Кирюшин О.В. Управление техническими системами
Подождите немного. Документ загружается.
отклонение регулируемого параметра от заданного значения, тем больше
управляющее воздействие:
dt)t(eKu
0
.
Передаточная функция И-регулятора:
W
И
(s) =
s
K
0
.
При возникновении ошибки управляющее воздействие начинает
увеличиваться со скоростью, пропорциональной величине ошибки. Например,
при еO= 1 скорость будет равна K
0
(см. рисунок 1.54).
Рисунок 1.54
Достоинство данного принципа регулирования в отсутствии
статической ошибки, т.е. при возникновении ошибки регулятор будет
увеличивать управляющее воздействие, пока не добьется заданного значения
регулируемой величины. Недостаток – в низком быстродействии.
3) Д-закон (дифференциальное регулирование). Регулирование ведется
по величине скорости изменения регулируемой величины:
dt
)t(de
Ku
2
.
То есть при быстром отклонении регулирующей величины
управляющее воздействие по модулю будет больше. При медленном –
меньше. Передаточная функция Д-регулятора:
W
Д
(s) = K
2
s.
Регулятор генерирует управляющее воздействие только при изменении
регулируемой величины. Например, если ошибка имеет вид ступенчатого
сигнала е = 1, то на выходе такого регулятора будет наблюдаться один
импульс (-функция). В этом заключается его недостаток, который обусловил
отсутствие практического использования такого регулятора в чистом виде. На
практике данный закон регулирования, а также прочие типовые законы
комбинируются и используются в регуляторах вида:
ПИ-регулятор (пропорционально-интегральный регулятор)
представляет собой два параллельно работающих регулятора: П- и И-
регуляторы (см. рисунок 1.55). Данное соединение сочетает в себе
51
е(t)
t
1
u(t)
t
= arctg K
0
достоинства обоих регуляторов: быстродействие и отсутствие статической
ошибки.
ПИ-закон регулирования описывается уравнением
)t(eKdt)t(eKu
10
и передаточной функцией:
W
ПИ
(s) = K
1
+
s
K
0
.
То есть регулятор имеет два независимых параметра (настройки): K
0
–
коэффициент интегральной части и K
1
– коэффициент пропорциональной.
При возникновении ошибки е = 1 управляющее воздействие изменяется
как показано на рисунке 1.56.
Рисунок 1.56
ПД-регулятор (пропорционально-дифференциальный регулятор)
включает в себя П- и Д-регуляторы (см. рисунок 1.57). Данный закон
регулирования описывается уравнением:
dt
)t(de
K)t(eKu
21
и передаточной функцией:
W
ПД
(s) = K
1
+ K
2
s.
Данный регулятор обладает самым большим
быстродействием, но также и статической
ошибкой. Реакция регулятора на единичное
ступенчатое изменение ошибки показана на
рисунке 1.58.
Рисунок 1.58
52
П
И
Рисунок 1.55
е
u
е(t)
t
1
u(t)
t
K
1
= arctg K
0
П
Д
Рисунок 1.57
е
u
е(t)
t
1
u(t)
t
K
1
импульс
ПИД-регулятор (пропорционально-интегрально-дифференциальный
регулятор) можно представить как соединение трех параллельно работающих
регуляторов (см. рисунок 1.59). Закон ПИД-регулирования описывается
уравнением:
dt
)t(de
K)t(eKdt)t(eKu
210
и передаточной функцией
W
ПИД
(s) = K
1
+
s
K
0
+ K
2
s.
ПИД-регулятор в отличие от других имеет три настройки: K
0
, K
1
и K
2
.
ПИД-регулятор используется достаточно часто, поскольку он сочетает в
себе достоинства всех трех типовых регуляторов. Реакция регулятора на
единичное ступенчатое изменение ошибки показана на рисунке 1.60.
Рисунок 1.60
4.2. Определение оптимальных настроек регуляторов.
Регулятор, включенный в АСР, может иметь несколько настроек,
каждая из которых может изменяться в достаточно широких пределах. При
этом при определенных значениях настроек система будет управлять
объектом в соответствии с технологическими требованиями, при других
может привести к неустойчивому состоянию.
Поэтому стоит задача, во-первых, определить настройки,
соответствующие устойчивой системе, и, во-вторых, выбрать из них
оптимальные.
Оптимальными настройками регулятора называются настройки,
которые соответствуют минимуму (или максимуму) какого-либо показателя
качества. Требования к показателям качества устанавливаются
непосредственно, исходя из технологических. Чаще всего накладываются
требования на время регулирования (минимум) и степень затухания
(OO
зад
).
Однако, изменяя настройки таким образом, чтобы увеличить степень
затухания, мы можем прийти к слишком большому времени регулирования,
что нецелесообразно. И наоборот, стремясь уменьшить время регулирования,
мы получаем более колебательные процессы с большим значением .
Зависимость от t
p
в общем случае имеет вид,
изображенный на графике (см. рисунок 1.61).
53
1
t
p
Рисунок 1.61
П
И
Рисунок 1.59
е u
Д
е(t)
t
1
u(t)
t
K
1
= arctg K
0
импульс
Поэтому для определения оптимальных
настроек разработан ряд математических методов,
среди которых можно выделить:
- метод сканирования плоскости настроек,
- формульный метод,
- метод D-разбиения.
Метод сканирования заключается в разбиении области допустимых
настроек выбранного регулятора с равным шагом и определении показателей
качества для каждого набора настроек в узлах получившейся сетки. После
просмотра всех узлов выбираются наборы настроек, соответствующие
наилучшим показателям качества. Настройки могут быть уточнены далее
также путем сканирования окрестности выбранного узла с более мелким
шагом.
Формульный метод определения настроек регуляторов используется
для быстрой и приближенной оценки значений настроек регуляторов.
Если объект управления представляет собой инерционное звено с
запаздыванием, т.е. описывается передаточной функцией
s
e
1Ts
K
)s(W
,
где K – коэффициент усиления, Т - постоянная времени, - запаздывание
(см.Oп. 2.6.5), то настройки П-, И-, ПИ- и ПИД-регуляторов могут быть
определены по приведенным в таблицеO1.5 формулам в зависимости от того,
какой вид переходного процесса требуется получить. Во второй колонке
таблицы приведены формулы для апериодического процесса без
перерегулирования, в третьей – с перерегулированием 20 %, в четвертой – для
процесса с максимальным быстродействием (процесс может быть сильно
колебательным).
Метод D-разбиения заключается в определении области настроек в
пространстве допустимых значений настроек выбранного регулятора,
соответствующих области устойчивости или заданному показателю качества.
Кривая D-разбиения представляет собой границу устойчивости в
пространстве настроек и поэтому строится с использованием какого-либо
критерия устойчивости.
Построение кривой D-разбиения по методу Гурвица сводится к
решению системы неравенств вида
i
0, определяющих условие
устойчивости.
Таблица 1.5
Регулятор Апериодический
процесс
Процесс с
перерегулированием
20O%
Процесс с
минимальным
временем
регулирования
54
П
K
T3,0
K
1
K
T7,0
K
1
K
T9,0
K
1
И
K5,4
1
K
0
K7,1
1
K
0
K7,1
1
K
0
ПИ
K
T6,0
K
1
,
K
1
K
0
K
T7,0
K
1
,
K
1
K
0
K
T
K
1
,
K
1
K
0
ПИД
K
T95,0
K
1
,
2
0
K
T4,0
K
,
K
T38,0
K
2
K
T2,1
K
1
,
2
0
K
T6,0
K
,
K
T48,0
K
2
K
T4,1
K
1
,
2
0
K
T08,1
K
,
K
T7,0
K
2
Пример. Определение области устойчивости АСР по методу Гурвица.
Структура АСР представлена на рисунке 1.30 (см. п. 2.6.4). Параметры
K
2
= 1, K
4
= 2, K
5
= 0,5. Параметры K
0
и K
1
являются переменными. Требуется
записать условие устойчивости относительно K
0
и K
1
.
Для записи условия устойчивости в данном примере наиболее удобно
воспользоваться критерием Гурвица.
Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид (пример
определения характеристического уравнения см. в п. 2.6.4):
D(s) = 2
.
s
3
+ 4
.
s
2
+ (K
1
+ 1)
.
s + K
0
.
Матрица имеет размер 3х3, так как степень D(s) равна 3:
0
1
0
K40
01K2
0K4
.
Диагональные миноры матрицы:
1
= 4 > 0,
0101
1
0
2
K24K4K2)1K(4
1K2
K4
,
20
1
0
03
K
1K2
K4
K
.
Согласно критерию Гурвица система устойчива, если все
i
> 0. Тогда
получаем систему неравенств (
1
= 4 уже удовлетворяет этому условию,
поэтому далее не учитывается):
2
= 4
.
K
1
+ 4 – 2
.
K
0
> 0 K
0
< 2
.
K
1
+ 2
3
= K
0
.
2
> 0 K
0
> 0
То есть, условие устойчивости
можно записать как 0 < K
0
< 2
.
K
1
+ 2.
Графически она изображена на рисунке
1.62.
Кривая D-разбиения в данном
примере представляет собой прямую
55
K
0
K
1
0-1 1
2
4
прямая K
0
= 2K
1
+ 2
область
устойчивости
Рисунок 1.62
K
0
= 2K
1
+ 2,
выше которой настройки соответствуют
неустойчивой системе. Система с
настройками, взятыми из области
устойчивости, будет устойчива.
Для систем с запаздыванием при определении границы устойчивости
можно воспользоваться критериями Михайлова или Найквиста.
Методика определения границы устойчивости по критерию Михайлова
сводится к решению системы уравнений
Re
D
() = 0,
Im
D
() = 0.
Это условие границы устойчивости вытекает из требования
прохождения годографа Михайлова (для системы, находящейся на границе
устойчивости) через начало координат, т.е. точку с координатами (Re = 0, Im
= 0).
Пример. Определение области устойчивости АСР по критерию
Михайлова.
Рассмотрим одноконтурную АСР (см. рисунок 1.27), состоящую из ПИ-
регулятора с передаточной функцией W
p
(s), объекта с передаточной функцией
W
оу
(s) и отрицательной обратной связи. Передаточные функции имеют вид:
s
K
K)s(W
0
1p
,
s
oy
e
1s3
2
)s(W
.
Последовательность расчета соответствует порядку применения
критерия (см. п. 3.1.5).
Характеристическое выражение замкнутой системы:
D(s) = (K
1
.
s + K
0
)
.
2
.
e
-s
+ s
.
(3
.
s + 1) = 3
.
s
2
+ s + 2
.
(K
1
.
s + K
0
)
.
e
-s
.
Подстановка s = j
.
дает:
D(j
.
) = -3
.
2
+ j
.
+ 2
.
( j
.
K
1
.
+ K
0
)
.
(cos - j
.
sin ) = -3
.
2
+ j
.
+
+ j
.
2
.
K
1
.
.
cos + 2
.
K
1
.
.
sin + 2
.
K
0
.
cos - j
.
2
.
K
0
.
sin = Re
D
+ j
.
Im
D
,
где Re
D
= -3
.
2
+ 2
.
K
1
.
.
sin + 2
.
K
0
.
cos ,
Im
D
= + 2
.
K
1
.
.
cos - 2
.
K
0
.
sin .
Приравнивание полученных выражений к нулю дает систему из двух
уравнений с тремя неизвестными: K
0
, K
1
и :
Re
D
= -3
.
2
+ 2
.
K
1
.
.
sin + 2
.
K
0
.
cos = 0,
Im
D
= + 2
.
K
1
.
.
cos - 2
.
K
0
.
sin = 0.
Решение системы относительно K
0
и K
1
:
K
0
= 0,5
.
.
sin + 1,5
.
2.
cos ,
K
1
= 1,5
.
.
sin - 0,5
.
cos .
Далее, варьируя от 0 до
бесконечности, по последним
выражениям в пространстве K
0
и K
1
строится кривая D-разбиения (см.
56
K
0
K
1
-0,5
Рисунок 1.63
область
устойчивости
рисунок 1.63), которая ограничивает
область устойчивости.
Знание области устойчивости для рассматриваемой АСР позволяет
ограничить область поиска оптимальных настроек. Поиск может
производится путем сканирования (в т.ч. с переменным шагом) только
области устойчивости.
Часто ставится задача поиска настроек, соответствующих оптимальным
(максимальным или минимальным) значениям показателей качества C
i
:
optC
i
,
которые могут образовывать векторный критерий С = {C
i
}.
Поиск оптимальных параметров в смысле векторного критерия
достаточно сложен. Для упрощения он может быть сведен к достаточно
хорошо изученной задаче минимизации некоторой скалярной функции,
которая является интегральным критерием I. Функция I определяется путем
сворачивания векторного критерия в скалярный одним из методов:
1) аддитивный критерий
n
1i
ii
CI
,
где α
i
– веса (весовые коэффициенты) показателей.
Если показатели имеют разные шкалы или размерности, то для
облегчения выбора весов иногда эти показатели нормируют:
o
1
1
i
C
C
C
ˆ
,
где
o
1
C
- минимально (максимально) возможное значение показателя или
диапазон его шкалы. Веса также нормированы, т.е.
1
n
1i
i
.
2) линейно-квадратичный критерий
n
1i
2
ii
)C(I
.
Минимизация по такому критерию эквивалентна нахождению точки,
ближайшей к началу координат (с учетом весов).
3) Минимаксный (Чебышёвский) критерий
)C(maxI
ii
ni1
.
Смысл – минимизация самой большой потери.
4) Модель справедливого компромисса.
n
1i
ii
n
1i
i
ClnICI
i
.
Для случая n = 2 имеем α = α
1
= α
2
= 0,5 и решение
57
2
2
1
1
I
I
I
I
.
То есть, относительные потери по одному критерию приводят к
относительному преобразованию другого.
К критериям C
i
предъявляются требования:
1) C
i
> 0,
2) для оптимальных настроек C
i
min (если изначально C
i
max, то вместо
него вводится в рассмотрение критерий
i
i
C
1
C
ˆ
, который стремится к
минимуму при C
i
max).
После определения интегрального критерия производится его
минимизация в области устойчивости (методом сканирования, градиентным
методом и т.д.).
Поиск оптимальных настроек может вестись при заранее введенных
ограничениях на какие-либо показатели качества:
.зад.ii
CC
или
.зад.ii
CC
,
где C
i.зад.
– заданное значение показателя. Достигнутое при поиске значение
должно быть не хуже заданного. Для решения такой задачи поиска строятся
т.н. кривые D-разбиения равного значения показателя качества одним из
перечисленных ниже методов в зависимости от вида показателя.
При ограничении на степень устойчивости
зад
.
Кривая D-разбиения изначально являлась границей устойчивости,
поэтому, чтобы можно было применить те же методы построения кривой (т.е.
применять критерии устойчивости), производят смещение осей координат
Этим смещением вынуждают систему оказаться на границе устойчивости.
В отношении степени устойчивости достаточно сместить мнимую ось
Im влево на величину
зад
(ось Im z на рисунке 1.64) путем подстановки
s = z +
зад
в характеристическое выражение D(s). Выражение D(z +
зад
) называется
смещенным характеристическим выражением.
Далее производится построение кривой D- разбиения известными
методами. Каждая точка кривой будет соответствовать заданной степени
устойчивости.
58
s
1
s
2
s
3
s
4
s
5
s
6
Re s
Im s
Рисунок 1.64
зад
Im z
При ограничении
зад
.
В этом случае для вывода системы на границу устойчивости
необходимо повернуть оси Re и Im на угол
зад
(см. рисунок 1.65) путем
подстановки
s = z
.
e
j
.
При ограничении на степень колебательности m m
зад
.
Поскольку показатели m и связаны однозначно отношением m = tg ,
то для вывода системы на границу устойчивости также используется поворот
осей на угол . Подстановка имеет вид
s = j
.
- m
.
.
Далее строится кривая D-разбиения по критерию Михайлова.
При ограничении на степень затухания JJ
зад
.
Имеется формула, связывающая Oсо степенью колебательности m:
m2
e1
,
откуда
2
)1ln(
m
зад
зад
.
Далее строится кривая D-разбиения равной степени колебательности m.
При ограничении на показатель колебательности М М
зад
.
Применяется методика Ротача, согласно которой необходимо
определить выражение для АЧХ замкнутой системы по заданию
А
з
() = |Ф
з
(j
.
)|.
Показатель колебательности М определяется
как максимум функции А
з
() (см. рисунок
59
s
1
s
2
s
3
s
4
s
5
s
6
Re s
Im s
Рисунок 1.65
Im z
зад
Re z
зад
А
з
М
Рисунок 1.66
1.66). Условие максимума записывается в
виде системы:
А
з
() = М
0
d
)(dA
з
при
0
d
)(Ad
2
з
2
.
Поскольку в общем случае выражение для А
з
() является функцией не
только частоты , но и настроек регулятора, то система уравнений (при
МO=OМ
зад
) решается относительно них. Далее, варьируя , в пространстве
настроек строится кривая D-разбиения, каждая точка которой соответствует
М
зад
.
При ограничении на показатель колебательности М
Е
М
Е зад
.
Построение кривой D-разбиения строится аналогично как решение
системы:
А
Е
() = М
Е зад
0
d
)(dA
E
при
0
d
)(Ad
2
E
2
,
где А
Е
() = |Ф
Е
(j
.
)| - АЧХ замкнутой системы по ошибке.
Количество настроек, в пространстве которых строятся кривые D-
разбиения, как показано в п. 4.1, для разных регуляторов различно. Так, ПИ-
регулятор имеет две настройки K
0
и K
1
, поэтому кривая D-разбиения для него
имеет вид кривой на плоскости. Для ПИД-регулятора с настройками K
0
, K
1
и
K
2
кривая D-разбиения представляет собой поверхность в 3-мерном
пространстве. Для ограничения области поиска настройку K
2
рассматривают
как зависимую от K
0
и K
1
:
0
2
1
2
K
K
K
,
где - коэффициент, оптимальные значения которого соответствуют
диапазону
0,15 0,6.
Тогда поверхность вырождается в кривую на плоскости K
0
и K
1
.
Доказано, что оптимальные настройки ПИ- и ПИД-регуляторов в
смысле минимума интегрального квадратичного критерия
0
2
п
dt)t(eI
,
60