Козко А.И., Чирский В.Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи
Подождите немного. Документ загружается.
§2.2. Варианты 2004 года 231
Задача 4. Решите неравенство
log
(2
x
−2)
2
4
x+1
− 5 · 2
x+2
+ 24
−
− log
(2
x
−2)
−2
2
2x−2
− 7 · 2
x−2
+ 5/2
> 3/2.
Задача 5. В шар радиуса 4 вписана правильная шестиугольная
пирамида с высотой 6, а в нее вписан второй шар. Найдите радиус
второго шара.
Ответы. 1. (3±
√
13)/2. 2. π/10 + πm/5, π/2 + πn, m, n ∈ Z. 3. 15
√
2/2.
4. (−∞; 0) ∪
ˆ
log
2
((9 +
√
13)/2); +∞
´
. 5. 6/(1 +
√
5).
ВАРИАНТ 2004 (июль), биологический факультет,
факультет фундаментальной медицины, факультет
биоинженерии и биоинформатики, 2.
Задача 1. Решите уравнение
√
5 − 2x = |2x − 2|.
Задача 2. Решите уравнение sin 5x cos 3x = sin 7x cos x.
Задача 3. В равнобокой трапеции с основаниями 1 и 25 располо-
жены две окружности, каждая из которых касается другой окружно-
сти, двух боковых сторон и одного из оснований. Найдите площадь
трапеции.
Задача 4. Решите неравенство
log
(3
x
−5)
2
9
x+1
− 8 · 3
x+2
+ 135
−
− log
(3
x
−5)
−2
3
2x−2
− 3
x−2
+ 20/9
> 3/2.
Задача 5. Около шара рад иуса 3 описана правильная шестиуголь-
ная пирамида с высотой 10, а около нее описан второй шар. Найдите
радиус второго шара.
Ответы. 1. (3 ±
√
13)/4. 2. π/8 + πm/4, πn/2, m, n ∈ Z. 3. 78
√
5.
4.
`
−∞; log
3
(3 −
√
2)
˜
∪ (log
3
6; +∞). 5. 13/2.
ВАРИАНТ 2004 (июль), географический факультет, 1.
Задача 1. Решите неравенство
√
x
6
− 64
x − 3
> 0.
232 Часть 2. Варианты вступительных экзаменов
Задача 2. Решите уравнение
sin 3x
sin x + sin 2x
= 0.
Задача 3. Пункты A и B соединены двумя дорогами. Первая до-
рога разделена паромной переправой с одним паромом. На второй
дороге препятствий нет. Переправа на пароме занимает
1
2
часа. Па-
ром работает без перерывов. Из пункта A по первой дороге выезжает
автомобиль, скорость движения которого по дороге равна 60 км/ч.
Одновременно с ним из пункта B по той же дороге выезжает трактор
со скоростью 20 км/ч. Автомобиль без задержки переправляется паро-
мом и встречает трактор, ожидающий паром. После прибытия в пункт
B автомобиль без остановки возвращается по второй дороге и прибы-
вает в пункт A на 15 минут раньше трактора, затратив на обратный
путь на
1
2
часа больше, чем на путь из A в B. Найдите а) разность
между длинам и второй и первой дорог не учитывая длину переправы;
б) длину второй дороги, если известно, что поехав обратно по первой
дороге, автомобиль прибыл в пункт A одновременно с трактором.
Задача 4. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки K, L, M,
N — сере ди ны сторон AB, BC, CD, DA соответственно. Отрезки KM
и LN пересекаются в точке E. Площади четырехугольников AKEN ,
BKNL и DNEM равны соответственно 6, 6 и 12. Найдите а) площадь
четырехугольника CM EL; б) длину отрезка CD, если AB =
1
2
.
Задача 5. При каких значениях параметра a система
(
|x − a| + |y − a| + |a + 1 − x| + |a + 1 − y| = 2,
y + 2|x − 5| = 6
имеет единственное решение?
Задача 6. Сколько цифр содержится в десятичной записи 99991-го
члена последовательности a
n
, если a
1
= 0, a
n+1
= 2a
n
+ 1024, lg 2 =
= 0, 301029 . . .?
Ответы. 1. {−2} ∪ {2} ∪ (3; +∞). 2. ±
π
3
+ 2πn, n ∈ Z. 3. а) 60 км, б)
195
2
км. 4. а) 12, б)
5
2
. 5. 2,
16
3
. 6. 30103.
ВАРИАНТ 2004 (июль), географический факультет, 2.
Задача 1. Решите неравенство
√
x
10
− 1
x − 2
> 0.
§2.2. Варианты 2004 года 233
Задача 2. Решите уравнение
sin 4x
cos x − cos 3x
= 0.
Задача 3. Пункты A и B соединены двумя дорогами. Первая до-
рога разделена паромной переправой с одним паромом. На второй
дороге препятствий нет. Переправа на пароме занимает
1
2
часа. Па-
ром работает без перерывов. Из пункта A по первой дороге выезжает
мотоцикл, скорость движения которого по дороге равна 30 км/ч. Од-
новременно с ним из пункта B по той же дороге выезжает велосипед со
скоростью 10 км/ч. Мотоцикл без задержки переправляется паромом
и встречает велосипед, ожидающий паром. После прибытия в пункт
B мотоцикл без остановки возвращается по второй дороге и прибыва-
ет в пункт A на 15 минут раньше велосипеда, затратив на обратный
путь на
1
2
часа больше, чем на путь из A в B. Найдите а) разность
между длинами второй и первой дорог, не учитывая длину переправы;
б) длину второй дороги, если известно, что, поехав обратно по первой
дороге, мотоцикл прибыл в пункт A одновременно с велосипедом.
Задача 4. В выпуклом четырехугольнике KLMN точки A, B, C,
D — середины сторон KL, LM, MN, NK соответственно. Известно,
что KL = 3. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Площади
четырехугольников KAOD, LAOB и NDOC равны соответственно 6,
6 и 9. Найдите а) площадь четырехугольника MCOB; б) длину отрезка
MN .
Задача 5. При каких значениях параметра a система
(
|x + a| + |y − a| + |a + 1 + x| + |a + 1 − y| = 2,
y = 2|x − 4| − 5
имеет единственное решение?
Задача 6. Сколько цифр содержится в десятичной записи 9998-го
члена последовательности a
n
, если a
1
= 0, a
n+1
= 5a
n
+ 500, lg 5 =
= 0, 698970 . . .?
Ответы. 1. {−1}∪{1}∪(2; +∞). 2.
π
4
+
πn
2
, n ∈ Z. 3. а) 30 км, б)
195
4
км.
4. а) 9, б) 7. 5. −2, −
16
3
. 6. 6990.
ВАРИАНТ 2004 (май), факультет почвоведения, 1.
Задача 1. Вычислите sin 255
◦
234 Часть 2. Варианты вступительных экзаменов
Задача 2. Пусть a =
√
10 −
√
11. Докажите, что число a
2
+ 1/a
2
является целым.
Задача 3. Решите неравенство 4
x
< 2
x+1
+ 3.
Задача 4. Решите уравнение |cos x − 2 sin x| + cos x = 0.
Задача 5. Точки M и N находятся на боковых сторонах AB и
CD трапеции ABCD, прямая MN параллельна AD, а отрезок M N
делится диагоналями трапециями на три равные части. Найдите длину
отрезка MN, если AD = a, BC = b, а точка пересечения диагоналей
трапеции лежит внутри четырёхугольника MBCN .
Задача 6. Шарик радиуса r брошен в стакан, образованный вра-
щением параболы y = 3x
2
вокруг оси Oy. При каком наибольшем
значении r шарик достигнет дна стакана (точки O(0; 0))?
Ответы. 1. x = −(
√
6+
√
2)/4. 2. 42. 3. x ∈ (−∞; log
2
3). 4. −
3π
4
+2πm,
π + 2πn, m, n ∈ Z. 5. 3ab/(a + 2b). 6. 1/6.
ВАРИАНТ 2004 (май), факультет почвоведения, 2.
Задача 1. Вычислите cos 195
◦
Задача 2. Пусть m =
√
6 −
√
7. Докажите, что число m
2
+ 1/m
2
является целым.
Задача 3. Решите неравенство 36
x
+ 6
x+1
> 16.
Задача 4. Решите уравнение |2 cos x − sin x| + sin x = 0.
Задача 5. На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD отме-
чены точки P и Q так, что прямая P Q параллельна AD, а отрезок P Q
делится диагоналями трапециями на три равные части. Найдите дли-
ну основания BC, если известно AD = a, P Q = m, а точка пересечения
диагоналей трапеции лежит внутри четырёхугольника P BCQ.
Задача 6. Шарик радиуса 4 брошен в стакан, образованный вра-
щением параболы y = ax
2
вокруг оси Oy. При каком наибольшем
значении параметра a шарик достигнет дна стакана (точки O(0; 0))?
Ответы. 1. x = −(
√
6+
√
2)/4. 2. 26. 3. x ∈ (log
6
2; +∞). 4. −π/2+2πm,
5π/4 + 2πn, m, n ∈ Z. 5. am/(3a − 2m). 6. 1/8.
ВАРИАНТ 2004 (июль), факультет почвоведения, 1.
Задача 1. Найдите наибольшее и наим еньш ее значения функции
y = 2x
2
− 3x при x ∈ [−1; 3].
§2.2. Варианты 2004 года 235
Задача 2. Решите уравнение |5x + 1| + 7x + 2 = 0.
Задача 3. Решите уравнение
p
x
2
+ 5x + 4 −
p
x
2
− x − 6 = −
p
2x
2
+ 4x − 2.
Задача 4. Решите неравенство log
0,5
(2
x+1
− 3) > x − 1.
Задача 5. Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству
0 6 x < 0 и являющиеся решениями уравнения
√
tg 3x =
√
−tg x.
Задача 6. В окружность радиуса 5 вписан квадрат. На окруж-
ности отмечена точка, расстояние от которой до одной из вершин
квадрата равно 6. Найдите расстояние от этой точки до трёх других
вершин квадрата.
Задача 7. Докажите, что график функции
y = 4x + log
2
x
2
+ 5x
x
2
+ 3x − 4
имеет це нтр симметрии, и найдите координаты (x; y) этого центра сим-
метрии.
Ответы. 1. max y = 9, min y = −9/8. 2. x = −1/2. 3. −4. 4. x ∈
∈ (log
2
(3/2); 1]. 5. 0, 3π/4. 6. 8,
√
2, 7
√
2. 7. (−2; −8).
ВАРИАНТ 2004 (июль), факультет почвоведения, 2.
Задача 1. Найдите наибольшее и наим еньш ее значения функции
y = 2x
2
− 5x при x ∈ [−1; 4].
Задача 2. Решите уравнение |2x + 1| + 4x + 4 = 0.
Задача 3. Решите уравнение
p
x
2
+ 7x + 6 −
p
x
2
+ 2x − 3 = −
p
2x
2
+ 9x + 3.
Задача 4. Решите неравенство log
0,1
(10
x
− 9) > x − 1.
Задача 5. Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству
−π/2 6 x < π/2 и являющиеся решениями уравнения
√
−tg x =
√
tg 7x.
Задача 6. Вокруг квадрата со стороной 3 описана окружность.
На окружности отмечена точка, расстояние от которой до одной из
вершин квадрата равно 2. Найдите расстояние от этой точки до трёх
других вершин квадрата.
236 Часть 2. Варианты вступительных экзаменов
Задача 7. Докажите, что график функции
y = 2x + log
3
x
2
+ 2x
x
2
+ 10x + 24
имеет це нтр симметрии, и найдите координаты (x; y) этого центра сим-
метрии.
Ответы. 1. max y = 12, min y = −25/8. 2. x ∈ (−3; 0) ∪ (0; 3). 3. 0; 8.
4. x ∈ (lg 9; 1]. 5. 0, −π/6, −π/3. 6.
√
14,
√
7 ±
√
2. 7. (−1; −2).
ВАРИАНТ 2004 (июль), геологический факультет, 1.
Задача 1. Решите неравенство
x − 2
|x − 2|
6 4 − x
2
.
Задача 2. Какие значения может принимать sin x, если
sin
x +
π
3
= −
1
2
?
Задача 3. Решите неравенство
√
441 − x
2
6 x + 21.
Задача 4. В треугольнике ABC угол B прямой, точка M лежит
на стороне AC, причем AM : MC = 1 : 3
√
3. Величина угла ABM
равна
π
6
, BM = 6. Найдите величину угла BAC и расстояние меж-
ду центрами окружностей, описанных вокруг треугольников BCM и
BAM.
Задача 5. Решите неравенство
log
3−x
(x
2
− 10x + 25) − 2 log
3−x
(4x − x
2
+ 5) + 2 6 0.
Задача 6. Две группы геологов исследуют маршрут, проходящий
от пункта A через пункт B до пункта C. Первая группа проходит
весь маршрут за 2, а вторая — за 3 дня. Расстояни е между A и B
вдвое меньше расстояния между B и C. Скорости движения групп на
участках AB и BC пос тоянны, но на участке AB скорости обеих групп
в m раз м еньш е, чем их скорости на участке BC. Группы выходят
одновременно из A и C навстречу друг другу. Если первая группа
выходит из A, а вторая из C, то они встречаются в пункте B. Если же
первая выходит из C, а вторая из A, то они встречаются в пункте D.
§2.2. Варианты 2004 года 237
Какую часть от длины всего маршрута составляет расстояние между
B и D ? Чему равно значение m?
Задача 7. Решите систему уравнений
sin x
cos (x + y)
= −
1
√
2
,
cos x
cos (x + y)
=
1
√
2
.
Задача 8. Основанием пирамиды SABC является правильный тре-
угольник ABC со стороной длины 2
√
2. Ребра SB и SC равны, шар
касается сторон основания, плоскости грани SBC, а также ребра SA.
Чему равен радиус шара, если SA =
3
√
2
2
?
Ответы. 1. [−
√
5; 2). 2.
n
−1;
1
2
o
. 3. {−21} ∪ [0; 21]. 4. arctg 3; 10.
5. [1; 2). 6.
1
9
; m = 3. 7.
n“
π
4
+ 2πm;
3π
4
+ 2πk
”
;
“
−
π
4
+ 2πm;
π
4
+ 2πk
”
;
k, m ∈ Z
o
. 8. 1.
ВАРИАНТ 2004 (июль), геологический факультет, 2.
Задача 1. Решите неравенство
x − 3
|x − 3|
6 5 − x
2
.
Задача 2. Какие значения может принимать cos x, если
cos
x +
π
6
= −
1
2
?
Задача 3. Решите неравенство
√
289 − x
2
6 x + 17.
Задача 4. В треугольнике ABC угол B прямой, точка M лежит на
стороне AC, причем AM : MC =
√
3 : 4. Величина угла ABM равна
π
3
,
BM = 8. Найдите величину угла BAC и расстояние между центрами
окружностей, описанных вокруг треугольников BCM и BAM.
Задача 5. Решите неравенство
log
5−x
(x
2
− 14x + 49) − 2 log
5−x
(8x − x
2
− 7) + 2 6 0.
238 Часть 2. Варианты вступительных экзаменов
Задача 6. Две группы геологов исследуют маршрут, проходящий
от пункта A через пункт B до пункта C. Первая группа проходит
весь маршрут за 2, а вторая — з а 3 дня. Расстояни е между B и C
вдвое меньше расстояния между A и B. Скорости движения групп на
участках AB и BC пос тоянны, но на участке AB скорости обеих групп
в m раз больше, чем их скорости на участке BC. Группы выходят
одновременно из A и C навстречу друг другу. Если первая группа
выходит из A, а вторая из C, то они встречаются в пункте B. Если же
первая выходит из C, а вторая из A, то они встречаются в пункте D.
Какую часть от длины всего маршрута составляет расстояние между
B и D ? Чему равно значение m?
Задача 7. Решите систему уравнений
sin x
cos (x − y)
=
1
√
3
,
cos x
cos (x − y)
= −
1
√
3
.
Задача 8. Основанием пирамиды SABC является правильный тре-
угольник ABC со стороной длины 4
√
2. Ребра SB и SC равны, шар
касается сторон основания, плоскости грани SBC, а также ребра SA.
Чему равен радиус шара, если SA = 3
√
2?
Ответы. 1. [−
√
6;
√
6]. 2.
˘
0; −
√
3/2
¯
. 3. {−17} ∪ [0; 17]. 4. arctg 4; 17.
5. [3; 4). 6.
2
9
; m =
4
3
. 7.
n“
5π
6
+ 2πm;
2π
3
+ 2πk
”
;
“
−
5π
6
+ 2πm;
π
3
+ 2πk
”
;
k, m ∈ Z
o
. 8. 2.
ВАРИАНТ 2004 (июль), филологический факультет, 1.
Задача 1. При каких значениях параметра a уравнение
x
2
+ x +
2a − 1
a + 5
= 0
не имеет решений?
Задача 2. Решите уравнение
4 cos
2
3x − 4 cos
3x −
π
2
− 1 = 0 .
Задача 3. Решите уравнение
(x + 4) · (x
2
+ 4) = 5 − 2
x+4
− 16(
√
2)
x
.
§2.2. Варианты 2004 года 239
Задача 4. Из точки M на плоскость α опущен перпендикуляр MH
длины
√
3 и проведены две наклонные, составляющие с перпендику-
ляром углы по 60
◦
. Угол между наклонными равен 120
◦
. 1. Найдите
расстояние между основаниями A и B наклонных. 2. На отрезке AB
как на катете в плоскости α построен прямоугольный треугольник
ABC (угол A прямой). Найдите объем пирамиды MABC, зная, что
cos(∠BMC) = −
1
3
.
Задача 5. Криптографическая лаборатория получила задание рас-
шифровать три текста одинакового объема. Капитан Иванов на рас-
шифровку первого и второго текстов в сумме затратил 40,5 минут, а на
расшифровку второго и третьего — 37,5 минут. Оказалось также, что
второй текст он расшифровывал с такой же скоростью, как в средн ем
первый и третий. За какое время капитан Иванов выполнил задание?
Задача 6. Дана система уравнений
(
y = a|x − 3a|,
|x| = b − |y|.
1. При каких значениях параметров a и b эта система относительно
неизвестных x и y имеет бесконечно много решений? 2. На плоскости
(x; y) изобразите множество точек, координаты которых таковы, что
система относительно неизвестных a и b имеет ровно три решения.
Ответы. 1. (−∞; −5) ∪ (−
9
7
; +∞). 2. (−1)
n
π
18
+
πn
3
, n ∈ Z. 3. −4.
4. 1. 6. 2. 3
√
5. 5. 58,5 минут. 6. 1. (±1; 3). 2. 0 < y <
x
2
12
при x > 0 и
−
x
2
12
< y < 0 при x < 0.
ВАРИАНТ 2004 (июль), филологический факультет, 2.
Задача 1. При каких значениях параметра a уравнение
x
2
− x +
3 − a
2a + 1
= 0
не имеет решений?
Задача 2. Решите уравнение
2 sin
2
4x − 5 sin
π
2
− 4x
+ 1 = 0 .
240 Часть 2. Варианты вступительных экзаменов
Задача 3. Решите уравнение
(x − 3) · (x
2
+ 2) = 12 − 3
x−1
−
1
3
· (
√
3)
x+1
.
Задача 4. Из точки M на плоскость α опущен перпендикуляр MH
длины 3 и проведены две наклонные, составляющие с перпендику-
ляром углы по 30
◦
. Угол между наклонными равен 60
◦
. 1. Найдите
расстояние между основаниями A и B наклонных. 2. На отрезке AB
как на катете в плоскости α построен прямоугольный треугольник
ABC (угол A прямой). Найдите объем пирамиды MABC, зная, что
cos(∠BMC) =
3
4
.
Задача 5. Бюро пе реводов получило заказ на перевод трех тек-
стов одинакового объема. Переводчица Сидорова на перевод первого
и второго текстов в сумме потратила 1 час 21 минуту, а на перевод
первого и третьег о — 1 час 18 минут. Оказалось также, что второй
текст она переводила с такой же скоростью, как в среднем первый и
третий. За какое время был выполнен весь перевод?
Задача 6. Дана система уравнений
(
y = a|x − 2a|,
|x| = b + |y|.
1. При каких значениях параметров a и b эта система относительно
неизвестных x и y имеет бесконечно много решений? 2. На плоскости
(x; y) изобразите множество точек, координаты которых таковы, что
система относительно неизвестных a и b имеет ровно три решения.
Ответы. 1.
“
−
1
2
;
11
6
”
. 2. ±
π
12
+
πn
2
, n ∈ Z. 3. 3. 4. 1. 2
√
3. 2. 6.
5. 1 час 57 минут. 6. 1. (±1; ±2). 2. 0 < y <
x
2
8
при x > 0 и −
x
2
8
< y < 0
при x < 0.
ВАРИАНТ 2004 (июль), экономический факультет
(отделение экономики), 1.
Задача 1. Вычислите произведение всех отрицательных корней
уравнения
3x
3
2 sin
14π
3
+
1
√
3x
= 2
√
5x tg
13π
4
.