Киселёв Ю.Н. Оптимальное управление

Подождите немного. Документ загружается.

для любого вектора χ ∈ E

,причём

g = h

(8)

(предел (7) есть производная опорной функции c(ψ) вточкеψ = ψ

направлении вектора χ).

Возьмём любой вектор χ ∈ E

;таккакψ

=0, то при достаточно

малых λ>0 вектор ψ

+ λχ отличен от нуля и определено опорное

множество H

+λχ

= ∅. Выберем в последнем множестве произволь-

ную точку

∈ H

+λχ

. (9)

По условию утверждения B) теоремы 17.1 H

= {h

} ипотому

λ=0

= h

. Используя определение опорной функции (1), опорно-

го множества (2) и учитывая выбор точек u

, см. (9), запишем два

соотношения

(ψ

)  c(ψ

)=(ψ

), (10)

(ψ

+ λχ, h

)  c(ψ

+ λχ)=(ψ

+ λχ, u

). (11)

Умножив (10) на минус единицу, перепишем его в форме

−(ψ

)=−c(ψ

)  −(ψ

Почленное сложение двух последних соотношений приводит к двой-

ному неравенству

λ(χ, h

)  c(ψ

+ λχ) − c(ψ

)  λ(χ, u

из которого получаем при λ>0

0 

c(ψ

+ λχ) − c(ψ

)

− (χ, h

)  (χ, u

− h

) . (12)

Докажем теперь, что при λ → +0

− h

→ 0. (13)

Если допустить, что (13) неверно, то существуют число δ>0 ипо-

следовательность чисел {λ

}

∞

k=1

, λ

> 0, λ

→ +0 (k →∞),такие,

что

u

− h

  δ>0 ∀k =1, 2,... (14)

171

Последовательность u

ограничена, так как все u

∈ H

+λχ

⊂ U,

а U – компакт; поэтому из неё можно выделить сходящуюся к некото-

рой точке v ∈ U подпоследовательность. Не меняя обозначений, будем

считать, что сама последовательность u

сходится к точке v.Тогда,

записав равенства

c(ψ

+ λ

χ)=(ψ

+ λ

χ, u

)

ипереходявнихкпределуприk →∞(λ

→ +0, u

→ v),всилу

непрерывности опорной функции, приходим к равенству

c(ψ

)=(ψ

,v).

Следовательно, v ∈ H

= {h

},ипотому

v = h

. (15)

Условия (14), (15) и предельное соотношение u

→ v при k →∞

противоречивы, что доказывает (13). Из (12), (13) следует (7), (8).

Остаётся показать, что существует градиент c



(ψ

) и c



(ψ

)=h

Ниже будет установлено, что приращение опорной функции можно

записать в виде:

c(ψ

+∆ψ) − c(ψ

)=(c



(ψ

), ∆ψ)+

¯o(∆ψ), ∆ψ→0.

Для этого достаточно показать, что

Φ(∆ψ) → 0 при ∆ψ→0, (16)

где

Φ(∆ψ)=

c(ψ

+∆ψ) − c(ψ

)

∆ψ

−



∆ψ

∆ψ



, ∆ψ > 0.

Предположим противное. Тогда найдутся: число ε>0, последователь-

ность

∆ψ

(∆ψ

=0, ∆ψ

→0 при k →∞), номер K такие, что

для ∀k  K выполняется неравенство

|Φ(∆ψ

)|  ε>0. (17)

Введём обозначения:

= ∆ψ

,χ

∆ψ

∆ψ



≡

∆ψ

172

Тогда λ

> 0, λ

→ 0 при k →∞; χ

∈ S.Всилукомпактно-

сти единичной сферы S из последовательности {χ

} можно выбрать

сходящуюся к некоторой точке ¯χ ∈ S подпоследовательность. Без

ограничения общности будем считать, что сама последовательность

→ ¯χ, k →∞. Тогда, вводя дополнительные обозначения

≡ Φ(∆ψ

c(ψ

+ λ

) − c(ψ

)

− (h

,χ

) ,

c(ψ

+ λ

¯χ) − c(ψ

)

− (h

, ¯χ) ,

имеем r

→ 0 при k →∞, в силу (7), (8). Кроме того, имеет место

предельное соотношение

− r

c(ψ

+ λ

) − c(ψ

+ λ

¯χ)

− (h

,χ

− ¯χ) → 0,k→∞.

Действительно, опорная функция удовлетворяет условию Липшица по

переменной ψ

|c(ψ



) − c(ψ



)|  L ψ



− ψ



∀ψ



,ψ



∈ E

с константой Липшица L, поэтому можно записать цепочку соотно-

шений

|π

− r

| 

Lλ

χ

− ¯χ

+ h

·χ

− ¯χ =

=(L + h

) ·χ

− ¯χ→0,k→∞.

Таким образом, установлено, что r

→ 0 и π

− r

→ 0 при k →∞,

откуда с учётом соотношений

=(π

− r

)+r

, |π

|  |π

− r

| + |r

имеем: π

→ 0 при k →∞, что противоречит условию (17), которое

может быть записано в виде: |π

|  ε>0 для ∀k  K.

Теорема 17.1 полностью доказана. 

Следствие 17.1. Условие строгой выпуклости выпуклого компак-

та U внаправлениивектораψ

=0равносильно существованию в

точке ψ

градиента c



(ψ

) опорной функции c(ψ) компакта U.

Следствие 17.2. Выпуклый компакт U является строго выпук-

лым тогда и только тогда, когда существует градиент в любой точке

ψ ∈ E

, ψ =0.

173

Замечание 17.1. Подчеркнём ещё раз важный для приложений

конструктивный аспект теоремы 17.1. Рассмотрим уравнение

(ψ

,u)=c(ψ

содержащее ненулевой векторный параметр ψ

∈ E

, относительно

неизвестной точки u из строго выпуклого компакта U. Это уравнение

имеет единственное решение, определяемое формулой

u = c



(ψ

Упражнение 17.2. Проверить справедливость равенства

(ψ, c



(ψ)) = c(ψ) ∀ψ =0,

(теорема Эйлера для однородных функций измерения 1), используя

свойство положительной однородности измерения 1 опорной функ-

ции c(ψ).

Упражнение 17.3. Граница ∂U выпуклого компакта U допускает

представление

∂U =

∈S

ДлястроговыпуклогокомпактаU имеет место следующее парамет-

рическое описание границы:

∂U = {u ∈ E

: u = c



(ψ),ψ ∈ S}.

Здесь S = {ψ ∈ E

: ψ =1} – единичная сфера.

Вернёмся к основной задаче нашего курса – линейной задаче быст-

родействия:

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

˙x = Ax + u,

x(t

) ∈ M

x(t

) ∈ M

− t

→ min

u(·)∈У

Формулируемая ниже теорема 17.2 является следствием теоремы 17.1.

Теорема 17.2. Пусть в задаче быстродействия множества M

и U

строго выпуклы. Тогда для любого начального значения сопряжённой

переменной ψ(t

) ∈ S соответствующая пара (x(t),u(t)), удовлетворя-

ющая условиям а), б) принципа максимума на [t

] (см. раздел 3.11),

является единственной.

Действительно, при заданном начальном значении p

≡ ψ(t

) ∈ S

сопряжённой переменной

174

1) однозначно определяется сопряжённая переменная

ψ(t, p

)=e

−(t−t

∗

 t  t

2) из условия максимума а) однозначно определяется экстремаль-

ное управление

u(t, p

)=c



(ψ(t, p

)),t

 t  t

3) из условия трансверсальности б) однозначно определяется на-

чальная точка x(t

) траектории x(t):

≡ x(t

)=c



,ψ(t

)),

4) из задачи Коши

˙x = Ax + u(t, p

),x(t

)=x

однозначно определяется траектория x(t), t

 t  t

4.18 Линейная задача быстродействия с гладкой об-

ластью управления

Обсудим вопрос о построении вычислительных методов нахожде-

ния оптимальных решений в линейных задачах быстродействия спе-

циального вида, имеющих гладкую область управления U. В данном

разделе рассмотрены основные свойства этих задач.

Рассмотрим линейную задачу быстродействия

˙x = Ax + u; x|

t=0

= x

=0; x|

t=T

=0; T → min (1)

с “гладкой” областью управления U ∈ Γ

[7]. Предполагается, что

из точки x

возможен перевод объекта в начало координат при по-

мощи допустимого управления. Характерной чертой “гладкой” задачи

(1) является непрерывность оптимального управления.

Пусть область управления U является выпуклым компактом, ле-

жащим в пространстве E

. Этот компакт однозначно определяется

своей опорной функцией

c(ψ) = max

u∈U

(u, ψ),ψ∈ E

. (2)

175

Определим специальный класс Γ выпуклых компактов, которые будем

называть гладкими.

Определение 18.1. Выпуклый компакт U ∈ Γ,еслидляопорной

функции c(ψ) компакта U выполнены следующие три предположения:

П1 Функция c(ψ) имеет строго положительный минимум на еди-

ничной сфере S = {ψ ∈ E

: ψ =1}:

min

ψ∈S

c(ψ) > 0;

П2 Функция c(ψ) имеет непрерывные частные производные до вто-

рого порядка включительно при всех ψ ∈ E

, ψ =0;

П3 Ранг матрицы c



(ψ) вторых частных производных (гессиана)

функции c(ψ) равен n − 1 при всех ψ ∈ S;



(ψ)=



(ψ)



i,j=1

(ψ) ≡

∂

c(ψ)

∂ψ

,i,j=1,...,n.

Будем писать U ∈ Γ

,еслиU ∈ Γ ифункцияc(ψ) имеет непре-

рывные частные производные до третьего порядка включительно при

всех ψ =0.

Упражнение 18.1. Пусть n =2. Проверить, что выпуклый компакт

U =



u ∈ E

 1



ограниченный эллипсом, принадлежит Γ, Γ

Упражнение 18.2. Показать, что эллипсоид

U = {u ∈ E

:(u, Qu)  1}∈Γ

Здесь Q – симметричная положительно определённая (n×n)-матрица.

Упражнение 18.3. П1 ⇐⇒ 0 ∈ int U.

Отсюда следует, что компакт U ∈ Γ содержит точку 0 ∈ E

качестве внутренней точки.

Упражнение 18.4. Проверить, что ∀ψ ∈ E

, ψ =0, выполняются

равенства

∗



(ψ)=c(ψ),c



(ψ) ψ =0,

т.е. ранг матрицы c



(ψ)  n − 1.

176

Упражнение 18.5. Проверить, что уравнение

∗

u = c(ψ),ψ∈ E

,ψ=0,

относительно u ∈ U, U ∈ Γ, имеет единственное решение, определяе-

мое формулой

u = c



(ψ).

Рассмотрим сопряжённое уравнение

ψ = −A

∗

и сопряжённую переменную

ψ(t, p)=e

−tA

∗

где p = ψ(0,p) – начальное значение сопряжённой переменной при

t =0. Рассмотрим так называемое экстремальное управление u(t, p),

отвечающее сопряжённой переменной ψ(t, p) и определяемое условием

максимума а), раздел 3.11:



ψ(t, p)



∗

u(t, p)=c(ψ(t, p)).

Отсюда следует (см. упражнение 17.5), что

u(t, p)=c



(ψ(t, p)).

Cледовательно, оптимальное управление u

(t), 0  t  T

, в задаче (1)

допускает представление

(t)=c



(ψ(t, p

)), 0  t  T

с некоторым вектором p

∈ S. Вектор p

(начальное значение оп-

тимальной сопряжённой переменной) и число T

> 0 (оптимальное

время перехода из точки x

в начало координат) нам неизвестны.

Можно показать, что в гладкой задаче быстродействия (1) вектор p

определяется единственным образом.

Таким образом, решение задачи (1) на основе принципа максиму-

ма сводится к нахождению параметров p

∈ S и T

> 0. Подставим

экстремальное управление u(t, p) в уравнение движения объекта и

рассмотрим задачу Коши

˙x = Ax + u(t, p),x|

t=0

= x

177

Её решение x(t, p) выпишем с помощью формулы Коши:

x(t, p)=e

⎛

⎝



−sA

u(s, p) ds

⎞

⎠

Нет оснований полагать, что при произвольно выбранном векторе p

решение x(t, p) когда-либо попадает в начало координат. Потребуем,

чтобы

x(T,p)=0,p∈ S, T > 0.

Эти условия приводят к системе нелинейных уравнений

ξ(p, T )=x

, p

=1 (3)

относительно единичного вектора p и положительного числа T .Здесь

ξ(p, T )=−



−sA



−sA

∗

p) ds

– n-мерная векторная нелинейная функция аргументов

p ∈ E

\{0} и T>0.

Пусть

p = p

,T= T

∈ S, T

> 0) (4)

– решение системы (3). Тогда в задаче (1)

• T

– оптимальное время,

• u

(t)=c



−tA

∗

), 0  t  T

, – оптимальное управление,

• x

(t)=x(t, p

), 0  t  T

, – оптимальная траектория.

Следует обратить внимание на то, что в задаче (1) принцип макси-

мума является необходимым и достаточным условием оптимальности,

так как объект локально управляем в начало координат (проверить!).

Итак, решение задачи быстродействия (1) на основе принципа мак-

симума сводится к нахождению решения системы уравнений (3) от-

носительно начального значения сопряжённой переменной p иопти-

мального времени T . Ниже рассмотрены некоторые методы решения

178

системы (3). Эти методы существенно используют специфику систе-

мы (3).

Укажем геометрическую интерпретацию решения p

, T

.Рассмот-

рим множество

= {x ∈ E

: x = ξ(p, T ),p∈ S},T 0,

которое называется изохроной (множество уровня оптимального вре-

мени перехода). Точка x

∈ Σ

,авекторp

– единичный вектор

внутренней нормали к Σ

вточкеx

(рисунок 18.1).

Рисунок 18.1

Множество V

=convΣ

, ограниченное изохроной Σ

,обладает

следующими свойствами:

• V

= {0} при T =0,

• V



⊂ V



, V



= V



при 0  T





(монотонное разбухание

множества V

с ростом параметра T ),

• V

∈ Γ при T>0.

С геометрической точки зрения решение системы (3) состоит в

нахождении

а) первого момента T = T

> 0 попадания точки x

на границу Σ

множества V

б) единичного вектора p

внутренней нормали к Σ

вточкеx

179

Нахождение оптимальной пары (p

) в линейной задаче быст-

родействия (1) можно трактовать как решение следующей краевой

задачи принципа максимума

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

˙x = Ax + c



(ψ),x



t=0

= x



t=T

=0,

ψ = −A

∗

ψ, ψ



t=0

= p ∈ S,

(5)

где p ∈ S и T>0 не заданы. Обратим внимание на то, что краевая

задача (5) нелинейна за счёт члена c



(ψ).

4.19 Некоторые численные методы решения линей-

ной задачи быстродействия

Пусть T

опт

= T

– оптимальное время, p

опт

= p

– оптимальное

начальное значение сопряжённой переменной:

ξ(p

)=x

, p

 =1,T

> 0. (1)

Обсудим некоторые алгоритмы нахождения пары

опт

. (2)

4.19.1 Метод Ньютона

Метод Ньютона решения системы уравнений

ξ(p, T )=x

p

. (3)

Пусть p

, T

– некоторое приближение к точному решению систе-

мы (3): p

 =1, T

> 0. Полагая

опт

= p

+∆p, T

опт

= T

+∆T,

и производя линеаризацию системы уравнений (3), получаем линей-

ную алгебраическую систему уравнений



∂ξ

∂p



· ∆p +



∂ξ

∂T



· ∆T = x

− ξ

)

∗

· ∆p =0

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

(4)

180