Козко А.И., Чирский В.Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи
Подождите немного. Документ загружается.
§2.1. Варианты 2003 года 161
вписанной в эту пирамиду сферы параллельно прямой AB проведена
секущая плоскость P, проходящая через ближайшую к вершине S точ-
ку сферы. Известно, что AB = 8. Найдите площадь сечения пирамиды
плоскостью P.
Задача 7. Дан параллелограмм ABCD, у которого AB = 5, AD =
= 2
√
3 + 2 и ∠BAD = 30
◦
. На стороне AB взята такая точка K, что
AK : KB = 4 : 1. Через точку K параллельно AD проведена прямая.
На этой прямой внутри параллелограмма выбрана точка L, а на сто-
роне AD выбрана выбрана точка M так, что AM = KL. Прямые BM
и CL пересекаются в точке N. Найдите величину угла BKN.
Ответы. 1. [−8/7; 0]. 2. (−4/3; −1)∪[0; 1/2). 3.
˘
5π/4+2πk; 7π/4+2πn;
k, n ∈ Z
¯
. 4. Если c 6 0, то x = log
2/5
3+
√
9−4c
2
; если 0 < c <
9
4
, то
x = log
2/5
3±
√
9−4c
2
; если c =
9
4
, то x = log
2/5
3
2
; если c >
9
4
, то решений нет.
5. [1; 5/2) ∪ [4; +∞). 6. 6
√
3. 7. 5π/12.
ВАРИАНТ 2003 (июль), факультет вычислительной
математики и кибернетики (отделение бакалавров), 2.
Задача 1. Решите неравенство 5|x − 2| − 2|x − 31| > 1.
Задача 2. Решите неравенство
log
“
4
3x−4
”
2
2x − 5
6 1.
Задача 3. Решите уравнение
√
sin x · cos 3x = −sin
x −
π
4
.
Задача 4. При всех значениях параметра d решите уравнение
4
x
+ d · 49
x
= 4 · 14
x
.
Задача 5. Найдите множество значений функции
y = x −
p
x
2
− 2x − 3.
Задача 6. В правильной четырехугольной пирамиды SABCD апо-
фема равна 4
√
2. Через точку касания с боковой гранью SAB вписан-
ного в эту пирамиду шара параллельно прямой AB проведе на секущая
162 Часть 2. Варианты вступительных экзаменов
плоскость P, проходящая через ближайшую к вершине S точку ша-
ра. Известно, что AB = 4
√
2. Найдите площадь сечения пирамиды
плоскостью P.
Задача 7. Дан параллелограмм KLMN, у которого KL = 8, KN =
= 3
√
2 +
√
6 и ∠LKN = 45
◦
. На стороне KL взята такая точка A, что
KA : AL = 3 : 1. Через точку A параллельно LM проведена прямая,
на которой внутри параллелограмма выбрана точка B. На стороне
KN выбрана выбрана точка C так, что KC = AB. Прямые LC и AB
пересекаются в точке D. Найдите величину угла LAD.
Ответы. 1.
h
1;
17
7
i
. 2.
“
5
2
;
8
3
”
∪ [6; +∞). 3.
˘
π
8
+ 2πk;
13π
8
+ 2πn;
k, n ∈ Z
¯
. 4. Если d 6 0, то x = log
2/7
(2 +
√
4 − d); если 0 < d < 4, то
x = log
2/7
(2±
√
4 − d); если d = 4, то x = log
2/7
2; если d > 4, то решений нет.
5. (−∞; −1) ∪ (1; 3]. 6. 3
√
3. 7.
7π
12
.
ВАРИАНТ 2003 (март), физический факультет, 1.
Задача 1. Решите уравнение
cos 3x − 2 sin 2x − cos x − sin x − 1 = 0.
Задача 2. Решите неравенство
7 log
3
(2 + x)
8
< 8 log
2
(−x + 1)
7
· log
3
2.
Задача 3. Решите неравенство
(4
x
− 2 · 2
x
− 3) log
2
x − 3 > 4
x+1
2
− 4
x
.
Задача 4. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) AC =
= 4
√
3, радиус вписанной окружности равен 3. Прямая AE пересекает
высоту BD в точке E, а вписанную окружность — в точках M и N
(M лежит между A и E), ED = 2. Найдите EN .
Задача 5. Решите систему
17
2x
2
+ 3y
+
12
3x
2
− 2y
= 3,
6
3x
2
− 2y
+
34
2x
2
+ 3y
= 3
и изобразите на координатной плоскости Oxy ее решения.
§2.1. Варианты 2003 года 163
Задача 6. Площадь треугольника равна 6
√
6, его периметр равен
18, расстояние от центра вписанной окружности до одной из вершин
равно
2
√
42
3
. Найдите наименьшую сторону треугольника.
Задача 7. Для каждого допустимого значения a в уравнении
√
x +
q
√
a − x = a
1) найдите число различных решений уравнения, 2) найдите эти ре-
шения.
Задача 8. В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
(AA
1
k
kBB
1
kCC
1
), объем которой равен 4, проведено сечение плоскостью
AC
1
B. В пирамиду C
1
AA
1
B
1
B вписан шар. Найдите 1) пл ощадь сече-
ния AC
1
B; 2) радиус сферы, описанной около данной призмы.
Ответы. 1. −π/2 + 2πn, (−1)
n+1
π/12 + πn/2, n ∈ Z. 2. x < −2,
−2 < x < −1/2. 3. 0 < x 6 1/2; x > log
2
3. 4. (1 +
√
33)/2. 5. (−2; 3), (2; 3).
6. 5. 7. Если a = 0, то единственное решение x = 0; если 0 < a < 1, то ре-
шений нет; если 1 6 a < 2
2/3
, то два решения x =
`
a ±
p
2
√
a − a
2
´
2
/4; если
a = 2
2/3
, то единственное решение x = 2
−2/3
; если a > 2
2/3
, то решений нет.
8. 5
√
3/3, 2
√
6/3.
ВАРИАНТ 2003 (март), физический факультет, 2.
Задача 1. Решите уравнение
sin 3x − 2 sin 2x + sin x + cos x − 1 = 0.
Задача 2. Решите неравенство
6 log
7
(3 + x)
5
> 5 log
2
(1 − x)
6
· log
7
2.
Задача 3. Решите неравенство
(9
x
− 2 · 3
x+1
− 7) log
3
x + 7 > 3
2x
− 2 · 9
x+1
2
.
Задача 4. В равнобокую трапецию ABCD (BCkAD) вписана ок-
ружность, касающаяся сторон BC и AD в точках E и F соответствен-
но, AD = 2
√
7, EF = 4. Прямая DM пересекает отрезок EF в точке
M, а вписанную окружность — в точках K и L (K лежит между D и
M), F M : ME = 3. Найдите KM.
164 Часть 2. Варианты вступительных экзаменов
Задача 5. Решите систему
42
5y
2
− 2x
−
23
2y
2
+ 5x
= 2,
46
2y
2
+ 5x
+
14
5y
2
− 2x
= 3
и изобразите на координатной плоскости Oxy ее решения.
Задача 6. Периметр треугольника равен 20, площадь его равна
10
√
2, отрезок биссектрисы от одной из вершин до центра вписанной
окружности равен
√
3. Найдите наибольшую сторону треугольника.
Задача 7. Для каждого допустимого значения a в уравнении
q
√
2a − x − 2a +
√
x = 0
найдите 1) число различных решений уравнения; 2) эти решения.
Задача 8. В правильной треугольной призме KLMK
1
L
1
M
1
(KK
1
k
kLL
1
kMM
1
) проведено сечение плоскостью KL
1
M. Площадь боковой
грани призмы равна
8
√
3
3
. В пирамиду L
1
KK
1
M
1
M вписан шар. Най-
дите 1) объем данной призм ы; 2) радиус сферы, описанной около дан-
ной призмы.
Ответы. 1. (−1)
n+1
π/12 + πn/2, 2πn, n ∈ Z. 2. −1 < x < 1, x > 1.
3. 0 < x 6 log
3
7; x > 3. 4. 3 +
√
57/4. 5. (3; −2), (3; 2). 6. 9. 7. Если a = 0,
то единственное решение x = 0; если 0 < a < 1/2, то решений нет; если
1/2 6 a < 2
−1/3
, то два решения x =
`
2a ±
p
2
√
2a − 4a
2
´
2
/4; если a = 2
−1/3
,
то единственное решение x = 2
−2/3
; если a > 2
−1/3
, то решений нет. 8. 4,
2
√
6/3.
ВАРИАНТ 2003 (май), физический факультет, 1.
Задача 1. Решите уравнение 2 sin(6 cos x · cos 2x − 3 cos 3x) = 1.
Задача 2. Решите систему уравнений
(
9
x
· 7
2y
= 27,
5
y
· 4
x+1
= 32.
Задача 3. Решите неравенство
log
5
(x
2
− 5x + 6)
−1
< log
20
5.
§2.1. Варианты 2003 года 165
Задача 4. В треугольнике KLM даны стороны: KL = m, LM = k,
MK = l. Биссектрисы KA и M B пересекаются в точке O, диагонали
четырехугольника AOBL пересекаются в точке C. Найдите BC : CA.
Задача 5. Решите неравенство
√
12x
2
+ 42x + 1 + |2x
2
+ 7x| > 9.
Задача 6. Окружность проходит через вершину угла ABC и от-
секает на его сторонах равные отрезки BA и BC, ∠ABC = α. Другая
окружность касается отрезков BA и BC в точках M и N соответствен-
но, а также касается первой окружности. Найдите M N : AC.
Задача 7. Для каждого допустимого значения a решите неравен-
ство
p
7 − log
a
x
2
> (log
a
x)(1 − 2 log
|x|
a).
Задача 8. Сфера касается плоскости основания ABC правильной
треугольной пирамиды SABC в точке C, а также касается бокового
ребра SA в точке M , SM : M A = 1 : 2, AB = a. Найдите радиус
сферы.
Ответы. 1. ±arccos (π/18)+2πn, ±arccos (5π/18)+2πn, n ∈ Z. 2.
“
3
2
; 0
”
.
3. x < −2;
5−
√
5
2
< x < 2; 3 < x <
5+
√
5
2
; x > 7. 4.
l+m
l+k
. 5. x 6 −4; x >
1
2
.
6.
`
1 + sin(α/2)
´
−1
. 7. Если 0 < a < 1, то a
3
< x < 1, x > 1; если a > 1, то
0 < x < 1, 1 < x < a
3
. 8. 2a
p
3/23.
ВАРИАНТ 2003 (май), физический факультет, 2.
Задача 1. Решите уравнение
2 cos(8 sin 3x · cos 2x − 4 sin 5x) + 1 = 0.
Задача 2. Решите систему уравнений
(
4
2y +2
· 13
x
= 64,
5
3x
· 9
4y
= 81.
Задача 3. Решите неравенство
log
2
(x
2
+ 7x + 12)
−1
< log
56
2.
Задача 4. В треугольнике ABC даны стороны: AB = c, BC = a,
CA = b. Биссектриса AM пересекает биссектрису BN в точке K. От-
резки M N и CK пересекаются в точке L. Найдите ML : LN.
Задача 5. Решите неравенство 7 − |2x
2
− 7x| 6
√
4 − 8x
2
+ 28x.
166 Часть 2. Варианты вступительных экзаменов
Задача 6. Около равнобедренного треугольника KLM (KL = LM)
описана окружность, ∠KLM = β. Другая окружность касается сто-
рон KL и LM в точках A и B соответственно, а также касается первой
окружности. Найдите отношение площади 4ALB к площади 4KLM.
Задача 7. Для каждого допустимого значения b решите неравен-
ство
p
7 + log
b
x
2
+ (log
b
|x|)(1 + 2 log
x
b) > 0.
Задача 8. В правильной треугольной пирамиде SKLM (S − вер-
шина) KL = b. Сфера касается плоскости основания KLM пира-
миды в точке L, а также касается бокового ребра SK в точке A,
SA : AK = 2 : 1. Найдите радиус сферы.
Ответы. 1. (−1)
n
arcsin
“
π
6
”
+ πn, (−1)
n+1
arcsin
“
π
6
”
+ πn, n ∈ Z.
2.
“
0;
1
2
”
. 3. x < −11;
−7−
√
5
2
< x < −4; −3 < x <
−7+
√
5
2
; x > 4.
4.
c+a
c+b
. 5.
1
2
6 x 6 3. 6. (1 + sin(β/2))
−2
. 7. Если 0 < b < 1, то 0 < x < 1 и
1 < x < b
−3
; если b > 1, то b
−3
< x < 1 и x > 1. 8. (5b/2) ·
p
3/26.
ВАРИАНТ 2003 (июль), физический факультет, 1.
Задача 1. Решите уравнение tg
2
x − 6 cos 2x = 6.
Задача 2. Решите неравенство |x
2
+ 3x| + x
2
− 2 > 0.
Задача 3. Решите неравенство log
25
(5
x
− 1) · log
5
(5
x+2
− 25) < 4.
Задача 4. В трапеции KLMN (LMkKN ) точка A — середина
отрезка M N, LA — биссектриса ∠KLM, средняя линия равна
√
5,
KA = 4. Найдите LA.
Задача 5. Решите систему уравнений
(
√
x − y = 9 − |x + 2y|,
x(x + 4y − 2) + y(4y + 2) = 41.
Задача 6. В треугольнике KLM радиус описанной окружности
равен R, ∠K = α, точка O — центр окружности, вписанной в этот
треугольник. Прямая KO пересекает окружность, описанную около
4KLM , в точке N . Найдите ON.
Задача 7. Для каждого значения a решите неравенство
x
2
· 2
|2a−1|
− 2x + 1
x
2
− (a − 2)x − 2a
> 0.
§2.1. Варианты 2003 года 167
Задача 8. В пирамиде SLM N даны ребра: LM = 5, M N = 9,
NL = 10. Сфера радиуса
5
4
√
14
касается плоскости основания LM N
и боковых ребер пирамиды. Точки касания делят эти ребра в равных
отношениях, считая от вершины S. Найдите объем пирамиды.
Ответы. 1. ±
π
3
+ πn, n ∈ Z. 2. x 6 −
2
3
, x >
1
2
. 3. log
5
626 − 4 <
< x < log
5
26. 4. 2. 5. x = 5, y = 1; x =
1
3
, y = −
11
3
. 6. 2R sin
“
α
2
”
.
7. Если a =
1
2
, то x < −2 и
1
2
< x < 1, x > 1; если a < −2, то x < a и x > −2;
если a = −2, то x < −2 и x > −2; если −2 < a <
1
2
, a >
1
2
, то x < −2 и x > a.
8.
1125
224
.
ВАРИАНТ 2003 (июль), физический факультет, 2.
Задача 1. Решите уравнение 2 cos 2x + 2 tg
2
x = 5.
Задача 2. Решите неравенство |x
2
− 4x| + x
2
−
9
8
6 0.
Задача 3. Решите неравенство log
2
(2
x
− 4) · log
4
(2
x+1
− 8) < 6.
Задача 4. В трапеции BCDE (CD k BE) точка M — середина
отрезка BC, EM — биссектриса ∠DEB, EM = 4, CD + BE = 5.
Найдите DM.
Задача 5. Решите систему уравнений
(
|x − 2y| = 11 −
√
x + y,
x(x − 2) + y(4y − 4x − 2) = 17.
Задача 6. Точка O — центр вписанной окружности треугольника
BCD, ∠C = β. Прямая CO пересекает окружность, описанную около
4BCD, в точке A, OA = a. Найдите радиус окружности, описанной
около 4BCD.
Задача 7. Для каждого значения a решите неравенство
x
2
· 4
|1−4a|
− 4x + 4
x
2
+ (4 − a)x − 4a
> 0.
Задача 8. В пирамиде SABC даны ребра: AB = 7, BC = 8,
CA = 9. Сфера радиуса
7
2
√
5
касается боковых ребер SA, SB и SC
168 Часть 2. Варианты вступительных экзаменов
в точках E, F и G, а также касается плоскости основания. Плоскость
EF G параллельна плоскости ABC. Найдите объем пирамиды.
Ответы. 1. ±
π
3
+πn, n ∈ Z. 2. −
1
4
6 x 6
9
32
. 3. log
2
65−4 < x < log
2
12.
4. 3. 5. x = 13, y = 3; x =
25
3
, y =
23
3
. 6.
a
2 sin
“
β
2
”
. 7. Если a =
1
4
, то
x < −4,
1
4
< x < 2, x > 2; если a < −4, то x < a и x > −4; если a = −4,
то x < −4 и x > −4; если −4 < a <
1
4
, a >
1
4
, то x < −4 и x > a.
8.
63
2
.
ВАРИАНТ 2003 (май), химический факультет, 1.
Задача 1. Найдите все значения параметра a, при которых урав-
нение ax
2
+ (a + 1)x + 1 = 0 имеет единственное решение.
Задача 2. Решите неравенство
x · log
3
x + 1 > log
3
x · log
2
3 + x · log
3
2.
Задача 3. Решите уравнение
sin
(x + 1)π
4x
2
− 4x + 2
= cos
(x − 2)π
4x
2
− 4x + 2
.
Задача 4. В треугольной пирамиде ABCD известны длины рёбер:
AD = 3 см, CD = 5 см, а также углы: ∠ABD = ∠CBD = ∠BAC = π/2;
кроме того, угол между гранями ABC и ADC равен π/12. Найдите
объём пирамиды.
Задача 5. Найдите все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие
системе неравенств
(
y
3
− 3x
2
− 4y + 18x − 26 > 0,
y
3
+ x
2
− 4y − 8x + 14 < 0.
Задача 6. В пятиугольник ABCDE вписана окружность, P —
точка касания этой окружности со стороной BC. Найдите длину от-
резка BP , если известно, что длины всех сторон пятиугольника есть
целые числа, AB = 1 и CD = 3.
Ответы. 1. a = 0, a = 1. 2. (0; log
2
3]∪[2; +∞). 3. x = 1, x = (1±
√
5)/2,
x = (5 ±
√
5)/10. 4. 3/2. 5. (3; 0), (3; 2), (3; −2). 6. 1/2.
§2.1. Варианты 2003 года 169
ВАРИАНТ 2003 (май), химический факультет, 2.
Задача 1. Найдите все значения параметра b, при которых урав-
нение (b + 1)x
2
+ (b + 2)x + 1 = 0 имеет единственное решение.
Задача 2. Решите неравенство
x · log
2
x + 1 > log
2
x · log
3
2 + x · log
2
3.
Задача 3. Решите уравнение
sin
(x + 2)π
4x
2
+ 4x + 2
= cos
(x − 1)π
4x
2
+ 4x + 2
.
Задача 4. В треугольной пирамиде EF GH известны длины рёбер:
|EH| = 4 см, |GH| = 5 см, а также углы: ∠EF H = ∠GF H = ∠F EG =
= π/2; кроме того, угол между гр анями EFG и EHG равен π/4.
Найдите объём пирамиды.
Задача 5. Найдите все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие
системе неравенств
(
y
3
− 3x
2
− 9y + 24x − 47 > 0,
y
3
+ x
2
− 9y − 10x + 23 < 0.
Задача 6. В пятиугольник F GHT E вписана окружность, A — точ-
ка касания этой окружности со стороной GH. Найдите дли ну отрезка
|GA|, если известно, что д лин ы всех сторон пятиугольника есть целые
числа, |F G| = 1 и |HT | = 4.
Ответы. 1. b = −1, b = 0. 2. (0; log
3
2] ∪[3; +∞). 3. x = 0, x =
−1±
√
5
2
,
x =
−5±
√
5
10
. 4. 4. 5. (4; 0), (4; 3), (4; −3). 6. 1/2.
ВАРИАНТ 2003 (июль), химический факультет, факультет
наук о материалах, 1.
Задача 1. Найдите все значения параметра a, при которых мно-
жество решений неравенства
a
x − a
> 0
содержит точку x = 1.
170 Часть 2. Варианты вступительных экзаменов
Задача 2. Решите уравнение
cos
2
8x + sin
2
x = 2 sin
2
x · cos
2
8x.
Задача 3. Решите неравенство
log
√
2+
√
3
(2 − |x − 1|) > log
√
10
(2x − x
2
).
Задача 4. Решите уравнение
1 +
1
√
1 − x
·
1 +
1
√
1 + x
· (
√
1 − x +
√
1 + x) = 8.
Задача 5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Извест-
но, что AC ⊥ BD. Найдите длину |BC|, если расстояние от центра
окружности до стороны AD равно 2.
Задача 6. При каких значениях параметра a система
(x +
√
2z)
2
+ (y +
√
2t)
2
= 25 + 2a
√
25 − a
2
,
x
2
+ y
2
= a
2
,
z
2
+ t
2
= (25 − a
2
)/2
имеет хотя бы одно решение.
Ответы. 1. a ∈ (0; 1). 2. π/2 + πk, k ∈ Z. 3. x ∈ (0; 2). 4. x = 0. 5. 4.
6. a ∈ [−5; 5].
ВАРИАНТ 2003 (июль), химический факультет, факультет
наук о материалах, 2.
Задача 1. Найдите все значения параметра b, при которых мно-
жество решений неравенства
b
x + b
< 0
содержит точку x = 2.
Задача 2. Решите уравнение
cos
2
8x + cos
2
x = 2 cos
2
x · cos
2
8x.