Курсовой проект - Анализ и прогнозирование временного ряда валового регионального продукта
Подождите немного. Документ загружается.
1
1
1
1/
n
n
n
n
ii
Y
Y
ПТ
(1.11)
Для расчета среднего темпа приростаJ первоначально определяется
средний темп роста, который затем уменьшается на 100% - формула (1.12).
Его также можно определить, если уменьшить средний коэффициент роста
на единицу – формула (1.13).
%;100
РП
ТТ
(1.12)
%.100)1(
РП
КТ
(1.13)
Среднее абсолютное значение одного процента прироста
рассчитывается как отношение среднего абсолютного прироста к среднему
темпу прироста.
Расчет средних показателей ряда динами валового регионального
продукта производится на основании табл. 1.5 и табл. 1.6 и формул (1.9) –
(1.13). Все полученные в результате расчетов показатели представлены в
табл.1.7.
Таблица 1.7
Средние показатели изменения уровней ряда валового регионального
продукта и начисленной заработной платы по Тюменской области
за 1996-2005 гг.
Показатель
Средний
уровень
ряда
Средний
абсолютный
прирост
Средний
темп роста,
%
Средний
темп
прироста, %
Абсолютное
значение
одного
процента
прироста
Валовой
региональны
й продукт
220J893,4 12J757,9 105,5 5,5 2J319,6
Начислена
заработная
плата
2J508,7 148,2 105,6 5,6 26,5
На основании исчисленных показателей можно сделать выводы:
1) средний валовой региональный продукт по Тюменской области за
1996-2005 гг. составил 220J893,4 млрд. руб.;
2) в среднем валовой региональный продукт в Тюменской области
ежегодно увеличивался на 5,5 %, что составляет 12J757,9 млрд. руб.;
3) в среднем в одном проценте увеличения валового регионального
продукта содержится 2J319,6 млрд. руб.
12
4) средняя начисленная заработная плата по Тюменской области за
1996-2005 гг. составила – 2J508,7 тыс. руб.;
5) в среднем начисленная заработная плата в Тюменской области
ежегодно увеличивалась на 5,6%, что составляет 148,2 тыс. руб.;
6) в среднем в одном проценте увеличения начисленной заработной
платы содержится 26,5 тыс. руб.
2. ЭКОНОМИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ
РЯДОВ
2.1. Выявление и характеристика основной тенденции развития
13
В ходе обработки динамического ряда важнейшей задачей является
выявление основной тенденции развития явления (тренда) и сглаживание
случайных колебаний. Для решения этой задачи в статистике существуют
особые способы, которые называют методами выравнивания.
Выделяют три основных способа обработки динамического ряда:
а) укрупнение интервалов динамического ряда и расчет средних для
каждого укрупненного интервала;
б) метод скользящей средней;
в) аналитическое выравнивание (выравнивание по аналитическим
формулам).
1. Метод укрупнения интервалов.
Укрупнение интервалов - наиболее простой способ. Он заключается в
преобразовании первоначальных рядов динамики в более крупные по
продолжительности временных периодов, что позволяет более четко выявить
действие основной тенденции (основных факторов) изменения уровней.
По интервальным рядам итоги исчисляются путем простого
суммирования уровней первоначальных рядов.
В данном случае стоит укрупнить интервалы до трех лет и рассчитать
суммарные и среднегодовые показатели. Для этого необходимо использовать
данные табл. 1.3 и 1.4. Рассчитанные данные приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Укрупнение интервалов ряда динамики валового регионального
продукта и валового накопления основного капитала по Тюменской области
за 1996-2005 гг.
Трехлетка
Валовой региональный
продукт, млрд. руб.
Начисленная заработная
плата, тыс. руб.
Общий Средний
1 549J019,00 183J006,33 6J148,3 2J049,4
2 606J949,40 202J316,47 6J578,2 2J192,7
3 754J693,60 251J564,53 8J962,3 2J987,4
4 298J272,4 298J272,40 3J393,0 3J393,0
Новые данные более четко выражают закономерность изменения
валового регионального продукта и начисленной заработной платы за 1996-
2005 гг. – постоянное увеличение показателей.
2. Метод скользящей средней.
Скользящая средняя - это такая динамическая средняя, которая
последовательно рассчитывается при передвижении на один интервал при
заданной продолжительности периода. Если, предположим,
14
продолжительность периода равна 3, то скользящие средние рассчитываются
по формулам (2.1).
J J (2.1)
При четных периодах скользящей средней можно центрировать
данные, т.е. определять среднюю из найденных средних. К примеру, если
скользящая исчисляется с продолжительностью периода, равной 2, то
центрированные средние можно определить по формулам (2.2).
J J (2.2)
Первую рассчитанную центрированную относят ко второму периоду,
вторую - к третьему, третью - к четвертому и т.д. По сравнению с
фактическим сглаженный ряд становится короче на (m - 1)/2, где m - число
уровней интервала.
Лучше всего использовать формулы (2.1), когда m – нечетное число,
так как в данном случае скользящая средняя относится к конкретной
временной точке – середине интервала.
Сглаживание уровней ряда валового регионального продукта методом
скользящей средней проводится по трем членам, рассчитанные данные
приведены в табл. 2.2.
Таблица 2.2
Расчет скользящей средней по трем членам
Год
Валовой
региональный
продукт,
млрд. руб.
Скользящая
сумма трех
уровней
Скользящая
средняя из трех
уровней
1 2 3 4
1996 183 450,9 - -
1997 185 285,4 549J019,00 183J006,33
1998 180 282,7 549 276,20 183 092,07
1999 183 708,1 565 151,10 188 383,70
2000 201 160,3 606 949,40 202 316,47
Продолжение табл. 2.2
1 2 3 4
2001 222 081,0 656 204,20 218 734,73
15
2002 232 962,9 707 575,70 235 858,57
2003 252 531,8 754 693,60 251 564,53
2004 269 198,9 820 003,10 273 334,37
2005 298J272,4 - -
Сглаженный ряд, представленный в четвертом столбце табл. 2.2
наиболее четко показывает тенденцию постоянного увеличения валового
регионального продукта по Тюменской области за 1996-2005 гг. Кроме того,
эффект сглаживания, устраняющего колебания за счет случайных величин,
хорошо виден при графическом изображении фактических и сглаженных
уровней, представленном на рис. 2.1.
Динамика валового регионального продукта по Тюменской области
за 1996-2005 гг.
0,00
50 000,00
100 000,00
150 000,00
200 000,00
250 000,00
300 000,00
350 000,00
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Год
Валовой региональный продукт,
млрд. руб.
Фактические уровни ряда Сглаженные уровни ряда
Рис. 2.1
Сглаживание уровней ряда начисленной заработной платы методом
скользящей средней проводится по трем членам, рассчитанные данные
приведены в табл. 2.3.
Таблица 2.3
Расчет скользящей средней по трем членам
16
Год
Начисленная
заработная
плата,
тыс. руб.
Скользящая
сумма трех
уровней
Скользящая
средняя из трех
уровней
1996 2J058,8 - -
1997 2J141,1 6 148,3 2 049,4
1998 1J948,4 5 726,2 1 908,7
1999 1J636,7 5 811,0 1 937,0
2000 2J225,9 6 578,2 2 192,7
2001 2J715,6 7 711,4 2 570,5
2002 2J769,9 8 477,0 2 825,7
2003 2J991,5 8 962,3 2 987,4
2004 3J200,9 9 585,4 3 195,1
2005 3J393,0 - -
Сглаженный ряд, представленный в четвертом столбце табл. 2.3
наиболее четко показывает тенденцию постоянного увеличения начисленной
заработной платы по Тюменской области за 1996-2005 гг. Кроме того, эффект
сглаживания, устраняющего колебания за счет случайных величин, хорошо
виден при графическом изображении фактических и сглаженных уровней,
представленном на рис. 2.2.
Динамика начисленной заработной платы по Тюменской области
за 1996-2005 гг.
0,0
500,0
1 000,0
1 500,0
2 000,0
2 500,0
3 000,0
3 500,0
4 000,0
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Год
Начисленная заработная
плата, тыс. руб.
Фактические уровни Сглаженные уровни
Рис. 2.2
3. Аналитическое выравнивание
Важнейшим способом количественного выражения общей тенденции
изменения уровней динамического ряда является аналитическое
выравнивание ряда динамики, которое позволяет получить описание плавной
17
линии развития ряда. При этом эмпирические уровни заменяются уровнями,
которые рассчитываются на основе определенной кривой, где уравнение
рассматривается как функция времени. Вид уравнения зависит от
конкретного характера динамики развития. Его можно определить как
теоретически, так и практически. Теоретический анализ основывается на
рассчитанных показателях динамики. Практический анализ - на
исследовании линейной диаграммы.
Задачей аналитического выравнивания является определение не только
общей тенденции развития явления, но и некоторых недостающих значений
как внутри периода, так и за его пределами.
При аналитическом выравнивании ряда динамики закономерно
изменяющийся уровень изучаемого показателя оценивается как функция
времени
)(
ˆ
tfy
t
, где
t
y
ˆ
- уровни динамического ряда, вычисленные по
соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.
В аналитическом выравнивании наиболее часто используются
следующие простейшие функции:
1) Линейная функция выражается формулой (2.1) и наиболее
эффективна для рядов динамики, уровни которых изменяются в
арифметической прогрессии, т.е. когда первые разности уровней постоянны.
taay
t 10
ˆ
(2.1)
2) Парабола второго порядка выражается формулой (2.2) и
используется, если вторые разности уровней постоянны.
2
210
ˆ
tataay
t
(2.2)
3) Показательная функция выражается формулой (2.3) и применяется,
если значения уравнений меняются в геометрической прогрессии, т.е. цепные
коэффициенты роста постоянны.
t
t
aay
10
*
ˆ
(2.3)
4) Гиперболическая функция выражается формулой (2.4) и
применяется, если обнаружено замедленное снижение уровней ряда.
t
a
ay
t
1
0
ˆ
(2.4)
5) Ряд Фурье представлен в формуле (2.5).
)sincos(
ˆ
1
0
ktbktaay
k
m
k
kt
(2.5)
18
где
t
y
ˆ
- теоретические (выравненные) уровни;
t – условное обозначение времени (1,2,3…);
a
0
,a
1
,a
2
– параметры аналитической функции;
k – число гармоник.
После того как выяснен характер кривой развития, необходимо
определить ее параметры. Для этого используется несколько методов:
1) Элементарный метод определения параметров уравнения тренда
состоит в решении системы уравнений по известным уровням ряда
динамики. Если дан ряд динамики, то, приняв условные обозначения
времени через t и две точки (конечный и начальный уровни), можно
построить уравнение прямой по этим двум точкам.
Отрицательным моментом в таком моделировании тренда являются
разные числовые выражения параметров в различных точках их определения.
2) Метод средних значений (линейных отклонений) заключается в
следующем: ряд расчленяется на две примерно равные части и вводится
требование, чтобы сумма выравненных значений в каждой части совпала с
суммой фактических значений, т.е. чтобы сумма отклонений фактических
данных от выравненных равнялась нулю.
Данный метод прост и требует минимального количества вычислений.
Его недостаток заключается в том, что при произвольном расчленении ряда
на две части могут получиться разные результаты.
3)Метод конечных разностей основан на свойствах различных кривых,
применяемых при выравнивании.
Пусть дан ряд динамики у
t
, который описывается полиномом р-й
степени. Для полинома вычисляются следующие разности:
ttt
yy
1
)1(
- постоянные первые разности;
tt
t
)1(
1
)1(
)2(
- вторые разности;
Для расчета уровней ряда динамики при равных или почти равных
первых разностях применяется формула (2.6).
(2.6)
Если вторые разности практически равны, то, вычисляя коэффициенты
параболы второго порядка, получают тренд ряда динамики (2.7):
,
224
1
2
)2(
1)1()2(
2
tt
n
yy
t
(2.7)
где
t
y
- выравненное значение ряда динамики;
y
- средний уровень ряда динамики;
)1(
- средняя арифметическая первых разностей;
)2(
- средняя арифметическая вторых разностей;
19
.
1)1(
tyy
t
n – число уровней;
t – условное обозначение времени.
4) Метод наименьщих квадратов (МНК) используется при расчете
параметров уравнений тренда. Сущность этого метода заключается в
нахождении параметров модели, при которых минимизируется сумма
квадратов отклонений эмпирических значений результативного признака от
теоретических, полученных по выбранному уравнению, т.е.
.min)
ˆ
(
2
t
yy
Выравнивание рядов динамики по некоторым аналитическим
функциям и методы определения их параметров можно рассмотреть на
примере валового регионального продукта.
1. Выравнивание по линейной функции
taay
t 10
ˆ
.
В этом случае необходимо определить закономерность изменения
уровней в данном периоде в виде уравнения тренда, т.е. осуществить
аналитическое выравнивание на основании данных о валовом региональном
продукте по Тюменской области за 1996-2005 гг. В качестве гипотетической
функции теоретических уровней можно принять прямую
taay
t 10
ˆ
,
опираясь на данные, полученные методом укрупнения интервалов – табл. 2.1,
методом скользящей средней – табл. 2.2 и графическое изображение –
рис. 2.1.
Для определения параметров аналитического уравнения можно
использовать метод наименьших квадратов. Для расчета параметров отсчет
времени ведется от середины ряда, так как число уровней ряда четное (n=10),
то два серединных момента времени обозначаются -1 и +1, а все
последующие и предыдущие, соответственно, через ±2; ±3; ±4; ±5.
При таком порядке отсчета времени
0
1
n
i
t
, поэтому система
нормальных уравнений упрощается (2.8).
.
;
2
10
10
tatayt
tanay
.
;
2
1
2
00
1
t
yt
atayt
y
n
y
anay
(2.8)
Все необходимые расчеты по данному методу приведены в табл. 2.4.
Таблица 2.4
Расчет теоретических уровней линейного тренда от середины ряда
Год
Валовой
региональный
продукт,
млрд. руб.
Условное
обозначение
времени,
t
t
2
yt Выравненные
уровни,
y
ˆ
1996 183 450,9 -5 25 -917J254,5 164J259,8
1997 185 285,4 -4 16 -741J141,6 175J586,6
1998 180 282,7 -3 9 -540J848,1 186J913,3
20
1999 183 708,1 -2 4 -367J416,2 198J240,0
2000 201 160,3 -1 1 -201J160,3 209J566,7
2001 222 081,0 1 1 222J081,0 232J220,2
2002 232 962,9 2 4 465J925,8 243J546,9
2003 252 531,8 3 9 757J595,4 254J873,6
2004 269 198,9 4 16 1J076J795,6 266J200,3
2005 298J272,4 5 25 1J491J362,0 277J527,0
Σ
2J208J934,4
0 110
1J245J939,1 2J208J934,4
Данные табл. 2.4 необходимо подставить в формулу (2.8) для
вычисления
1
a
и
0
a
.
10
0
a
= 2J208J934,4
0
a
= 2J208J934,4/10 = 220J893,44;
110
1
a
= 1J245J939,1
1
a
= 1J245J939,1/110 = 11J326,72.
Искомое уравнение тренда получается после подстановки значений
1
a
и
0
a
в формулу (2.1), в результате чего получается уравнение (2.9).
t
y
ˆ
= 220J893,44 + 11J326,72t (2.9)
Теоретические уровни, рассчитанные по уравнению (2.9) приведены в
последнем столбце табл. 2.3.
В уравнении (2.9) коэффициент регрессии
1
a
=11J326,72, это значит,
что среднегодовое увеличение валового регионального продукта по
Тюменской области за 1996-2005 гг. составило 11J326,72.
2. Выравнивание по параболе второго порядка
2
210
ˆ
tataay
t
.
В этом случае необходимо определить закономерность изменения
уровней в данном периоде в виде уравнения тренда, т.е. осуществить
аналитическое выравнивание на основании данных о валовом региональном
продукте по Тюменской области за 1996-2005 гг. В качестве гипотетической
функции теоретических уровней можно принять параболу второго порядка
2
210
ˆ
tataay
t
, опираясь на данные, полученные методом укрупнения
интервалов – табл. 2.1, методом скользящей средней – табл. 2.2 и
графическое изображение – рис. 2.1.
Для определения параметров аналитического уравнения можно
использовать метод наименьших квадратов. Для расчета параметров отсчет
времени ведется от середины ряда, так как число уровней ряда четное (n=10),
то два серединных момента времени обозначаются -1 и +1, а все
последующие и предыдущие, соответственно, через ±2; ±3; ±4; ±5.
При таком порядке отсчета времени
0
1
n
i
t
, поэтому система
нормальных уравнений упрощается (2.10).
21