqKKKT
11
5.05.0
. (3.13)
Дифференцируя (3.13) по
K
q
, получим
s
k
kikkiiikki
qqKKqT
1
5.0
.
Так как
ikikiiki
JqJqK
)(
и
ik
s
k
ik
q
1
, то
.)(
1
iikik
s
k
ikki
JqqK
Матрица J
i
– симметрическая:
i
T
i
JJ
,
следовательно,
ikiikiii
i
ki
KJJ
и
iikki
KqT
. Производная по
времени
iikiik
k
i
KK
q
T
dt
d
. (3.14)
Частная производная (3.13) по
k
q
:
44
звено i
звено i - 1
звено i
звено i - 1
1
2
1
2
s
k
s
k
kikikikkikki
qKqKqqqT
1 1
5.0
; с учетом
ikk
s
k
kik
qq
1
и
ikikiiki
JqJqK
, получим
iikki
KqT
. (3.15)
Элементарная работа сил внешней нагрузки на вращательном
перемещении звена:
s
k
kikiiii
dqMdtMdA
1
, следовательно
iikki
MqA
. (3.16)
Уравнения динамики вращательных движений звеньев в форме
Лагранжа
kkk
k
q
T
q
T
dt
d
q
A
Q
,
sk ,,2,1
, (3.17)
где
n
i
i
AA
1
,
n
i
i
TT
1
.
Просуммировав (3.14 – 3.16) по индексу « i » и подставив результаты
суммирования в (3.17), получим уравнения, идентичные (3.10):
ii
n
i
ikii
n
i
ik
n
i
iiikk
MKKKMKQ
111
,
sk ,,2,1
.
Таким образом, уравнения динамики вращательных движений
звеньев в обобщенных координатах, полученные методом связных графов,
имеют структуру, аналогичную структуре уравнений динамики системы с
сосредоточенными массами. Уравнения (3.12) позволяют организовать
поэтапное исследование динамики механизма. На первом этапе система
представляется в виде модели с сосредоточенными массами (J
i
= 0, M
i
= 0,
45
звено i
звено i - 1
звено i
звено i - 1
1
2
1
2
ni ,,2,1
); по результатам исследования ее динамики могут быть
приняты основные проектные решения. После конструкторской
проработки узлов и модулей, математическую модель можно уточнить,
добавив в уравнения, полученные на первом этапе, слагаемые, которые
учитывают динамическое влияние распределенных масс.
Задача
Получить уравнения динамики в обобщенных координатах для
манипулятора с двумя вращательными кинематическими парами (рис. 3.5).
Звенья манипулятора считать твердыми телами с равномерно
распределенной массой: m
1,2
– массы,
2,1
2,1
2,1
2,1
00
00
00
z
y
x
J
J
J
J
- моменты
инерции звеньев 1 и 2,
2
2,1
2,1
)121( LmJ
z
. Q
1,2
– моменты, действующие на
звенья со стороны привода. На рис. 14 обозначена Oxyz – неподвижная
система координат.
Решение
Положения центров масс и угловые положения звеньев 1 и 2
относительно неподвижной системы отсчета описываются уравнениями:
46
m
1
g
m
2
g
y
x
z
q
1
, Q
1
q
2
, Q
2
L
L
Рис. 3.5
O
звено i
звено i - 1
звено i
звено i - 1
1
2
1
2
T
S
L
C
L
r
0
22
111
,
T
S
L
LSC
L
LCr
0
22
1211212
, (3.18)
100
0
0
11
11
1
CS
SC
A
,
100
0
0
1212
1212
2
CS
SC
A
. (3.19)
Здесь и далее
2,12,1
sin qS
,
2,12,1
cos qC
,
)sin(
2112
qqS
,
)cos(
2112
qqC
.
Частные производные координат векторов r
1
, r
2
по обобщенным
координатам:
111
2
S
L
X
,
111
2
C
L
Y
,
12121
2
S
L
LSX
,
12121
2
C
L
LCY
,
1222
2
S
L
X
,
1222
2
C
L
Y
,
0
1212
YX
,
0
22211211
ZZZZ
. (3.20)
Проекции скоростей центров масс на оси системы координат O
0
x
0
y
0
z
0
:
111
2
qS
L
x
,
111
2
qC
L
y
,
21211212
2
)
2
( qS
L
qS
L
LSx
,
21211212
2
)
2
( qC
L
qC
L
LCy
,
0
21
zz
. (3.21)
Проекции ускорений:
2
11111
22
qC
L
qS
L
x
,
2
11111
22
qS
L
qC
L
y
,
0
21
zz
,
2
2122122112
2
112111212
22
)
2
()
2
( qC
L
qS
L
qqLCqC
L
LCqS
L
LSx
, (3.22)
2
2122122112
2
112111212
22
)
2
()
2
( qS
L
qC
L
qqLSqS
L
LSqC
L
LCy
.
Силы тяжести звеньев:
T
gmF
11
00
,
T
gmF
22
00
. (3.23)
47
звено i
звено i - 1
звено i
звено i - 1
1
2
1
2
Подставив (3.20 – 3.23) в уравнение (3.4) и выполнив алгебраические
преобразования, получим уравнения динамики манипулятора, не
учитывающие инерцию вращательных движений звеньев (модель с
точечными массами):
.
2
1
2
1
4
1
2
1
4
1
,
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
4
5
4
1
212
2
12
2
22
2
212
2
2
2
22
212111
2
22
2
2
212
2
222
2
2
2
212
2
2
2
2
2
11
gmCqSLmqLmqCLmLmQ
gmLCLCgmLCqSLm
qqSLmqCLmLmqCLmLmLmQ
(3.24)
Вычислим компоненты
2,1
Q
динамического влияния распределенных
масс звеньев. Из (3.19) в соответствии с равенствами (3.9) будем иметь:
T
100
221211
,
0
21
,
T
q
11
00
,
T
qq
212
00
,
T
q
11
00
,
T
qq
212
00
. (3.25)
Производные кинетических моментов звеньев по времени:
T
zz
qJqJJJK
1
12
1
1
111111
0
,
T
zz
qqJqqJJJK
21
2
2
21
2
222222
0
. (3.26)
Так как моменты сил нагрузки относительно центров масс звеньев равны
нулю, из (3.10) с учетом (3.25), (3.26) получим:
2
2
21
2
2
2
12
2
1
21
1
12
1
12
1
12
1
)( qLmqLmLmqJqJJQ
zzz
,
221
2
22
2
1
2
2
12
1
12
1
qmqLmqJqJQ
zz
. (3.27)
Окончательно, уравнения динамики рассматриваемого манипулятора в
соответствии с (3.12):
48
звено i
звено i - 1
звено i
звено i - 1
1
2
1
2
.
2
1
2
1
3
1
2
1
3
1
,
2
1
2
1
2
1
2
1
3
1
3
4
3
1
212
2
12
2
22
2
212
2
2
2
2222
212111
2
22
2
2212
2
2
22
2
2
2
212
2
2
2
2
2
1111
gmCqSLmqLmqCLmLmQQQ
gmLCLCgmLCqSLmqqSLm
qCLmLmqCLmLmLmQQQ
(3.28)
Результаты исследования математических моделей динамики (3.24) и
(3.28) при значениях параметров
кгm 10
1
,
кгm 5
2
,
мL 1
;
ttqtq 2sin215.0)0()(
2,12,1
,
радq 0)0(
2,1
,
c2
показали, что
наибольшие различия моментов
2,1
Q
и
2,1
Q
наблюдаются в моменты
времени
сt 5.0
и
сt 5.1
. В указанные моменты времени угловые
ускорения в кинематических парах манипулятора достигают
максимального значения 2.467 рад/c. При выборе модели (3.28) в качестве
эталонной, наибольшие расхождения составляют 3.253% для моментов
1
Q
,
1
Q
и 2.972% для моментов
2
Q
,
2
Q
[23]. Малые значения расхождений
моментов, установленные в ходе вычислительного эксперимента,
подтверждают обоснованность использования модели с точечными
массами на предварительных этапах исследования динамики
манипуляторов.
3.4. Уравнения динамики голономной системы с наличием
замкнутых кинематических контуров
Исполнительные механизмы управляемых машин различного
назначения, наряду с большим числом степеней подвижности, могут иметь
структуру с ветвлением кинематической цепи. Если при обходе звеньев
механизма не удается обойти все звенья одним путем, то есть, не пересекая
соединения дважды, или обход одних и тех же звеньев возможен разными
путями, то кинематическая цепь данного механизма имеет хотя бы одно
ветвление. В первом случае механизм будет иметь разомкнутые ветви и
структуру типа «дерево» (рис. 3.6, а), во втором – замкнутые ветви или
контуры (рис. 3.6, б).
Усложнение структуры механической системы неизбежно ведет к
известным трудностям ее математического описания при решении задач
динамики. Они обусловлены необходимостью учета структурных
49
звено i
звено i - 1
звено i
звено i - 1
1
2
1
2
особенностей системы, множественностью вариантов при назначении
обобщенных координат и определении действующих в системе связей, а
также ограничениями на применение эффективных в вычислительном
плане рекуррентных процедур.
Учет структурных особенностей механической системы при
автоматизации ее математического описания предполагает кодирование
параметров, описывающих структуру. Наиболее удобный алгоритм
кодирования структуры был предложен П.Б. Слиеде [5]. Данный алгоритм
основан на том, что каждому звену присваивается дополнительный
параметр - порядковый номер предыдущего звена, с которым данное звено
образует кинематическую пару. Таким образом, описание структуры типа
«дерево» не вызывает каких-либо затруднений.
Более сложной является задача назначения обобщенных координат в
разветвленной механической системе, имеющей замкнутые контуры.
Действительно, при замыкании ветвей образуются новые связи, и число
степеней свободы становится меньше, чем число подвижных звеньев
системы. Перемещения звеньев контура в соседних кинематических парах
становятся взаимозависимыми, причем любое из этих перемещений может
быть принято за обобщенную координату. При назначении обобщенных
координат предпочтение часто отдается относительным перемещениям
несущих звеньев исполнительного механизма, однако более удобным,
50
4
3
1
2
5
0
7
6
2
3
4
5
7
6
0
1
Рис. 3.6
а)
б)
звено i
звено i - 1
звено i
звено i - 1
1
2
1
2