Коренский В.Ф. Теория механизмов, машин и манипуляторов. Часть 2

61

Значение φ для подстановки в соотношения (23) – (26) может быть

подобрано из ограничения на макси-

мальный угол давления, который пе-

риодически наступает, когда криво-

шип ОА становится продолжением

вектора дезаксиала h (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Кривошипно-ползунный механизм

в положении экстремума угла давления

При этом

sin ,

OA

доп

AB

hl

l

+

≤

γ

что после подстановки из (24) – (26) и преобразований дает

2

max

sin sin cos sin cos sin sin .

222 22 2

ϕϕθ ϕθ θ

−γ−≤

(27)

Значение φ при известных θ и γ

max

подбирают при помощи ЭВМ, на-

чиная слева в интервале 180θ<ϕ<

D

.

3.2.5. Синтез присоединенного коромыслово-ползунного

четырехзвенника по углу размаха коромысла и ходу ползуна

.

Рис. 3.11. Коромыслово-ползунный рычажный механизм

и его кинематические параметры

В коромыслово-ползунном рычажном четырехзвеннике (рис. 3.11)

входное звено ОА не может совершать полный оборот. Поэтому такие меха-

низмы в основном применяют в комбинированных схемах, где они преобра-

зуют качательное движение коромысла в возвратно-поступательное движе-

ние ползуна.

В

0

B

i

H

i

A

0

A

i

x

ψ

0

ψ

O

C

62

Имеются методы синтеза коромыслово-ползунного рычажного четырех-

звенного механизма по ходу Н ползуна В и размаху ψ коромысла АО; ползун

осуществляет ход в направлении перпендикуляра к биссектрисе угла размаха

коромысла [10]. Однако это лишь частный случай указанного вида механизма,

примеры же его использования в машинах более разнообразны [21].

Принимая во внимание широкое

распространение схемы коромысло-

во-ползунного механизма в передаточных механизмах машин и отсутствие

достаточных исследований в данной области, рассматриваем его геомет-

рический синтез исходя из общего вида кинематической схемы.

Обозначим длину коромысла ОА, шатуна АВ и эксцентриситет ОС

соответственно через l

OA

, l

AB

и е, введем систему координат XOY, ось ОХ

направим влево параллельно направляющей ползуна В, угол коромысла

ОА с положительным направлением оси ОХ обозначим через ψ

i

, интервал

изменения этого угла пусть будет

12

,

i

ψ

≤ψ ≤ψ (28)

где ψ

1

и ψ

2

– предельные значения угла ψ

i

,

21

ψ

=ψ −ψ , (29)

где ψ – угол размаха коромысла, устанавливаемый при синтезе или анали-

зе присоединяемого механизма.

Построим крайнее возможное положение механизма ОА

0

В

0

С, в кото-

ром коромысло ОА и шатун АВ расположены на одной прямой. Угол коро-

мысла ОА с осью ОХ при этом положении пусть будет ψ

0

. Возможное пере-

мещение ползуна В от положения В

0

обозначим как Н

i

, перемещения Н

1

и Н

2

считаем крайними перемещениями ползуна В от возможного крайнего его

положения В

0

, в положениях, соответствующих перемещениям коромысла

ОА из положения ψ

1

в положение ψ

2

. Заметим, что функция перемещений

()

iii

Н H

=

ψ (30)

может совпадать либо не совпадать с функцией пути в зависимости от того,

является ли она в интервале (28) монотонной (лишь убывает или возрастает)

либо немонотонной (сначала убывает, затем возрастает или наоборот).

Переместим механизм ОАВС из рассматриваемого положения ОА

i

B

i

C

в соседнее близкое положение ОА

j

B

j

C (рис. 3.12), сообщив углу ψ

i

малое

приращение ∆ψ

ij

, в пределах которого функция (30) изменяется монотонно.

При этом перемещение ползуна В будет

jj

B

Н

0

=

,

63

а приращение его составляет

ij i j j i

H

BB H H∆= = −.

Рис. 3.12. Коромыслово-ползунный механизм

в соседних близких положениях i и j

При этом угол давления γ

i

шатуна АВ на ползун В получает приращение

,

ij j i

∆

γ=γ−γ

где γ

i

и γ

j

– соответственно значения угла γ

i

в положениях механизма i и j.

Функцию изменения угла γ обозначим

()

iii

γ=γψ . (31)

Перемещение шатуна АВ из положения А

i

B

i

в соседнее А

j

B

j

предста-

вим как результат двух перемещений: сначала поворот из положения А

i

B

i

вокруг центра В

i

на угол ∆γ

i

в промежуточное положение

**

22

(// ),

j

i

j

i

А

BAB AB

затем поступательное перемещение с ползуном В из

промежуточного положения

ij

BА

*

в конечное А

j

B

j

на величину ∆H

ij

[22].

Указанное преобразование можно описать с помощью следующих

простейших фигур:

- параллелограмма

jjji

BAAB

*

, у которого

ijBB

AA

Hll

ji

jj

∆

=

*

;

- двух равнобедренных треугольников A

i

OA

j

и

*

jii

AAВ c углами при

вершинах ∆ψ

ij

и ∆γ

ij

;

- косоугольного треугольника

*

jji

AAA , у которого две стороны – ос-

нования равнобедренных треугольников A

i

OA

j

и B

i

A

i

A

j

.

B

0

H

i

B

i

B

j

A

i

∆

H

i

j

H

j

L K

x

O

C

*

J

A

j

ψ

i

ψ

ср

ij

ψ

j

γ

j

γ

j

∆γ

ij

γ

ср ij

∆ψ

ij

64

Углы высот ОК

i

и В

i

L

i

треугольников A

i

OA

j

и

*

j

ii

AAB

c направляю-

щей ползуна В (ось х) обозначим

ij

ср

ψ

и

ij

ср

γ . Через границы интервалов

углов

ij

∆ψ и

ij

∆γ (ψ

i

, ψ

j

, γ

i

, γ

j

) эти величины выразим так:

;

2

ij

срij

ψ

+ψ

ψ=

.

2

ij

ср

γ+γ

γ=

В треугольнике

*

221

ААА стороны

2sin( /2);

ij

AA OA ij

ll

=

∆ψ

*

2sin( /2),

ii

AB ij

AA

ll

=

∆γ

а третья сторона

ijBB

AA

Hll

ji

ij

∆

=

*

.

Углы при вершинах

А

j

и

*

j

А треугольника

*

jji

AAА найдем по рис. 3.12.

Опираясь на данные, что

OXAA

jj

//

*

,

,OKAA

Ji

⊥

а

LBAA

iji

⊥

*

, получим

90 ;

i ср ij

A

∠

=−ψ

D

*

90 .

j срij

A

∠

=−γ

D

При этом

i

A∠ составит

*

180 .

ij ij

ijiср cр

AAA∠ = −∠ −∠ =ψ +γ

D

Опираясь на полученные результаты по теореме синусов, из тре-

угольника

*

jji

AAА получаем связь кинематических параметров коромы-

слово-ползунного механизма для воспроизведения функции

()

ij ij i

HH∆=∆ ∆ψ (30) в положении механизма ψ

i

на перемещение

ij

∆ψ .

2 sin 2 sin

22

sin( ) cos cos

ij ij ij ij

ij ij

OA AB

ij

ср ср ср ср

ll

H

∆

ψ∆γ

∆

==

ψ+γ γ ψ

. (32)

Уравнения (32) дают общее представление о кинематике коромысло-

во- и кривошипно-ползунного механизма для воспроизведения задаваемых

функций (30) и (31). Устремляя в них 0

ij

∆

ψ→ и переходя к пределам

lim ;

ij

ср i

ψ

=ψ

65

lim ;

срij i

γ=γ

limsin ;

22

ij ij

∆

ψ∆ψ

⎛⎞

=

⎜⎟

⎝⎠

lim sin ;

22

ij ij

∆

γ∆γ

⎛⎞

=

⎜⎟

⎝⎠

lim ;

ij

i

H

dH

d

⎛⎞

∆

⎛⎞

=

⎜⎟

∆ψ ψ

⎝⎠

lim lim lim lim ,

ij ij ij ij ij

i

HH H

dH d

dd

⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞

∆∆∆ψ∆∆ψ

⎛⎞

ψ

=⋅= ⋅=⋅

⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟

∆γ ∆ψ ∆γ ∆ψ ∆γ ψ γ

⎝⎠

⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠

получаем для синтеза механизма по кинематическим характеристикам в

одном (i-ом) из его положений, когда ψ

i

, γ

i

,

i

dH

d

⎛⎞

⎜⎟

ψ

⎝⎠

i

dH

d

⎛⎞

⎜⎟

γ

⎝⎠

:

cos

sin( )

cos

sin( )

i

OA

ii

i

FB

ii

i

dH

l

d

dH

l

d

⎛⎞

γ

=⋅

⎜⎟

γ+ψ ψ

⎝⎠

⎛⎞

ψ

=⋅

⎜⎟

ψ

+γ γ

⎝⎠

. (33)

Определив

OA

l и

AB

l , можем дополнительно найти эксцентриситет е.

Составляя уравнение проекций контура

CBOA

ii

на направление оси Y

∆

(направление эксцентриситета), получим

sin sin

OA i AB i

el l=ψ−γ. (34)

Чтобы спроектировать коромыслово-ползунный механизм по двум

его положениям – ходу ползуна В и углу размаха коромысла ОА, необхо-

димо рассмотреть интегральные формы уравнений (32), положив при этом

12 2 1

01

;

,

ij

HH

∆ψ =ψ =ψ −ψ

∆γ = γ = γ − γ

∆=

∑

(35)

где границы интервалов углов ψ и γ замерены от положительного на-

правления оси ОХ, а границы перемещений Н

ij

– от возможного крайнего

положения В

0

.

66

Представив средние значения интервалов углов в виде

10 10

;

22

ср ср

ψ

+ψ γ +γ

ψ= γ= , (36)

с помощью уравнений (32) получаем

12

cos

;

sin( )

2sin

2

ср

OA

ср ср

H

l

γ

∆

=⋅

ψ

ψ+γ

(37)

12

cos

.

sin( )

2sin

2

ср

AB

ср ср

H

l

ψ

∆

=⋅

γ

ψ+γ

(38)

При синтезе задаем перемещения звеньев механизма ψ

12

, γ

12

и ∆Н

12

с

помощью углов ψ

ср

и γ

ср

, ограничивающих интервалы углов ψ и γ с осью

ОХ. Вычислив по этим данным

OA

l

и

AB

l

, эксцентриситет е и угол луча

ОВ

0

с положительным направлением оси ОХ найдем из уравнений

sin sin

22

OA ср AB ср

el l

∆

ψ∆γ

⎛⎞⎛⎞

=ψ−−γ−

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

; (39)

0

arcsin

OA AB

e

ll

⎛⎞

ψ=

⎜⎟

+

⎝⎠

. (40)

В качестве примера рассмотрим упомянутый ранее случай синтеза

коромыслово-ползунного механизма по известному углу ψ размаха коро-

мысла и задаваемому ходу

*

12

H∆ ползуна В, когда направляющая х – х пол-

зуна

В и биссектриса ОК угла ψ

12

взаимно перпендикулярны (рис. 3.13).

Рис. 3.13. Коромыслово-ползунный механизм

y

∑

=

∆

H

*

0

B

A

*

B

1

H

/2

-[γ]

+[γ]

-[γ]

h

–

h

B

O

x

ψ

12

0,5ψ

12

67

Потребуем, чтобы на участке ∆Н

12

угол давления γ

12

имел макси-

мальное приближение к оптимальному своему значению 0

опт

γ=, равно-

мерно уклоняясь от него на допустимую величину [γ] (рис. 3.14), которая в

поступательной кинематической паре может достигать [] 30γ=±

D

.

Рис. 3.14. График наилучшего приближения угла давления

к оптимальному значению

Предполагая, что в пределах заданного угла ψ

12

функция (30) изме-

няется монотонно, замечаем, однако, что функция (31) является монотон-

ной лишь в пределах половины этого угла, изменяясь от –[γ] до +[γ] и еди-

ножды пересекает ось ψ (рис. 3.15).

Рис. 3.15. Цикл движения коромыслово-ползунного механизма

с наилучшим приближением угла давления к оптимальному

Поэтому в формулы (33) – (35) необходимо подставить:

**

;;2[];0;

22

ср

H

ψ

∆ψ = ∆ = ∆γ = γ γ =

y

H

1

H/2

B

0

B

1

*

2

B

A

1

–[γ]

A

0

+[γ]

*

2

A

C

x

O

e

ψ

0

ψ

2

=90°

ψ

1

ψ/2

ψ

ср

ψ/4

–[γ]

+[γ]

0

H

/2

H

/2

ψ

/2

ψ

/2

ψ

γ

68

**

12

90 ; 90 ; 90 .

24

ср

ψψ

ψ= − ψ= ψ = −

DDD

При этих значениях величин указанные формулы дают

*

12

** *

2sin 2cos 2sin

44 2

OA

HH

l

∆

==

ψ

ψψ

⋅

;

12

*

12

*

cos 90

tg

4

.

*

4sin[ ]

2cos 2sin[ ]

4

AB

H

l

ψ

⎛⎞

ψ

∆−

∆

⎜⎟

⎝⎠

==

ψ

γ

⋅γ

D

Зная l

OA

и l

AB

, можем найти:

*

o

12

*

sin 90 - - sin[- ] .

*

2

4tg

2

OA AB

Dy DH

el l g

y

⎛⎞

==

⎜⎟

⎝⎠

При необходимости найдем

0

arcsin .

OA AB

e

ll

⎛⎞

ψ=

⎜⎟

+

⎝⎠

В рассматриваемом примере условие перпендикулярности направ-

ляющей ползуна

В с биссектрисой угла ψ предопределило выбор угла ψ

ср

, а

характер изменения угла давления – выбор угла γ

ср

. В общем случае синте-

за коромыслово-ползунного механизма по двум его положениям придется

задаться указанными величинами, и это скажется на качестве получаемых

решений. Чтобы получить оптимальное качество, следует учитывать огра-

ничения. Рассмотрим некоторые из них.

1) При определении величины

Н в выражениях (35) операция сумми-

рования

∑

∆

ij

Н производится без учета знаков ∆Н

ij

, т. е. величины ∆Н

ij

однонаправленные. В связи с этим формулы (37) и (38) справедливы лишь

для участков монотонного изменения функций (подтверждено рассмот-

ренным примером).

2) При известных ограничениях на изменение угла давления в посту-

пательной кинематической паре

В

max

([ ] 30 )γ=±

D

функция (30) в пределах

угла ψ

12

может иметь один, либо два участка монотонного изменения в за-

69

висимости от того, пересекает луч ОВ

0

область, заключенную сторонами

угла ψ

12

, или же не пересекает. В первом случае имеем:

0

2

ср

ψ

−ψ <

; (41)

ползун

В при совмещении звена OA c лучом ОB

0

достигает положения В

0

, и

функция (30) достигает экстремума (рис. 3.16,

а).

Во втором случае

0

2

ср

ψ

−ψ ≥ ;

функция (30) экстремума не имеет, на всем своем протяжении в пределах

угла ψ она изменяется монотонно (рис. 3.16,

б).

Рис. 3.16. Кинематические графики положения

коромыслово-ползунного механизма и схемы движения ползуна

Рис. 3.17. Базовый график движения ползуна

коромыслово-ползунного механизма

0

H

i

ψ

0

ψ

2

H

2

a, b

C

0

H

i

ψ

0

ψ

2

H

2

Н

1

b

a

c

ψ

1

*

12

ψ

б)

0

H

i

ψ

0

ψ

2

H

2

ψ

1

a

b

c

a)

H

1

*

12

ψ

70

Таким образом, выбирая соответствующим образом ψ

0

и ψ

ср

, можно обес-

печить получение той или иной формы графика функции (30). Большое разно-

образие форм графика способствует широкому использованию коромыслово-

ползунного механизма в практике проектирования технологических машин.

Анализируя графики на рис. 3.16, приходим к выводу, что они опи-

саны двумя участками монотонности

ab и bc, причем каждый из этих уча-

стков начинается с положения

10

ψ

=ψ (рис. 3.17). При этом

02

120 10

20

220

0, ; ; ;

2

;; .

2

ср

H

HH

ψ

+ψ

=

ψ=ψ −ψ ψ = γ =−ψ

γ−ψ

γ= = ψ=ψ+ψ

(42)

Поэтому формулы (37) – (38) для этого случая приводим к виду

20

22

20

22

cos

2

;

sin( )

2sin

2

cos

2

.

sin( )

2sin

2

OA

AB

H

l

H

l

γ−ψ

=⋅

ψ

−ψ

ψ+γ

ψ−ψ

=⋅

γ−ψ

ψ+γ

(43)

По заданным Н, ψ, принимаемым

2

[]γ=γ и

11

[]γ=ψ<γ, определяем

l

OA

и l

AB

, после чего находим

0

()sin.

OA AB

el l

=

+ψ (44)

При синтезе коромыслово-ползунного механизма в общем случае

10

()ψ≠ψ необходимо уравнения (43) составлять для каждой из ветвей мо-

нотонности, подставляя Н, ψ

1

и γ

1

с соответствующими знаками. Тогда, на-

пример, при необходимости спроектировать механизм с функцией положе-

ния типа (рис. 3.16, а) уравнения синтеза получаем в следующем виде:

10 20

12

10 20

11 2 2

01 20

12

01 2 0

11 2 2

cos cos

22

;

sin( ) sin( )

2sin 2sin

22

cos cos

22

,

sin( ) sin( )

2sin 2sin

22

OA

AB

HH

l

HH

l

γ+ψ γ−ψ

=⋅ = ⋅

ψ

+ψ ψ −ψ

ψ+γ ψ+γ

ψ−ψ ψ+ψ

=⋅ = ⋅

ψ−γ γ+ψ

ψ+γ ψ+γ

(45)

Коренский В.Ф. Теория механизмов, машин и манипуляторов. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.