Козко А.И., Чирский В.Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи
Подождите немного. Документ загружается.
§2.3. Варианты 2005 года 291
Задача 3. Решите неравенство
log
0,5−|2x
2
−5x+2|
(0, 5 + |8x
2
− 2x − 1|) > 1.
Задача 4. Найдите площадь трапеции ABCD (BC k AD), впи-
санной в окружность с центром в точке O, если её высота равна 2, а
угол COD равен 60
◦
.
Задача 5. Выясните, верно ли следующее утверждение: множест-
во значений функции y = cos 2x−3 sin x принадлежит отрезку [−4;
√
5].
Ответ надо обосновать.
Задача 6. Общий процент прибыли за весь товар, проданный в
трёх магазинах, расположенных в разных районах города, составил
26, 8%. Через первый магазин было продано 60% всего товара, через
второй — 40% оставшейся части товара. С какой прибылью продан
товар через третий магазин, если прибыль от продажи в первом со-
ставила 30%, а во втором — 25%?
Задача 7. В кубе ABCDA
0
B
0
C
0
D
0
(AA
0
k BB
0
k CC
0
k DD
0
—
боковые р ёбра) верхняя грань ABCD является одновременно осно-
ванием правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, у которой
высота вдвое меньше длины ребра куба. Найдите угол между прямы-
ми A
0
B и AS.
Задача 8. Переменные x, y связаны условием
x
2
+ y
2
− 6x + 4y + 10 = 0.
Найдите все значения параметра a, пр и которых разность между наи-
большим и наименьшим значением выражения 2ax − 3y − 10 больше
12.
Ответы. 1. 126. 2. (−3.2; −
√
3.2) ∪ [−1; 0) ∪ (0;
p
3/2). 3. 1/2. 4. 4
√
3.
5. Утверждение верно. 6. 20%. 7. π/2, arccos(5/6). 8. a ∈ (−∞; −
√
3/2) ∪
∪ (
√
3/2; +∞).
ВАРИАНТ 2005 (июль), факультет глобальных процессов, 2.
Задача 1. В соревнованиях по перетягиванию каната участвуют
63 команды. Команда выбывает из соревнований сразу после пораже-
ния. Сколько встреч требуется провести, чтобы выявить победителя?
Задача 2. Решите неравенство
1
2x
2
− x
6
1
2x
3
− x
.
292 Часть 2. Варианты вступительных экзаменов
Задача 3. Решите неравенство
log
1/3−|4x
2
−7x−2|
(1/3 + |12x
2
+ 7x + 1|) > 1.
Задача 4. Вокруг трапеции P QRS (P S k QR), площадь которой
равна 3
√
3, описан а окружность с центром в точке O. Найдите вели-
чину угла SOR, если известно, что высота в трапеции равна 3.
Задача 5. Выясните, верно ли следующее утверждение: множе-
ство значений функции y = 2 cos 4x − cos 2x принадлежит отрезку
[−3/
√
2; 3]. Ответ надо обосновать.
Задача 6. Общий процент прибыли за весь товар, проданный в
трёх магазинах, расположенных в разных районах города, составил
25, 4%. Через первый магазин было продано 40% всего товара, через
второй — 60% оставшейся части товара. С какой прибылью продан
товар через третий магазин, если прибыль от продажи в первом со-
ставила 35%, а во втором — 25%?
Задача 7. В кубе ABCDA
0
B
0
C
0
D
0
(AA
0
k BB
0
k CC
0
k DD
0
—
боковые р ёбра) верхняя грань ABCD является одновременно осно-
ванием правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, у которой
высота вдвое больше длины ребра куба. Найдите угол между прямы-
ми A
0
D и AS.
Задача 8. Переменные x, y связаны условием
x
2
+ y
2
+ 4x − 8y + 15 = 0.
Найдите все значения параметра a, пр и которых разность между наи-
большим и наименьшим значением выражения 3x + 2ay + 7 не п ревос -
ходит 20.
Ответы. 1. 62. 2. (−1/
√
2; 0) ∪ (0; 1/2) ∪ (1/
√
2; 1]. 3. −1/4. 4. 120
◦
.
5. Утверждение верно. 6. 10%. 7. π/3, arccos(5/6). 8. a ∈ [−
√
11/2;
√
11/2].
§2.4. Варианты 2006 года
ВАРИАНТ 2006 (апрель), «Покори Воробьёвы горы–2006»
1
, 1.
Задача 1. Решите неравенство
√
x + 3 > x − 2.
1
Этот вариант писали на факультетах: химическом, биологическом, географи-
ческом, почвоведения, факультете наук о материалах и психологическом.
§2.4. Варианты 2006 года 293
Задача 2. Решите неравенство |x + 3| − |x
2
+ x − 2| > 1.
Задача 3. Решите уравнение log
cos x
4(1−sin x)
3
= 2.
Задача 4. Первый член арифметической прогрессии равен −12,
разность равна 24/11. Найдите сумму первых n членов э той прогрес-
сии при условии, что она меньше −39.
Задача 5. В выпуклом четырёхугольнике расстояния между се-
рединами каких-то сторон равны 1, 2 и
√
5. Найдите площадь этого
четырёхугольника.
Задача 6. При всех значениях параметра a решите уравнение
2
ax+3
x
2
+3
+ 2
4x
2
−ax+9
x
2
+3
= 10.
Ответы. 1. [−3; (5 +
√
21)/2). 2. x ∈ {−2} ∪ [0; 2]. 3. arcsin(1/3) + 2πl,
l ∈ Z. 4. S
n
= S
6
= −432/11. 5. S
1
= S
2
= S
3
= 4, S
4
=
√
55/2 6. x = 0 a
при любом a, x = (a ±
√
a
2
− 72)/6 при |a| > 6
√
2.
ВАРИАНТ 2006 (апрель), «Покори Воробьёвы горы–2006», 2.
Задача 1. Решите неравенство
√
x + 2 > x − 3.
Задача 2. Решите неравенство |x
2
− x − 2| − |x + 2| 6 −1.
Задача 3. Решите уравнение log
sin x
5(1−cos x)
4
= 2.
Задача 4. Первый член арифметической прогрессии равен 14, раз-
ность равна −28/11. Найдите сумму первых n членов этой прогрессии
при условии, что она больше 45.
Задача 5. В выпуклом четырёхугольнике расстояния между се-
рединами каких-то сторон равны 1, 2 и
√
3. Найдите площадь этого
четырёхугольника.
Задача 6. При всех значениях параметра a решить уравнение
3
ax+2
x
2
+2
+ 3
3x
2
−ax+4
x
2
+2
= 12.
Ответы. 1. [−2; (7 +
√
21)/21). 2. x ∈ {−1}∪ [1; 3]. 3. arccos(1/4) + 2πl,
l ∈ Z. 4. S
n
= S
6
= 504/11. 5. S
1
= S
2
= S
3
= 2
√
3, S
4
=
√
39/2 6. x = 0, a
при любом a, x = (a ±
√
a
2
− 16)/4 при |a| > 4.
294 Часть 2. Варианты вступительных экзаменов
ВАРИАНТ 2006 (май), «Ломоносов–2006»
1
, 1.
Задача 1. Вычислите
log
4
log
2
r
q
. . .
√
16.
| {z }
40
Задача 2. Что больше: tg(11π/6) или меньший корень уравнения
11x
2
− 17x − 13 = 0?
Задача 3. Решите уравнение
cos(x
2
+ x) + cos(x + 2π/3) + cos(x + 4π/3) = 0.
Задача 4. Точки A, B и C лежат на одной прямой. Отрезок AB
является диаметром первой окружности, а отрезок BC — диаметром
второй окружности. Прямая, проходящая через точку A, пересекает
первую окружность в точке D и касается второй окружности в точке
E. Известно, что BD = 9, BE = 12. Найдите радиусы окружностей.
Задача 5. Из пункта A в пункт B в 8
00
выехал велосипеди ст, а
через некоторое время из B в A вышел пешеход. Велосипедист прибыл
в B через 6 часов после выхода оттуда пешехода. Пешеход пришёл в
A в 17
00
того же дня. Скорости велосипедиста и пешехода постоянны.
Какую долю пути из A в B проехал велосипедист до его встречи с
пешеходом?
Задача 6. Решите неравенство
√
4 − x − 2 6 x|x − 3| + 4x.
Задача 7. Найдите все значения параметра a, при каждом из ко-
торых уравнение
cos 2x − 2a sin x − |2a − 1| + 2 = 0
имеет решения и все его положительные реше ния образуют арифме-
тическую прогрессию.
Задача 8. В треугольной пирамиде SABC ребро SA перпендику-
лярно плоскости ABC, ∠SCB = 90
◦
, BC =
√
5, AC =
√
7. Последова-
тельность точек O
n
строится следующим образом: точка O
1
— центр
сферы, описанной около пирамиды SABC, и для каждого натураль-
ного n > 2 точка O
n
— это центр сферы, описанной около пирамиды
1
Этот экзамен состоялся на факультетах: механико-математическом, ВМиК, хи-
мическом, физическом, биологическом, геологическом и факультете почвоведения.
§2.4. Варианты 2006 года 295
O
n−1
ABC. Какую длину должно иметь ребро SA, чтобы множество
{O
n
} состояло ровно из двух различных точек?
Задача 9. На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник размером
m×n клеток, причём числа m и n взаимно просты и m < n. Диагональ
этого прямоугольника не пересекает ровно 116 ег о клеток. Найдите все
возможные значения m и n.
Задача 10. Решите неравенство
4(1 − tg x)
2004
+ (1 + tg x)
2006
> 2
2006
.
Ответы. 1. −19. 2. Меньший корень уравнения больше. 3. ±
√
2πk,
−1 ±
√
1 + 2πn, k, n = 0, 1, 2, . . . 4. 36, 8. 5. 3/5. 6. [0; 4]. 7. (−∞; −2] ∪
∪{−1/2}∪[0; 1/2]∪ {2}. 8. 2, 2
√
3. 9. (2; 117), (3; 59). 10. x ∈ [
π
4
+πk;
π
2
+πk]∪
∪ [−
π
2
+ πn; −
π
4
+ πn], k, n ∈ Z.
ВАРИАНТ 2006 (май), «Ломоносов–2006», 2.
Задача 1. Вычислите
log
2
log
8
r
q
. . .
√
64.
| {z }
39
Задача 2. Что больше: ctg(17π/6) или меньший корень квадрат-
ного трёхчлена 7x
2
− 13x − 43?
Задача 3. Решите уравнение
sin(x
2
+ x) + sin(x + 2π/3) + sin(x + 4π/3) = 0.
Задача 4. Точки K, L и M лежат на одной прямой. Отрезок KL
является диаметром первой окружности, а отрезок LM — диаметром
второй окружности. Прямая, проходящая через точк у K, пересекает
первую окружность в точке N и касается второй окружности в точке
S. Известно, что LN = 8, NS = 4. Найди те радиусы окружностей.
Задача 5. Из пункта A в пункт B в 7
00
вышел пешеход, а через
некоторое время из B в A выехал всадник. Пешеход пришёл в B через
12 часов после выезда оттуда всадника. Всадник приехал в A в 16
00
того же дня. Скорости пешехода и всадника постоянны. Какую долю
пути из A в B прошёл пешеход до его встречи со всадником?
296 Часть 2. Варианты вступительных экзаменов
Задача 6. Решите неравенство
√
x + 1 − 1 6 −x|x − 2| − 4x.
Задача 7. Найдите все значения параметра a, при каждом из ко-
торых уравнение
cos 2x + 2a cos x + |2a + 1| − 2 = 0
имеет решения и все его положительные реше ния образуют арифме-
тическую прогрессию.
Задача 8. В треугольной пирамиде KLMN ребро KN перпенди-
кулярно плоскости LM N, ∠KLM = 90
◦
, N L =
√
6, M L = 3. Последо-
вательность точек O
n
строится следующим образом: точка O
1
— центр
сферы, описанной около пирамиды KLMN, и для каждого натураль-
ного n > 2 точка O
n
— это центр сферы, описанной около пирамиды
O
n−1
LMN . Какую длину должно иметь ребро KN, чтобы множество
{O
n
} состояло ровно из двух различных точек?
Задача 9. На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник размером
m×n клеток, причём числа m и n взаимно просты и m < n. Диагональ
этого прямоугольника не пересекает ровно 124 ег о клеток. Найдите все
возможные значения m и n.
Задача 10. Решите неравенство
(1 − ctg x)
2006
+ 4(1 + ctg x)
2004
6 2
2006
.
Ответы. 1. −38. 2. Меньший корень трёхчлена больше. 3. ±
√
2πk,
−1 ±
√
1 + π + 2πn, k, n = 0, 1, 2, . . . 4. 20/3, 5. 5. 3/7. 6. [−1; 0]. 7. {−2} ∪
∪[−1/2; 0]∪{1/2}∪[2; +∞). 8.
√
5,
√
15. 9. (2; 125), (5; 32). 10. x ∈ [π/4+πk;
3π/4 + πk], k ∈ Z.