Киселёв Ю.Н. Оптимальное управление
Подождите немного. Документ загружается.
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
a
1
+ a
2
t +
t
0
(t − s) u
2
(s) ds
a
2
+
t
0
u
2
(s) ds
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
т.е.
x
1
(t)=a
1
+ a
2
t +
t
0
(t − s) u
2
(s) ds = y(t),
x
2
(t)=a
2
+
t
0
u
2
(s) ds =˙y(t).
Упражнение 2.2. Найти решение задачи Коши
1) ¨y + y = u
2
(t),y(0) = a
1
, ˙y(0) = a
2
;
2)
...
y
= u
3
(t),y(0) = a
1
, ˙y(0) = a
2
, ¨y(0) = a
3
.
1.2.6 Явная формула для решения задачи Коши в случае од-
номерного линейного неоднородного дифференциального
уравнения с переменными коэффициентами
Рассмотрим следующую задачу Коши
˙x = a(t)x + b(t),x(t
0
)=x
0
, (29)
где a(t), b(t) – известные непрерывные функции. Решение x(t) задачи
Коши (29) определяется формулой
x(t)=e
A(t)
⎛
⎝
x
0
+
t
t
0
e
−A(s)
b(s) ds
⎞
⎠
, (30)
где функция A(t) имеет вид A(t)=e
t
t
0
a(s) ds
.
Упражнение 2.3. Проверить формулу (30).
31
1.3 Множество достижимости, множество управляе-
мости. Их представление на основе формулы Ко-
ши. Предварительные соображения о решении
линейной задачи быстродействия
Рассмотрим линейную задачу быстродействия
˙x = Ax + u; x(t
0
) ∈ M
0
,x(t
1
) ∈ M
1
; t
1
− t
0
→ min
с классом допустимых управлений У = У
U
. При изучении этой задачи
важную роль играют два множества – множество достижимости и
множество управляемости.
1.3.1 Множество достижимости X(t)=X(t
0
,t,M
0
)
Введём множество X(t
0
,τ,M
0
), определяемое множеством M
0
,на-
чальным моментом времени t
0
,числомτ>t
0
(это множество зависит
также от матрицы A и от класса допустимых управлений У = У
U
).
Рассмотрим задачу Коши
˙x = Ax + u(t),t
0
t τ; x(t
0
)=x
0
∈ M
0
(1)
и выпишем её решение по формуле Коши
x(t)=e
(t−t
0
)A
x
0
+
t
t
0
e
(t−s)A
u(s) ds. (2)
Поставим вопрос: куда можно перейти к моменту времени τ по тра-
екториям дифференциального уравнения (1), исходящим в начальный
момент времени t
0
из различных точек x
0
∈ M
0
,еслиразрешается
использовать всевозможные допустимые управления u(·) ∈ У? Мно-
жество концов x(τ) описанных выше траекторий образует некоторое
множество в E
n
, которое называется множеством достижимости и
обозначается X(t
0
,τ,M
0
) (см. рисунок 3.1).
Таким образом,
X(t
0
,τ,M
0
)=
x ∈ E
n
x = x(τ ), формула (2) при t = τ;
x(t
0
) ∈ M
0
,u(·) ∈ У
, (3)
32
M
0
x
0
u(t)
x(τ)
ˆx
0
˜u(t)
˜x(τ )
˜
˜u(t)
˜
˜x(τ )
ˆu(t)
ˆx(τ )
ˆ
˜u(t)
ˆ
˜x(τ )
ˆ
˜
˜u(t)
ˆ
˜
˜x(τ )
Рисунок 3.1
или, в более подробной записи,
X(t
0
,τ,M
0
)=
⎧
⎨
⎩
x ∈ E
n
x = e
(τ−t
0
)A
x
0
+
τ
t
0
e
(τ−s)A
u(s) ds,
x
0
∈ M
0
,u(·) ∈ У
⎫
⎬
⎭
, (4)
или
X(t
0
,τ,M
0
)=
!
x
0
∈M
0
u(·)∈У
⎧
⎨
⎩
e
(τ−t
0
)A
x
0
+
τ
t
0
e
(τ−s)A
u(s) ds
⎫
⎬
⎭
. (5)
Естественно считать, что X(t
0
,t,M
0
)
t=t
0
= M
0
. Для множества до-
стижимости часто удобно использовать краткое обозначение:
X(t) ≡ X(t
0
,t,M
0
).
Множество X(t) с ростом t изменяется. При достаточно малых зна-
чениях t − t
0
> 0 множество
X(t)
"
M
1
= ∅,
(см. рисунок 3.2).
Если t
1
− t
0
– оптимальное время перехода из M
0
в M
1
,то
X(t)
"
M
1
= ∅ при t
0
t<t
1
,
X(t
1
)
"
M
1
= ∅.
Подчеркнём, что априори ниоткуда не следует, что множество дости-
жимости X(t), в процессе изменения с течением времени, войдёт в
контакт с множеством M
1
.
33
M
0
M
1
X(t
)
X(t
)
X(t
1
)
M
0
"
M
1
= ∅ t
0
<t
<t
<t
1
Рисунок 3.2
1.3.2 Множество управляемости Z(t)=Z(t, t
1
,M
1
)
Введём множество Z(τ,t
1
,M
1
), определяемое множеством M
1
,
моментом времени t
1
,числомτ<t
1
(это множество зависит также от
матрицы A и от класса допустимых управлений У = У
U
). Рассмотрим
задачу Коши
˙x = Ax + u(t),
←−−−−−− −
τ t t
1
; x(t
1
)=x
1
∈ M
1
. (6)
Начальное условие в этой задаче задаётся на правом конце отрез-
ка [τ, t
1
].ВыпишемеёрешениепоформулеКоши:
x(t)=e
(t−t
1
)A
x
1
+
t
t
1
e
(t−s)A
u(s) ds =
= e
(t−t
1
)A
x
1
+
t
1
t
e
(t−s)A
#
−u(s)
$
ds. (7)
Множество Z(τ,t
1
,M
1
) (множество управляемости) состоит из всех
таких точек z ∈ E
n
, находясь в которых в момент времени τ,объектв
момент времени t
1
попадает на множество M
1
при помощи некоторого
допустимого управления:
Z(τ,t
1
,M
1
)=
z ∈ E
n
z = x(τ), формула (7) при t = τ;
x(t
1
) ∈ M
1
,u(·) ∈ У
, (8)
34
или, в более подробной записи,
Z(τ,t
1
,M
1
)=
⎧
⎨
⎩
z ∈ E
n
z = e
(τ−t
1
)A
x
1
+
t
1
τ
e
(τ−s)A
[−u(s)] ds;
x
1
∈ M
1
,u(·) ∈ У
⎫
⎬
⎭
,
(9)
или
Z(τ,t
1
,M
1
)=
!
x
1
∈M
1
u(·)∈У
⎧
⎨
⎩
e
(τ−t
1
)A
x
1
+
t
1
τ
e
(τ−s)A
[−u(s)] ds
⎫
⎬
⎭
. (10)
Естественно считать, что Z(t, t
1
,M
1
)
t=t
1
= M
1
. Для множества управ-
ляемости удобно использовать краткое обозначение:
Z(t) ≡ Z(t, t
1
,M
1
).
Свойства множеств X(t), Z(t) рассмотрены в разделе 3.8. В случае
t
1
− t
0
= min между множествами X(t) и Z(t) имеется тесная связь,
описанная в разделе 3.11.
1.3.3 Представление множеств достижимости и управляемости
на основе формулы Коши
Имеют место следующие представления:
X(t
0
,t,M
0
)=e
(t−t
0
)A
M
0
+
t
t
0
e
(t−s)A
У ds, (11)
Z(t, t
1
,M
1
)=e
(t−t
1
)A
M
1
+
t
1
t
e
(t−s)A
#
−У
$
ds. (12)
Обсудим структуру правых частей формул (11), (12). Первые сла-
гаемые имеют вид произведения матрицы (экспоненциала) на множе-
ство, а вторые слагаемые имеют вид интеграла от класса допустимых
управлений У. Для обоснования формул (11), (12) ниже вводятся ли-
нейные операции над множеством в пространстве E
n
,операцияинте-
грирования класса допустимых управлений У.
35
1.3.4 Операции над множествами в пространстве E
n
Определение 3.1. Алгебраической суммой двух множеств F
1
,
F
2
⊂ E
n
называется множество
F
1
+ F
2
= {x ∈ E
n
: x = f
1
+ f
2
,f
1
∈ F
1
,f
2
∈ F
2
},
т.е.
F
1
+ F
2
=
!
f
1
∈F
1
f
2
∈F
2
{f
1
+ f
2
}.
Пример 3.1. Пусть
F
1
= {x ∈ E
2
: |x
1
| 1,x
2
=0},
F
2
= {x ∈ E
2
: x
1
=0, |x
2
| 1}
– отрезки. Множество
F = F
1
+ F
2
есть квадрат {x ∈ E
2
: |x
1
| 1, |x
2
| 1}
(см. рисунок 3.3).
F
F
1
F
2
x
1
x
1
x
2
x
2
001
1
1
1
−1
−1
−1
−1
Рисунок 3.3
Пример 3.2. Пусть F
1
= {a} – множество, состоящее из одной
точки a ∈ E
2
, F
2
= S
r
(0) –круг.Тогда
F
1
+ F
2
= {a} + S
r
(0) = S
r
(a)
есть круг радиуса r сцентромвточкеa (см. рисунок 3.4).
36
S
r
(0)
S
r
(a)
x
1
x
2
0
a
Рисунок 3.4
Определение 3.2. Произведением (n ×n)-матрицы D на множе-
ство F ⊂ E
n
называется множество
DF = {x ∈ E
n
: x = Df, f ∈ F },
т.е.
DF =
!
f∈F
{Df}.
Пример 3.3. Пусть
D =
⎛
⎜
⎜
⎝
1
√
2
1
√
2
−
1
√
2
1
√
2
⎞
⎟
⎟
⎠
,F=
%
x ∈ E
2
: |x
1
| 1,x
2
=0
&
.
Тогда
DF =
x ∈ E
2
: x
2
= −x
1
, |x
1
|
1
√
2
– отрезок (см. рисунок 3.5).
Определение 3.3 (интеграл от класса допустимых управле-
ний). Пусть У – класс допустимых управлений, D(s) – (n × n)-
матрица, непрерывно зависящая от скалярного аргумента s ∈ [t
0
,t];
37
F
DF
x
1
x
2
01−1
45
◦
Рисунок 3.5
t
0
<t.Полагаем
t
t
0
D(s)У ds =
x ∈ E
n
:
x =
t
t
0
D(s)u(s) ds, u(·) ∈ У
,
t
t
0
D(s)[−У] ds =
x ∈ E
n
:
x =
t
t
0
D(s)[−u(s)] ds, u(·) ∈ У
.
Из формул (5), (10) и определений 3.1, 3.2, 3.3 следуют представ-
ления (11), (12).
38
2 Элементы выпуклого анализа в простран-
стве E
n
.Тритеоремыобинтегралах
2.4 Основные обозначения и определения. Наимень-
шая выпуклая оболочка множества и её постро-
ение. Лемма об отделимости
2.4.1 Основные обозначения и определения
E
n
– n-мерное евклидово пространство,
x =
⎛
⎜
⎝
x
1
.
.
.
x
n
⎞
⎟
⎠
,y=
⎛
⎜
⎝
y
1
.
.
.
y
n
⎞
⎟
⎠
, . . . – элементы пространства E
n
,
(x, y)=x
1
y
1
+ ...+ x
n
y
n
– скалярное произведение элементов x и y,
x =(x, x)
1/2
–нормаэлементаx,
x − y =
n
i=1
(x
i
− y
i
)
2
1/2
– расстояние между элементами x и y,
F – множество, лежащее в пространстве E
n
,
S
r
(a)=
%
x ∈ E
n
: x − a r
&
–шаррадиусаr сцентромвточкеa
(r 0, a ∈ E
n
),
S =
%
x ∈ E
n
: x =1
&
– единичная сфера с центром в точке 0
(0 ∈ E
n
),
2 – начало доказательства,
– конец доказательства.
Определение 4.1. Множество F называется открытым,еслидля
любой точки x ∈ F существует число ε>0 такое, что S
ε
(x) ⊂ F
∀x ∈ F ∃ε>0: S
ε
(x) ⊂ F
(см. рисунок 4.1).
Множества
F
1
= {x =(x
1
,x
2
) ∈ E
2
: |x
1
| < 1, |x
2
| < 1},
F
2
= {x =(x
1
,x
2
) ∈ E
2
: x
2
1
+ x
2
2
< 1}
являются открытыми в E
2
; множества S
r
(a), S не являются открыты-
ми.
Определение 4.2. Точка a ∈ E
n
называется предельной точкой
множества F ,если∀ε>0 выполняется условие S
ε
(a)
"
F = ∅.
39
Так, для множества F = {x ∈ E
n
: x < 1} все его предельные
точки образуют множество S
1
(0).
Определение 4.3. Множество F называется замкнутым,если
оно содержит все свои предельные точки.
Множества S
r
(0), S замкнуты.
Определение 4.4. Множество F называется ограниченным,если
существует такое число R>0, что имеет место включение F ⊂ S
R
(0),
см. рисунок 4.2.
F
x
S
ε
(x)
0
R
F
S
R
(0)
x
1
x
2
Рисунок 4.1 Рисунок 4.2
Определение 4.5. Модулем множества F называется число
|F | =sup
f∈F
f =inf
r0
%
r: F ⊂ S
r
(0)
&
.
Для любого ограниченного множества F его модуль |F | < ∞.
Модуль множества F =
%
x ∈ E
2
: |x
1
| 1, |x
2
| 1
&
равен
√
2.
Определение 4.6. Множество F называется компактом,еслионо
замкнуто и ограничено.
Примерами компактов являются множества
S
r
(0),S,F=
%
x ∈ E
2
: |x
1
| 1, |x
2
| 1
&
;
множества
F
1
= S
1
(0) \{0},F
2
= S
1
(0) \ S
не являются компактами (нет замкнутости); множество
F
3
=
%
x ∈ E
2
: x
2
0
&
(полуплоскость)
40