Казаков К.А. Введение в теоретическую и квантовую механику

Подождите немного. Документ загружается.

§7.1. Конфигурационное пространство, функции и операторы

Глава 7. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Концептуальные Предположения 1–5, сделанные в предыдущей главе, будут теперь

естественным образом обобщены и приняты в качестве постулатов квантовой механики.

Для этого необходимо предварительно определить понятие оператора физической вели-

чины и изучить основные свойства операторов.

§7.1. Конфигурационное пространство, функции и операторы

Рассмотрим систему, состоящую из N материальных точек (частиц), положение ко-

торых в пространстве определяется радиус-векторами r

, i = 1, ..., N. Введем 3N-мерное

пространство и в нем декартову систему координат, по осям которой откладываются де-

картовы координаты векторов r

= (x

, y

, z

), i = 1, ..., N. Это пространство называют

конфигурационным пространством системы. Через dτ обозначим элемент объема конфи-

гурационного пространства

dτ ≡

i=1

Рассмотрим, далее, на конфигурационном пространстве множество однозначных ограни-

ченных непрерывных комплексных функций Ψ(r

, ..., r

). Ограниченность означает, что

для каждой функции Ψ(r

, ..., r

) можно найти такое число A

, что |Ψ(r

, ..., r

< A

для всех r

, i = 1, ..., N. Кроме того, везде за исключением лишь §8.3 и §8.6, мы будем счи-

тать, что все рассматриваемые функции имеют частные производные любого порядка по

каждому из своих аргументов. Множество всех таких функций обозначим через M. Для

любых двух функций Ψ

, ..., r

) и Ψ

, ..., r

) из M любая их линейная комбинация

, ..., r

) + c

, ..., r

) с произвольными комплексными коэффициентами c

, c

также является однозначной ограниченной функцией и имеет производные любого поряд-

ка, и потому принадлежит M. Таким образом, M является векторным пространством,

а его элементы, т.е. функции Ψ(r

, ..., r

), – векторами в этом пространстве. Аргумен-

ты r

, ..., r

в обозначении вектора обычно будут опускаться. Совокупность n векторов

, k = 1, ..., n называется линейно-зависимой, если существует такой набор n комплекс-

ных чисел c

, k = 1, ..., n, не все из которых равны нулю, что для всех r

, ..., r

справедливо

равенство

k=1

= 0 .

Если это равенство выполняется лишь в случае, когда все c

= 0, то говорят, что векторы

, k = 1, ..., n являются линейно-независимыми.

Говорят, что на M определен оператор

f, если задано правило, по которому любой

функции Ψ(r

, ..., r

) ∈ M сопоставляется некоторая другая функция (

fΨ)(r

, ..., r

) ∈

M. Символ

fΨ заключен здесь в скобки с целью подчеркнуть, что аргументы r

, ..., r

относятся уже не к вектору Ψ, а к результату действия на него оператора

f. Говорят так-

же, что оператор

f переводит вектор Ψ в вектор

fΨ, или что

fΨ есть результат действия

f на Ψ. Оператор

f называется линейным, если для любых векторов Ψ

, Ψ

и любых

комплексных постоянных c

, c

справедливо равенство

f (c

+ c

) = c

fΨ

+ c

fΨ

. (7.1)

101

Глава 7. Основные положения квантовой механики

Определим произведение оператора

f на комплексное число c. Обозначив это произве-

дение через c

f, зададим его действие на произвольный вектор Ψ равенством

f)Ψ = c(

fΨ) . (7.2)

Далее, суммой двух операторов

назовем оператор

, действие которого на

любой Ψ определено согласно

(

)Ψ =

Ψ +

Ψ . (7.3)

Наконец, произведением двух операторов

назовем оператор

, действие которого

на произвольный вектор Ψ определяется как результат последовательного действия на

него операторов

(

)Ψ =

(

Ψ) . (7.4)

Если для данного оператора

f существует такой оператор

−1

, что для любого Ψ выпол-

няются тождества

−1

Ψ = Ψ , (7.5)

−1

fΨ = Ψ , (7.6)

то говорят, что оператор

−1

является обратным оператору

f. Ввиду произвольности Ψ,

определение (7.5), (7.6) можно переписать в операторном виде как

−1

1 ,

−1

f =

1 ,

где единичный оператор

1 определен равенством

1Ψ = Ψ .

Используя определения (7.2) – (7.4), можно строить суммы и произведения любого числа

операторов, включая их “отрицательные степени” (при условии существования обратных

операторов).

Заметим, что из определения (7.3) следует, что

. Действительно,

(

)Ψ =

Ψ +

Ψ =

Ψ +

Ψ = (

)Ψ .

Другими словами, сумма операторов не зависит от их порядка, т.е. сложение операторов

коммутативно. С другой стороны, умножение операторов, вообще говоря, не является

коммутативным, т.е.

. Разность

−

называется коммутатором опера-

торов

и обозначается через [

] :

[

] =

−

Если [

] = 0, то говорят, что оператор

коммутирует с оператором

, или что

операторы

являются коммутирующими.

102

§7.1. Конфигурационное пространство, функции и операторы

Пример 25. Функции из пространства M. Рассмотрим одномерное движение частицы,

и пусть x обозначает ее декартову координату, x ∈ (−∞, +∞) . Конфигурационное про-

странство в этом случае – прямая x ∈ (−∞, +∞). Функция Ψ

(x) = 1 однозначна, огра-

ничена и дифференцируема любое число раз, следовательно, Ψ

∈ M. Функция Ψ

(x) = x

также однозначна и дифференцируема любое число раз, но не является ограниченной,

т.к. |Ψ

| → ∞ при x → ±∞ , поэтому Ψ

/∈ M. Далее, функция Ψ

(x) = e

−|x|

однознач-

на, ограничена и непрерывна, но ее производная имеет разрыв в точке x = 0, и потому

/∈ M. С функциями подобного типа мы будем иметь дело лишь в §8.3 и §8.6. Как

мы увидим, в некотором ограниченном смысле такие негладкие функции все же мож-

но включать в множество M. Наконец, функция Ψ

(x) = e

−x

однозначна, ограничена и

имеет производные любого порядка, следовательно, Ψ

∈ M.

Пример 26. Линейные операторы. Рассмотрим снова одномерное движение частицы по

оси x. Пусть U(x) – обычная функция переменной x, удовлетворяющая тем же условиям,

что и функции из M. Определим оператор

U формулой

(

UΨ)(x) = U(x)Ψ(x) , (7.7)

где Ψ – произвольный вектор. Оператор

U является линейным. Действительно, для произ-

вольных комплексных чисел c

, c

и произвольных векторов Ψ

, Ψ

имеем по определению

(7.7)

(

U(c

+ c

))(x) = U(x)(c

+ c

)(x) = c

U(x)Ψ

(x) + c

U(x)Ψ

(x)

= c

(

UΨ

)(x) + c

(

UΨ

)(x) , (7.8)

или, опуская аргумент x в обозначении векторов,

U(c

+ c

) = c

UΨ

+ c

UΨ

что в соответствии с определением (7.1) и означает линейность оператора

Определим, далее, оператор

формулой

(

Ψ)(x) = Ψ(x + a) ,

где a – вещественное число. Поскольку действие оператора

на функцию Ψ(x) сводится

к прибавлению числа a к ее аргументу, его называют оператором сдвига на расстояние

a. Имеем

+ c

)

(x) = (c

+ c

)(x + a) = c

(x + a) + c

(x + a)

= c

(

)(x) + c

(

)(x) ,

или

+ c

) = c

+ c

Итак, по определению (7.1) оператор

является линейным.

Наконец, определим оператор инверсии

P формулой

(

P Ψ)(x) = Ψ(−x) .

103

Глава 7. Основные положения квантовой механики

Этот оператор также является линейным, поскольку

P (c

+ c

)

(x) = (c

+ c

)(−x) = c

(−x) + c

(−x)

= c

(

P Ψ

)(x) + c

(

P Ψ

)(x) .

Приведем примеры операторов, не являющихся линейными. Пусть действие оператора

C на функцию Ψ задается формулой

(

CΨ)(x) = {Ψ(x)}

∗

Поскольку вещественный аргумент функции Ψ(x) при действии оператора

C не изменя-

ется, это определение можно записать короче так

CΨ = Ψ

∗

Имеем

C(c

+ c

) = (c

+ c

)

∗

= c

∗

+ c

∗

= c

∗

CΨ

+ c

∗

CΨ .

Таким образом,

C(c

+ c

) 6= c

CΨ

+ c

CΨ ,

и следовательно, оператор

C не является линейным. Оператор

A, определенный согласно

AΨ = Ψ

также не является линейным, т.к.

A(c

+ c

Ψ) = (c

+ c

)

= c

+ 2c

+ c

6= c

+ c

Пример 27. Обратные операторы, произведения операторов и их коммутаторы. Вычислим

операторы, обратные операторам, определенным в предыдущем примере. В соответствии

с (7.5) оператор

−1

удовлетворяет соотношению

(

−1

Ψ)(x) = Ψ(x) .

С учетом определения произведения операторов и определения самого оператора

на-

ходим

(

−1

Ψ)(x) = (

(

−1

Ψ))(x) = (

−1

Ψ)(x + a) = Ψ(x) .

Поскольку переменная x может принимать любые значения, мы можем положить x =

y − a, где y также произвольно, что дает

(

−1

Ψ)(y) = Ψ(y − a) = (

−a

Ψ)(y) .

Поскольку это соотношение справедливо для любого вектора Ψ, его можно переписать в

операторном виде

−1

−a

Нетрудно проверить, что найденный оператор удовлетворяет также уравнению (7.6), вто-

рому из уравнений, определяющих обратный оператор:

(

−1

Ψ)(x) = (

−1

(

Ψ))(x) = (

Ψ)(x − a) = Ψ(x) .

104

§7.2. Конфигурационное пространство, функции и операторы

Найдем теперь оператор

−1

. Имеем

(

−1

Ψ)(x) = (

P (

−1

Ψ))(x) = (

−1

Ψ)(−x) = Ψ(x) .

Полагая здесь x = −y, получаем

(

−1

Ψ)(y) = Ψ(−y) = (

P Ψ)(y) .

Таким образом, оператор инверсии совпадает со своим обратным

−1

P . Аналогично,

оператор

−1

C, поскольку

−1

Ψ =

−1

Ψ) = (

−1

Ψ)

∗

= Ψ ,

откуда взятием комплексного сопряжения обеих частей заключаем, что

−1

Ψ = Ψ

∗

CΨ .

Поскольку операторы

P ,

C совпадают со своими обратными, для них уравнение (7.6)

является следствием (7.5) и потому удовлетворяется автоматически.

Оператор

A дает пример оператора, у которого не существует обратного. Действитель-

но, допустим, что мы определили действие оператора

−1

на произвольный вектор Ψ так,

что он удовлетворяет соотношению (7.5). Тогда в соответствии с уравнением (7.6) должно

быть

−1

AΨ =

−1

(

AΨ) =

−1

(Ψ

) = Ψ .

Поскольку вектор Ψ произволен, мы можем заменить здесь Ψ → −Ψ, что дает

−1

(Ψ

) = −Ψ .

Таким образом, действие оператора

−1

оказывается на самом деле неоднозначным, т.е.

обратный оператор для

A не определен.

Вычислим, далее, произведение операторов сдвига и инверсии:

(

Ψ)(x) = (

P (

Ψ))(x) = (

Ψ)(−x) = Ψ(−x + a) .

Однако действие этих операторов в обратном порядке дает иной результат

(

P Ψ)(x) = (

(

P Ψ))(x) = (

P Ψ)(x + a) = Ψ(−x − a) = (

−a

Ψ)(x) .

Таким образом, операторы сдвига и инверсии не коммутативны. В силу произвольности

вектора Ψ последнее соотношение можно переписать в операторном виде как

P =

−a

С другой стороны, операторы

P коммутируют с оператором

C :

(

Ψ)(x) = (

Ψ))(x) = {(

Ψ)(x)}

∗

= {Ψ(x + a)}

∗

= Ψ

∗

(x + a)

= (

∗

)(x) = (

(

CΨ))(x) = (

CΨ)(x) ,

так что

[

] = 0 .

Аналогично,

(

P Ψ)(x) = (

P Ψ))(x) = {(

P Ψ)(x)}

∗

= {Ψ(−x)}

∗

= Ψ

∗

(−x)

= (

P Ψ

∗

)(x) = (

P (

CΨ))(x) = (

CΨ)(x) ,

откуда

[

P ] = 0 .

105

Глава 7. Основные положения квантовой механики

§7.2. Эрмитовы операторы

A. Скалярное произведение и пространство состояний

Возьмем два вектора Ψ

и Ψ

из M и рассмотрим следующий интеграл, взятый по

всему конфигурационному пространству системы,

(Ψ

, Ψ

) =

dτΨ

∗

. (7.9)

Если этот интеграл существует, то он называется скалярным произведением векторов Ψ

и Ψ

. Если (Ψ

, Ψ

) = 0, то векторы Ψ

и Ψ

называются ортогональными.

Перечислим теперь основные свойства скалярного произведения, которыми мы будем

часто пользоваться в дальнейшем.

Свойства скалярного произведения

1. (Ψ

, Ψ

) = (Ψ

, Ψ

)

∗

2. (линейность по второму аргументу)

(Ψ, c

+ c

) = c

(Ψ, Ψ

) + c

(Ψ, Ψ

3. (антилинейность по первому аргументу)

+ c

, Ψ) = c

∗

(Ψ

, Ψ) + c

∗

(Ψ

, Ψ).

4. (Ψ, Ψ) > 0 для любого Ψ, причем (Ψ, Ψ) = 0 тогда и только тогда, когда Ψ = 0.

Первые три свойства следуют непосредственно из определения скалярного произведения.

Докажем свойство 4. Во-первых, (Ψ, Ψ) =

dτ|Ψ|

> 0, поскольку |Ψ|

> 0. Далее, если

Ψ = 0, то и

dτ|Ψ|

= 0. Обратно, пусть

dτ|Ψ|

= 0. Поскольку функция |Ψ(r

, ..., r

непрерывна и неотрицательна, то должно быть |Ψ|

= 0, и, следовательно, Ψ = 0 (т.е.

функция Ψ(r

, ..., r

) равна нулю тождественно).

Выделим из множества всех функций на конфигурационном пространстве те, для ко-

торых скалярный квадрат (Ψ, Ψ) =

dτ|Ψ|

существует. Поскольку функция |Ψ|

непре-

рывна и неотрицательна, то интеграл от нее существует, только если она достаточно

быстро убывает при стремлении аргументов r

, ..., r

(некоторых из них или всех сразу)

к бесконечности:

|Ψ|

→ 0, {r

} → ∞.

Пусть даны две функции Ψ

, Ψ

, удовлетворяющие этому условию, т.е. такие, что числа

(Ψ

, Ψ

) и (Ψ

, Ψ

) конечны. Покажем, что и любая их линейная комбинация c

+ c

также имеет конечный скалярный квадрат. Мы имеем в силу свойств 2,3 скалярного

произведения

+ c

, c

+ c

) = |c

(Ψ

, Ψ

) + |c

(Ψ

, Ψ

) + c

∗

(Ψ

, Ψ

) + c

∗

(Ψ

, Ψ

) .

Первые два слагаемых существуют по предположению. Для того чтобы доказать ко-

нечность остальных двух скалярных произведений, рассмотрим линейную комбинацию

106

§7.2. Эрмитовы операторы

частного вида, а именно, положим в последней формуле c

= (Ψ

, Ψ

), c

= −(Ψ

, Ψ

Учитывая свойство 4 скалярного произведения, находим

|(Ψ

, Ψ

(Ψ

, Ψ

) + |(Ψ

, Ψ

(Ψ

, Ψ

) −(Ψ

, Ψ

)

∗

(Ψ

, Ψ

)(Ψ

, Ψ

) −(Ψ

, Ψ

)|(Ψ

, Ψ

> 0,

или, учитывая свойство 1 и сокращая на (Ψ

, Ψ

) 6= 0,

|(Ψ

, Ψ

6 (Ψ

, Ψ

)(Ψ

, Ψ

Из этого неравенства (называемого обычно неравенством Шварца) и следует конечность

(Ψ

, Ψ

), а потому и скалярного квадрата c

+ c

при любых c

, c

. Таким образом,

вместе с векторами Ψ

, Ψ

имеет конечный скалярный квадрат и любая их линейная ком-

бинация, и поэтому множество таких функций само по себе образует векторное простран-

ство (подпространство исходного пространства M). Обозначим это пространство через

S и назовем пространством состояний системы, а его векторы – векторами состояния

системы. Как мы только что видели, для любой пары векторов из этого пространства

существует их скалярное произведение. Однако не следует думать, что скалярные произ-

ведения существуют лишь для векторов из S. Как будет показано в §7.4C, существуют и

имеют важный физический смысл также и некоторые из скалярных произведений вида

(Ψ, Ψ

), где вектор Ψ ∈ S, но Ψ

6∈ S.

B. Эрмитово сопряжение

Если для данного оператора

f существует такой оператор

, что для любых векторов

, Ψ

, для которых определено скалярное произведение (Ψ

fΨ

), выполняется равен-

ство

(Ψ

fΨ

) = (

, Ψ

) , (7.10)

то оператор

называют эрмитово-сопряженным оператору

f, а саму операцию, обо-

значаемую крестиком – эрмитовым сопряжением. Заметим, что соотношением (7.10)

эрмитово-сопряженный оператор определяется не полностью, поскольку в нем

дей-

ствует не на произвольный вектор, а лишь на такой, для которого существует (Ψ

fΨ

Для нас, однако, это обстоятельство будет несущественно. В дальнейшем соотношение

(7.10) будет использоваться только в тех случаях, когда операторы действуют не на

произвольные векторы, а лишь на векторы из пространства состояний, причем перево-

дят их в векторы из того же пространства. Покажем теперь, что с таким ограничени-

ем эрмитово-сопряженный оператор определен однозначно. Предположим противное, и

пусть

, (

)

– два оператора, удовлетворяющие определению (7.10):

(Ψ

fΨ

) = (

, Ψ

) , (Ψ

fΨ

) = ((

)

, Ψ

) .

Вычитая второе уравнение из первого и используя свойство 3 скалярного произведения,

получим

(

− (

)

, Ψ

) = 0 .

Это равенство справедливо для любого Ψ

∈ S, и в частности, для Ψ

− (

)

(по предположению все операторы оставляют Ψ

в пространстве состояний, а потому

− (

)

также принадлежит этому пространству). Итак, мы получаем, что

(Ψ

, Ψ

) = 0.

107

Глава 7. Основные положения квантовой механики

Ввиду свойства 4 скалярного произведения это возможно, только если Ψ

= 0, откуда

= (

)

. Таким образом, действия операторов

, (

)

на векторы из простран-

ства состояний совпадают. Мы будем ссылаться на этот результат как на единственность

эрмитово-сопряженного оператора, подразумевая при этом сделанную выше оговорку об

области его определения.

Если для оператора

f выполняется равенство

(Ψ

fΨ

) = (

fΨ

, Ψ

) , (7.11)

то оператор

f называют эрмитовым. Из сравнения равенств (7.10), (7.11) и единственно-

сти эрмитово-сопряженного оператора следует операторное равенство

f .

Выведем основные правила работы с операцией эрмитового сопряжения. Во-первых,

комплексно сопрягая обе части (7.10), используя свойство 1 скалярного произведения и

затем еще раз применяя определение (7.10), найдем

(

fΨ

, Ψ

) = (Ψ

) =

(

)

, Ψ

откуда ввиду единственности эрмитово-сопряженного оператора следует, что

(

)

f .

Далее, рассмотрим эрмитово сопряжение суммы операторов

. Имеем, по определе-

нию (7.10),

(Ψ

, (

)Ψ

) = ((

)

, Ψ

) . (7.12)

Левую часть можно преобразовать, используя определение суммы операторов, свойства

2,3 скалярного произведения и определение (7.10)

(Ψ

, (

)Ψ

) = (Ψ

) + (Ψ

)

= (

, Ψ

) + (

, Ψ

) = (

, Ψ

) = ((

)Ψ

, Ψ

)

Сравнивая последнее выражение с правой частью равенства (7.12) и учитывая единствен-

ность эрмитово-сопряженного оператора, видим, что

(

)

, (7.13)

т.е. эрмитово сопряжение суммы операторов есть сумма эрмитово-сопряженных операто-

ров. Наконец, выведем правило эрмитова сопряжения произведения операторов

. По

определению,

(Ψ

, (

)Ψ

) = ((

)

, Ψ

) . (7.14)

Используя определение произведения операторов и определение (7.10), преобразуем ле-

вую часть следующим образом

(Ψ

, (

)Ψ

) = (Ψ

(

)) = (

) = (

(

), Ψ

) = ((

)Ψ

, Ψ

) .

108

§7.2. Эрмитовы операторы

Сравнивая это выражение с правой частью (7.14) и учитывая единственность эрмитово-

сопряженного оператора, заключаем, что

(

)

, (7.15)

т.е. эрмитово сопряжение произведения операторов равно произведению их эрмитово-

сопряженных операторов в обратном порядке.

Полезно также иметь в виду формулу

= c

∗

, (7.16)

где c – любое комплексное число. Она выводится из определения (7.10) и свойств 2,3

скалярного произведения с помощью следующей цепочки равенств

((c

, Ψ

) = (Ψ

, c

fΨ

) = (Ψ

fΨ

)c = c(

, Ψ

) = (c

∗

, Ψ

) .

Пример 28. Отыскание эрмитово-сопряженных операторов. Для того чтобы из уравнения

(7.10), определяющего эрмитово-сопряженный оператор, найти его явный вид, следует

использовать явные определения скалярного произведения и оператора

f и преобразо-

вать левую часть этого уравнения к такому виду, в котором вектор Ψ

не затрагивается

никаким действием. Тогда, учитывая единственность эрмитово-сопряженного оператора,

можно будет уже найти явный вид

. Проиллюстрируем эту процедуру на примере опе-

раторов сдвига и инверсии из примера 26. Мы имеем

(Ψ

) =

+∞

−∞

dxΨ

∗

(x)(

)(x) =

+∞

−∞

dxΨ

∗

(x)Ψ

(x + a) =

+∞

−∞

dyΨ

∗

(y − a)Ψ

(y)

+∞

−∞

−a

∗

(y)Ψ

(y) , (7.17)

или

(Ψ

) = (

−a

, Ψ

) .

Сравнивая это равенство с определением (7.10), находим

−a

Аналогично вычисляется эрмитово сопряжение для оператора инверсии:

(Ψ

P Ψ

) =

+∞

−∞

dxΨ

∗

(x)(

P Ψ

)(x) =

+∞

−∞

dxΨ

∗

(x)Ψ

(−x) =

+∞

−∞

dyΨ

∗

(−y)Ψ

(y)

+∞

−∞

P Ψ

∗

(y)Ψ

(y) = (

P Ψ

, Ψ

) . (7.18)

Отсюда

P ,

т.е. оператор инверсии является эрмитовым оператором.

109

Глава 7. Основные положения квантовой механики

§7.3. Постулаты квантовой механики

Сформулируем теперь постулаты квантовой механики.

I. В каждый момент времени t состояние системы описывается некоторой функци-

ей Ψ(r

, ..., r

, t), принадлежащей пространству состояний и называемой волновой

функцией. Квадрат ее модуля определяет плотность распределения вероятностей

координат частиц. Именно, величина

w(r

, ..., r

, t)dτ =

|Ψ(r

, ..., r

, t)|

dτ

(Ψ, Ψ)

(7.19)

есть вероятность того, что при измерении координат частиц в момент времени t

координаты i-ой частицы будут лежать в интервале (x

, x

+dx

), (y

, y

+dy

), (z

, z

) для всех i = 1, ..., N.

II. (принцип суперпозиции) Если каждая из функций Ψ

и Ψ

описывает возможное

состояние системы, то и любая их суперпозиция, т.е., линейная комбинация вида

Ψ = c

+ c

(7.20)

с произвольными комплексными постоянными c

, c

также описывает некоторое воз-

можное её состояние (c

, c

не равны нулю одновременно).

III. Каждой физической величине f сопоставляется эрмитов оператор

f по следующе-

му правилу: классическую величину f следует выразить как функцию координат

и обобщенных декартовых импульсов p

частиц (и времени), и затем заменить

аргументы p

на операторы

по правилам (7.2) – (7.4)

f = f(r, p, t)|

p→

При этом действие операторов обобщенных декартовых импульсов частиц на про-

извольный вектор Ψ ∈ M определяется формулой

(

Ψ)(r

, ..., r

) = −i~

∂Ψ(r

, ..., r

)

∂r

, i = 1, ..., N .

Среднее значение величины f в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ,

вычисляется по правилу

f =

(Ψ,

fΨ)

(Ψ, Ψ)

. (7.21)

IV. Эволюция во времени волновой функции определяется уравнением Шредингера

∂Ψ

∂t

HΨ , (7.22)

в котором

H есть оператор обобщенной энергии системы.

110