Коваленко Л.Б. Вища математика для менеджерів
Подождите немного. Документ загружается.
121
Розв’язання: Скористаємося т. 2:
lim
-D'
)U
c
(U
c
-
lim
-D'
L
)U
c
()
-
U
c
()
-
M015 05
0
)U
U
03.
Приклад 3.25. Обчислити границю функції
lim
-D'
√
)S-
x
()
-
.
Розв’язання: Скористаємося т. 3:
lim
-D'
√
)S-
x
()
-
)
lim
-D'
)S-
W
x
()
-
)
·
)
k
)
8)
.
3.2.7. Порівняння нескінченно малих
Нехай декілька нескінченно малих величин [,e,± … є
функціями одного ж того ж самого аргументу и прямують до
нуля при D (або D∞).
Визначення 3.23. Якщо відношення [ i e має кінцеву і
відмінну від нуля границю при D, тобто
lim
-Df
g
i
*d0, а lim
-Df
i
g
)
o
d0,
То [
і e
нескінченно малі одного порядку малості.
Приклад 3.26. Нехай [
1 5.
, e
·
./05, де D0 - нескінченно малі. Обчислимо границю їх
відношення:
lim
-D'
)(
j
-
-·AU-
K
'
'
K
lim
-D'
)(-
)S-S
V
-
-·AU-
lim
-D'
)(-
-·AU-
· lim
-D'
1 " 5. " 5.
8
122
3 · lim
-D'
8A
V
c
V
-·AU-
6 · lim
-D'
A
c
V
-
· lim
-D'
A
c
V
AU-
.
6 ·
)
8
·
)
8
²
U
)'
.
Згідно з визначенням 3.23 нескінченно малі [
і e
одного
порядку.
Визначення 3.24. Якщо lim
-Df
g
i
0, а lim
-Df
i
g
∞, то
нескінченно мала [ вищого порядку, ніж нескінченно мала e; а
нескінченно мала e нижчого порядку малості, ніж нескінченно
мала [ при D.
Приклад 3.27. Нехай [
-
V
()
-
j
, e
-
V
S)
-
y
, де
D∞ - нескінченно малі. Обчислимо границю їх відношення:
lim
-Dm
g
-
i
-
lim
-Dm
c
V
qW
c
j
c
V
¡W
c
y
K
'
'
K
lim
-Dm
-
y
-
V
()
-
j
-
V
S)
∞.
Згідно з визначенням 3.24 нескінченно мала [
- нижчого
порядку, ніж e
.
Визначення 3.25. Нескінченно мала e називається
нескінченно малою ³-го порядку відносно нескінченно малої [,
якщо e і [
´
- нескінченно малі одного порядку при D, тобто
якщо
lim
-Df
i
g
µ
*d0.
Приклад 3.28. З’ясувати порядок відносно функції
e
-
!
-
j
S)
, нескінченно малої при D0.
Розв’язання: Порівнюючи степені , положимо ³2.
Обчислимо границю:
123
lim
-D'
i
g
µ
lim
-D'
jc
!
c
j
¡W
-
V
3 · lim
-D'
-
!
-
!
S-
j
3.
Звідси маємо, що нескінченно мала e
є нескінченно малою 2-
го порядку відносно нескінченно малої (за визначенням 3.25).
Визначення 3.26. Якщо відношення двох нескінченно
малих [ і e прямує до 1 при D, тобто якщо
lim
-Df
g
i
1.
то нескінченно малі [ і e називаються еквівалентними і
позначаються: [~e.
Приклад 3.29. Нехай [
)(-
)S-
, e
1
√
, де
D1 - нескінченно малі. Обчислимо границю їх відношення:
lim
-D)
g
i
lim
-D)
Wqc
W¡c
)(
√
-
lim
-D)
)(-
)(
√
-
· lim
-D)
)
)S-
lim
-D)
)(
√
-
)S
√
-
)(
√
-
·
)
8
)
8
· lim
-D)
1 "
√
)
8
· 21.
За визначенням 3.26 ці нескінченно малі еквівалентні.
Зауваження 1. Якщо відношення двох нескінченно
малих [ і e не має границі при D і не прямує до
нескінченності, то нескінченно малі [ і e не порівняні між
собою.
Приклад 3.30. Нехай [
і e
· ./0L
-
M при
D0 [ і e є нескінченно малими, але їх відношенням не має
границі, тому що
K
./0L
-
M
K
1 не має границі. Звідси прямує, що
ці нескінченно малі не порівняні між собою.
124
Зауваження 2. Нескінченно великі величини
порівнюють між собою так само, як і нескінченно малі.
Приклад 3.31. Нехай [
7
" 4 і e
5
" 12 - нескінченно великі при D∞. Знайдемо границю їх
відношення:
lim
-Dm
7
" 4
5
" 12
K
∞
∞
K
7
Звідси прямує, що ці нескінченно великі – одного порядку
великості.
Порівняння нескінченно малих має практичне
застосування. Поняття еквівалентних нескінченно малих ми
застосуємо при обчисленні границь функцій.
Принцип заміни нескінченно малих
При розкритті невизначеності типу
K
'
'
K
можна і
чисельник, і знаменник замінити еквівалентними їм
величинами.
З розглянутих важливих границь та їх наслідків, маємо
еквівалентні функції, використання яких значно полегшує
обчислення границь:
./0~; 6~;
45./0~; 456~;
0
1 "
~; =
-
1~.
Приклад 3.32. Знайти границю функції lim
-D'
f>k-
¶
jc
()
.
Розв’язання: Скористаємося еквівалентними
нескінченно малими
125
lim
-D'
f>k-
¶
jc
()
K
'
'
K
·
4567~7
=
-
1~3
¸
lim
-D'
k-
-
k
.
3.2.8. Неперервність функцій. Властивості неперервних
функцій
Визначення 3.27. Приростом
функції
в даній точці
'
називається різниця
∆
'
" ∆
'
, де ∆ -
приріст аргументу (рис. 3.10).
Визначення 3.28. Функція
називається неперервною у
точці
'
, якщо ця функція визначена
у деякому околі точки
'
, і якщо
виконується умова: lim
∆-D'
∆0.
Приклад 3.33. Перевірити чи є функція 2
-
неперервною у будь якій точці
'
.
Розв’язання: Знайдемо приріст функції ∆:
∆2
-
N
S∆-
2
-
N
2
-
N
· 2
∆-
2
-
N
2
-
N
2
∆-
1
.
Отже при ∆D0, 2
∆-
D1, ∆D0 , тобто функція неперервна.
Скористаємося визначеннями 3.27, 3.28 і дамо ще одне
визначення неперервності функції в точці. Для цього приріст
функції ∆ перепишемо як
lim
∆-D'
'
" ∆
'
0
або lim
∆-D'
'
" ∆
lim
∆-D'
'
.
Якщо ввести позначення
'
" ∆, то D
'
(при ∆D0) і
остаточно маємо
O
x
y
M
N
M
x
x+
∆
x
∆
x
y
y+
∆
y
∆
y
0
0
0
0
0
Рис. 3.10.
126
lim
-D-
N
'
. (3.15)
Визначення 3.29. Функція
неперервна в точці
'
, якщо вона визначена в будь-якому околі цієї точки, і якщо
границя функції існує і дорівнює значенню функції при
'
(за умовою, що незалежна змінна прямує до
'
).
Визначення 3.30. Функція
називається
неперервною в інтервалі, якщо вона неперервна у будь-якій
точці інтервалу.
Для кінців інтервалу визначення неперервності в точці
треба уточнити: для лівого кінця ∆ треба брати додатнім, а для
правого – від’ємним.
Зауваження 1. Графік неперервної функції можна
нарисувати, не відриваючи олівця.
Зауваження 2. Всі основні елементарні функції
неперервні в своїх областях визначення.
Однобічна неперервність
Визначення 3.31. Нехай функція
визначена на
інтервалі
;
'
. Кажуть, що функція
неперервна в
точці º
n
ліворуч, якщо
lim
-D-
N
('
'
. (3.16)
Визначення 3.32. Нехай
визначена на інтервалі
'
;
. Кажуть, що функція
неперервна в точці º
n
праворуч, якщо
lim
-D-
N
S'
'
. (3.17)
127
Якщо функція
визначена на інтервалі
;
і
точка
'
належить цьому інтервалу, то для неперервності
функції в точці
'
необхідно і достатньо, щоб функція
була неперервна ліворуч і праворуч від точки
'
:
lim
-D-
N
('
lim
-D-
N
S'
. (3.18)
Якщо умови (3.16), (3.17) не виконуються, то функція
розривна у точці
'
, а точка
'
називається точкою
розриву функції.
Класифікація розривів
Визначення 3.33. Якщо функція
не визначена в
точці
'
або має стрибок кінцевої величини, то кажуть, що в
точці
'
функція
має розрив першого роду. Тобто,
точкою розриву функції
першого роду називається
така точка
'
, в якій функція має ліву та праву границю, не рівні
між собою (рис. 3.11):
lim
-D-
N
('
dlim
-D-
N
S'
. (3.19)
Визначення 3.34. Якщо функція
в точці
'
не
має хоча в однієї з однобічніх границь, або вона дорівнює v∞,
то кажуть, в функція
має в точці
'
розрив другого
роду (рис. 3.12).
x
y
O
Рис. 3.11.
x
y
O
Рис. 3.12.
128
Зауваження. У випадках і розриву першого роду, і
розриву другого роду, точка
'
може належати або не належати
області визначення функції.
Приклад 3.34. Перевірити на неперервність функцію
»
"5, 0
8
, 02
5 6, 2
Розв’язання:
Побудуємо графік
функції (рис. 3.13):
Функція задана трьома
елементарними функціями,
неперервними у своїх
областях визначення, тому,
якщо вона і має розриви, то
лише у точках 0 і 2. Дослідимо на неперервність
функції у точках:
lim
-D'('
lim
-D'('
"5
5;
lim
-D'S'
lim
-D'S'
8
0;
lim
-D'('
dlim
-D'S'
;
lim
-D8('
lim
-D8('
8
4;
lim
-D8S'
lim
-D8S'
5 6
4;
lim
-D8('
lim
-D8S'
.
Отже, у точці 2 функція неперервна, а у точці 0 має
розрив першого роду.
O
x
y
y=x+5
y=x
2
y=5x-6
-5
5
32
9
Рис. 3.13.
129
Приклад 3.35. Перевірити на неперервність функцію
5
x
cqy
в точці у4.
Розв’язання: Обчислимо ліву та праву границю функції
у точці 4:
lim
-D('
lim
-D('
5
x
cqy
5
(
x
N
5
(m
0;
lim
-DS'
lim
-DS'
5
x
cqy
5
x
N
5
m
∞.
Отже, права границя функція у точці 4 дорівнює
нескінченності, а тому вона має в ній розрив другого роду.
Деякі властивості неперервних функцій
Теорема 1. Якщо функція
неперервна на
відрізку
;
, то на цьому відрізку знайдеться хоча б одна
точка
)
така, що значення функції у цій точці буде
задовольняти нерівності
)
½
, і знайдеться хоча б одна
точка
8
така, що значення функції у цій точці буде
задовольняти нерівності
8
.
Тут
)
P - найбільше, а
8
- найменше
значення функції
на інтервалі
;
(рис. 3.14).
O
x
y
M
M
m
m
a
a
b
b
1
1
1
2
1
x
x
Рис. 3.14.
1
130
Зауваження. Твердження теореми може бути невірним,
якщо розглядати функцію
на незамкненому інтервалі
;
.
Теорема 2. Нехай
функція
неперервна на
інтервалі
;
і на кінцях
інтервалу має значення різних
знаків, тоді між точками і
знайдеться хоча б одна точка
5, у якій функція дорівнює
нулю:
5
0, 5
(рис. 3.15).
Теорема 3. Нехай функція
визначена і
неперервна на відрізку
;
. Якщо на кінцях цього відрізку
значення функції відрізняються
* і
+, то яке б не
було число ±, яке розташоване між числами * і +, знайдеться
така точка ¾, яка розташована між і , що
¾
±.
На рис. 3.15 будь-яка пряма ± перетинає графік.
O
x
y
a
b
A
B
c
d
γ
Рис. 3.15.