Коваленко Л.Б. Вища математика для менеджерів
Подождите немного. Документ загружается.
161
Визначення 4.5. Головна частина приросту функції,
лінійна відносно приросту незалежної змінної, називається
диференціалом функції:
¢
∆.
Приріст ∆ незалежної змінної називається її диференціалом
¢:
∆¢.
Отже, остаточно маємо:
Диференціал функції дорівнює її похідної, помноженої
на диференціал незалежної змінної:
¢
¢. (4.29)
Бачимо, що якщо відома похідна, легко знайти диференціал, та
навпаки, якщо відомий диференціал, відразу знаходимо похідну.
Тому дії знаходження похідної та диференціала мають спільну
назву – диференціювання.
4.1.13. Властивості диференціала
Диференціали основних елементарних функцій.
За визначенням диференціала, диференціал функції
дорівнює похідної, помноженої на диференціал незалежної
змінної. Нам відомі похідні основних елементарних
функцій,отже, щоб знайти їх диференціали, необхідно відомі
похідні помножити на диференціал незалежної змінної:
¢
*
9
*1
¢; ¢
7
7
n97 ¢;
¢
log
m
1
p*m
¢; ¢
"c9
de" ¢…
162
Правила
обчислення диференціалів
За відомими правилами обчислення похідних, знайдемо
правила знаходження диференціалів:
а) диференціал алгебраїчної суми двох функцій.
Згадаємо похідну суми:
4£:
(
4£:. Помножимо
обидві частини рівності на ¢. Оскільки ¢44
(
¢,¢::¢,
маємо формулу для обчислення диференціалу алгебраїчної
суми:
¢
4£:
¢4£¢:.
б) диференціал добутку двох функцій.
Згадаємо похідну добутку:
4·:
(
4
(
·:4·:.
Помножимо обидві частини рівності на ¢. Оскільки ¢44
(
¢,
¢::¢, маємо формулу для обчислення диференціалу
добутку:
¢
4·:
:·¢44·¢:.
в) диференціал частки двох функцій.
Згадаємо похідну частки: ,
5
;
-
(
5
V
;5;(
;
S
. Домножимо обидві
частини рівності на ¢. Оскільки ¢44
(
¢,¢::¢, маємо
формулу для обчислення диференціалу частки:
¢,
5
;
-
;55;
;
S
.
Диференціал складної функції. Інваріантність диференціала.
Нехай дано функції
4
і 4X
- неперервні і
диференційовані функції своїх аргументів. Похідна функції за
змінною знаходиться за формулою (4.11) для обчислення
похідної складної функції:
163
(
5
(
·4
(
.
Помножимо обидві частини рівності на ¢,отримаємо
¢
5
(
·4
(
¢.
Згадаємо, що ¢44
(
¢,звідси маємо
¢
5
(
·¢4. (4.30)
Тобто бачимо, що диференціал функції
4
має такий же
самий вигляд, якщо б 4 була незалежною змінною функції .
Ця властивість має назву інваріантності форми
диференціала від аргументу функції.
Диференціал функції
4
має незмінний вигляд в
незалежності від того, чи є її аргумент 4 незалежною змінною
або функцією незалежної змінної.
Приклад 4.21. Знайти диференціал функції
7
<
2n9
j
2
klf
·7td"c95.
Розв’язання:
¢7¢
<
2¢
D
n9
j
H
7td"c95·¢
2
klf
2
klf
·¢
7td"c95
35
A
¢2·
1
vw
·
1
klf
S
¢
7td"c95·2
klf
·n92·
"c9
¢2
klf
·
<
√1B<
S
¢
,35
A
A
fg*B
7td"c95·2
klf
·n92·"c9
<·B
{|}2
√1B<
S
-¢.
164
4.1.14. Застосування диференціалу у наближених
обчисленнях
Згадаємо, що приріст функції визначається за формулою
∆
l
∆
l
.
Явний вираз приросту функції може бути виражений через
приріст аргументу досить складною формулою. Спробуємо
замінити приріст функції його диференціалом:
∆
l
∆
l
¤
(
l
¢¢
похибка цієї заміни мала (див. п. 4.1.12).
Отже, якщо відомі значення
l
,
(
l
,¢, то
наближене значення
l
¢
знайдемо за формулою:
l
¢
¤
l
(
l
¢ (4.31)
Приклад 4.22. Знайти наближене значення функції
<
2
A
7
B
15, коли 1,003.
Розв’язання: Приймаємо
1,¢0,003.
Обчислимо значення функції у точці
1:
1
1271521.
Знайдемо похідну функції
(
5
A
8
=
14.
Обчислимо її значення у точці
1:
(
1
581411.
Скористаємося формулою (4.31), остаточно маємо:
1,003
¤
10,003
2111·0,00321,033.
165
Приклад
4.23. Знайти пнаближене значення функції
7tdde"0,4991.
Розв’язання: Приймаємо 7tdde",
0,5 ¢
0,0009. Обчислимо значення функції у точці
0,5:
0,5
7tdde"0,5
u
=
¤1,0472.
Знайдемо похідну функції
(
1
√1
S
.
та обчислимо її значення у точці
(
(
0,5
1
√
1,B<
B
√
=
¤1,1547.
Скористаємося формулою (4.31), остаточно маємо:
7tdde"0,4991¤
0,50,0009
1,0472
1,1547
·
0,0009
1,0482.
4.1.15. Геометричний сенс похідної і диференціалу
Нехай функція
визначена на інтервалі
7,
і
неперервна в точці
. Нехай
відомі точки ¥
,
,
¥
∆,
∆
, та відомо,
що
∆
7,
.
Проведемо січну ¥
¥
(рис. 4.1). Вона визначається
рівнянням
¦
,
O
x
y
x
x +∆x
M
M
L
f(x )
f(x +∆x)
α
α
0
0
0
0
0
0
Рис. 4.1.
166
кутовий
коефіцієнт якої дорівнює
¦j§
∆
∆
.
Покажемо, що при ∆0 відстань
|
¥
¥
|
між точками
¥
і ¥ прямує до нуля. Дійсно, з неперервності функції
при
маємо
lim
∆
∆0.
Тобто, при ∆0
|
¥
¥
|
[
∆
B
∆
B
0.
Отже, якщо існує кінцева границя lim
∆
¦lim
∆
∆
∆
¦
д
,
то пряма лінія, рівняння якої ми отримуємо з рівняння
¦
при ∆0 (рис. 4.1) називається дотичною до
графіку функції
в точці
.
Бачимо, що дотичною до графіку функції
в
точці
називається граничне положення січної, якщо точка ¥
прямує до точки ¥
.
З розв’язання цієї задачі прямує геометричний сенс
похідної, а саме:
Визначення 4.6. Значення похідної функції
у
точці дотику
дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до
кривої в цієї точці:
¦
д
, (4.32)
а рівняння дотичної має вигляд:
(4.33)
167
Зауваження. Якщо
lim
∆
¦lim
∆
∆
∆
∞, то
пряма (рис. 4.2), рівняння якої
,
отримуємо при ∆0 з рівняння
січної, називається вертикаль-
ною дотичною до графіку
функції
в точці
.
Близько пов’язане з поняттям дотичної, поняття нормалі
до кривої.
Визначення 4.7. Нормаллю до кривої
в точці
називається пряма лінія, перпендикулярна до дотичної у
точці дотику.
З умови перпендикулярності прямих (2.22) знаходимо
кутовий коефіцієнт нормалі
¦
н
1
¬
д
1
(
a
, (4.34)
отже шукане рівняння нормалі має вигляд
1
(
a
. (4.35)
Приклад 4.24. Записати рівняння дотичної до кривої
2
=
3
B
813
в точці з абсцисою
3.
Розв’язання: Знайдемо похідну функції
(
6
B
68.
і обчислимо значення функції та її похідної в точці :
O
x
y
x
x +
∆
x
M
M
L
f(x )
f(x +
∆
x)
α
0
0
0
0
0
Рис. 4.2.
168
3
2·3
=
3·3
B
8·313
5427241338;
(
(
3
6·3
B
6·3844.
Скористаємося формулою (4.33) і отримаємо шукане рівняння
дотичної
3844
3
;
4494.
Приклад 4.25. З’ясувати, в яких точках кривої
=
12
її нормаль паралельна прямій
A
=
2.
Розв’язання: За умовою паралельності (2.21) кутові
коефіцієнти нормалі та заданої прямої повинні дорівнювати
одне одному:
¦
н
¦.
Знайдемо похідну функції
(
=
S
,
Отже кутовий коефіцієнт нормалі ¦
н
1
(
a
S
=
і скористаємося умовою паралельності
S
=
A
=
;
B
4;
1
2
B
2
.
Виявилося, що точок, які задовольняють умові, дві. Їх ординати
знайдемо, підставивши знайдені абсциси до рівняння кривої:
169
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
M
M
M
M
R
R
T
T
dy
dy
x
x
x+dx
x+dx
∆
x=dx
∆
x=dx
∆
y
∆
y
α
α
(а) (б)
Рис. 4.3.
1
3
2
12
27
2
,
B
3
2
12
21
2
.
Отже, в точках ¥
1
,2,
BY
B
-, ¥
B
,2,
B1
B
- нормаль до кривої
=
12 паралельна прямій
A
=
2.
З’ясуємо геометричний сенс диференціала функції
(рис. 4.3). Так як
(
j§, то диференціал ¢
¢ дорівнює довжині відрізку ®¯.
Визначення 4.8. Диференціал ° функції
в
точці може бути зображений приростом ординати точки
дотичної, яка проведена до лінії
у відповідній точці
D
,
H
.
Зауваження. Диференціал функції
у
відповідній точці може бути як більше приросту функції ∆
(рис. 4.3,а), так і менше його (рис. 4.3,б).
1.3.13.
1.3.14.
1.3.15.
1.3.16.
170
4.1.16. Фізичний сенс похідної та диференціалу
Згадаємо, що поняття похідної ми вводили, коли
розв’язували задачу про швидкість зміни функції:
lim
∆
сер.
lim
∆
∆
∆
lim
∆
∆
∆
.
Нехай ""
- закон руху матеріальної точки, " -
довжина шляху, - час. Нехай ¥
1
- координата точки в момент
часу , а ¥
B
- в момент часу ∆; ∆" - довжина шляху між
точками ¥
1
і ¥
B
, тобто ∆""
∆
"
.
Відношення
∆f
∆v
є середня швидкість руху на відрізку від
¥
1
до ¥
B
, lim
∆v
∆f
∆v
- миттєвою швидкістю в момент часу ,
тобто
:lim
∆v
∆f
∆v
"
. (4.36)
За визначенням диференціала, ¢":¢, з цього прямує,
що диференціал шляху дорівнює відстані, яку б пройшла
матеріальна точка за проміжок часу ∆ від моменту до
моменту ∆, якщо б рухалася рівномірно з швидкістю, яка
дорівнює миттєвої швидкості точки в момент .
Аналогічно, прискорення руху – це швидкість зміни
швидкості
7lim
∆v
∆;
∆v
:
(
"
, (4.37)
тобто обчислюється за другою похідною від закону руху
матеріальної точки
Приклад 4.26. Відомий закон руху матеріальної точки
"
=
A
A
1
=
=
7
B
185.