Кудрявцев А.А. Пособие по теории вероятностей
Подождите немного. Документ загружается.
x > 0 X Y
P(|ξ − η| > δ) = P(|ξ
n
− ξ − ξ
n
+ η| > δ) ≤
≤ P(|ξ
n
− ξ| > δ/2) + P(|ξ
n
− η| > δ/2) < ε
n n
0
n
ξ
n
d
−→ ξ
ξ
n
P
−→ ξ n → ∞
ξ
n
≡ η ∼ Bi(1, 1/2) ξ = 1
η = 0 ξ = 0 η = 1
ξ
n
d
−→ ξ |ξ
n
− ξ| ≡ 1
ξ
n
−→ ξ
ξ
n
P
−→ ξ
n → ∞
ξ
n
P
−→ ξ
η
n
P
−→ η
aξ
n
+ bη
n
P
−→ aξ + bη
a, b ∈ IR
|ξ
n
|
P
−→ |ξ|
ξ
n
η
n
P
−→ ξη
ξ
n
−→ ξ η
n
−→ η
aξ
n
+ bη
n
−→ aξ + bη a, b ∈ IR
|ξ
n
| −→ |ξ|
ξ
n
η
n
−→ ξη
ξ
n
P
−→ a 6= 0
1/ξ
n
P
−→ 1/a
ξ
n
−→ a 6= 0 1/ξ
n
−→ 1/a
ξ
n
P
−→ ξ
ξ
n
=⇒ ξ
ξ
n
d
−→ ξ
ξ
n
−
ξ
d
−→ 0
ξ
n
=⇒ a
ξ
n
P
−→ a
ξ
n
d
−→ ξ
η
n
P
−→ 0
ξ
n
+ η
n
d
−→ ξ
ξ
n
η
n
P
−→ 0
ξ
n
− a
n
P
−→ 0
ξ
n
− b
n
P
−→ 0
n → ∞ a
1
, a
2
, . . . b
1
, b
2
, . . .
a
n
− b
n
−→ 0 n → ∞
(ξ
n
−ξ)
2
P
−→ 0 n → ∞ ξ
2
n
P
−→
ξ
2
n → ∞
r > 0
IR
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ
n
P
−→ ξ
n → ∞ ξ
(Ω, F, P)
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ
1
, ξ
2
, . . .
n → ∞
P
n
i=1
ξ
i
−
P
n
i=1
Eξ
i
n
P
−→ 0.
ξ
i
i = 1, 2, . . .
ξ
1
, ξ
2
, . . .
n → ∞
P
n
i=1
ξ
i
−
P
n
i=1
Eξ
i
n
−→ 0.
ξ
1
, ξ
2
, . . .
Eξ
1
= a Dξ
1
= σ
2
< ∞
ε > 0 n → ∞
P
P
n
i=1
ξ
i
n
− a
≥ ε
!
−→ 0.
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ
1
ξ
1
, ξ
2
, . . .
P
n
i=1
ξ
i
− E
P
n
i=1
ξ
i
q
D
P
n
i=1
ξ
i
n → ∞
ξ
1
, ξ
2
, . . .
Eξ
1
= a 0 <
Dξ
1
= σ
2
< ∞
n → ∞
P
P
n
i=1
ξ
i
− na
√
nσ
2
< x
!
=⇒ Φ(x) =
1
√
2π
x
Z
−∞
e
−
u
2
2
du. (12.1)
ξ
i
σ
2
> 0
Φ(x)
Φ(x)
x
x ∈ IR
E
P
n
i=1
ξ
i
/n = a
P
P
n
i=1
ξ
i
n
− a
≥ ε
!
≤
D
P
n
i=1
ξ
i
n
2
ε
2
=
σ
2
nε
2
−→ 0
n → ∞
p ξ
i
1
i (i + 1) 0
ξ
1
, ξ
2
, . . .
η
i
i
{ξ
i
= 1} = {η
i
= 1, η
i+1
= 1}
ξ
i
Bi(1, p
2
)
D
P
n
i=1
ξ
i
E
n
X
i=1
ξ
i
!
2
= E
n
X
i=1
ξ
i
·
n
X
j=1
ξ
j
= E
X
i=j
ξ
i
ξ
j
+
X
|j−i|=1
ξ
i
ξ
j
+
X
|j−i|>1
ξ
i
ξ
j
=
= E
X
i=j
(η
i
η
i+1
)
2
+ 2
X
j=i+1
η
i
η
2
i+1
η
i+2
+
X
|j−i|>1
η
i
η
i+1
η
j
η
j+1
=
= np
2
+ 2(n − 1)p
3
+ (n
2
− n − 2(n − 1))p
4
.
D
n
X
i=1
ξ
i
= E
n
X
i=1
ξ
i
!
2
−
E
n
X
i=1
ξ
i
!
2
= np
2
+ 2(n − 1)p
3
+ (2 − 3n)p
4
.
P
n
i=1
ξ
i
/n
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ
n
=
√
n,
1
2n
;
0, 1 −
1
n
;
−
√
n,
1
2n
.
ξ
1
, ξ
2
, . . .
E
P
n
i=1
ξ
i
/n = 0 D
P
n
i=1
ξ
i
/n = 1/n
ξ
1
, ξ
2
, . . .
P(ξ
n
= ±2
n
) = 1/2
ξ
1
, ξ
2
, . . .
E
P
n
i=1
ξ
i
/n = 0
P
P
n
i=1
ξ
i
n
− E
P
n
i=1
ξ
i
n
≥ ε
!
≤
D
P
n
i=1
ξ
i
n
2
ε
2
=
P
n
i=1
2
i
n
2
ε
2
−→ ∞
n → ∞
ε < 1
P
ξ
1
+ . . . + ξ
n−2
≥ 2 − 2
n−1
= 1,
P
P
n
i=1
ξ
i
n
≥ ε
!
≥ P
P
n
i=1
ξ
i
n
≥ ε, ξ
n
= 2
n
, ξ
n−1
= 2
n−1
!
=
= P
P
n
i=1
ξ
i
n
≥ ε
ξ
n
= 2
n
, ξ
n−1
= 2
n−1
!
P
ξ
n
= 2
n
, ξ
n−1
= 2
n−1
=
= P
ξ
n
= 2
n
, ξ
n−1
= 2
n−1
=
1
4
.
ξ
1
, ξ
2
, . . .
0 < Dξ
1
< ∞
a, b ∈ IR
lim
n→∞
P
a ≤
n
X
i=1
ξ
i
≤ b
!
= 0.
m = Eξ
1
σ
2
= Dξ
1
lim
n→∞
P
a ≤
n
X
i=1
ξ
i
≤ b
!
=
= lim
n→∞
P
a − mn
√
σ
2
n
≤
P
n
i=1
ξ
i
− mn
√
σ
2
n
≤
b − mn
√
σ
2
n
!
.
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ
n
=
n,
1
2n
2
;
0, 1 −
1
n
2
;
−n,
1
2n
2
.
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ
n
=
2
n
, 2
−(2n+1)
;
0, 1 − 2
−2n
;
−2
n
, 2
−(2n+1)
.
ξ
1
, ξ
2
, . . .
µ
n
n
p µ
n
/n −→ p
ξ
1
, ξ
2
, . . .
0 < Dξ
1
< ∞
lim
n→∞
P(ξ
1
+ . . . + ξ
n
< x).
ξ
1
, ξ
2
, . . .
F (x) =
1
2
+
1
π
arctg x.
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ
1
, ξ
2
, . . .
P(ξ
n
= (−1)
k−1
k) =
6
k
2
π
2
, k = 1, 2, . . .
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ
1
∼
Bi(1, p) p ∈ (0, 1)
ξ
1
, ξ
2
, . . .
ξ
i
∼ Bi(1, p
i
) p
i
∈ (0, 1)
i = 1, 2, . . .
ξ
1
, ξ
2
, . . .
n → ∞
ξ
1
+ . . . + ξ
n
n
−→ c,
c E|ξ
1
| < ∞ Eξ
1
= c
ξ
1
, ξ
2
, . . .
Dξ
1
lim
n→∞
P
P
n
i=1
ξ
i
√
n
> 1
!
=
1
3
.
ξ
1
, ξ
2
, . . .
[0, 1]
a
1
, a
2
, . . .
lim
n→∞
P
n
X
i=1
ξ
i
≤ a
n
√
n
!
= p,
0 ≤ p ≤ 1
ξ
1
, ξ
2
, . . .
Eξ
1
= a
η
n
=
ξ
1
+ . . . + ξ
n
n
.
ζ
n
=
n
√
η
1
· . . . · η
n
a
S
n
n = 100
p = 0.5 35 65 47 53
n 0.35 ≤ S
n
/n ≤ 0.65
0.998
P
ξ
f
ξ
(x) P(ξ = k) Eξ Dξ
ξ = a 1 k = a a 0
Bi(n, p) C
k
n
p
k
(1 − p)
n−k
,
np np(1 − p)
n ∈ IN, p ∈ (0, 1),
k = 0, . . . , n
P ois(λ) e
−λ
λ
k
k!
,
λ λ
λ > 0, k = 0, 1, . . .
G(p) (1 − p)p
k
,
p
1 − p
p
(1 − p)
2
p ∈ (0, 1), k = 0, 1, . . .
R[a, b]
1
b − a
· II
x
([a, b]),
a + b
2
(a − b)
2
12
a < b, a, b ∈ IR
N(a, σ
2
)
1
√
2πσ
2
· e
−
(x−a)
2
2σ
2
,
a σ
2
a ∈ IR, σ
2
> 0
exp(λ) λe
−λx
· II
x
([0, +∞)) ,
1
λ
1
λ
2
λ > 0
K(a, σ)
1
π
·
σ
σ
2
+ (x − a)
2
a ∈ IR, σ > 0