Коваленко Л.Б. Вища математика для менеджерів
Подождите немного. Документ загружается.
111
Розв’язання: Підставимо граничне значення аргументу,
отримаємо невизначеність типу ∞ ∞. Для того щоб позбутися
ірраціональності, скористаємося формулою різниці кубів, для
цього помножимо і поділимо функцію на
L
" 1
8
j
M
8
"
" 1
8
j
1
8
j
" L
1
8
j
M
8
,
виконавши ряд перетворень, маємо
lim
-Dm
L
" 1
8
j
1
8
j
M
lim
-Dm
L
-S)
V
j
(
-()
V
j
ML
-S)
y
j
S
-S)
V
j
-()
V
j
S
-S)
y
j
M
L
-S)
y
j
S
-S)
V
j
-()
V
j
S
-S)
y
j
M
lim
-Dm
-S)
V
(
-()
V
L
-S)
y
j
S
-S)
V
j
-()
V
j
S
-S)
y
j
M
lim
-Dm
-
V
S8-S)(-
V
S8-()
L
-S)
y
j
S
-S)
V
j
-()
V
j
S
-S)
y
j
M
lim
-Dm
-
L
-S)
y
j
S
-S)
V
j
-()
V
j
S
-S)
y
j
M
.
Порівняємо максимальні степені чисельника
01
і
знаменника L
M, за формулою (3.9) отримуємо відповідь:
границя прямує до нуля.
3.2.6. Важливі границі та їх застосування
Перша важлива границя
Теорема. Функція
Ag
g
при [D0 має границю, яка
дорівнює 1:
112
lim
gD'
Ag
g
1. (3.10)
Доведення: Будемо виходити з
геометричного визначення синуса
(рис. 3.9). Беремо коло з одиничним
радіусом і кут [ в радіанах 0[
8
.
Функція
Ag
g
- парна, а тому достатньо
розглянути випадок, коли [0. З
рис. 3.9 бачимо, що
∆o
сектораo
∆p
.
Площі обраних фігур наступні:
∆o
)
8
· *
)
8
· · ./0[;
сектораo
)
8
*
·
)
8
[· ·;
∆p
)
8
· +
)
8
· · 6[.
Тобто можна записати
1
2
· · ./0[
1
2
[· ·
1
2
· · 6[
з цього прямує, що ./0[[6[.
Скоротимо всі члени нерівності на ./0[0, отримаємо
1
g
Ag
)
g
або 5.[
Ag
g
1.
З геометричного визначення косинуса зрозуміло, що
lim
gD'
5.[1,
звідси з теореми про стиснуту змінну остаточно маємо
O
A
B
C
D
α
Рис. 3.9.
113
lim
gD'
Ag
g
1.
Приклад 3.12. Обчислити границю функції lim
-D'
Af-
-
.
Розв’язання:
lim
-D'
Af-
-
K
'
'
K
lim
-D'
f·Af-
f·-
· lim
-D'
Af-
f-
D0
· 1.
Приклад 3.13. Обчислити границю функції lim
-D'
Af-
Ah-
.
Розв’язання:
lim
-D'
Af-
Ah-
K
'
'
K
lim
-D'
-·Af-
-·Ah-
lim
-D'
Af-
-
· lim
-D'
-
Ah-
f
h
.
Приклад 3.14. Обчислити границю функції lim
-D'
>f-
-
.
Розв’язання:
lim
-D'
>f-
-
K
'
'
K
lim
-D'
Af-
-
·
)
f-
lim
-D'
Af-
-
·
· lim
-D'
)
f-
· 1.
Приклад 3.15. Обчислити границю функції lim
-D'
fA-
-
.
Розв’язання:
lim
-D'
fA-
-
K
'
'
K
./0
45./045./0
./0
D0
lim
D'
A
1.
114
Приклад 3.16. Обчислити границю функції
lim
-D'
A
V
U-(A
V
-
k-
V
.
Розв’язання:
lim
-D'
A
V
U-(A
V
-
k-
V
lim
-D'
AU-(A-
AU-SA-
k-
V
lim
-D'
8A8--·8A-8-
k-
V
k
lim
-D'
A8-
-
· lim
-D'
A-
-
· lim
-D'
5.3 ·5.2
k
· 2 · 3 · 1 · 1
8
k
.
Приклад 3.17. Обчислити границю функції
lim
-D
V
L
8
M · 6.
Розв’язання: Застосовувати першу важливу границю
можна лише за умови, що аргумент функції прямує до нуля.
Оберемо нову змінну, яка буде прямувати до нуля, зробимо
відповідні перетворення
lim
-D
V
L
8
M · 6
|
0 · ∞
|
8
D0
lim
D'
· 6L
8
Mlim
D'
· 56
lim
D'
·
A
lim
D'
A
· lim
D'
5.1 · 11.
Ми розглянули багато прикладів на застосування
першої важливої границі і можемо зробити деякі висновки. По-
перше, завдання на обчислення границі за допомогою першої
важливої границі потребують від нас знання основних
тригонометричних формул і вміння їх правильно застосовувати;
115
по
-друге, наслідки першої важливої границі (деякі з них ми вже
довели) можна застосовувати нарівні з самою теоремою.
Наслідки першої чудової границі:
1) lim
-D'
>-
-
1;
2) lim
-D'
fA-
-
1;
3) lim
-D'
f>-
-
1;
4) lim
-D'
Af-
-
;
5) lim
-D'
Af-
Ah-
f
h
.
Друга важлива границя
Теорема. Функція
A
L1 "
)
A
M
A
має границю при
0D∞.
Доведення: За формулою бінома Ньютона маємо:
L1 "
)
A
M
A
1 "
A
)!
·
)
A
"
A
A()
8!
·
)
A
V
"
A
A()
A(8
!
·
)
A
j
" \"
)
A
J
.
Перетворимо праву частину
L1 "
)
A
M
A
1 " 1 "
)
)·8
L1
)
A
M "
)
)·8·
L1
)
A
ML1
8
A
M " \
"
)
)·8··…·A
L1
)
A
ML1
8
A
M…L1
A()
A
M.
Бачимо, що функція L1 "
)
A
M
A
зростаюча при зростаючому 0.
Покажемо, що вона обмежена. Для цього замінимо в усіх членах
праворуч виразу в дужках, одиницями, отримаємо
L1 "
)
A
M
A
1 " 1 "
)
8!
"
)
!
" \"
)
A!
.
116
Ще
більше збільшимо праву частину, якщо замінимо
)
!
)
8·
на
)
8·8
)
8
V
,
)
!
)
8··
на
)
8·8·8
)
8
j
, …
)
A!
)
8··…·A
на
)
8·8·…·8
)
8
JqW
,
звідси
L1 "
)
A
M
A
1 " 1 "
)
8
"
)
8
V
"
)
8
j
" \"
)
8
JqW
.
Тим більше, дописавши в праву частину члени прогресії
)
8
J
,
)
8
J¡W
, … ,
отримаємо
L1 "
)
A
M
A
1 " L1 "
)
8
"
)
8
V
"
)
8
j
" \"
)
8
J
" \M.
У дужках отримали суму нескінченно спадаючої геометричної
прогресії, яка дорівнює 2. Звідси маємо
L1 "
)
A
M
A
3.
Якщо 01, ліва частина нашої формули дорівнює 2. Отже
остаточно маємо
2L1 "
)
A
M
A
3.
Визначення 3.23. Числом = називається границя
lim
ADm
L1 "
)
A
M
A
. Воно приблизно дорівнює =¢2,718….
Виявляється, що функція має границю не лише тоді,
коли іі аргумент приймає цілочислені значення, але й при
неперервній його зміні та прямуванні до нескінченності.
117
Теорема. Функція lim
-Dm
L1 "
)
-
M
-
при D∞ має
границю, яка дорівнює =:
lim
-Dm
L1 "
)
-
M
-
=. (3.11)
Доведення цієї теореми виходить за межи вивчаємого
курсу.
Зауваження. За допомогою другої важливої границі
розкриваються невизначеності типу 1
m
.
Приклад 3.18. Обчислити границю функції
lim
-Dm
L1 "
-
M
-
.
Розв’язання. Скористаємося другою важливою
границею:
lim
-Dm
L1 "
-
M
-
|
1
m
|
£
lim
-Dm
L1 "
-
M
c
y
¤
=
.
Приклад 3.19. Обчислити границю функції
lim
-Dm
L1 "
k
-(8
M
U-
.
Розв’язання.
lim
-Dm
L1 "
k
-(8
M
U-
|
1
m
|
£
lim
-Dm
L1 "
k
-(8
M
cqV
x
¤
x
cqV
·U-
=
`ab
cD¥
j!c
cqV
=
U
.
Приклад 3.20. Обчислити границю функції
lim
-Dm
L
-(
-SU
M
l-()
.
118
Розв’язання.
lim
-Dm
L
-(
-SU
M
l-()
|
1
m
|
lim
-Dm
L1 "
-(
-SU
1M
l-()
lim
-Dm
L1 "
-((-(U
-SU
M
l-()
£
lim
-Dm
L1 "
(H
-SU
M
yc¡!
q}
¤
q}
yc¡!
·
l-()
=
`ab
cD¥
q}
zcqW
yc¡!
=
()8
.
Приклад 3.21. Обчислити границю функції
lim
-Dm
2" 3
0
5 " 2
0
5 4
.
Розв’язання: Звернемо увагу, що в даному прикладі ми
змушені позбавлятися невизначеності типу
|
∞ ∞
|
. Як ми
зауважили, що друга важлива границя допомагає позбавлятися
невизначеності типу
|
1
m
|
. Але, згадав властивості логарифмів,
нам вдасться звести дану границю до другої важливої границі.
lim
-Dm
2" 3
0
5 " 2
0
5 4
|
∞ ∞
|
lim
-Dm
2" 3
0L
U-S8
U-(
Mlim
-Dm
0L
U-S8
U-(
M
8-S
0lim
-Dm
L
U-S8
U-(
M
8-S
|
1
m
|
0lim
-Dm
L1 "
U-S8
U-(
1M
8-S
0
£
lim
-Dm
L1 "
l
U-(
M
!cqy
z
¤
z
!cqy
·
8-S
0=
`ab
cD¥
z
Vc¡j
!cqy
0=
WV
!
)8
U
0=
)8
U
.
119
Приклад 3.22. Обчислити границю функції
lim
-Dm
L
U-(8
k-Sl
M
))-(
.
Розв’язання: Ми розглянули вже достатньо прикладів,
щоб навчитися обчислювати границі за допомогою другої
важливої границі, і найпоширеніша помилка, яку допускають
при обчисленні таких границь, є помилка, коли побачивши
знайому структуру, починають слідувати за вже знайомим
алгоритмом, не перевіривши, чи є тут невизначеність. В даної
границі невизначеності нема, і ми відповідь отримуємо миттєво:
lim
-Dm
L
U-(8
k-Sl
M
))-(
L
U
k
M
m
0.
Три важливі границі
Теорема 1. Справедлива формула
lim
-D'
¦A
)S-
-
1. (3.12)
Доведення: З другої важливої границі маємо, що
1 "
W
§
при D0 прямує до =, отже маємо
¦A
)S-
-
0
1 "
W
c
при D0
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
ª
«
0=1.
Що і треба було довести.
Теорема 2. Справедлива формула
lim
^D'
f
¬
()
^
0. (3.13)
Доведення: Якщо $D0, то величина
^
1D0, тобто
в чисельнику величина нескінченно мала. Нехай
^
1
120
З
теореми 1 прямує, що ~0
1 "
тобто
^
1 ~ 0
1 "
^
1
0
^
$· 0, з цього прямує, що
lim
^D'
f
¬
()
^
lim
^D'
^·¦Af
^
0.
Що і треба було довести.
Теорема 3. Справедлива формула
lim
^D'
)S^
®
()
^
. (3.14)
Доведення: Величина
1 " $
f
1 при $D0 прямує до
нуля, тобто є величиною нескінченно малою. Як і при доведенні
теореми 2 положимо
1 " $
f
1.
З цього прямує ~0
1 "
, тобто
1 " $
f
1 ~
~ 0
¯
1 "
1 " $
f
1
°
0
1 " $
f
· 0
1 " $
.
lim
^D'
)S^
®
()
^
lim
^D'
f·¦A
)S^
^
.
Що і треба було довести.
Приклад 3.23. Обчислити границю функції
lim
-D'
¦A
)Sk-
-
.
Розв’язання: Скористаємося т. 1:
lim
-D'
¦A
)Sk-
-
)
·lim
-D'
k¦A
)Sk-
k-
k
.
Приклад 3.24. Обчислити границю функції
lim
-D'
)U
c
(U
c
-
.