Курбацкий А.Ф. Лекции по турбулентности. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физический факультет

А. Ф. Курбацкий

ЛЕКЦИИ ПО ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Часть 1. Введение в турбулентность

Учебное пособие

Новосибирск

2000

Введение

Наблюдения за явлением турбулентности восходят еще к Леонардо да

Винчи, который, несомненно, интересовался турбулентностью, о чем мож-

но судить по его зарисовке, воспроизведенной на рис. 1.

Рис. 1. Очень ранние наблюдения турбулентности: рисунок Леонардо да Винчи

(около 1500 г.).

Новейшая история научного исследования турбулентности начинается

с опубликования работ Осборна Рейнольдса (1883-1895 гг.).

Неослабевающий интерес к проблеме турбулентности обусловлен рас-

пространенностью этого явления в природе, его важностью для сопредель-

ных наук и современных технологий. Действительно, большинство движе-

ний жидкостей, газов и плазмы, встречающихся в природе и технике, ока-

зываются турбулентными. Пограничный слой

Земли является турбулент-

ным за исключением очень устойчивых состояний. Струйные течения в

верхней тропосфере, облака (кумулюсы) в атмосфере также находятся в

турбулентном движении. Течение воды ниже поверхности океана оказыва-

ется турбулентным; течение Гольфстрим Мирового океана представляет

собой разновидность пристенного турбулентного движения. Фотосфера

Солнца и фотосферы похожих на него звезд, облака

межзвездного газа,

газовые туманности находятся в состоянии турбулентного движения. След

от Земли в солнечном ветре также, вероятно, представляет собой турбу-

лентный след. Пограничные слои, нарастающие на крыльях летательных

аппаратов, являются турбулентными. Большинство процессов горения

включает турбулентность и часто зависит от нее. Процессы химической

технологии используют турбулентность для смешения и гомогенизации

смесей

жидкостей и ускорения скоростей химических реакций в жидкостях

и газах. Течения воды в реках и каналах, движение природного газа и неф-

ти в трубопроводах, следы судов, вагонов, подводных лодок, крыльев ле-

тательных аппаратов являются турбулентными. Исследование турбулент-

ности, очевидно, включает в себя весьма широкую область разнообразных

физических приложений.

В динамике жидкости ламинарные течения являются скорее исключе-

нием, а не правилом: малые размеры и большая вязкость среды отличают

ламинарные течения. Течение смазочного масла в подшипнике − типичный

пример.

1. Физическая природа турбулентности

Трудно дать точное определение турбулентности. Можно, однако, ука-

зать некоторые характерные черты, наличие которых свойственно турбу-

лентным движениям сплошных сред.

1.1. Определение турбулентности

Нерегулярность. Для турбулентных течений жидкостей и газов харак-

терен нерегулярный или случайный характер изменения гидродинамиче-

ских полей в пространстве и во времени. Поэтому для описания турбу-

лентных течений следует использовать статистический метод.

Диффузионный характер турбулентности. Важное свойство всех тур-

булентных движений сплошной среды связано с фактом быстрого переме-

шивания и

возрастания скоростей обмена импульсом, теплом и веществом

по сравнению с ламинарными движениями. Скорости турбулентного пере-

носа и смешения на порядки величин выше скоростей молекулярного пе-

реноса импульса, тепла и вещества. Если течение носит случайный харак-

тер, но отсутствует распространение флуктуаций, скажем, скорости в ок-

ружающую среду, то такое движение жидкости

не может рассматриваться

как турбулентное. Иллюстрацией сказанному может служить конденсаци-

онный след, оставленный струей летательного аппарата (самолета). Ис-

ключая область турбулентного следа непосредственно позади летательного

аппарата, конденсационный след в атмосфере имеет примерно постоянное

поперечное сечение на расстоянии вплоть до нескольких километров. Та-

кое течение не является турбулентным, даже если оно было

турбулентным

при его возникновении. Диффузионность − одно из важнейших свойств

турбулентности, когда речь идет о приложениях. Это свойство способству-

ет предотвращению отрыва пограничного слоя на несущих поверхностях

(крыльях) летательных аппаратов при не слишком больших углах атаки.

Благодаря диффузионному характеру турбулентности возрастают скорости

теплообмена в технических устройствах всех типов. Диффузионность яв

ляется источником сопротивления движения жидкостей и газов в трубо-

проводах. Диффузионность увеличивает обмен импульсом между ветром и

течением воды в морях и океанах.

Высокие числа Рейнольдса. Турбулентность всегда возникает при высо-

ких числах Рейнольдса, - часто в результате гидродинамической неустой-

чивости ламинарного движения сплошной среды, если число Рейнольдса

становится достаточно большим. Неустойчивость связана с взаимодейст-

вием вязких и инерционных нелинейных членов в уравнении движения.

Это взаимодействие носит крайне сложный характер. С математической

точки зрения

сложность заключается в том, что общее решение нелиней-

ных дифференциальных уравнений в частных производных получить не

удается. Комбинация случайности и нелинейности делает уравнения тур-

булентности крайне трудными для анализа.

Трехмерность флуктуаций завихренности. Турбулентность есть вихре-

вое движение сплошной среды, и это движение трехмерно. Турбулент-

ность характеризуется высоким уровнем флуктуаций завихренности

. По

этой причине динамика завихренности играет существенную роль в пони-

мании природы турбулентности. Случайность флуктуаций завихренности,

столь характерная для турбулентности, не могла бы существовать сама по

себе, если флуктуации скорости были бы двухмерными, потому что меха-

низм, поддерживающий завихренность,– растяжение вихрей − отсутствует

в двухмерном движении сплошной среды. Течения, которые

по существу

двухмерны, такие как циклоны в атмосфере, определяющие погоду на Зем-

ле, не являются сами по себе турбулентными, хотя характеристики цикло-

нов и могут испытывать сильное влияние мелкомасштабной турбулентно-

сти, генерируемой где-нибудь в другом месте (вследствие сдвига скорости

или плавучести) и взаимодействующей с крупномасштабным движением.

Например, случайные волны на

поверхности моря или океана не могут

рассматриваться как турбулентные волны, потому что они по существу

безвихревые.

Диссипативность. Турбулентные движения сплошной среды всегда

диссипативны. Вязкие напряжения сдвига выполняют работу деформации,

которая увеличивает внутреннюю энергию среды за счет кинетической

энергии турбулентости. Турбулентность нуждается в непрерывном пита-

нии энергией для восполнения этой потери

из-за вязкости жидкости. Если

энергия не подводится, турбулентность быстро затухает. Случайные дви-

жения, например гравитационные волны в планетарной атмосфере, или

случайные звуковые волны (акустический шум) обладают незначительной

вязкой потерей и поэтому не являются турбулентными. Главное отличие

между случайными волнами и турбулентностью состоит в том, что волны

по существу недиссипативны,

хотя часто они оказываются дисперсионны-

ми, в то время как турбулентность − сильно диссипативная физическая

система.

Континуальность. Турбулентность обладает свойством континуально-

сти, заключенном в самих уравнениях гидродинамики. Даже наименьшие

из масштабов, присущих турбулентному состоянию материи, оказываются

обычно значительно превосходяшими масштабы молекулярного движения.

Турбулентность – свойство движения материи. Турбулентность – это

не физическое свойство жидкостей, а свойство, связанное с их движением.

Большая часть динамики турбулентности − одна и та

же для всех жидко-

стей, независимо от того, являются ли они капельными жидкостями или

газами, если турбулентное число Рейнольдса достаточно велико. Основные

характеристики турбулентных течений не контролируются молекулярны-

ми свойствами жидкости, которая находится в состоянии турбулентного

движения.

История исследования турбулентности насчитывает уже более столе-

тия, но до сих пор не

существует общего подхода к описанию турбулент-

ного движения сплошных сред. Уравнения движения могут быть подверг-

нуты подробному анализу, но до настоящего времени не удается провести

аккуратные количественные вычисления, не полагаясь в той или иной сте-

пени на экспериментальные данные. Статистический анализ нелинейных

уравнений гидродинамики всегда ведет к ситуации, при которой число

неизвестных оказывается больше числа определяющих уравнений. Это так

называемая проблема замыкания в теории турбулентности. Попытки скон-

струировать формально жизнеспособные схемы возмущений для решения

проблемы замыкания до сих пор не дали ощутимых результатов. (Причина

этого разъясняется в разд. 2.2 и 2.3 гл. 2 настоящих «Лекций по турбулент-

ности».) Поэтому при решении задач турбулентного движения

жидкостей

и газов приходится использовать физические соображения, основанные на

экспериментальных данных, чтобы восполнить пробел между реальными

турбулентными течениями и определяющими уравнениями. Это означает,

что теория турбулентности как часть современной классической физики и

развивается как физика, − в тесном контакте с экспериментом. Построение

теории турбулентности опирается на опытные данные. Теория же должна

в свою очередь, объяснять экспериментальные закономерности. Вполне

возможно, что в будущем удастся построить полностью формальную тео-

рию турбулентности. Однако можно полагать, что более реальной возмож-

ностью является развитие физической модели турбулентности.

Теория турбулентности ограничена в том же самом отношении, в каком

была бы ограничена динамики жидкости, если бы соотношение Стокса

между напряжением и скоростью деформации в ньютоновской жидкости

было неизвестно. Поэтому распространенное приближение в описании

турбулентности состоит в формулировании соотношения между напряже-

нием и скоростью деформации, включающего генерируемую самой турбу-

лентностью вихревую (или турбулентную) вязкость, которая, возможно,

играет роль, подобную роли молекулярной вязкости в ламинарных течени-

ях. Это приближение основано на физически некорректной аналогии меж-

ду механизмами молекулярного и турбулентного переноса импульса, тепла

и вещества. (В гл. 2 это приближение анализируется подробно).

Молекулярная

вязкость – это физическое свойство жидкостей и газов, в

то время как турбулентность – свойство движения сплошной среды. Это

означает, что описание эффектов турбулентности с помощью понятия тур-

булентной вязкости не может быть, вообще говоря, полным и исчерпы-

вающим. Однако интенсивные современные исследования наводят на

мысль, что в некоторых ситуациях можно из аналитических

соображений

говорить о турбулентной жидкости, а не о турбулентном течении жидко-

сти. Так называемые турбулентные жидкости оказываются неньютонов-

скими. Они проявляют свойство вязкопластичности и обнаруживают при

определенных условиях эффекты памяти. Память постепенно затухает с

течением времени, так что вполне может оказаться возможным развить

полулокальную теорию, связывающую турбулентные напряжения со сред-

ней скоростью деформации.

1.2. Уравнение Навье − Стокса и турбулентность

Для турбулентных течений жидкости типичны две взаимосвязанные

особенности: сложные изменения скорости в пространстве и во времени и

неустойчивость по отношению к малым возмущениям. В экспериментах

всегда имеются многочисленные неконтролируемые возмущения, и поэто-

му предсказание скорости в любой заданной точке пространства и времени

по данным о макроскопических начальных и граничных условиях оказыва

ется невозможным. Это обусловлено тем, что при больших числах Рей-

нольдса в турбулентном течении, например в прямой круглой трубе, в ти-

пичной его реализации скорость испытывает сложные мелкомасштабные

вариации в пространстве и времени, которые изменяются от одной реали-

зации к другой непредсказуемым образом (состояние развитой турбулент-

ности).

Определим турбулентное поле скорости как разность между истинным

полем скорости в данной реализации и средним по ансамблю полем скоро-

сти. Существенной особенностью турбулентного поля является его не-

предсказуемость при достижимом для нас контроле условий эксперимента.

Это означает, что даже если бы могла быть измерена точная детальная

структура индивидуальной реализации поля скорости

),(

txu

, ее никогда

не удалось бы воспроизвести при каком-либо повторении эксперимента.

Будем предполагать, что турбулентное движение несжимаемой жидко-

сти описывается уравнением Навье − Стокса:

)(

t ∂

∂

−

∂

−=∇−

∂

(1.1)

где

),(

txuu

− мгновенное (истинное) поле скорости,

− кинемати-

ческий коэффициент вязкости, p

− мгновенное значение давления,

оператор Лапласа.

−∂∂∂≡∇

αα

xx/

Уравнение неразрывности имеет вид

.0/

∂

xu (1.2)

Непредсказуемость и сложная конфигурация турбулентного поля ско-

рости заставляют применять для его описания статистический метод. В

этих «Лекциях…» нам будет достаточно использ вать, следуя О.Рейнольд-

су, простую декомпозицию поля скорости

),(

txu

(равно как и других

гидродинамических величин) на среднее, плавно меняющееся и быстро

изменяющееся флуктуационное поле (турбулентные пульсации):

pPpuUu

iii

(1.3)

Здесь и далее везде прописными буквами и угловыми скобками обозна-

чаются осредненные величины, а строчными буквами – турбулентные

пульсации.

Осреднение термогидродинамических полей может быть выполнено в

различной форме для любой переменной величины

. В случае статиче-

ски установившейся турбулентности используется осреднение по времени

∫

∞→

=><

dttxФ

xФ

,),(

lim)(

(1.4)

где

− период осреднения (величина, большая по сравнению с характер-

ным масштабом времени турбулентных пульсаций). Если турбулентность

однородна, можно использовать осреднение по пространству

∫

∞→

=><

xdtxФ

tФ .),(

lim)(

(1.5)

И наконец, для общего случая турбулентного движения необходимо ос-

реднение по ансамблю реализаций в N повторяющихся экспериментов:

∑

∞→

=><

txФ

)(

).,(

lim),(

(1.6)

Предполагается, что применима эргодическая гипотеза, и, следовательно, в

частности,

ансамблювремени

ФФ >

Таким образом, статистический метод описания турбулентности заклю-

чается в указании бесконечной последовательности моментов турбулент-

ного поля скорости

:),( txu

)3,2,1,,(

...,),(),(),(

,),(),(

′′′

txutxutxu

txutxu

GGG

(1.7)

Предположим теперь, что нам даны начальное среднее поле скорости

и вся совокупность моментов, характеризующих распределение

начального турбулентного поля скорости,

),(

txU

,),(

txu

если оно не равно

нулю. Пусть известно также полное статистическое описание (в терминах

моментов) всех внешних сил или возмущений, которые могут воздейство-

вать на жидкость в течение рассматриваемого промежутка времени. Задача

заключается в определении

),( txU

и полного множества моментов (1.7)

во все моменты времени

. В такой постановке предполагается, что

течения имеют состояние развитой турбулентности, нечувствительное к

конкретному виду возмущений. Справедливость этого предположения

подтверждается опытными данными.

tt >

Задачу теперь можно было бы решать следующим образом. Зададим

начальное поле средней скорости

),(

txU

и начальные значения всех

моментов (1.7). Далее построим ансамбль полей скорости

),(

txU

, имеющий эти моменты. Для каждого из начальных условий,

входящих в этот ансамбль, решим уравнение (1.1), полагая, что ре ения

существуют при всех

. По найденным решениям определим

),(

txu

),( txU

те моменты (1.7), которые нас интересуют.

Однако эта процедура практически неосуществима. Даже при простей-

ших начальных условиях известны лишь очень немногие решения уравне-

ния (1.1). Аккуратное выполнение указанной процедуры для достаточно

широкого множества сложных начальных условий потребовало бы столь

большого объема вычислений, что их осуществление даже на суперкомью-

терах было бы попросту нереальным. Вместо этого для реальных

течений

используется та или иная статистическая модель уравнений (1.1), когда по

множеству начальных значений моментов непосредственно находятся зна-

чения интересующих нас моментов в последующие моменты времени.

Часть вторая настоящих лекций посвящена изложению современных мето-

дов моделирования турбулентности.

1.3. Растяжение завихренности турбулентности

Для понимания качественной картины развитой турбулентности перво-

степенное значение имеет представление о механизме интенсификации

завихренности турбулентности вследствие растяжения.

Все турбулентные течения характеризуются высоким уровнем флук-

туаций завихренности. Это то свойство, которое отличает турбулентность

от других случайных движений жидкости, подобных океанским волнам и

атмосферным гравитационным волнам. Поэтому представляется важным

провести подробное исследование

роли флуктуаций завихренности в ди-

намике турбулентности. В данном пункте выводится уравнение для векто-

ра вихря в несжимаемой жидкости, дается качественная картина растяже-

ния завихренности. Более подробно динамика завихренности турбулентно-

сти излагается в разд. 3.5.

Вектор завихренности и тензор вращения. Завихренность есть ротор

вектора скорости

ijki

∂

εω

, (1.8)

где

− мгновенный вектор завихренности, а

ijk

− тензор подстановки.

Это выражение показывает, что

связана со скоростью деформации

, которая может быть разложена на симметричную и антисиммет-

ричную части:

xu ∂∂ /

ijij

∂

(1.9)

Антисимметричный тензор

, называемый тензором вращения, определя-

ется выражением

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

−

∂

≡

(1.10)

Так как тензор подстановки

ijk

в определении завихренности (1.8) яв -

ется по тью антисимметричным тензором третьего ранга (равен

ля

лнос

если

kji ,,

меняются в циклическом порядке, и равен 0, если любые два

из индексов

kji ,,

одинаковы), вектор завихренности связан только

ости деформ

с ан-

тисимметричной частью скор ации:

jkijki

⋅

. (1.11)

И наоб рото , тензор вращения может быть представлен аксиальным векто-

ром

kijkij

. (1.12)

(Взаимно однозначная связь между вектор завихренности и тензором

вращения существу

ωε

⋅−=

ом

ет вследствие того, что

имеет только три независи-

мы

) уравнение На-

вье

− Стокса (1.1) можно записать в следующем виде:

х компоненты.)

Члены завихренности в уравнении движения. Уравнение для векто-

ра завихренности может быть получено путем применения к уравнению

Навье − Стокса операции «ротор». Прежде чем применить эту операцию,

можно так записать уравнения Навье

− Стокса, что завихренность появит-

ся «сама по себе». С учетом уравнения неразрывности (1.2

xxt ∂∂

∂∂∂

∂

−

∂

−=

∂

)

(

. (1.13)

внения движения. Конвективный

член может быть разложен на две части:

Такая форма записи уравнения Навье − Стокса служит намеком на то, что

напряжение Рейнольдса представляет собой вклад турбулентных флуктуа-

ций скорости в конвективный член ура