Казаков К.А. Введение в теоретическую и квантовую механику
Подождите немного. Документ загружается.
§5.3. Канонические преобразования
Рассмотрим теперь вариацию действия при переходе от траектории ¯q(t), ¯p(t) к близ-
кой виртуальной траектории ¯q(t), ¯p(t) + δp(t), где δp(t) – произвольные малые функции
времени:
δS = S[¯q(t), ¯p(t) + δp(t)] − S[¯q(t), ¯p(t)] =
t
2
Z
t
1
s
X
α=1
Ã
˙
¯q
α
−
∂H(¯q, p, t)
∂p
α
¯
¯
¯
¯
p=¯p
!
δp
α
dt . (5.30)
Снова необходимым условием минимальности действия является обращение правой части
равенства (5.30) в нуль, откуда ввиду независимости и произвольности вариаций δp
α
,
α = 1, .., s следует, что функции ¯q(t), ¯p(t) должны удовлетворять уравнениям
˙
¯q
α
−
∂H(¯q, p, t)
∂p
α
¯
¯
¯
¯
p=¯p
= 0 , α = 1, ..., s ,
т.е. оставшимся s уравнениям Гамильтона (5.6).
§5.3. Канонические преобразования
Как было установлено в §1.3, уравнения Лагранжа ковариантны относительно пре-
образований обобщенных координат, т.е. имеют один и тот же вид при любом их вы-
боре. Отсюда следует, что и уравнения Гамильтона также ковариантны, поскольку по
построению они имеют один и тот же вид (5.5), (5.6) независимо от конкретного выбора
обобщенных координат. С другой стороны, как мы видели в предыдущем пункте, в га-
мильтоновой формулировке принципа наименьшего действия функции p(t), заменяющие
обобщенные скорости ˙q(t) лагранжева формализма, являются независимыми от функций
q(t). Этот факт позволяет расширить понятие преобразования переменных в гамильто-
новом формализме, включив в него наряду с преобразованиями обобщенных координат
также и преобразования обобщенных импульсов системы. Итак, в общем случае такое
преобразование имеет вид
Q
α
= Q
α
(q, p, t) , P
α
= P
α
(q, p, t) , α = 1, ..., s , (5.31)
где q, p и Q, P – наборы старых и новых обобщенных координат и обобщенных импульсов,
соответственно. Поскольку преобразования (5.31) шире, чем обычные преобразования ко-
ординат, с которыми мы имели дело в лагранжевом формализме, по отношению к ним
уравнения движения уже не обязаны быть ковариантными. Если тем не менее данное
преобразование (5.31) не меняет вида уравнений движения, то оно называется канониче-
ским. Таким образом, каноничность преобразования означает, что в новых переменных
Q, P уравнения движения имеют вид
˙
P
α
= −
∂H
0
∂Q
α
, α = 1, ..., s , (5.32)
˙
Q
α
=
∂H
0
∂P
α
, α = 1, ..., s , (5.33)
с некоторой новой функцией Гамильтона H
0
= H
0
(Q, P, t ).
Гамильтонова формулировка принципа наименьшего действия, изложенная в предыду-
щем пункте, дает возможность очень просто выделить один важный и широкий подкласс
71
Глава 5. Канонический формализм
канонических преобразований. Как мы видели, уравнения Гамильтона (5.32), (5.33) могут
быть получены из условия минимальности действия
S
0
[Q(t), P (t)] =
t
2
Z
t
1
Ã
s
X
α=1
P
α
˙
Q
α
− H
0
(Q, P, t)
!
dt , (5.34)
при условии
Q
α
(t
1
) = Q
(1)
α
, Q
α
(t
2
) = Q
(2)
α
, α = 1, ..., s . (5.35)
Допустим, что нам удалось задать некоторое соотношение между двумя функционалами
S[q(t), p(t)] и S
0
[Q(t), P (t)], такое, что если S[q(t), p(t)] принимает минимальное значение
на функциях ¯q(t), ¯p(t), то S
0
[Q(t), P (t)] принимает минимальное значение на функциях
¯
Q(t),
¯
P (t), связанных с ¯q(t), ¯p(t) соотношениями вида (5.31), и наоборот. Поскольку урав-
нения Гамильтона получаются именно из условия минимальности действия, то это означа-
ло бы, что при преобразовании (5.31) уравнения (5.5), (5.6) переходят в уравнения (5.32),
(5.33), т.е. как раз каноничность преобразования (5.31).
Свяжем теперь функционалы S[q(t), p(t)] и S
0
[Q(t), P (t)] следующим соотношением
S[q(t), p(t)] = S
0
[Q(t), P (t)] +
t
2
Z
t
1
dF (q, Q, t )
dt
dt , (5.36)
с некоторой функцией F (q, Q, t) старых и новых обобщенных координат. Это соотно-
шение задает желаемое соответствие между минимумами функционалов S[q(t), p(t)] и
S
0
[Q(t), P (t)]. Действительно, второй член в его правой части можно переписать так:
t
2
Z
t
1
dF (q, Q, t)
dt
dt = F (q, Q, t)|
t
2
t
1
= F (q
(2)
, Q
(2)
, t
2
) − F (q
(1)
, Q
(1)
, t
1
) . (5.37)
В силу условий (5.27), (5.35) правая часть последнего равенства представляет собой неко-
торую фиксированную постоянную, значение которой не зависит от выбора виртуальной
траектории на промежутке t ∈ [t
1
, t
2
], и поэтому из минимальности действия S следует
минимальность S
0
, и наоборот.
Равенство (5.36) будет выполняться для всех моментов времени t
1
, t
2
, только если
подынтегральные выражения в обеих его частях тождественно совпадают:
s
X
α=1
p
α
˙q
α
− H(q, p, t) =
s
X
α=1
P
α
˙
Q
α
− H
0
(Q, P, t ) +
dF (q, Q, t)
dt
.
Последнее равенство может быть также переписано в виде соотношения для дифферен-
циалов
s
X
α=1
p
α
dq
α
− H(q, p, t)dt =
s
X
α=1
P
α
dQ
α
− H
0
(Q, P, t )dt + dF (q, Q, t) . (5.38)
72
§5.3. Канонические преобразования
Подставляя сюда выражение для дифференциала функции F (q, Q, t)
dF (q, Q, t) =
s
X
α=1
µ
∂F
∂q
α
dq
α
+
∂F
∂Q
α
dQ
α
¶
+
∂F
∂t
dt ,
и приравнивая коэффициенты при независимых дифференциалах dq
α
, dQ
α
и dt, получим
формулы перехода от набора переменных q, p к Q, P в виде
p
α
=
∂F
∂q
α
, α = 1, ..., s , (5.39)
P
α
= −
∂F
∂Q
α
, α = 1, ..., s , (5.40)
H
0
= H +
∂F
∂t
. (5.41)
Таким образом, канонические преобразования рассматриваемого типа определяются за-
данием некоторой функции старых и новых обобщенных координат системы и времени,
в связи с чем эту функцию называют производящей функцией канонического преобразо-
вания.
То же самое преобразование можно также задать с помощью производящей функции,
зависящей от старых координат и новых импульсов (и времени). Для этого совершим в
тождестве (5.38) преобразование Лежандра от независимых переменных q, Q, t к незави-
симым переменным q, P, t, написав тождественно в его правой части
P
α
dQ
α
= d (P
α
Q
α
) − Q
α
dP
α
.
Получим
s
X
α=1
(p
α
dq
α
+ Q
α
dP
α
) + (H
0
− H) dt = d
Ã
F (q, Q, t) +
s
X
α=1
P
α
Q
α
!
. (5.42)
Обозначим величину, стоящую под знаком полного дифференциала в правой части этого
тождества через Φ и выразим ее через переменные q, P, t с помощью уравнений (5.39),
(5.40):
Φ(q, P, t) =
"
F (q, Q, t) +
s
X
α=1
P
α
Q
α
#
Q=Q(q,P,t)
.
Подставляя выражение для дифференциала этой функции
dΦ(q, P, t ) =
s
X
α=1
µ
∂Φ
∂q
α
dq
α
+
∂Φ
∂P
α
dP
α
¶
+
∂Φ
∂t
dt
в уравнение (5.42) и приравнивая коэффициенты при независимых дифференциалах dq
α
,
dP
α
, dt, получим формулы канонического преобразования в виде
p
α
=
∂Φ
∂q
α
, α = 1, ..., s , (5.43)
Q
α
=
∂Φ
∂P
α
, α = 1, ..., s , (5.44)
H
0
= H +
∂Φ
∂t
. (5.45)
Аналогичным образом можно было бы задать переход q, p → Q, P помощью производящей
функции, зависящей от переменных p, Q или p, P.
73
Глава 5. Канонический формализм
Пример 20. Точечные преобразования. Рассмотрим каноническое преобразование, зада-
ваемое производящей функцией
Φ(q, P, t) =
s
X
α=1
f
α
(q)P
α
, (5.46)
где f
α
(q) – некоторые функции. По формулам (5.43) – (5.45) находим
p
α
=
s
X
β=1
∂f
β
(q)
∂q
α
P
β
, α = 1, ..., s , (5.47)
Q
α
=
s
X
β=1
f
β
(q)
∂P
β
∂P
α
=
s
X
β=1
f
β
(q)δ
αβ
= f
α
(q) , α = 1, ..., s , (5.48)
H
0
= H . (5.49)
Уравнение (5.48) показывает, что канонические преобразования, порождаемые функция-
ми вида (5.46) являются не чем иным, как обычными заменами обобщенных координат
q → f(q), с которыми мы имели дело в лагранжевом формализме (их обычно называют
точечными).
Пример 21. Гармонический осциллятор. Совершим каноническое преобразование пере-
менных линейного гармонического осциллятора [см. пример 15], задаваемое производя-
щей функцией
F (x, Q, t) =
mωx
2
2
ctg Q .
По формулам (5.39) – (5.41) находим
p =
∂F
∂x
= mωx ctg Q , P = −
∂F
∂Q
=
mωx
2
2
1
sin
2
Q
, H
0
= H .
Отсюда
x =
r
2P
mω
sin Q , p =
√
2P mω cos Q . (5.50)
Подставляя эти выражения в старую функцию Гамильтона (5.8), получаем новую функ-
цию Гамильтона в виде
H
0
= ωP .
Уравнения Гамильтона в новых переменных
˙
P = −
∂H
0
∂Q
= 0 ,
˙
Q =
∂H
0
∂P
= ω .
Их решением является
P = P
0
, Q = ωt + Q
0
,
где P
0
, Q
0
– некоторые постоянные. Подставляя его в (5.50), получаем закон движения в
исходных координатах
x(t) =
r
2P
0
mω
sin(ωt + Q
0
) .
74
§5.4. Бесконечно-малые преобразования
§5.4. Бесконечно-малые канонические преобразования
Любое преобразование переменных, в том числе и каноническое, можно представить
как последовательность большого числа преобразований, каждое из которых близко к
тождественному. Для таких преобразований многие формулы и доказательства суще-
ственно упрощаются, поскольку их можно проводить в дифференциальной форме. Напри-
мер, если некоторое свойство системы остается неизменным при любых преобразованиях,
близких к тождественному, то оно не изменится и при конечном преобразовании.
Рассмотрим каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией
Φ(q, P, t ) =
s
X
α=1
q
α
P
α
+ φ (q, P, t) .
Согласно формулам (5.43) – (5.45)
p
α
= P
α
+
∂φ
∂q
α
, α = 1, ..., s , (5.51)
Q
α
= q
α
+
∂φ
∂P
α
, α = 1, ..., s , (5.52)
H
0
= H +
∂φ
∂t
.
Видно, что если функция φ(q, P, t) является малой, то старые и новые переменные мало
отличаются друг от друга. В этом случае формулы перехода можно переписать в ком-
пактном виде с помощью скобок Пуассона. Для этого заметим, что поскольку φ(q, P, t)
мала, то пренебрегая величинами порядка O(φ
2
) ее аргумент P можно заменить на p.
Например, производные
∂φ
(
q, P, t
)
/∂P
можно заменить на
∂φ
(
q, p, t
)
/∂p .
Тогда используя
формулы (5.22), перепишем формулы перехода от старых переменных к новым в виде
P
α
= p
α
+ {φ, p
α
}
q,p
, α = 1, ..., s , (5.53)
Q
α
= q
α
+ { φ, q
α
}
q,p
, α = 1, ..., s , (5.54)
где нижний индекс у скобок Пуассона указывает переменные, относительно которых они
определены. Заметим, что преобразование произвольной функции F (Q, P ) также можно
представить в аналогичном виде, а именно, имеем
F (Q, P ) = F
µ
q +
∂φ
∂p
, p −
∂φ
∂q
¶
= F (q, p) +
s
X
α=1
µ
∂F
∂q
α
∂φ
∂p
α
−
∂F
∂p
α
∂φ
∂q
α
¶
,
т.е.
F (Q, P ) = F (q, p) + {φ, F }
q,p
. (5.55)
A. Теорема об инвариантности скобок Пуассона
Рассмотрим две произвольные функции обобщенных координат и обобщенных импуль-
сов F, G. Оказывается, что если преобразование от переменных q, p к Q, P является кано-
ническим, то значение величины {F , G} не зависит от того, вычисляется ли она по старым
переменным или по новым, т.е.
{F, G}
q,p
= {F, G}
Q,P
.
75
Глава 5. Канонический формализм
Доказательство. Будем рассматривать F и G как функции новых переменных и рас-
смотрим скобки Пуассона {F (Q, P ), G(Q, P )}
q,p
. Используя формулу (5.55) и пренебрегая
величинами порядка O(φ
2
), эти скобки можно преобразовать так:
{F (Q, P ), G(Q, P )}
q,p
= {F (q, p) + {φ, F }
q,p
, G(q, p) + {φ, G}
q,p
}
q,p
= {F (q, p), G(q, p)}
q,p
+ {F, {φ, G}
q,p
}
q,p
+ {{φ, F }
q,p
, G}
q,p
= {F (q, p), G(q, p)}
q,p
+ {F, {φ, G}
q,p
}
q,p
+ {G, {F, φ}
q,p
}
q,p
.
Согласно тождеству Якоби, сумма второго и третьего членов в последнем выражении
равна −{φ, {G, F }}
q,p
. Таким образом,
{F (Q, P ), G(Q, P )}
q,p
= {F (q, p), G(q, p)}
q,p
+ {φ, {F, G}}
q,p
.
В силу формулы (5.55) правая часть этого равенства есть в точности
{F (Q, P ), G(Q, P )}
Q,P
, что и доказывает инвариантность скобок Пуассона.
B. Теорема об инвариантности фазового объема
Рассмотрим систему, имеющую s степеней свободы и введем 2s-мерное пространство,
снабженное декартовой системой координат, по осям которой откладываются значения
обобщенных координат и обобщенных импульсов системы. Это пространство называют
фазовым пространством системы. Каждая его точка определяет некоторое состояние си-
стемы. Действительно, согласно определению, данному в главе 1, состояние системы в
некоторый момент времени определяется значениями ее обобщенных координат и обоб-
щенных скоростей в этот момент, обобщенные же скорости взаимнооднозначно связаны с
обобщенными импульсами соотношениями p
α
= ∂L/∂ ˙q
α
, α = 1, ..., s.
Рассмотрим некоторую область g фазового пространства и определим ее объем γ :
γ =
Z
g
dγ , dγ =
s
Y
α=1
dq
α
dp
α
. (5.56)
Рассмотрим, далее, произвольное каноническое преобразование от переменных q, p к но-
вым переменным Q, P. Область в фазовом пространстве, образованном новыми перемен-
ными, на которую отображается область g, обозначим через G. Определим объем Γ этой
области формулой, аналогичной (5.56):
Γ =
Z
G
dΓ , dΓ =
s
Y
α=1
dQ
α
dP
α
.
Оказывается, что имеет место равенство
γ = Γ . (5.57)
Доказательство достаточно провести для бесконечно-малого канонического преобразо-
вания. Согласно известной формуле замены переменных интегрирования в кратном ин-
теграле,
Z
G
dΓ =
Z
g
Jdγ ,
76
§5.5. Действие как функция координат и времени
где J есть якобиан преобразования от переменных q, p к переменным Q, P. Он представля-
ет собой определитель матрицы, составленной из частных производных новых координат
по старым:
J = det
∂Q
1
∂q
1
···
∂Q
1
∂q
s
∂Q
1
∂p
1
···
∂Q
1
∂p
s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∂Q
s
∂q
1
···
∂Q
s
∂q
s
∂Q
s
∂p
1
···
∂Q
s
∂p
s
∂P
1
∂q
1
···
∂P
1
∂q
s
∂P
1
∂p
1
···
∂P
1
∂p
s
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∂P
s
∂q
1
···
∂P
s
∂q
s
∂P
s
∂p
1
···
∂P
s
∂p
s
Для бесконечно-малого преобразования (5.53), (5.54) эта матрица отличается от единич-
ной на члены порядка O(φ). Если элементы некоторой матрицы A имеют вид A
ik
=
δ
ik
+ a
ik
, i, k = 1, ..., n, где все величины a
ik
малы, то, пренебрегая величинами порядка
O(a
2
), имеем для ее определителя:
det(δ
ik
+ a
ik
) = 1 +
n
X
i=1
a
ii
.
Применяя эту формулу к матрице якобиана преобразования (5.53), (5.54), находим
J = 1 +
s
X
α=1
∂{φ, q
α
}
∂q
α
+
s
X
α=1
∂{φ, p
α
}
∂p
α
= 1 +
s
X
α=1
∂
2
φ
∂q
α
∂p
α
−
s
X
α=1
∂
2
φ
∂p
α
∂q
α
= 1 ,
что и доказывает равенство (5.57).
§5.5. Действие как функция координат и времени
В рамках классической механики величина действия системы, вычисленного на дей-
ствительной траектории системы, сама по себе не имеет прямого физического смысла.
Однако исследование зависимости этой величины от начального и конечного положе-
ний системы позволяет сформулировать принципиально новый подход к интегрированию
уравнений движения – так называемый метод Гамильтона-Якоби.
Полагая q(t) = ¯q(t), p(t) = ¯p(t) в функционале S[q(t), p(t)], мы получим некото-
рую функцию параметров q
(1)
, t
1
, q
(2)
, t
2
, которые определяют действительную траекто-
рию. Обозначим эту функцию через S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
). Структуру этой функции мож-
но определить, исследуя ее изменение при малом изменении какого-либо из параметров
q
(1)
, t
1
, q
(2)
, t
2
при фиксированных остальных.
A. Зависимость действия от координат
Рассмотрим две близкие действительные траектории системы, одна из которых опре-
деляется условиями (2.18), а другая – условиями
q
α
(t
1
) = q
(1)
α
, q
α
(t
2
) = q
(2)
α
+ δq
(2)
α
, α = 1, ..., s . (5.58)
77
Глава 5. Канонический формализм
Функции, описывающие эти траектории, обозначим соответственно через [¯q(t), ¯p(t)] и
[¯q(t) + δ¯q(t), ¯p(t) + δ ¯p(t)]. Другими словами, в обоих случаях система выходит из точ-
ки с координатами q
(1)
в момент времени t
1
, но в момент времени t
2
приходит в точки,
разность координат которых равна δq
(2)
. Разность значений функционала действия (5.26)
для этих двух траекторий есть
S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
+ δq
(2)
, t
2
) − S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
)
=
t
2
Z
t
1
s
X
α=1
Ã
¯p
α
δ
˙
¯q
α
+
˙
¯q
α
δ¯p
α
−
∂H(q, ¯p, t)
∂q
α
¯
¯
¯
¯
q=¯q
δ¯q
α
−
∂H(¯q, p, t)
∂p
α
¯
¯
¯
¯
p=¯p
δ¯p
α
!
dt
=
s
X
α=1
¯p
α
δ¯q
α
¯
¯
¯
¯
¯
t
2
t
1
+
s
X
α=1
t
2
Z
t
1
Ã
−
"
˙
¯p
α
+
∂H(q, ¯p, t)
∂q
α
¯
¯
¯
¯
q=¯q
#
δ¯q
α
+
"
˙
¯q
α
−
∂H(¯q, p, t)
∂p
α
¯
¯
¯
¯
p=¯p
#
δ¯p
α
!
dt .
Интегральный член в последнем выражении тождественно равен нулю, поскольку траек-
тория ¯q(t), ¯p(t) – действительная, т.е. удовлетворяет уравнениям Гамильтона (5.5), (5.6).
Поэтому с учетом условий (5.58) находим
S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
+ δq
(2)
, t
2
) − S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
) =
s
X
α=1
¯p
α
(t
2
)δq
(2)
α
. (5.59)
С другой стороны, согласно определению частной производной
S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
+ δq
(2)
, t
2
) − S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
) =
∂S
∂q
(2)
δq
(2)
.
Подставляя это в уравнение (5.59) и сравнивая коэффициенты при независимых вариа-
циях δq
(2)
α
, α = 1, ..., s, получаем
∂S
∂q
(2)
α
= ¯p
α
(t
2
) , α = 1, ..., s . (5.60)
Аналогичным образом можно вывести соотношение
∂S
∂q
(1)
α
= −¯p
α
(t
1
) , α = 1, ..., s . (5.61)
B. Зависимость действия от времени
Рассмотрим теперь две близкие траектории, одна из которых по-прежнему определя-
ется условиями (2.18), а другая – условиями
q
α
(t
1
) = q
(1)
α
, q
α
(t
2
+ δt
2
) = q
(2)
α
, α = 1, ..., s , (5.62)
снова обозначая функции, описывающие эти траектории, через [¯q(t), ¯p(t)] и [¯q(t) +
δ¯q(t), ¯p(t) + δ ¯p(t)], соответственно. Другими словами, в обоих случаях система выходит
78
§5.5. Действие как функция координат и времени
из точки с координатами q
(1)
в момент времени t
1
, но в точку с координатами q
(2)
прихо-
дит с разницей во времени, равной δt
2
. Соответствующая разность в величине действия
есть
S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
+ δt
2
) − S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
)
=
t
2
+δt
2
Z
t
1
Ã
s
X
α=1
(¯p
α
+ δ ¯p
α
)(
˙
¯q
α
+ δ
˙
¯q
α
) − H(¯q + δ ¯q, ¯p + δ ¯p, t)
!
dt −
t
2
Z
t
1
Ã
s
X
α=1
¯p
α
˙
¯q
α
− H(¯q, ¯p, t)
!
dt .
Разлагая первый интеграл по δt
2
с помощью формулы Ньютона-Лейбница, находим
S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
+ δt
2
) − S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
) =
Ã
s
X
α
=1
¯p
α
˙
¯q
α
−
¯
H
!
t=t
2
δt
2
+
t
2
Z
t
1
s
X
α=1
Ã
¯p
α
δ
˙
¯q
α
+
˙
¯q
α
δ¯p
α
−
∂H(q, ¯p, t)
∂q
α
¯
¯
¯
¯
q=¯q
δ¯q
α
−
∂H(¯q, p, t)
∂p
α
¯
¯
¯
¯
p=¯p
δ¯p
α
!
dt ,
где
¯
H ≡ H(¯q, ¯p, t) есть значение функции Гамильтона на действительной траектории.
Преобразуя интегральный член как и выше с помощью интегрирования по частям и учи-
тывая, что ¯q(t), ¯p(t) удовлетворяют уравнения Гамильтона, получаем
S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
+ δt
2
) − S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
) =
Ã
s
X
α=1
¯p
α
˙
¯q
α
−
¯
H
!
t=t
2
δt
2
+
"
s
X
α=1
¯p
α
δ¯q
α
#
t
2
t
1
.
Для определения величины δ¯q(t
2
) запишем условие (5.62) для функции ¯q(t) + δ¯q(t) :
(¯q
α
+ δ ¯q
α
)(t
2
+ δt
2
) = q
(2)
α
,
откуда, разлагая левую часть равенства по малому δt
2
, найдем
¯q
α
(t
2
) +
˙
¯q
α
(t
2
)δt
2
+ δ ¯q
α
(t
2
) = q
(2)
α
.
Учитывая, что в силу условий (2.18) для функции ¯q(t)
¯q
α
(t
2
) = q
(2)
α
,
получаем
δ¯q
α
(t
2
) = −
˙
¯q
α
(t
2
)δt
2
.
Таким образом,
S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
+ δt
2
) − S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
)
=
Ã
s
X
α=1
¯p
α
(t
2
)
˙
¯q
α
(t
2
) −
¯
H(t
2
)
!
δt
2
−
s
X
α=1
¯p
α
(t
2
)
˙
¯q
α
(t
2
)δt
2
= −
¯
H(t
2
)δt
2
, (5.63)
С другой стороны, согласно определению частной производной
S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
+ δt
2
) − S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
) =
∂S
∂t
2
δt
2
.
79
Глава 5. Канонический формализм
Подставляя это в уравнение (5.63) и сокращая на δt
2
, получаем
∂S
∂t
2
= −
¯
H(t
2
) . (5.64)
Аналогично выводится соотношение
∂S
∂t
1
=
¯
H(t
1
) . (5.65)
C. Теорема Лиувилля
Рассмотрим некоторую область g в фазовом пространстве данной системы. Как мы
знаем, каждая точка этой области определяет некоторое состояние системы. Будем счи-
тать, что все эти состояния заданы в момент времени t
1
и рассмотрим их эволюцию за
фиксированный промежуток времени t
2
− t
1
= t. По его истечении каждое состояние
(q
(1)
, p
(1)
) ∈ g перейдет в некоторое конечное состояние (q
(2)
, p
(2)
), так что область g отоб-
разится на некоторую новую область G фазового пространства системы (см. Рис. 10).
Выясним, как соотносятся фазовые объемы этих областей. Для этого заметим, что соот-
ношения (5.60), (5.61), (5.64), (5.65) эквивалентны следующему выражению для полного
дифференциала действия как функции координат и времени:
dS(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
2
) =
s
X
α=1
£
¯p
α
(t
2
)dq
(2)
α
− ¯p
α
(t
1
)dq
(1)
α
¤
−
¯
H(t
2
)dt
2
+
¯
H(t
1
)dt
1
. (5.66)
Учитывая, что при фиксированном t
dt
2
= dt
1
,
перепишем уравнение (5.66) в виде
s
X
α=1
¯p
α
(t
1
)dq
(1)
α
−
¯
H(t
1
)dt
1
=
s
X
α=1
¯p
α
(t
2
)dq
(2)
α
−
¯
H(t
2
)dt
1
− dS(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
1
+ t ) .
(5.67)
Поскольку конечное состояние системы однозначно определяется начальным, соответ-
ствие между точками областей g, G можно рассматривать как преобразование координат
(q
(1)
, p
(1)
) → (q
(2)
, p
(2)
). Сравнение уравнений (5.38) и (5.67) показывает тогда, что это
преобразование является каноническим с производящей функцией
F (q
(1)
, q
(2)
, t
1
) = −S(q
(1)
, t
1
; q
(2)
, t
1
+ t ) ,
причем q
(1)
, p
(1)
играют роль старых обобщенных координат и обобщенных импульсов, а
q
(2)
, p
(2)
– новых. С другой стороны, выше было доказано, что фазовый объем инвариантен
относительно канонических преобразований. Таким образом, мы приходим к выводу, что
объемы областей g и G равны, т.е. фазовый объем сохраняется при движении системы.
Этот результат, называемый теоремой Лиувилля, играет важнейшую роль в статистиче-
ской физике.
80