Коваленко Л.Б. Вища математика для менеджерів
Подождите немного. Документ загружается.
171
Знайти
швидкість та прискорення точки через 3 с після
начала руху.
Розв’язання: Скористаємося формулами (4.36) і (4.37).
Для цього знайдемо першу та другу похідні закону руху
:
"
3
=
B
1418;
7
:
(
"
((
9
B
214;
і обчислимо їх значення в момент часу 3:
:
3
819421896
м
с
⁄
;
7
3
8161489
м
с
B
³
.
Приклад 4.27. Відомі закони руху двох матеріальних
точок, що рухаються рівномірно та прямолінійно вздовж осі ´:
1
6
B
48,
B
5
B
56.
З’ясувати, з якою швидкістю віддалялися матеріальні точки в
момент зустрічі.
Розв’язання: Для зустрічі матеріальних точок необхідно і
достатньо, щоб їх координати були рівними. Для цього
прирівняємо
1
і
B
одне одному:
6
B
485
B
56;
B
20;
1
2 d;
B
1 d.
Зауважимо, що час не може приймати від’ємні значення. Отже,
матеріальні точки зустрілися через 2 с після начала руху.
Знайдемо їх швидкості в момент 2. Для цього
знайдемо похідні від законів руху і обчислимо їх значення в
момент 2:
172
:
1
1
(
124; :
B
B
(
105;
:
1
2
24428
м
с
⁄
; :
B
2
20525
м
с
⁄
.
Швидкості матеріальних точок в момент зустрічі мають
однаковий знак. Це свідчить про те, що точки рухаються в
одному напрямку, тому віддалятися вони будуть зі швидкістю
∆::
1
:
B
28253
м
с
⁄
.
4.2. ГРАНИЧНИЙ АНАЛІЗ ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ
Застосування похідної при розв’язанні економічних
задач дозволяє отримувати граничні характеристики
економічних об’єктів та процесів, таких як, наприклад, гранична
виручка, корисність, продуктивність і т.п. Ці граничні
характеристики визначають швидкість зміни економічного
об’єкта або процесу.
Нехай витрати виробництва будемо розглядати як
функцію продукції, , що випускається, тобто '
.
Визначення 4.9. Граничні витрати виробництва, які
характеризують приріст змінних затрат на виробництво
додаткової одиниці продукції – це похідна від функції
продукції, що випускається:
(
'
(
. (4.38)
Середні витрати є витратами на випуск одиниці
продукції:
1
N
. (4.39)
Нехай функція 4
описує виробництво продукції за
час .
173
Визначення 4.10. Похідна від об’єму виробленої
продукції за часом 4
(
є продуктивність праці в момент
часу
.
Введемо поняття функцій витрат та збереження. Нехай
- національний доход, '
- функція споживання (частина
доходу, що споживається), а
- функція збереження (частина
доходу, що зберігається), тоді
'
. (4.40)
Диференцюємо обидві частини (4.40), маємо
N
µ
1 (4.41)
де
N
-гранична прихильність до споживання;
µ
- гранична прихильність до збереження.
Визначення 4.11. Еластичність – це міра реагування
однієї змінної величини на зміну другої. Еластичність функції
наближено вказує, на скільки відсотків зміниться одна змінна
величина в результаті зміни іншої на 1 %.
Еластичність функції визначають за формулою:
¶
·
(
або ¶
·¯
, (4.42)
де ¯
n9
(
1
·
(
.
- відносна швидкість зміни (темп) функції.
Поняття еластичності функції застосовують при аналізі
попиту і пропозиції від ціни товару (цінова еластичність).
Вона характеризує реакцію попиту або пропозиції на зміну ціни
і визначає, на скільки відсотків наближено зміниться попит або
пропозиція при зміни ціни на 1%.
174
Якщо еластичність попиту
|
¶
|
·1, то попит є
еластичним, якщо
|
¶
|
1 – нейтральним, а якщо
|
¶
|
¸1 - нееластичним відносно ціни.
Приклад 4.28. Функція витрат виробництва продукції
деякої фірми має вигляд
1,2
=
0,3
B
4120 (грошових одиниць).
Знайти середні та граничні витрати виробництва і обчислити їх
значення при 20.
Розв’язання:
Середні витрати:
1
N
1,2
B
0,34
1B
;
1
20
1,2·4000,3·204
1B
B
488.
Граничні витрати:
(
'
(
3,6
B
0,64;
(
20
3,6·4000,6·2041448.
З отриманих результатів можемо зробити висновок, що
на даному рівні виробництва (кількості продукції, що
випускається) середні витрати на виробництво однієї одиниці
продукції складають 488 грошових одиниць, а збільшення
об’єму на одну одиницю продукції буде коштувати фірмі 1448
грошових одиниці.
Приклад 4.29. Об’єм виробництва побутової техніки
деякою фірмою виражається формулою
4
B
=
=
<
B
B
43250 (одиниць),
175
де
- календарний місяць року. Обчислити продуктивність
праці, швидкість і темп її зміни: а) на початку року
0
; б) в
першому кварталі
3
; в) в другому кварталі
6
; г) в
третьому кварталі
9
; д) наприкінці року
12
.
Розв’язання:
Продуктивність праці – похідна від об’єму
виробництва:
¹
4
(
2
B
54 (од./міс.).
Швидкість зміни продуктивності праці – похідна від
продуктивності праці:
:
q
¹
(
45 (од./міс.
B
).
Темп зміни продуктивності праці – логарифмічна
похідна від продуктивності праці:
¯
q
q
V
v
q
v
Av<
Bv
S
<vA
(од./міс.).
а) 0:
¹
0
4 (од./міс.); :
q
0
5 (од./міс.
B
); ¯
q
0
<
A
(од./міс.);
б) 3:
¹
3
181547(од./міс.); :
q
3
1257 (од./міс.
B
);
¯
q
3
1 (од./міс.);
в) 6:
¹
6
7230446 (од./міс.);
:
q
6
24519 (од./міс.
B
); ¯
q
6
1P
AW
(од./міс.);
г) 9:
176
¹
9
162454121
(од./міс.);
:
q
9
36531 (од./міс.
B
); ¯
q
9
=1
1B1
(од./міс.);
д) 12:
¹
12
288604232 (од./міс.);
:
q
12
48543 (од./міс.
B
); ¯
q
12
A=
B=B
(од./міс.).
Приклад 4.30. Функція споживання деякої країни має
вигляд '
350,70,18
√
, де - сукупний
національний доход (грош. од.). Знайти:
а) граничну прихильність до споживання;
б) граничну прихильність до збереження,
якщо національний доход складає 81 млрд. грош. од.
Розв’язання: За формулою (4.40) національний доход
складає '
. Звідси функція збереження є
'
.
Знайдемо граничну прихильність до споживання
'
(
0,70,18·
3
2
√
0,70,27
√
та її значення
'
(
81
0,70,27·
√
813,13 (млрд. грош. од.).
Гранична прихильність до збереження
(
1'
(
10,70,27
√
0,30,27
√
,
а її значення
177
(
81
0,30,27·
√
812,13 (млрд. грош. од.).
Приклад 4.31. Відомі функції попиту #
P»1<
»1
і
пропозиції "¼5, де # і " - кількість товару, що покупається
і пропонується на продаж відповідно на одиницю часу, ¼ - ціна
одиниці товару. Знайти:
а) рівноважну ціну, тобто ціну, за якої попит та
пропозиція врівноважуються;
б) еластичність попиту та пропозиції.
Розв’язання:
а) Рівноважна ціна визначається з умови #", тобто
P»1<
»1
¼5;
9¼15¼
B
6¼5;
¼
B
3¼100;
¼
1
2 (не має сенсу);
¼
B
5.
Отже, рівноважна ціна ¼5 (грош.од.).
б) Знайдемо еластичність за попитом
¶
»
#
»
½
·#
»
(
»
»1
P»1<
·
P
»1
P»1<
·1
»1
S
W»
P»1<
»1
і за пропозицією
¶
»
"
»
f
·"
»
(
»
»<
·1
»
»<
.
Для рівноважної ціни ¼5:
178
¶
»
#
¾
»¿<
=
W·W
1
1B
0,08;
¶
»
"
¾
»¿<
<
1
0,5.
Враховуючи, що отримані значення еластичності (за
абсолютним значенням) не перевищують одиниці, то попит і
пропозиція даного товару при рівноважній (ринковій) ціні
нееластичні відносно ціни. Це означає, що зміна ціни не приведе
до різкої зміни попиту і пропозиції.
4.3. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО
ЧИСЛЕННЯ
4.3.1. Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа, Коші
Теорема Ферма. Нехай дано функцію
,
неперервну на інтервалі
À
1
,
B
Á
. Нехай функція
приймає своє найбільше (або найменше) значення у деякій точці
, що належить інтервалу
À
1
,
B
Á
. Якщо в точці
похідна
існує, то вона дорівнює нулю:
(
0. (4.43)
Доведення: Нехай для визначеності в точці
функція
приймає своє найбільше значення. З цього прямує, що
для будь-якої точки, що належить інтервалу
À
1
,
B
Á
повинна
виконуватися умова:
Â
.
Отже, якщо ¸
, то
a
a
Ã0,
а якщо ·
, то
179
a
a
Â0.
Якщо існує похідна, то існує і границя
(
lim
a
a
a
.
Якщо перейдемо до границі при
0 в першої нерівності,
то отримаємо
(
Ã0, аналогічно, з другої нерівності при
0 маємо
(
Â0. Ці нерівності одночасно
виконуються лише при
(
0.
Аналогічно доводиться теорема, якщо
в точці
функція приймає найменше
значення.
Геометрична інтерпретація теоре-
ми Ферма: якщо в точці
функція приймає
своє найбільше (або найменше) значення в
деякому околі точки
, то дотична до
графіку функції в цій точці паралельна осі ´
(см. рис 4.4).
Теорема Ролля. Нехай функція
неперервна в
замкненому інтервалі
À
1
,
B
Á
, диференційована в усіх його
внутрішніх точках і має на кінцях інтервалу рівні значення:
1
B
. Тоді існує хоча б одна така точка
, для якої
справедливо наступне:
(
0. (4.44)
Доведення: Якщо на кінцях інтервалу значення функції
дорівнюють одне одному,то можливі дві ситуації:
1) функція незмінна в усіх точках інтервалу
1
B
. В такому випадку її похідна дорівнює
нулю при будь-яких значеннях ;
O
x
y
M
T
T
A
B
x
x
ξ
1
2
Рис. 4.4.
180
2) якщо функція змінюється в інтервалі, то вона буде
приймати своє найбільше (або найменше) значення
хоча б у одній точці цього інтервалу
À
1
,
B
Á
. За
умовою теореми похідна існує в усіх внутрішніх
точках інтервалу, а тому і в точках, де приймає свої
найбільші або найменші значення. За теоремою
Ферма похідна в цих точках дорівнює нулю:
(
0.
Отже, теорему доказано.
Геометрична інтерпретація теореми Ролля: На лінії
, де функція задовольняє умовам теореми Ролля,
знайдеться точка, дотична у якій паралельна осі ´ (рис. 4.4).
Якщо
1
B
0, то теорема Ролля набуває
вигляду: між будь-якими нулями функції існує хоча б один нуль
похідної.
Приклад 4.32. Перевірити справедливість теореми Ролля
для функції
=
4
B
710 в інтервалі
À
1,2
Á
.
Розв’язання: Обчислимо значення функції на кінцях
інтервалу:
1
1471020;
2
816141020.
Отже, задана функція задовольняє умовам теореми Ролля.
Знайдемо похідну функції і дорівняємо її до нуля:
(
3
B
87; 3
B
870.
Отримаємо точки
1,B
A£
√
=Y
=
. Точка
1
A
√
=Y
=
належить
інтервалу
À
1,2
Á
, звідси прямує, що теорема Ролля справедлива.