Казаков К.А. Введение в теоретическую и квантовую механику

Подождите немного. Документ загружается.

§7.3. Постулаты квантовой механики

Пояснения и обсуждение постулатов.

A. К постулатам I-III : Как видно из формул (7.19), (7.21), скалярный квадрат век-

тора Ψ должен быть не только конечен, но и отличен от нуля, т.е. вектор Ψ должен

быть ненулевым. Такие векторы и соответствующие им функции называются норми-

руемыми, а интеграл

dτ|Ψ|

– нормировочным интегралом. Функции, для которых

нормировочный интеграл равен единице, называются нормированными.

B. К постулату I : соотношение (7.19) задает распределение вероятностей для всех

возможных значений координат всех частиц. Если требуется найти распределе-

ние вероятностей для какого-либо подмножества из полного набора 3N координат

, i = 1, ..., N, то, согласно правилам теории вероятностей, следует проинтегриро-

вать вероятность (7.19) по всем координатам, не входящим в данное подмножество.

Например, распределение вероятностей для координат первой частицы будет

w(r

, t)dx

(Ψ, Ψ)

i=2

|Ψ(r

, ..., r

, t)|

. (7.23)

Далее, распределение вероятностей для координаты y первой частицы запишется в

виде

w(y

, t)dy

= dy

w(r

, t)

(Ψ, Ψ)

i=2

|Ψ(r

, ..., r

, t)|

(7.24)

и т.д.

C. К постулату III : может возникнуть вопрос, почему при построении оператора фи-

зической величины только обобщенные импульсы, но не координаты частиц, заме-

няются операторами. Дело просто в том, что действие оператора любой координаты

сводится к умножению на эту координату. Это следует непосредственно из постула-

тов I и III. Возьмем, например, координату y

. Как известно из теории вероятностей,

среднее значение какой-либо величины есть сумма произведений значений, которые

она может принимать, умноженных на вероятности их обнаружить. Согласно за-

мечанию B, вероятность обнаружить y

в интервале (y

, y

+ dy

) дается формулой

(7.24), а сумма по всем таким интервалам есть интеграл по dy

. Поэтому

¯y

w(y

, t) =

(Ψ, Ψ)

i=2

|Ψ(r

, ..., r

, t)|

(Ψ, Ψ)

dτy

|Ψ(r

, ..., r

, t)|

(Ψ, Ψ)

dτΨ

∗

Ψ . (7.25)

С другой стороны, в соответствии с постулатом III,

¯y

(Ψ, Ψ)

dτΨ

∗

ˆy

Ψ .

111

Глава 7. Основные положения квантовой механики

Сравнивая эту формулу с последним выражением в (7.25), находим ˆy

Ψ = y

Ψ.

Другими словами, действие оператора ˆy

сводится просто к умножению на y

. Ана-

логично, для любой из компонент r

Ψ = r

Ψ . (7.26)

Соответственно, действие оператора любой величины, являющейся функцией коор-

динат частиц, например, потенциальной энергии системы, сводится к умножению

на эту функцию

(

UΨ)(r

, ..., r

) = U(r

, ..., r

)Ψ(r

, ..., r

) .

D. К постулату III : В соответствии с этим постулатом каждой физической величине

сопоставляется эрмитов оператор. Эрмитовость операторов обеспечивает веществен-

ность средних значений физических величин. Действительно, поскольку величина

(Ψ, Ψ) вещественна, то условие вещественности среднего значения

∗

с учетом свойства 1 скалярного произведения сводится к

(Ψ,

fΨ) = (

fΨ, Ψ) . (7.27)

Если

f эрмитов, то равенство (7.27) следует из определения эрмитова сопряжения

(7.11), в котором надо положить Ψ

= Ψ

= Ψ. Покажем теперь, что операторы фи-

зических величин обязательно являются эрмитовыми, т.е. что эрмитовость следует

из условия (7.27) вещественности средних значений. Непосредственно из этого ра-

венства нельзя пока заключить, что

f является эрмитовым оператором, поскольку в

определении (7.10) участвуют два произвольных вектора Ψ

, Ψ

. Однако, используя

линейность оператора

f, можно получить необходимое обобщение равенства (7.27).

Для этого применим условие (7.27) к вектору Ψ = Ψ

+ Ψ

, где Ψ

, Ψ

произвольны.

Используя определение (7.1) и свойства 2,3 скалярного произведения, найдем

(Ψ

fΨ

) + (Ψ

fΨ

) + (Ψ

fΨ

) + (Ψ

fΨ

)

= (

fΨ

, Ψ

) + (

fΨ

, Ψ

) + (

fΨ

, Ψ

) + (

fΨ

, Ψ

) ,

или, с учетом равенства (7.27) для векторов Ψ

, Ψ

(Ψ

fΨ

) + (Ψ

fΨ

) = (

fΨ

, Ψ

) + (

fΨ

, Ψ

) . (7.28)

Проделывая те же самые действия с вектором Ψ = Ψ

+ iΨ

, мы получили бы

(Ψ

fΨ

) − (Ψ

fΨ

) = (

fΨ

, Ψ

) − (

fΨ

, Ψ

) . (7.29)

Знак здесь чередуется потому, что i

∗

= −i, а скалярное произведение линейно по

второму и антилинейно по первому аргументу. Складывая (7.28) с (7.29), приходим

к равенству

(Ψ

fΨ

) = (

fΨ

, Ψ

) . (7.30)

Итак, в соответствии с определением (7.11) оператор

f является эрмитовым.

E. К постулату IV : В соответствии с постулатом III, при построении оператора обоб-

щенной энергии ее следует выразить через координаты и обобщенные импульсы

частиц, т.е. построить функцию Гамильтона системы H(r, p, t). В связи с этим опе-

ратор

H = H(r,

p, t) называют гамильтонианом системы.

112

§7.3. Постулаты квантовой механики

Пример 29. Функции из пространства S. Рассмотрим одномерное движение частицы, и

пусть x обозначает ее декартову координату, x ∈ (−∞, +∞) . Функция Ψ

(x) = sin x

однозначна, ограничена и бесконечно-дифференцируема, поэтому Ψ

∈ M. Однако Ψ

/∈ S,

поскольку

dτ|Ψ

+∞

−∞

dx sin

x = ∞.

Таким образом, эта функция не может представлять какое-либо состояние частицы на

прямой x ∈ (−∞, +∞) . Далее, функция Ψ

(x) = e

−x

из примера 25 принадлежит про-

странству состояний, т.к. интеграл

dτ|Ψ

+∞

−∞

dxe

−2x

конечен. Функция Ψ

(x) = 1/

√

1 + x

однозначна, ограничена и дифференцируема любое

число раз, а интеграл

dτ|Ψ

+∞

−∞

1 + x

= π

конечен, поэтому Ψ

∈ S. Функция Ψ

(x)/

√

π является нормированной.

Пример 30. Эрмитовость операторов координат и импульсов. В соответствии с замечанием

C операторы координат частиц сводятся к умножению на соответствующие переменные.

Проверим, что они являются эрмитовыми. Для сокращения записи рассмотрим случай,

когда имеется всего одна частица, и пусть r = (x, y, z) – ее радиус-вектор. Конфигурацион-

ным пространством является все трехмерное пространство. Пусть Ψ

, Ψ

–два произволь-

ных вектора состояния частицы. Тогда, используя явную формулу (7.9) для скалярного

произведения, формулу (7.26) и учитывая вещественность координат, найдем

(Ψ

rΨ

) =

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

dxdydzΨ

∗

rΨ

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

dxdydz(rΨ

)

∗

= (

rΨ

, Ψ

) .

Сравнение с определением (7.11) показывает, что оператор

r – эрмитов. Проверим те-

перь, что оператор обобщенного импульса частицы также является эрмитовым. Здесь

уже приходится действовать покомпонентно, интегрируя по частям:

(Ψ

, ˆp

) =

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

dxdydzΨ

∗

−i~

∂Ψ

∂x

= −i~

+∞

−∞

+∞

−∞

dydzΨ

∗

x=+∞

x=−∞

+ i~

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

dxdydz

∂Ψ

∗

∂x

Как мы знаем, функции, описывающие возможные состояния системы, стремятся к нулю,

если хотя бы один из ее аргументов стремится к бесконечности. Поэтому первый член во

113

Глава 7. Основные положения квантовой механики

второй строке равен нулю, так что мы получаем

(Ψ

, ˆp

) = i~

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

dxdydz

∂Ψ

∗

∂x

+∞

−∞

+∞

−∞

+∞

−∞

dxdydz

−i~

∂Ψ

∂x

∗

= (ˆp

, Ψ

) .

Аналогичным образом проверяется эрмитовость двух других компонент. Таким образом,

p .

Пример 31. Коммутаторы операторов координат и импульсов. Поскольку действие опера-

торов координат частицы сводятся к умножению на соответствующие координаты, то все

они коммутируют друг с другом, например, (ˆxˆy)Ψ = ˆx(ˆyΨ) = ˆx(yΨ) = xyΨ = yxΨ =

ˆy(xΨ) = ˆy(ˆxΨ) = (ˆyˆx)Ψ, т.е. (ˆxˆy − ˆyˆx)Ψ = [ˆx, ˆy]Ψ = 0 , или, в операторном виде, [ˆx, ˆy] = 0.

Аналогично найдем для всех частиц системы

[

] = 0 , i, j = 1, ..., N .

Коммутируют также операторы разноименных компонент радиус-векторов и обобщенных

импульсов, а также операторы, относящиеся к различным частицам:

[ˆx

, ˆp

]Ψ =

−i~

∂

∂y

−

−i~

∂

∂y

Ψ = −i~x

∂Ψ

∂y

+ i~

∂(x

Ψ)

∂y

= 0 ,

поскольку ∂x

/∂y

= 0 в силу независимости x, y компонент радиус-вектора первой ча-

стицы, и

[ˆx

, ˆp

]Ψ =

−i~

∂

∂x

−

−i~

∂

∂x

Ψ = −i~x

∂Ψ

∂x

+ i~

∂(x

Ψ)

∂x

= 0 ,

поскольку ∂x

/∂x

= 0 в силу независимости компонент радиус-векторов первой и второй

частиц. Однако, операторы одноименных компонент радиус-вектора и импульса одной и

той же частицы не коммутируют:

[ˆx

, ˆp

]Ψ =

−i~

∂

∂x

−

−i~

∂

∂x

Ψ = −i~x

∂Ψ

∂x

+ i~

∂(x

Ψ)

∂x

= −i~x

∂Ψ

∂x

+ i~Ψ

∂x

+ i~x

∂Ψ

∂x

= i~Ψ . (7.31)

В силу произвольности Ψ это важное равенство можно переписать в операторном виде,

опуская для краткости индекс 1

[ˆx, ˆp

] = i~ . (7.32)

Пример 32. Гамильтониан линейного гармонического осциллятора. Функция Гамильтона

гармонического осциллятора имеет вид (см. 15)

H(x, p) =

mω

. (7.33)

114

§7.4. Вычисление распределений вероятностей

Заменяя в ней p → ˆp = −i~∂/∂x, получаем гамильтониан осциллятора

H =

ˆp

mω

= −

∂

∂x

mω

. (7.34)

В соответствии с формулой (7.4) квадрат оператора импульса записан как результат по-

вторного действия этого оператора:

ˆp

Ψ = ˆp(ˆpΨ) = −i~

∂

∂x

−i~

∂Ψ

∂x

= −~

∂

∂x

или, в операторном виде,

ˆp

= −~

∂

∂x

Пример 33. Оператор производной по времени физической величины. Согласно постула-

ту III, для того чтобы найти оператор

f, соответствующий полной производной df /dt

от данной величины f(r, p, t), следует сначала выразить df/dt через r

и p

. Это мож-

но сделать с помощью уравнений Гамильтона, или используя явную формулу (5.15), а

затем произвести обычную замену p

→

. Рассмотрим эту процедуру на примере од-

ной частицы массы m, движущейся в потенциале U(r). Функция Гамильтона частицы

H(r, p) = p

/(2m) + U (r). Найдем

r. Согласно уравнениям Гамильтона

r =

∂H

∂p

Поэтому

r =

p/m = −i~m

−1

∂/∂r. Аналогично, для производной обобщенного импульса

имеем

p = −

∂H

∂r

= −

∂U

∂r

и потому

p = −∂U/∂r. Наконец, ускорение частицы

r =

p/m = −m

−1

∂U/∂r, откуда

следуют “квантовые уравнения Ньютона”

r = −

∂U

∂r

§7.4. Вычисление распределений вероятностей физических величин

В этом параграфе будет получено важное следствие постулата III, а именно, правило

вычисления распределений вероятностей физических величин. Все рассмотрение относит-

ся к некоторому фиксированному моменту времени, и аргумент t у волновых функций

будет для краткости опускаться.

A. Собственные функции и собственные значения операторов. Теорема о разложении

Рассмотрим n-мерное вещественное евклидово пространство, т.е. пространство векто-

ров a = (a

, ..., a

) с вещественными компонентами, в котором для любой пары векторов

115

Глава 7. Основные положения квантовой механики

a, b определено скалярное произведение (a, b) =

i=1

. Если задана вещественная квад-

ратная матрица M

i, k = 1, ..., n, то говорят, что вектор a

(m)

6= 0 является собственным

для этой матрицы, если он удовлетворяет уравнению

k=1

(m)

= ma

(m)

, i = 1, ..., n,

где m – некоторое комплексное число, называемое ее собственным значением. Как из-

вестно из курса линейной алгебры, если матрица M

симметрична, т.е. M

= M

для

всех i, k = 1, ..., n, то существует ровно n линейно-независимых собственных векторов

этой матрицы, причем ее собственные значения вещественны, а собственные векторы,

соответствующие различным собственным значениям, ортогональны (их скалярные про-

изведения равны нулю). Поскольку n линейно-независимых векторов образуют базис в

n-мерном пространстве, то любой вектор a можно представить в виде линейной комби-

нации собственных векторов матрицы M, или, как говорят, разложить a по a

(m)

a =

(m)

где {c

} есть набор из n вещественных чисел.

Вводимое в этом пункте понятие о собственных функциях и собственных значениях

операторов является прямым обобщением соответствующих понятий линейной алгебры

на бесконечномерный случай, каким является векторное пространство функций. Роль

матриц играют операторы, причем обобщением вещественной симметричной матрицы в

вещественном евклидовом пространстве является эрмитов оператор действующий в бес-

конечномерном пространстве комплексных функций.

Итак, пусть задан некоторый оператор

f и некоторое комплексное число f. Если урав-

нение

fΨ

= fΨ

(7.35)

имеет решение Ψ

∈ M, причем Ψ

6= 0, то говорят, что Ψ

является собственной функ-

цией (или собственным вектором) оператора

f, а f – его собственным значением. Сово-

купность всех собственных значений оператора называют его спектром. В случае, когда

одному и тому же собственному значению соответствует r > 1 линейно-независимых соб-

ственных функций, собственное значение называют вырожденным, а r – кратностью его

вырождения. Если все собственные значения оператора можно пронумеровать, то гово-

рят, что этот оператор имеет дискретный спектр. В противном случае в спектре операто-

ра имеются значения, целиком заполняющие некоторые области, называемые областями

непрерывного спектра. Заметим сразу же, что нет никаких физических оснований ожи-

дать, что собственные функции операторов будут описывать возможные состояния систе-

мы и, в частности, будут нормируемыми. Напротив, как мы увидим ниже, собственные

функции, соответствующие собственным значениям из непрерывного спектра, с необходи-

мостью являются ненормируемыми, и потому сами по себе не описывают никаких состо-

яний системы. Нормируемость собственной функции представляет собой дополнительное

условие, которое выделяет из непрерывного ряда возможных собственных значений неко-

торые определенные, при которых интеграл

dτ|Ψ

оказывается сходящимся (однако

дискретность спектра еще не означает нормируемости собственных функций, т.е. она яв-

ляется лишь необходимым, но не достаточным условием нормируемости, см. пример 34). В

116

§7.4. Вычисление распределений вероятностей

связи с данным определением собственной функции оператора необходимо сделать также

следующее

Замечание: в случае оператора координаты условие Ψ

∈ M является чересчур жест-

ким. Действительно, поскольку оператор координаты ˆq есть умножение на q, то из урав-

нения

ˆqΨ

= q

следует, что собственная функция Ψ

(q), соответствующая собственному значению q

равна нулю при всех q 6= q

, а ее значение при q = q

не определено. Таким образом,

(q) /∈ M. Оказывается, что собственные функции координат принадлежат более ши-

рокому классу, называемому в математике классом обобщенных функций (Ψ

(q) есть

так называемая δ-функция Дирака). Указанное усложнение является по большей части

формальным и несущественным с практической точки зрения, поскольку наиболее инте-

ресными в физических применениях являются собственные функции операторов величин,

которые в тех или иных условиях сохраняются (энергия, импульс и т.д.). Для таких функ-

ций достаточно данного выше определения. Собственные же функции координат нам в

дальнейшем не понадобятся.

Покажем, что собственные векторы Ψ

, соответствующие различным собственным зна-

чениям f, линейно-независимы. Действительно, предположим противное, и пусть для

каких-либо двух Ψ

, Ψ

существует соотношение

cΨ

+ c

= 0 (7.36)

с не равными нулю числами c, c

. Тогда, действуя на это соотношение оператором

f, мы

получаем

f(cΨ

+ c

) = c

fΨ

+ c

fΨ

= cfΨ

+ c

= 0 .

Умножая уравнение (7.36) на f

и вычитая его из последнего соотношения, находим

− cf Ψ

= 0 .

Ввиду условий c 6= 0, f 6= f

отсюда следует Ψ

= 0, в противоречии с определением

собственного вектора.

Пусть теперь оператор

f является эрмитовым и {Ψ

} есть совокупность всех его соб-

ственных функций. Имеет место следующая фундаментальная теорема о разложении,

которая играет важнейшую роль в квантовой механике: любой вектор состояния Ψ мо-

жет быть линейно разложен по собственным векторам оператора

f, т.е. представлен

в виде ряда по значениям дискретного спектра и интеграла по значениям непрерывного

спектра от {Ψ

} :

Ψ =

dfc

, (7.37)

где c

, c

– комплексные коэффициенты, причем функция c(f) = c

, стоящая в подын-

тегральном выражении, является непрерывной функцией переменной f. Если среди соб-

ственных значений имеются вырожденные, то соответствующие им собственные функции

входят в правую часть (7.37) независимо друг от друга, т.е. каждая со своим собственным

коэффициентом. Теорема о разложении является обобщением указанного выше результа-

та линейной алгебры и доказывается в курсе функционального анализа.

Систему функций, по которым можно разложить произвольный вектор состояния, на-

зывают полной системой функций. Итак, теорема о разложении утверждает, что система

собственных функций эрмитова оператора является полной.

117

Глава 7. Основные положения квантовой механики

Пример 34. Собственные функции оператора инверсии. Согласно определению оператора

инверсии, данному в примере 26, его собственные функции удовлетворяют уравнению

(−x) = P Ψ

(x) . (7.38)

Как мы знаем из примера 28, оператор инверсии является эрмитовым, поэтому по его соб-

ственным функциям можно разложить любой вектор состояния. Проверим это. Заменяя

в уравнении (7.38) x → −x и используя это уравнение еще раз, найдем

(x) = P Ψ

(−x) = P P Ψ

(x) ,

откуда следует, что P

= 1, т.е. P = ±1. Таким образом, спектр оператора инверсии явля-

ется дискретным и состоит всего из двух чисел: +1 и −1. Если P = 1 , то соответствующие

собственные функции удовлетворяют уравнению

(−x) = Ψ

(x) ,

т.е. являются четными функциями переменной x. Если же P = −1, то собственные функ-

ции удовлетворяют

−1

(−x) = −Ψ

−1

(x) ,

т.е. являются нечетными функциями. Поскольку существует бесконечное множество как

четных, так и нечетных линейно-независимых функций, оба собственных значения опера-

тора инверсии являются бесконечно-кратно вырожденными. Отсюда следует также, что

собственные функции оператора

P не обязаны быть нормируемыми.

Наконец, нетрудно разложить произвольный вектор состояния Ψ по собственным

функциям оператора инверсии. Для этого достаточно написать

Ψ(x) =

{Ψ(x) + Ψ(−x )} +

{Ψ(x) − Ψ(−x)}.

Первое слагаемое в правой части является четной функцией, а второе – нечетной функ-

цией x, т.е. собственными функциями оператора

P .

Пример 35. Собственные функции оператора импульса. Найдем собственные функции

операторов компонент обобщенного импульса частицы (для краткости слово “обобщен-

ный” будет опускаться). Для компоненты ˆp

, например, уравнение на собственные функ-

ции имеет вид

−i~

∂Ψ

∂x

= p

. (7.39)

Его решением является

(x, y, z) = A(y, z)e

x/~

, (7.40)

где A(y, z) есть произвольная функция переменных y, z. Мы видим, что решение уравне-

ния (7.39) существует при любом p

, в том числе и комплексном. Однако при комплексном

решение (7.40) не является ограниченным. Именно, если p

имеет отличную от нуля

мнимую часть, p

= Imp

6= 0, то

|Ψ

(x, y, z)|

= |A(y, z)|

−2p

x/~

118

§7.4. Вычисление распределений вероятностей

так что решение (7.40) экспоненциально возрастает либо при x → −∞ , либо при x → +∞,

и потому Ψ

6∈ M, и в соответствии с определением, данным в §7.4A, функция Ψ

(x, y, z)

с комплексным p

не является собственной функцией оператора ˆp

. Таким образом, физи-

чески допустимыми собственными значениями операторов компонент импульса частицы

являются все вещественные числа.

Можно построить функции, являющиеся одновременно собственными для всех трех

компонент оператора импульса. Они удовлетворяют уравнениям

−i~

∂Ψ

∂r

= pΨ

, (7.41)

или в компонентах,

−i~

∂Ψ

∂x

= p

, −i~

∂Ψ

∂y

= p

, −i~

∂Ψ

∂z

= p

. (7.42)

Здесь p = (p

, p

) есть некоторый числовой (вещественный) вектор. Решение этих

уравнений ищем в виде

(x, y, z) = Ψ

(x)Ψ

(y)Ψ

(z) (7.43)

и получаем обыкновенные дифференциальные уравнения

−i~

dΨ

(x)

= p

(x) , −i~

dΨ

(y)

= p

(y) , −i~

dΨ

(z)

= p

(z) .

Интегрирование этих уравнений дает

(x) = A

/~x

, Ψ

(y) = A

y/~

, Ψ

(z) = A

z/~

где A

, A

– произвольные постоянные. Таким образом, собственные функции вектора

импульса имеют вид

(x, y, z) = Ae

x/~

y/~

z/~

, A ≡ A

= const ,

или, короче,

(r) = Ae

i(pr)/~

. (7.44)

Постоянная A может быть выбрана различной для разных p, но нам это не понадобится.

Выясним еще вопрос о том, все ли решения уравнений (7.42) мы нашли, т.е. вопрос

о вырожденности собственных значений (ведь мы искали решения частного вида (7.43)).

Чтобы ответить на него, преобразуем эти уравнения, введя новую неизвестную функцию

(x, y, z) = Ψ

(x, y, z)e

−i(pr)/~

. Мы имеем

∂Ψ

∂x

∂Ψ

∂x

−i(pr)/~

− Ψ

−i(pr)/~

−i~

∂Ψ

∂x

− p

= 0 .

Аналогично найдем, что ∂Ψ

/∂y = 0, ∂Ψ

/∂z = 0. Таким образом, новая функция

(x, y, z) не зависит от переменных x, y, z, т.е. равна некоторой постоянной: Ψ

(x, y, z) =

A, и потому Ψ

(x, y, z) = Ae

i(pr)/~

. Итак, собственные значения оператора импульса невы-

рождены.

119

Глава 7. Основные положения квантовой механики

B. Распределения вероятностей для величин с дискретным спектром

Если собственные значения эрмитова оператора принадлежат дискретному спек-

тру, а собственные функции являются нормируемыми, то они обладают следующими

важными свойствами: собственные значения являются вещественными, а собственные

функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Дока-

зательство. Умножим скалярно уравнение (7.35) слева на вектор Ψ

(Ψ

fΨ

) = (Ψ

, fΨ

) .

По свойству 2 скалярного произведения, правая часть есть f (Ψ

, Ψ

). В левой же части

используем эрмитовость оператора

f, затем уравнение (7.35) и свойство 3 скалярного

произведения:

(Ψ

fΨ

) = (

fΨ

, Ψ

) = (fΨ

, Ψ

) = f

∗

(Ψ

, Ψ

) .

Таким образом, уравнение (7.35) дает

f(Ψ

, Ψ

) = f

∗

(Ψ

, Ψ

) ,

или

(f − f

∗

)(Ψ

, Ψ

) = 0 .

Поскольку по определению собственной функции Ψ

6= 0, то (Ψ

, Ψ

) 6= 0 и поэтому из

последнего равенства следует, что f = f

∗

. Пусть теперь имеются два собственных вектора

и Ψ

, соответствующие собственным значениям f и f

fΨ

= f Ψ

fΨ

= f

(7.45)

Умножив скалярно первое уравнение слева на Ψ

, а второе – справа на Ψ

, и взяв разность

результатов, получим

(Ψ

fΨ

) − (

fΨ

, Ψ

) = (f − f

)(Ψ

, Ψ

) .

Левая часть этого равенства равна нулю, поскольку оператор

f эрмитов. Таким образом,

если f 6= f

, то необходимо (Ψ

, Ψ

) = 0, т.е. собственные векторы, соответствующие

различным собственным значениям, ортогональны.

Если же собственные функции Ψ

(1)

, Ψ

(2)

соответствуют одному и тому же вырожден-

ному собственному значению f, то, вообще говоря, (Ψ

(1)

, Ψ

(2)

) 6= 0. Однако в этом слу-

чае функции Ψ

(1)

, Ψ

(2)

можно заменить их линейными комбинациями так, чтобы новые

функции стали ортогональными друг другу. Действительно, любая линейная комбинация

(1)

+ c

(2)

также будет собственной функцией оператора

f, соответствующей тому же

самому собственному значению f, поскольку

f(c

(1)

+ c

(2)

) = c

fΨ

(1)

+ c

fΨ

(2)

= c

fΨ

(1)

+ c

fΨ

(2)

= f(c

(1)

+ c

(2)

) .

Если (Ψ

(1)

, Ψ

(2)

) 6= 0, то пару функций {Ψ

(1)

, Ψ

(2)

} заменим парой {Ψ

(1)

(2)

}, где

(2)

= Ψ

(2)

−

(Ψ

(1)

, Ψ

(2)

)

(Ψ

(1)

, Ψ

(1)

)

(1)

120