Кирюшин О.В. Управление техническими системами
Подождите немного. Документ загружается.
устойчивости требуются дополнительные расчеты. Например,
характеристический полином
s
3
+ s
2
+ 2s + 8
по критерию Стодола соответствует устойчивой системе, однако корни этого
полинома равны s
1
= -2, s
2,3
= 0,5 j1,94. То есть система фактически
является неустойчивой, хотя коэффициенты полинома положительны.
Критерий Гурвица дает необходимое и достаточное условие
устойчивости линейных систем.
Исходной информацией для данного критерия является
характеристический полином системы: разомкнутой A(s) или замкнутой D(s)
– в зависимости от того, какая система анализируется.
Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица таким
образом, чтобы по главной диагонали были расположены коэффициенты
ХПЗС с a
n+1
по a
0
. Справа и слева от нее записываются коэффициенты с
индексами через 2 (a
0
, a
2
, a
4
… или a
1
, a
3
, a
5
…). Тогда для устойчивой системы
необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные
миноры матрицы были больше нуля.
Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет
находится на границе устойчивости.
Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система
неустойчива не зависимо от числа положительных или нулевых
определителей.
Пример. Дана передаточная функция разомкнутой системы
)s(A
)s(B
ss3s2
1s6s9s2
)s(W
234
23
.
Требуется определить устойчивость замкнутой системы по критерию
Гурвица.
Для этого определяется ХПЗС:
D(s) = A(s) + B(s) = 2s
4
+ 3s
3
+ s
2
+ 2s
3
+ 9s
2
+ 6s + 1 = 2s
4
+ 5s
3
+ 10s
2
+ 6s + 1.
Поскольку степень ХПЗС равна n = 4, то матрица будет иметь размер
4х4. Коэффициенты ХПЗС равны а
4
= 2, а
3
= 5, а
2
= 10, а
1
= 6, а
0
= 1.
Матрица имеет вид:
11020
0650
01102
0065
(обратите внимание на сходство строк матрицы: 1 с 3 и 2 с 4). Определители
(диагональные миноры матрицы):
Δ
1
= 5 > 0,
41
0386*210*5
102
65
2
,
0209)6*6*21*5*50*10*0(
)0*5*20*1*66*10*5(
650
1102
065
3
Δ
4
= 1* Δ
3
= 1*209 > 0.
Поскольку все определители положительны, то АСР устойчива. ♦
3.1.5 Критерий Михайлова.
Описанные выше критерии устойчивости не работают, если
передаточная функция системы имеет запаздывание, то есть может быть
записана в виде
s
e
)s(A
)s(B
)s(W
,
где - запаздывание.
В этом случае характеристическое выражение замкнутой системы
полиномом не является и его корни определить невозможно. Для определения
устойчивости в данном случае используются частотные критерии Михайлова
и Найквиста.
Порядок применения критерия Михайлова:
1) Записывается характеристическое выражение замкнутой системы:
D
з
(s) = A(s) + B(s)
.
e
-
s
.
2) Подставляется s = j: D
з
(j) =Re() + Im().
3) Записывается уравнение годографа Михайлова D
з
(j) и строится кривая на
комплексной плоскости.
Для устойчивой АСР необходимо и достаточно,
чтобы годограф Михайлова (см. рис. 1.43),
начинаясь при = 0 на положительной
вещественной полуоси, обходил последовательно в
положительном направлении (против часовой
стрелки) при возрастании от 0 до n
квадрантов, где n - степень характеристического
полинома.
Если годограф Михайлова проходит через
начало координат, то говорят, что система
находится на границе устойчивости.
Пример. Характеристический полином замкнутой системы имеет вид
(см. предыдущий пример):
D(s) = 2s
4
+ 5s
3
+ 10s
2
+ 6s + 1.
После подстановки s = j получается выражение для годографа Михайлова:
42
Re
Im
0
уст.
неуст.
граница уст.
Рисунок 1.43
D(j) = 2(j)
4
+ 5(j)
3
+ 10(j)
2
+ 6 j + 1 = 2
4
- 5j
3
- 10
2
+ 6 j + 1 =
= Re
D
() + j
.
Im
D
(),
где Re
D
() = 2
4
- 10
2
+ 1 – действительная часть выражения годографа,
Im
D
() = - 5
3
+ 6 - мнимая часть.
Далее, варьируя частоту от 0 до бесконечности, рассчитываются
точки годографа (см. табл. 1.3) и на комплексной плоскости строится кривая
(см. рисунок 1.44).
Таблица 1.3
Re
D
() Im
D
()
0 0 1
0,1 0,1 0,9002
0,5 0,2 0,6032
1 0,5 -1,375
2 1 -7
5 2 -7
10 2,5 16,625
-
Рисунок 1.44
Годограф Михайлова начинается на положительной действительной
полуоси и последовательно обходит четыре квадранта (степень
характеристического полинома также равна n = 4), следовательно, система
устойчива. Это подтверждает результат, полученный в предыдущем примере.
3.1.6 Критерий Найквиста.
Данный критерий определяет устойчивость по частотным
характеристикам системы. Для построения частотных характеристик,
например, АФХ требуется подстановка s = j в передаточную функцию
системы, которая, как правило, представляет собой дробно-рациональную
функцию. Поэтому данный критерий более сложен для ручного расчета по
сравнению с критерием Михайлова.
Последовательность:
1) Определяется передаточная функция разомкнутой системы
)s(A
)s(B
)s(W
.
2) Определяется число правых корней m.
3) Подставляется s = j: W
(j).
4) Строится АФХ разомкнутой системы.
43
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
-10 0 10 20
Re
Im
-4
-3
-2
-1
0
1
2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Re
Im
Для устойчивости АСР необходимо и достаточно, чтобы при
увеличении от 0 до АФХ W
(j) m раз полуохватывала точку (-1; 0), где
m - число правых корней разомкнутой системы, т.е. корней s
i
> 0.
Если АФХ проходит через точку (-1; 0),
то замкнутая система находится на границе
устойчивости (см. рисунок 1.45).
В случае, если характеристическое
уравнение разомкнутой системы A(s)O=O0 правых
корней не имеет (т.е. m = 0), то критерий можно
переформулировать: замкнутая система
устойчива, если АФХ разомкнутой системы
W
(j) не охватывает точку (-1; 0), в противном
случае система неустойчива; если проходит
через нее, то на границе устойчивости.
Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
1s4s2s5,3
5
)s(W
23
.
Для построения АФХ разомкнутой системы делается подстановка
sO=Oj* в передаточную функцию:
)(Im*j)(Re
1)j(4)j(2)j(5,3
5
)s(W
23
,
где
a
)*21(*5
)j(WRe)(Re
2
- действительная часть АФХ,
a
)*45,3(*5
)j(WIm)(Im
3
- мнимая часть,
а = (1 – 2*
2
)
2
+ (3,5
3
– 4*)
2
– знаменатель.
Таблица 1.4
Re
D
() Im
D
()
0 5 0
0,4 1,443261 -2,92048
0,8 -0,67933 -3,41604
1,2 -1,84607 1,225475
1,6 -0,25765 0,496282
2 -0,07795 0,222717
2,4 -0,03257 0,120084
0 0
Рисунок 1.46
По полученным формулам строится АФХ (см. табл. 1.4 и рисунок 1.46).
Характеристическое уравнение правых корней не имеет, АФХ охватывает
точку (-1; 0), следовательно, замкнутая система неустойчива.
3.2. Показатели качества
44
Re
Im
0
-1
неуст.
уст.
Рисунок 1.45
Если исследуемая АСР устойчива, то может возникнуть вопрос о том,
насколько качественно происходит регулирование в этой системе и
удовлетворяет ли оно технологическим требованиям. На практике качество
регулирования может быть определено визуально по графику переходной
кривой, однако, имеются точные методы, дающие конкретные числовые
значения.
Показатели качества разбиты на 4 группы:
1) прямые - определяемые непосредственно по кривой переходного процесса,
2) корневые - определяемые по корням характеристического полинома,
3) частотные - по частотным характеристикам,
4) интегральные - получаемые путем интегрирования функций.
Корневые, частотные и интегральные критерии качества называют
также косвенными, поскольку они в отличие от прямых определяют качество
системы не непосредственно по переходной кривой, а по косвенным
характеристикам (передаточным функциям, ЧХ и т.д.). В этом заключается
достоинство данных критериев: они не требуют построения переходной
кривой. Однако информация для косвенных критериев на практике не всегда
доступна (не всегда известна, например, передаточная функция
рассматриваемого объекта).
3.2.1 Прямые показатели качества.
К ним относятся: степень затухания , перерегулирование ,
статическая ошибка е
ст
, время регулирования t
p
и др.
Предположим, переходная кривая, снятая на объекте, имеет
колебательный вид (см. рис. 1.47).
По ней определяется установившееся значение выходной величины
)t(ylimy
t
уст
.
45
Рисунок 1.47
Степень затухания определяется по формуле
1
3
A
A
1
,
где А
1
и А
3
- соответственно 1-я и 3-я амплитуды переходной кривой.
Перерегулирование =
уст
устmax
уст
1
y
yy
y
A
, где y
max
- максимум переходной
кривой.
Статическая ошибка е
ст
= х - у
уст
, где х - входная величина.
Время достижения первого максимума t
м
определяется по графику.
Время регулирования t
p
определяется следующим образом: Определяется
допустимое отклонение и строится «трубка» толщиной 2. Время t
p
соответствует последней точке пересечения y(t) с данной границей. То
есть время, когда колебания регулируемой величины перестают
превышать допустимого отклонения от установившегося значения.
Обычно допустимое отклонение принимается равным 5 % от
установившегося значения: = 5% у
уст
. Однако оно может быть и другим.
Например, если у
устO
=O0, то допустимое отклонение принимается равным 5
% от амплитуды А
1
.
Оптимальные значения времени регулирования, времени достижения
первого максимума, перерегулирования и статической ошибки соответствуют
минимальным значениям (чем меньше, тем лучше). Степень затухания,
наоборот, должна быть максимально большой (максимум равен 1).
3.2.2 Корневые показатели качества.
К ним относятся: степень колебательности m, степень устойчивости и
др. Корневые показатели не требуют построения переходных кривых,
поскольку определяются по корням характеристического полинома. Для этого
корни полинома откладываются на комплексной плоскости и по ним
определяются:
Степень устойчивости определяется как граница, правее которой корней
нет, т.е.
= min
)sRe(
i
,
где Re(s
i
) - действительная часть корня s
i
. Пример определения степени
устойчивости показан на рисунке 1.48. Линии построения показаны
пунктиром. Степень устойчивости на рисунке определяется по самым
правым корням (корни s
3
и s
4
).
Степень колебательности m рассчитывается через угол : m = tg . Для
определения проводятся два луча, которые ограничивают все корни на
комплексной плоскости. - угол между этими лучами и мнимой осью.
Степень колебательности может быть определена также по формуле:
m = min
)sIm(
)sRe(
i
i
.
46
Если в системе нет комплексных корней, т.е. все корни лежат на
действительной оси, то колебательность в системе отсутствует и m = 90°. При
наличии чисто мнимых корней система находится на границе устойчивости,
для нее m = 0.
На рисунке 1.48 степень колебательности определена по корням s
1
и s
2
.
Степень устойчивости и степень колебательности для «хорошей»
системы должны быть максимально большими. Значения m = 0 и = 0
соответствуют границе устойчивости.
Пример. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
1s4s2s5,3
5
)s(W
23
.
Для определения корней характеристического полинома приравниваем
его к нулю и решаем полученное уравнение. Корни:
s
1
= - 0,27; s
2
= - 0,15 + j*1,02; s
3
= - 0,15 - j*1,02.
Степень колебательности определяется как минимум:
1471,0
02,1
15,0
)sIm(
)sRe(
minm
i
i
,
Степень устойчивости:
)sRe(min
i
0,15.
3.2.3 Частотные показатели качества.
Для определения частотных показателей качества требуется построение
АФХ разомкнутой системы и АЧХ замкнутой системы.
По АФХ определяются запасы: - по амплитуде, - по фазе.
Запас определяется по точке
пересечения АФХ с отрицательной
действительной полуосью (см. рисунок
1.49).
Для определения строится окружность
единичного радиуса с центром в начале
47
s
1
s
2
s
3
s
4
s
5
s
6
Re s
Im s
= arctg m
Рисунок 1.48
Re
Im
-1
1
Рисунок 1.49
координат. Запас определяется по точке
пересечения с этой окружностью.
По АЧХ замкнутой системы определяются
показатели колебательности по заданию
М и ошибке М
Е
как максимумы
соответственно АЧХ по заданию и АЧХ по
ошибке.
Рисунок 1.50
Для построения АЧХ по заданию необходимо определить передаточную
функцию замкнутой системы по заданию Ф
з
(s), сделать подстановку s = j
.
и
построить по ней АЧХ (см. рис. 1.50, а). Построение АЧХ по ошибке
аналогично, но соответственно берется передаточная функция по ошибке
Ф
Е
(s) (см. рис. 1.50, б).
Значениям максимумов АЧХ соответствуют резонансные частоты
р
(для АЧХ по заданию) и
Е
(для АЧХ по ошибке).
К показателям колебательности, а также к запасу по амплитуде
предъявляются требования минимальности. Запас по фазе, наоборот, должен
быть максимально большим.
3.2.4. Интегральные показатели качества.
Интегральные показатели качества определяются путем интегрирования
(суммирования) некоторых функций (переходных процессов или других
показателей качества). Разновидностью интегральных показателей качества
является интегральный квадратичный критерий I
0
.
Если рассмотреть два переходных
процесса в некоторой АСР (см. рисунок
1.51), то визуально можно определить, что
первый процесс обладает более высоким
качеством.
Численно это можно охарактеризовать
площадью между соответствующей кривой
и прямой y = y
уст
. Для первой кривой эта
площадь (площадь S
1
) меньше, чем для
48
1
2
y(t)
t
S
1
S
2
Рисунок 1.51
y
уст
М
Е
Е
А
Е
()
0
б) АЧХ по ошибке
М
р
А
з
()
0
а) АЧХ по заданию
второй (площадь S
2
), поэтому первый
процесс лучше.
Данная площадь определяется как интеграл
0
уст
dt))t(yy(S
и может быть использована как интегральный показатель качества.
Если учесть, что для АСР установившееся значение у
уст
должно в идеале
совпадать с заданным х, а выражение х – у(t) есть выражение ошибки
регулирования e(t), то поиск S сводится к интегралу ошибки. Если в системе
имеется статическая ошибка е
ст
= х – у
уст
0, то площадь S получается
бесконечной. Для учета этого фактора интегрируется не сама ошибка, а ее
переходная составляющая
0
п
dt)t(eI
,
где е
п
(t) = e(t) – e
уст
– переходная составляющая ошибки.
Чаще используется интегральный квадратичный критерий
0
2
п0
dt)t(eI
,
поскольку переходная составляющая на определенных интервалах времени
может принимать отрицательные значения, а следовательно, вычитаться из
интегральной величины, что приводи к неверному значению площади.
3.2.5 Связи между показателями качества.
Описанные выше показатели качества связаны между собой
примерными соотношениями, справедливыми только для систем не выше
второго порядка:
m2
e1
; t
p
=
3
;
m
M1
; M =
m2
1m
2
.
4. Настройка регуляторов.
4.1. Типовые законы регулирования.
Для регулирования объектами управления, как правило, используют
типовые регуляторы, которые можно разделить на аналоговые и дискретные.
К дискретным регуляторам относятся импульсные, релейные и цифровые.
Аналоговые реализуют типовые законы регулирования, названия которых
соответствуют названиям типовых звеньев.
Входным сигналом для аналоговых регуляторов является величина
ошибки регулирования, которая определяется как разность между заданным и
текущим значениями регулируемого параметра (e = х – у). Выходным
сигналом является величина управляющего воздействия u, подаваемая на
объект управления. Преобразование входного сигнала в выходной
производится согласно типовым законам регулирования, рассматриваемым
ниже.
49
1) П-закон (пропорциональное регулирование). Согласно закон
пропорционального регулирования управляющее воздействие должно быть
пропорционально величине ошибки. Например, если регулируемый параметр
начинает отклоняться от заданного значения, то воздействие на объект
следует увеличивать в соответствующую сторону. Коэффициент
пропорциональности часто обозначают как K
1
:
u = K
1
.
e.
Тогда передаточная функция П-регулятора имеет вид
W
П
(s) = K
1
.
Если величина ошибки стала равна, например, единице, то управляющее
воздействие станет равным K
1
(см. рисунок 1.20).
Рисунок 1.52
Примером системы с П-регулятором
может служить система автоматического
наполнения емкости (сливной бачок). На
рисунке 1.31 обозначены:
L и L
зад
– текущий уровень в емкости
(регулируемая величина) и его заданная
величина,
F
пр
и F
сток
– расходы жидкости
притекающей и стекающей из емкости.
Управляющим воздействием
является F
пр
. F
сток
– возмущение.
Принцип действия понятен из рисунка: при опустошении емкости
поплавок через кронштейн открывает задвижку подачи жидкости. Причем,
чем больше разница уровней е = L
зад
– L, тем ниже поплавок, тем больше
открыта задвижка и, соответственно, больше поток жидкости F
пр
. По мере
наполнения емкости ошибка уменьшается до нуля и, соответственно,
уменьшается F
пр
до полного прекращения подачи. То есть, F
пр
= K
1
.
( L
зад
– L).
Достоинство данного принципа регулирования в быстродействии.
Недостаток – в наличии статической ошибки в системе. Например, если
жидкость вытекает из емкости постоянно, то уровень всегда будет меньше
заданного.
2) И-закон (интегральное регулирование). Управляющее воздействие
пропорционально интегралу от ошибки. То есть, чем дольше существует
50
е(t)
t
1
u(t)
t
K
1
L
L
зад
F
пр
F
сток
задвижка
поплавок
кронштейн
Рисунок 1.31