Кудрявцев А.А. Пособие по теории вероятностей
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p
n
−→ 0
n → ∞ p
n
n −→ λ n → ∞ λ
k = 0, 1, . . . n → ∞
P (n, k) −→ π
k
,
π
k
π
k
= e
−λ
λ
k
k!
. (5.5)
p
n
= p
n λ np
P (n, k) ≈ π
k
.
π
k
p n
np
2
< 0.1
p =
const ξ
n
n n → ∞
P
x
1
≤
ξ
n
− np
q
np(1 − p)
≤ x
2
−→
1
√
2π
x
2
Z
x
1
e
−
u
2
2
du (5.6)
x
1
x
2
−∞ ≤ x
1
≤ x
2
≤ +∞
Φ(x) =
1
√
2π
x
Z
−∞
e
−
u
2
2
du
Φ
0
(x) =
1
√
2π
x
Z
0
e
−
u
2
2
du,
x
np(1 − p)
np(1 − p) > 20
n = 200
p = 0.01
P (200, 3)
np
2
= 0.02 λ = np = 2
P (200, 3) ≈ e
−2
2
3
3!
≈ 0.1805.
n = 22 500
p = 0.2
ξ
n
4380 4560
P
np(1 −p) = 3600
np = 22500 · 0.2 = 4500 np(1 − p) = 22500 · 0.2 · 0.8 = 3600
P = P(4380 ≤ ξ
n
≤ 4560) = P
4380 − 4500
60
≤
ξ
n
− 4500
60
≤
4560 − 4500
60
!
=
= P
−2 ≤
ξ
n
− 4500
60
≤ 1
!
≈
1
√
2π
1
Z
−2
e
−x
2
2
dx = Φ(1) − Φ(−2).
Φ(x) −2 1 0.0228
0.8413
P ≈ 0.8185
A
δ
1
1
, . . . , A
δ
n
n
Ω
π
k
a + b a b
n
m n
a
20
4800
{
} 1140
1 4
2500
480 540
0.1 10
0.01 100
p
3
3
4 5
2500 6
100
2400
1/800
p
n 0 m
Ω
A
Ω
Ω ∈ A
A ∈ A B ∈ A A ∪ B ∈ A A ∩ B ∈ A
A ∈ A A ∈ A
σ F
Ω
Ω ∈ F
A
1
, A
2
, . . . ∈ F ∪
∞
i=1
A
i
∈ F
∩
∞
i=1
A
i
∈ F
A ∈ F A ∈ F
A σ F
σ
σ
A ∪B = A ∩ B
∪
∞
i=1
A
i
=
∩
∞
i=1
A
i
A ∩B = A ∪ B ∩
∞
i=1
A
i
=
∪
∞
i=1
A
i
σ
Ω = A ∪ A
Ω
σ
σ Ω
σ Ω σ
Ω
σ Ω
σ
Ω
{Ω, ∅} σ
σ
Ω σ
Ω
σ
σ
σ B σ
σ
B σ B σ(B)
σ
B σ
σ B
σ
{a} [a, b) a, b ∈ IR
σ
(a, b)
σ
{a} =
∞
\
n=1
a −
1
n
, a +
1
n
[a, b) =
∞
\
n=1
a −
1
n
, b
Ω = [0, 1] σ σ(B)
Ω B = {(0, 1/3), (1/3, 1)}
σ
Ω ∈ σ(B) (0, 1/3) ∈ σ(B)
(1/3, 1) ∈ σ(B) (0, 1/3) ∪ (1/3, 1) ∈ σ(B)
∅ ∈ σ(B) {0, 1/3, 1} ∈ σ(B)
{0} ∪ [1/3, 1] ∈ σ(B) [0, 1/3] ∪ {1} ∈ σ(B)
σ B
σ(B) = {Ω, ∅, (0, 1/3), (1/3, 1), (0, 1/3) ∪ (1/3, 1),
{0, 1/3, 1}, {0} ∪ [1/3, 1], [0, 1/3] ∪ {1}}.
σ(B)
8 = 2
3
σ
(Ω, A) (Ω, F)
A σ F
P : A −→ IR
P(A) ≥ 0 ∀A ∈ A
P(Ω) = 1
A
1
, . . . , A
n
∈ A A
i
A
j
= ∅ i 6= j
P
n
[
i=1
A
i
!
=
n
X
i=1
P(A
i
).
σ
P : F −→ IR
P(A) ≥ 0 ∀A ∈ F
P(Ω) = 1
σ A
1
, A
2
, . . . ∈ F
A
i
A
j
= ∅ i 6= j
P
∞
[
i=1
A
i
!
=
∞
X
i=1
P(A
i
).
{B
n
}
B
n+1
⊂ B
n
B = ∩
∞
n=1
B
n
P(B
n
) −→ P(B)
n → ∞
σ
(Ω, F, P)
(Ω, A, P)
P
Ω (Ω, F)
(Ω, F, P)
σ
([0, 1], B
[0, 1]
, λ) B
[0, 1]
σ
[0, 1] λ
(Ω, A, P)
Q σ(A)
Q(A) = P(A), ∀A ∈ A.
Q
P σ σ(A)
(Ω, A, P)
(Ω, σ(A), Q)
(IR, B) ([0, 1], B
[0, 1]
)
σ
([0, 1],
B
[0, 1]
)
P(∅) = 0
P(A) = 1 − P(A)
A ⊂ B P(A) ≤ P(B)
P(A) ≤ 1 ∀A ∈ F
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB)
P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)
P (∪
∞
n=1
A
n
) ≤
P
∞
n=1
P(A
n
)
P{ω| . . .} P({ω| . . .})