Коваленко Л.Б. Вища математика для менеджерів
Подождите немного. Документ загружается.
131
Розділ
4. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ
ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
4.1. ПОХІДНА ТА ДИФЕРЕНЦІАЛ
4.1.1. Поняття похідної як швидкості зміни функції
Нехай дано функцію
. Знайдемо швидкість
зміни функції на інтервалі
,∆
. Для цього по приросту
аргументу ∆ знайдемо приріст функції ∆ і розглянемо їх
відношення:
∆
∆
∆
∆
.
Визначення 4.1. Відношення
∆
∆
називається середньою
швидкістю
сер.
зміни функції на інтервалі
,∆
.
Зрозуміло, що чим менший інтервал, тим краще середня
швидкість характеризує зміну функцію,тому примушуємо
приріст аргументу прямувати до нуля: ∆0.
Визначення 4.2. Швидкістю зміни функції в даній точці
називається границя середньої швидкості зміни функції на
інтервалі
,∆
при прямуванні ∆ до нуля:
lim
∆
сер.
lim
∆
∆
∆
lim
∆
∆
∆
.
Отже, швидкість зміни функції
визначається
послідовним виконанням наступних дій:
1) По приросту ∆, яке надається даному значенню
незалежної змінної , знаходиться відповідний
приріст функції
∆
∆
;
2)
Складається відношення
∆
∆
;
3) Знаходиться границя цього відношення (якщо вона
існує) при довільному прямуванні ∆ до нуля.
132
4.1.2. Визначення похідної
Визначення 4.3. Похідною даної функції називається
границя відношення приросту функції до приросту незалежної
змінної при довільному прямуванні цього приросту до нуля,
якщо така границя існує:
lim
∆
∆
∆
. (4.1)
Поняття похідної – одне з фундаментальних понять в
математичному аналізі. Один з засновників аналізу І. Ньютон
прийшов до поняття похідної, розв’язуючи питання при
швидкість руху.
- читаємо «еф штрих від ікс».
Користуючись визначенням похідної, можна сказати,
що:
1) швидкість прямолінійного руху є похідна від закону
руху
по часу ;
2) лінійна щільність є похідна від маси !
"
по
довжині ";
3) теплоємність є похідна від кількості тепла #$
%
по температурі %;
4) швидкість хімічної реакції є похідна від кількості
речовини &
по часу .
4.1.3. Техніка диференціювання елементарних функцій
1. Похідна константи. Нехай '.
При значенні незалежної змінної функція дорівнює
'. Новому значенню аргументу ∆ відповідає
значення функції ∆'. Але звідси ∆0 і
∆
∆
0. Отже lim
∆
∆
∆
0.
'
(
0. (4.2)
133
2. Похідна незалежної змінної. Нехай ,тоді ∆
∆. Звідси ∆∆ і
∆
∆
1, тому і
(
1.
(
1. (4.3)
3. Похідна степеневої функції. Нехай
*
.
∆
∆
*
+
,1
∆
-
.
*
*
,1
∆
-
*
.
Тоді ∆
*
,1
∆
-
*
*
*
+
,1
∆
-
*
1
.
.
Складемо відношення
∆
∆
/
0,1
∆2
2
-
/
13
∆
2
/
2
0,1
∆2
2
-
/
13
∆2
2
*1
0,1
∆2
2
-
/
13
∆2
2
.
Положимо
∆
4 і згадаємо «важливу границю»
lim
5
15
6
1
5
7, маємо
(
lim
∆
∆
∆
*1
·9
або
*
(
9·
*1
. (4.4)
4.1.4. Основні правила диференціювання
1. Похідна суми.
Теорема 1. Похідна алгебраїчної суми кінцевого числа
функцій дорівнює сумі похідних доданків.
Доведення:
Нехай 4:.
Нове значення аргументу ∆, при цьому набуває приросту і
4, і :: 4∆4,:∆:, звідси ∆
4∆4
:∆:
.
134
Віднімаючи
, знаходимо ∆∆4∆:.
Звідси
∆
∆
∆5
∆
∆;
∆
.
Спрямуємо ∆0. За визначенням похідної маємо
lim
∆
∆5
∆
4, lim
∆
∆;
∆
:.
Звідси lim
∆
∆
∆
4
(
:,
або
4:
(
4
(
: (4.5)
Приклад 4.1. Знайти похідну функції
<
=
6.
Розв’язання:
(
5·
<1
3·
=1
05
A
3
B
.
2. Похідна добутку.
Теорема 2. Похідна добутку двох функцій дорівнює сумі
добутків похідної першої функції на другу і похідної другої
функції на першу.
Доведення:
Нехай 4·:.
∆
4∆4
·
:∆:
4·:∆4·:4·∆:∆4·∆:.
Приріст функції дорівнює ∆∆4·:4·∆:∆4·∆:.
Складемо відношення
135
∆
∆
∆5
∆
·:4·
∆;
∆
∆5
∆
·∆:.
при ∆0
(
lim
∆
∆
∆
4
(
·:4·:
(
4·0.
Отже остаточно маємо
4·:
(
4
(
·:4·:
(
(4.6)
Приклад 4.2. Знайти похідну функції
A
B
7
·
D
3√
F
G
H
.
Розв’язання: 4
A
B
7; :3√
F
G
3
J
G
;
4
(
4
=
2; :
(
F
<
M
G
F
<
√
=
G
.
(
4
=
2
·
D
3√
F
G
H
A
B
7
·
F
<
√
=
G
.
3. Винесення постійного множника за знак похідної.
Нехай '·4. За теоремою 2 маємо
(
'
(
·4'·
4. Так як '
(
0, то маємо
(
'·4 або
'·4
(
'·4. (4.7)
Наслідок. Справедлива формула
,
5
N
-
(
5(
N
. (4.8)
Доведення: Розглянемо функцію
5
N
. Винесемо
константу за знак похідної:
(
,
5
N
-
(
1
N
4
(
5(
N
.
136
Приклад 4.3. Знайти похідну функції
8
P
5
√
13.
Розв’язання:
(
8·9
F
5·
1
B
R
S
72
<
B
√
.
4. Похідна частки.
Теорема 3. Похідна частки двох функцій дорівнює
дробу, знаменник якого дорівнює квадрату дільника, а
чисельник – різниці між добутком похідної діленого на дільник і
добутком діленого на похідну дільника.
Нехай
5
;
, тоді ∆
5∆5
;∆;
.
Приріст функції дорівнює
∆
5∆5
;∆;
5
;
5∆5
;5
;∆;
;∆;
;
5;∆5;5;5∆;
;∆;
;
∆5;5∆;
;∆;
;
.
Складемо відношення
∆
∆
∆T
∆2
;5
∆U
∆2
;∆;
;
.
при ∆0 (так як ∆:0) отримаємо
(
lim
∆
∆
∆
5
V
;5;(
;
S
.
Отже остаточно маємо
,
5
;
-
5
V
;5;(
;
S
. (4.9)
Наслідок. Справедлива формула
137
,
N
;
-
(
N·;(
;
S
. (4.10)
Доведення: Розглянемо функцію
N
;
. За теоремою 3
маємо
(
N
V
;N;(
;
S
. Так як '
(
0, остаточно маємо
(
N·;(
;
S
.
Приклад 4.4. Знайти похідну функції
S
AB
=
S
A
.
Розв’язання: 4
B
42; :3
B
4; 4
(
2
4; :
(
6.
(
BA
·
D
=
S
A
H
D
S
AB
H
·W
=
S
A
S
W
M
1B
S
F1WW
M
BA
S
1B
=
S
A
S
1B
S
A1W
=
S
A
S
.
4.1.5. Похідна складної функції
Теорема. Похідна складної функції дорівнює похідної
даної функції по проміжному аргументу, помноженої на похідну
цього аргументу по незалежній змінній.
Доведення:
Нехай
4
,4X
. Доведемо, що
(
(
4
·4
(
(
4
·X
(
5
(
·4
(
.
Дамо аргументу приріст ∆; цей приріст спричиняє
приріст проміжного аргументу ∆4, яке зумовить зміну функції
на ∆. Складемо відношення
∆
∆
у вигляді
∆
∆
∆
∆5
·
∆5
∆
.
Обчислимо границю
138
lim
∆
∆
∆
lim
∆
∆
∆5
·lim
∆
∆5
∆
.
Так як lim
∆
∆
∆5
5
(
і lim
∆
∆5
∆
4
(
, то
(
5
(
·4
(
(4.11)
Приклад 4.5. Знайти похідну функції
7
<
12
W
Розв’язання: Тут проміжний аргумент 47
<
12,
4
W
, отже
5
(
64
<
, 4
(
35
A
:
(
5
(
·4
(
64
<
·35
A
6
7
<
12
<
·35
A
.
Зауваження: Припустимо тепер, що функція
може бути представлена ланцюгом, що складається не з двох, а з
трьох функцій:
4
, 4X
:
, :$
.
Згідно з теоремою маємо
(
5
(
·4.
де 4 - похідна від 4, яка в свою чергу є функцією від незалежної
змінної. За тією ж теоремою маємо 4
(
X
;
(
·:
(
X
;
(
·$
(
.
Отже, похідна даної функції знаходиться за правилом:
(
5
(
·X
;
(
·$
(
.
Саме так знаходимо формулу при будь-якої кінцевої кількості
проміжних аргументів. А тому можна сформулювати правило:
Похідна складної функції дорівнює добутку похідних
від функцій, що її складають.
Приклад 4.6. Знайти похідну функції
D
15
√
2
Y
3
M
H
11
.
139
Розв’язання: Представимо цю функцію у вигляді
ланцюжка 4
11
,
415
√
:
M
, :2
Y
3, отримаємо
(
4
11
(
·
D
15
√
:
M
H
(
·
2
Y
3
(
114
1
·
1
=
:
S
M
·2·7
W
1<A
=
D
15
√
2
Y
3
M
H
1
·
Z
[
B
\
=
S
M
.
Надалі ми ще не раз звернемося к диференціюванню
складних функцій.
4.1.6. Похідні обернених функцій
Нехай
і X
- пара взаємно обернених
функцій. Нам відома похідна
(
lim
∆
∆
∆
і вона не
дорівнює нулю.
Так як ∆0 при ∆0, то з тотожності
∆
∆
1
∆]
∆2
отримаємо
lim
∆
∆
∆
1
^_`
∆2a
∆]
∆2
,
тобто
X
(
1
(
.
Отже, можемо сформулювати правило:
Похідні від взаємно обернених функцій обернені за
величиною:
140
(
1
]
V
,
(
1
2
V
. (4.12)
Приклад 4.7. Знайти похідну функції
√
G
.
Розв’язання: Функція
<
обернена заданій і
(
5
A
. Отже,
(
1
<
b
1
<√
b
G
.
4.1.7. Таблиця похідних
Похідні тригонометричних функцій.
1. Похідна синуса. "c9 .
∆"c9
∆
. Знайдемо приріст функції
∆"c9
∆
"c92"c9
∆
B
de"
B∆
B
.
Складемо відношення
∆
∆
fg*
∆2
S
∆2
S
·de",
∆
B
-.
Скористаємося першою чудовою границею lim
fg*
∆2
S
∆2
S
1.
Остаточно маємо
(
lim
h
fg*
∆2
S
∆2
S
·de",
∆
B
-ide".
"c9
(
de" (4.13)
2. Похідна косинуса. de" .
∆de"
∆
. Знайдемо приріст функції