Коломитцев А.Д., Чернікова Л.В. Теорія автоматичного керування. Конспект лекцій
Подождите немного. Документ загружается.
Отсюда разность углов:
llnn
22
21
.
Это означает, что в устойчивой замкнутой системе при изменении
от 0 до
вектор
)(
1
jW
должен повернуться вокруг начала координат на угол
l
против часовой стрелки. Но
)(
1
jW
согласно (3.18) отличается от
)(
1
jW
на
–1. Поэтому в устойчивой замкнутой системе вектор
)(
jW
при изменении
от 0 до
должен повернуться вокруг точки
0,1 j
на угол
l
против
часовой стрелки. Т.е.
)(
jW
должна охватить точку
0,1 j
на угол
l
против часовой стрелки, что и требовалось доказать.
Если АФЧХ строится для диапазона частот от
до
, то угол
должен быть вдвое больше, т.е.
l2
.
3.5.2 Частная формулировка Найквиста
В случае устойчивости разомкнутой системы (что чаще всего и бывает) l=0.
Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ
разомкнутой устойчивой системы не охватывала точку
0,1 j
.
При l=0 исходя из общей формулировки Найквиста охват точки
0,1 j
составит угол
0
, что фактически означает неохват ее.
3.6 Использование логарифмических частотных характеристик для
оценки устойчивости [2,c.108; 4,c.150]
Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы ЛФЧХ
устойчивой разомкнутой системы не пересекала ось частот (1) или пересекало бы ее
четное число раз при ЛАЧХ
0)(
L
(рис.p3.8 и 3.9).
Колебательной границе устойчивости соответствует случай, когда ЛАЧХ ЛФЧХ
пересекают ось частот в одной точке (3).
83
Рисунок 3.8 – Определение устойчивости системы по АФЧХ
1 – абсолютно устойчивая система;
2 – неустойчивая система;
3 – колебательная граница устойчивости.
Рисунок 3.9 – Определение устойчивости системы по АФЧХ
1 – абсолютно устойчивая система.
4 ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ
4.1 Требования к качеству процесса управления. Показатели качества
[2,c.111-112; 4,c.25-28; 200-203]
Устойчивость АСУ обеспечивает затухание переходных процессов с течением
времени, т.е. обеспечивается возможность прихода системы в установившееся
состояние при любом внешнем воздействии.
)(
1
2
3
L( )
0
-180
o
)(
L( )
0
-180
o
1
84
Но, кроме этого требуется, чтобы установившееся состояние было близко к
заданному и, чтобы затухание переходного процесса было достаточно быстрым, а
отклонения (колебания) при этом были бы невелики.
Поэтому после обеспечения устойчивости системы необходимо обеспечить
требуемое качество процесса управления, в понятие которого входят:
- качество переходного процесса;
- точность системы в установившемся состоянии.
Показатели качества переходного процесса чаще всего определяются по реакции
АС на ступенчатое изменение входного воздействия (рис. 4.1).
02,01
yy
и
21
,
TT
yy
- установившиеся и требуемые значения управляемой
величины до и после момента
1
tt
изменения входного воздействия.
К показателям качества переходного процесса (динамическим показателем
качества АС) относятся:
- динамическая ошибка
)(ty
дн
- разность между требуемым и
действительным значением управляемой величины, возникающая в процессе
управления (показана на рисунке штриховкой)
)()(
2
tyyty
Tдн
,
Рисунок 4.1 – Определение показателей качества по графику переходного процесса
которая характеризует точность работы АС в динамическом режиме;
g
g
g
2
1
1
0
t
t
y
y
y
y
y
y
Т 2
Т 1
О 2
О 1
0
y ( t )
м
2
8
t
t
п
85
- перерегулирование (максимальное отклонение управляемой величины
M
y
)
%100,%
02
02
y
yy
M
.
Теоретически
)()(lim
02
ytyy
t
. Но в реальных АС из-за потерь
переходные процессы затухают за небольшое конечное время;
- время переходного процесса
n
t
определяемое длительностью переходного
процесса от момента приложения воздействия
)(
1
t
до момента, после которого
имеет место неравенство
02
)( yty
,
где
- заданная постоянная величина (15% от
02
y
).
n
t
характеризует
степень быстродействия АС.
- число колебаний m (или частота) управляемой величины за время
n
t
. Оно
характеризует меру колебательности АС.
Чем меньше числовые значения показателей качества переходного процесса, тем
лучше динамические свойства АС. Все эти показатели взаимосвязаны, и изменение
одного из них ведет к изменению других. Поэтому достижение одновременного
минимума всех показателей – задача очень трудная. При проектировании АС важно,
чтобы они не выходили за определенные границы (рис. 4.2).
Рисунок 4.2 – График допустимых границ изменения показателей качества
Точность системы характеризуется такими показателями, как: статические и
скоростные ошибки, возникающие при различных типовых воздействиях;
коэффициенты ошибок при произвольном внешнем воздействии и др.
Для оценки точности (статических свойств) АС используют так называемые
статические ошибки по задающему и возмущающим воздействиям. Статической
ошибкой
ст
y
называется отклонение управляемой величины y(t) от требуемого
2
t
t
п
0
y
y
o
86
значения y
T
в статическом режиме, т.е. при постоянных значениях входных
воздействий.
022
)(lim yytyy
Tднст
В общем виде статическая ошибка АС:
N
i
fgст
i
yyy
1
,
где
g
y
и
i
f
y
– составляющие от постоянных
g
y
и
)(tf
i
. Чем
меньше статическая ошибка, тем выше точность и статические свойства АС.
4.2 Критерии качества [4,c.200-203]
Любая АСУ должна управлять объектом или процессом с определенной
точностью. В конечном счете качество управления зависит от мгновенных величин
ошибки, равных разности
)()()( tytgtx
между заданным g(t) и фактическим y(t) значениями регулируемой величины. Ошибка
определяется характером изменения g(t) и y(t), которые изменяются чаще всего
случайным образом. Поэтому оценка качества управления по мгновенным значениям
ошибкам x(t) не используется, а применяются вероятностные оценки ошибки.
В ТАУ применяют также методы, позволяющие оценивать качество систем по их
поведению в типовых режимах, когда случайные воздействия апроксимируются
заданными (типовыми) функциями времени. Оценка качества САУ ведется по
критериям качества, которые можно разделить на :
- критерии точности;
- критерии запаса устойчивости;
- критерии быстродействия;
- комплексные критерии.
Критерии точности используют для оценки величин ошибок, возникающих в
различных типовых установившихся режимах, а также при плавном, медленном
изменении g(t) и f(t). К типовым режимам относятся такие, при которых:
-
)(1)()(1)(
11
tftfиtgtg
, где
constfиconstg
11
;
-
2
)()(
2
1
1
ta
tgиttg
при
)(1)(
1
tftf
, где
11
aи
-
скорость и ускорение изменения входного воздействия;
87
-
tgtg
km
sin)(
.
Критерием точности служит значение ошибки в установившемся режиме
tуст
txx )(
, причем учитывается как ошибка от входного воздействия
)()( tytgx
y
, так и от возмущения
)(tyx
f
при
0)( tg
.
Критерий запаса устойчивости определяет отдаленность системы от границ
устойчивости. Используются два подхода для оценки качества по этому критерию.
Первый основан на рассмотрении переходных процессов (переходных и весовых
функций, расположения полюсов и нулей Ф(р) замкнутой системы и т.п.). При этом
критериями запаса устойчивости служат величина
и m переходного процесса, его
затухание и колебательность.
При втором подходе изучаются частотные характеристики системы, ее
резонансные свойства. В качестве критериев запаса устойчивости используют запасы
устойчивости по амплитуде и фазе, показатель колебательности и др.
При оценке быстродействия также используются временной и частотный
подходы. Критерием быстродействия при временном подходе является время
затухания переходного процесса системы t
n
, а при частотной – полоса пропускания
амплитудной характеристики замкнутой системы.
Временные критерии качества называют еще прямыми, т.к. с их помощью
непосредственно оценивается процесс управления при конкретном типовом
воздействии. Частотные критерии называют косвенными, т.к. процесс управления
оценивается по его отображению в области частоты
, а не времени t.
Существует связь между частотами и временными критериями качества
процесса управления, которая в общем виде может быть получена только для простых
систем второго порядка.
Частотные критерии более эффективные при оценке качества, т.к. вычисления в
частотной области проще, чем во временной.
К комплексным критериям качества относятся обобщенные критерии,
характеризующие одновременно точность, запас устойчивости и быстродействия. К
ним относятся, прежде всего, интегральные оценки свойств кривой переходного
процесса.
4.3 Точность при типовых воздействиях [2,c.67-75; 4,c.203-209]
Точность работы САУ в установившихся режимах оценивается по величине
установившейся ошибки
t
уст
txx )(lim
при типовых входных и возмущающих
воздействиях. Чем меньше эта ошибка, тем выше качество САУ.
Простейшими типовыми режимами работы являются режимы при постоянной
величине внешнего воздействия, при изменении внешнего воздействия с постоянной
скоростью, с постоянным ускорением (воздействия в виде квадратичной функции),
при гармоническом воздействии.
88
Величина ошибки может быть определена из общего дифференциального
уравнения САУ относительно ошибки (см. п. 2.7).
)()()()()()(
1
tfpMtgpCtxpD
i
l
i
f
i
, (4.1)
где D(p), C(p) и
)( pM
i
f
– многочлены; l – число действующих на систему
возмущений. В установившемся режиме все производные равны нулю
0
dt
d
p
.
Преобразуя выражение (4.1) по Лапласу при нулевых начальных условиях,
получим изображение ошибки:
l
i
ifх
pFpФрGрФpX
i
1
)()()()()(
, (4.2)
где
)(1
1
)(
)(
)(
pWpD
рС
рФ
х
- передаточная функция замкнутой
системы по ошибке;
)(1)(
)(
)(
pW
W
pD
pM
pФ
ii
i
ff
f
- передаточная функция замкнутой
системы по возмущению;
)( pW
и
)( pW
i
f
- передаточные функции разомкнутой системы по
управляющему и возмущающему воздействиям.
Исходя из теоремы о конечном значении:
ppxx
p
уст
)(lim
0
. (4.3)
Подставив в (4.3) выражение (4.2) получим:
fg
if
pp
уст
xx
pW
pFpW
p
pW
pG
px
i
)(1
)()(
lim
)(1
)(
lim
00
, (4.4)
где
g
x
и
f
x
– составляющие установившейся ошибки от воспроизведения
входного воздействия
)(tg
и от действия возмущения
)(tf
.
89
4.3.1 Постоянное ступенчатое воздействие
При этом
)(1)(
1
tgtg
. Для простоты примем одно возмущение
111
)(1)( gtftf
и
constf
1
.
Установившаяся ошибка при этих воздействиях называется статической
ст
x
.
Изображения воздействий при этом будут
p
f
pF
p
g
pG
11
)(,)(
.
На основании (4.3) и (4.4) получим:
fссgсс
pp
уст
xx
pW
pf
p
pW
pg
px
)(1
)/(
lim
)(1
)/(
lim
1
0
1
0
.
gсс
x
отлична от нуля только в статических системах с
)(/)()( pCpBKpW
,
где В(р) и С(р) не содержат множителя р, а свободные члены равны 1. Тогда
KW )0(
- коэффициенту усиления разомкнутой системы. Тогда
K
g
x
gсс
1
1
. (4.5)
Для системы статической по отношению к
)(tf
:
K
fpW
x
f
fсс
1
)(
1
, (4.6)
где
)0(
f
W
- коэффициент статизма системы с разомкнутой цепью
управления, равный отношению
уст
x
к постоянному возмущению.
4.3.2 Воздействие, изменяющиеся с постоянной скоростью
При этом
)(1)(
1
tttg
, где
const
1
и
)(1)(
1
tftf
.
Такой режим применяется в следящих системах.
В этом случае:
90
,)(,)(
1
2
1
p
f
pF
p
pG
fссgсс
f
pp
уст
xx
pW
pfpW
p
pW
p
px
)(1
/)(
lim
)(1
/
lim
1
0
2
1
0
.
Второе слагаемое аналогично (4.6) дает статическую ошибку при
constf
1
.
Первое слагаемое имеет смысл только в случае, когда многочлен С(р), входящий
в
)(/)()( pCpBpW
, не имеет свободного члена. Т.е. W(p) должно иметь
нулевой корень и может быть представлено в виде:
)1...(
)1...(
)(
2
1
0
10
pCpCp
pBpBK
pW
n
n
m
m
.
Тогда первая составляющая установившейся ошибки определяется
K
x
gсс
1
, (4.7)
и называется скоростной ошибкой.
При постоянном задающем воздействии
constgtg
1
)(
в такой системе,
обладающей нулевым полюсом в
)( pW
, статическая ошибка
0
gсс
x
, а
имеется постоянное значение скоростной ошибки
gсс
x
.
Система, отличающаяся отсутствием статической ошибки, называется
астатической системой. Для технического осуществления астатической системы
необходимо присутствие интегрирующего звена.
Как видно из (4.5) и (4.7) для уменьшения величины ошибок нужно добиваться
большого значения общего коэффициента К усиления разомкнутой цепи
проектируемой системы.
Можно получить САУ с астатизмом второго и более высокого n-го порядка, при
условии, что
)( pW
имеет двойной нулевой полюс или нулевой полюс n-го
порядка.
91
4.3.3 Воздействие изменяется с постоянным ускорением
При этом
)(1
2
)(
2
1
t
ta
tg
, где
consta
1
.
)(tf
принимается, как и в
предыдущих случаях постоянным. Для такой системы
3
1
)(
p
a
pG
. Первое
слагаемое в (4.4) имеет смысл только при астатизме второго порядка, когда:
)1...(
)1...(
)(
3
2
0
2
10
pCpCp
pBpBK
pW
n
n
m
m
,
и оно называется ошибкой от ускорения:
K
a
x
gуу
1
.
Аналогично можно говорить и об астатизме системы по отношению к
возмущающему воздействию
)(tf
, но нулевыми полюсами должна обладать
)(tW
f
.
4.3.4 Гармоническое (синусоидальное) воздействие
При этом
.sin)(
max
tgtg
k
Установившиеся ошибки в этом случае
определяются частотными характеристиками замкнутой системы. Рассмотрим
ошибку только от действия входного задающего воздействия:
)(1 pW
g
x
.
В линеаризированной системе ошибка в установившемся режиме будет меняться
также по гармоническому закону
)sin(
max
txx
k
.
Точность системы в этом случае определяется по амплитуде ошибки (в
выражении для
)( pW
вместо р подставляем
k
j
):
)(1
max
max
k
jW
g
x
.
92