Кашкин В.Б., Сухинин А.И. Дистанционное зондирование Земли из космоса. Цифровая обработка изображений

Подождите немного. Документ загружается.

ний. Спектр такого изображения /^(и, v)= F(u, v) K(u, v), где F(u, v)

—

спектр исходного изображения, К(и, v) — коэффициент передачи оп-

тической системы, соответствующей ФРТ на рис. 3.10. Примеры рас-

фокусированных изображений приведены на рис. 3.12. Чтобы опреде-

лить F(u, v) по известным F

{

(u, v) и К (и, v), необходимо умножить

1 1 1

1 1 200

1 I

I 1

а)

б) в) г)

Рис. 3.12. Обработка перепада яркости маской

F\(u,

v) на К\{и, v)

—

\/К(и, v), т.е. выполнить инверсную фильтрацию.

Эта задача относится к числу обратных некорректных задач математи-

ческой физики. Во-первых, решения могут не существовать. Во-вторых,

если решение существует, то оно может быть не единственным. Заме-

тим, что функция К(и, v) в некоторых точках может быть равна нулю,

тогда решение обращается в бесконечность. В-третьих, решение может

быть неустойчивым, т.е. небольшие вариации исходных данных могут

привести к существенным изменениям решения. Выходом из положе-

ния является регуляризация решения. Коэффициент передачи записы-

вается в форме

{и,

v) =K(u, v)/[K

(u, v) + a

•

g(w, v)J. (3.15)

Здесь

g(w,

—

стабилизирующая функция, например y(w, v) = и

+ v

—

параметр регуляризации. Подбором а обычно удается достаточно

качественно восстановить расфокусированное изображение.

Фильтрация в частотной плоскости — эффективное средство для

восстановления изображений, искаженных аддитивным шумом. Пусть

изображение

(х, у) наблюдается на фоне некоррелированного с s (х, у)

шума п (х, у):

f(x,y)

s(x,y)+n(x,y).

Предполагается, что/(х, у), s (х, у) и п (х, у) — однородные и изо-

фопные гауссовские случайные поля с функциями корреляции Щ(г),

1 1 1

121

3.3.3. Линейная локальная фильтрация

На практике глобальная фильтрация применяется редко. Чаще ис-

пользуют локальную фильтрацию, когда интегрирование и усредне-

ние проводятся не по всей области определениях

у, а по сравнитель-

но небольшой окрестности каждой точки изображения. При этом

функция рассеяния точки имеет ограниченные

размеры.

Достоинством

такого подхода является хорошее быстродействие.

При обработке растровых изображений, которые состоят из от-

дельных пикселов, интегрирование заменяют суммированием. Линей-

ное преобразование

случае локальной фильтрации принимает вид

Si/ ~Zj

k\fi+kJ+\'

суммирование ведется по некоторой окрестности

точки

(i,j);

—

значения ФРТ в этой окрестности. Яркости пикселов/ в этой точке

в ее

окрестности умножаются на коэффициенты о

, преобразованная

яркость

(/',у')-го

пиксела

есть

сумма этих произведений. Обычно набор

коэффициентов а

представляют в виде прямоугольной матрицы (ма

ски),

например размерности 3x3:

0,3

«21 °22 °23 •

Элементы матрицы удовлетворяют условию пространственной ин

вариантности, поэтому о,

= a

а-ц,

= а

и =

°23 =

°32-

Фильтрация осуществляется перемещением слева направо (или

сверху вниз) маски на один пиксел. При каждом положении апертуры

производятся упомянутые операции: перемножение весовых множите

лей

соответствующими значениями яркостей исходного изображс

ния и суммирование произведений. Полученное значение присваива

ется центральному

(/,у')-му

пикселу, которое обычно делится на заранее

заданное число ^(нормирующий множитель). Маска содержит нечеч

ное число строк

столбцов, чтобы центральный элемент определялся

однозначно.

Рассмотрим некоторые фильтры, сглаживающие шум. Пусть мае

ка размером 3x3 имеет вид

124

н,

2 1

1 1

Тогда после фильтрации яркость

(/,./)-го

пиксела

\ Ru

VWfi-\,j-\

+fi-ij+f

fi.j-\

fiJ

fun

f»i.j-i

+У/+1.У

|+//+l.y+l)-

Хотя коэффициенты

к1

можно выбрать из среднеквадратического

Или иного условия близости не искаженного шумом

s,•__,-

преобразован-

ного g,-jизображений, обычно их задают эвристически. Приведем еше

\ некоторые матрицы шумоподавляющих фильтров:

1 1 1

Н,=-

2 1

2 4 2

2 1

1 2

2 1

1 2

фильтров Н|-Н

нормирующие множители А"подобраны так, что-

|§ы не происходило изменения средней яркости обработанного изобра-

жения. Наряду с масками 3x3 используются маски большей размерно-

вти,

например 5x5, 7x7 и

т.

п.

отличие от фильтра Н

, у фильтров Н

Hi,

H4 весовые коэффициенты на пересечении главных диагоналей ма-

трицы больше, чем коэффициенты, стоящие на периферии. Фильтры Н

\ Hj, H

дают более плавное изменение яркости по изображению, чем Н

Пусть отсчеты неискаженного изображения мало меняются в пре-

делах маски, а отсчеты аддитивного шума случайны и независимы или

(рлабо зависимы со статистической точки зрения. В этом случае меха-

низм подавления шума с использованием приведенных фильтров состо-

ит в том, что при суммировании шумы компенсируют друг друга. Эта

Компенсация будет происходить тем успешнее, чем большее число чле-

нов в сумме, т.е. чем больше размер (апертура) маски. Пусть, например,

[Используется маска Nx N, в пределах ее неискаженное изображение

Имеет постоянную яркость/ шум

—

аддитивный, с независимыми зна-

I Чениями отсчетов n

,„,

средним значением ц

0 и дисперсией а

в пре-

| Делах маски (такой шум называют белым). Отношение квадрата ярко-

сти (/, у')-го пиксела к дисперсии шума, т.е. отношение сигнал-шум,

рИИ11о/

/о

125

Рассмотрим, например, маску типа Н

| /V N j N N

Sij=~7^1I,(f

"k,J=f

T^l X"*, »•

= lm=l /V *=|м=1

Средний квадрат яркости равен/

, средний квадрат интенсивнос-

ти шума

] N N ] N N N N

—г

У У

«i

,„>+—г

,4 •£-* 4-1 *. '"

/V * = |;п=| /V *= | „,= \

=1 р=\

Двойная сумма, равная

соответствует к

р, m

q. Четырехкра

ная сумма равна нулю, так как отсчеты шума при к*р, т

*•

ц независи

мы:

<п

,„п

= 0. Таким образом, в результате фильтрации отношение

сигнал-шум становится равным N

т.е.

возрастает пропорционаш.

но площади маски. Отношение яркости (i,J)-ro пиксела неискаженно

го изображения к среднеквадратическому отклонению шума возраста

ет пропорционально N

. Следовательно, использование маски

в среднем повышает отношение сигнала к шуму в 9 раз.

При импульсной помехе механизм подавления состоит в том,

импульс «расплывается» и становится малозаметным на общем фоне

Однако часто в пределах апертуры значения полезного изображе-

ния все же изменяются заметным образом. Это бывает, в частности,

KOI

да в пределы маски попадают контуры. С физической точки зрения во

Н|— Н

являются фильтрами нижних

частот

(усредняющими фильтр;!

ми),

подавляющими высокочастотные гармоники и шума, и неискажен

ного изображения. Это приводит не только к ослаблению шуми

но и к размыванию контуров на изображении. Пусть, например, на изо

бражении, обрабатываемом маской Н

, имеется перепад яркости oi

100 к 200 (см. рис. 3.12).

Если маска находится в положении а, когда в ее пределы попадай

> i

только значения яркости/=100, то#,

= 9

•

100/9 = 100. Если маска на

ходится в положении г, то

g,j

= 9

•

200/9 =

200.

Таким образом,

этих ел \

чаях яркость не изменяется.

Если же маска занимает положение б, то g/j= (6

•

100 + 3

•

200)/9

133.

Для положения маски в имеем gjj=(3

•

100 + 6

•

200)/9= 167. Cm

довательно, резкий профиль перепада яркости 100—200 стал сглажен

ным: 100—133—166—200. Результат применения фильтра Н

с маскам

размерами 3x3 и 7x7 можно видеть на рис. 3.13 (оригинал приведен п

рис.

3.14).

126

.'1

£&.!••

1-К-ЧА

?••"->,

~, Маска 3x3 Маска 7x7

p№. 3.13. Обработка изображения сглаживающим фильтром

,-1

. 1

Г V

Ч>

\ —

' \

Исходное изображение

Эик. 3.14. Обработка оператором Лапласа

\ \ Л

Результат применения Н,

Рассмотренная фильтрация, называемая нерекурсивной, характери-

зовалась

тем,

что выходные значения фильтра^определялисьтолько че-

}ч

входные значения фильтра/. Фильтрация, при которой выходные

Значения gопределяются не только через входные значения/, но и че-

рез соответствующие выходные значения, называется рекурсивной.

При рекурсивной фильтрации можно сохранять

те

же значения ве-

Юных

множителей, что

приведенные, существуют рекурсивные филь-

|ры со специально подобранными множителями. Элементы входного

Йюбражения в пределах окна изменятся и примут вид

XY =

Si-\J-\

fi-\,j fi-\,j+\

o/,y-l

У/. /' У/, j+ 1

6/+l,y-i

У/+1,у /(+ i, j+ i

127

(r),

R„(r)

соответственно, с нулевыми средними и ограниченными

дисперсиями. При этом

(r)

<s(x,

у)

s(X],

y\)>, остальные функции

корреляции определены аналогичным образом; аргумет

r= V(x - х\)

\у

—

у\)

. Из математической статистики известно, что

если и полезный сигнал (в нашем случае это изображение),

шум име-

ют нормальный (гауссовский) закон распределения, то самый лучший

эффект фильтрации, по крайней мере с точки зрения минимума сред

него квадрата ошибки, обеспечиваетлинейный

фильтр.

Для выделения

изображения на фоне шума используем линейное преобразование

g(x, y)= J ff(x, y')h\(x-x\ у

у)

dx'dy.

Требуется найти ФРТ h

(x, у), обеспечивающую минимум средне

го квадрата ошибки фильтрации

<\g(x,

у)

—s

(x,

у)\

Находим, что

-i2

s(x, у)- f jf(x', y

(x-x',y-y')

dx'dy'

= R

(r)~2 J

(r')ht(x

-x', у -/) dx'dy'+

+ j

j\j{R

]

)

R„(r

)}

'>y-y')

'\,У\

-у[) dx'dy'dx( dy( ,

где /

= V(3?

- x)

- (/ - y)

А(х"

- x{)

- (/ - y{)

\ учтено, что

<s(x,

у)и(л:,,

i)>=

0. Пусть

Л,

мало отличается от оптимального значе

ния

Л*|,

т.е.

И] =

h*\

•

р(х, у), здесь а

—

неопределенный множитель

Лагранжа, р(х, у) — некоторая функция. Необходимое условие мини

мума состоит

том, что

cfc/da = 0

при а

= 0.

Таким образом,

-jfi(x-x\y-y')R

(r')dx'dy'

+ j jjffiix-x', y-y')R

]

*(x'~x'

, y'-y[)dx'dy'dx[dy[ =0.

Это

равенство

должно

выполняться при произвольной ${х—х',у

—

у')

откуда

122

-RsW+jJRfir^ix'-x^y'-yOdxfa^O.

(3.16)

f Перейдем от функций корреляции к спектру мощности G(u, v) и от

ФРТ к частотному коэффициенту передачи

К(и,

v). Спектр мощности

= связан с функцией корреляции преобразованием Фурье:

G(u,

v) =

|Л(г)ехр(-2я/1и(дс -*,)

+v(y

У[

)))dxdy

, (3.17)

\ R(r)= \\G(u,v)exv(2ni\u(x-X\)+v(y-y\)\)dudv . (3.17')

(

Подстановка (3.11') и (3.14) при G

(u,

= C,(w, v) +

G„(u,

v) в (3.16)

дпет

СДи, v) + AT'(и,

v){G

(u,

G„(u,

v)]

1 вткуда оптимальный коэффициент передачи

v*t ч

(и, v)

(и,

(3.18)

(u,v)

I Коэффициент передачи (3.18) обеспечивает минимальный сред-

НИИ

квадрат ошибки фильтрации при выделении одного случайного по-

[ ля (сигнала) на фоне другого случайного поля (шума) при условии, что

\ Оба поля

—

однородные и изотропные с гауссовским законом распре-

;

деления значений яркости. Фильтр с таким коэффициентом передачи

(3.18) называется фильтром Винера.

| Когда изображение вначале искажено из-за воздействия некоторо-

Го

линейного оператора, а затем на него наложен шум, можно объеди-

Нить

функции фильтра Винера

инверсного

фильтра.

этом случае ко-

- аффициент передачи равен

(u,v)=\/\\

+ K

Hu,v)/K'(u,v)],

где К\(и, v) определяется выражением (3.15) при

0. Гомоморфный

(обобщенный) линейный фильтр имеет коэффициент передачи

(и,

v) =

К,

(и,

v)/J\+K

]

(u,v)/K'(u,v).

123

Рассмотрим динамику изменения весовых множителей на приме

ре рекурсивного фильтра первого рода с линейной маской размером

в три пиксела. Пусть одномерный низкочастотный шумоподавляк>

щий фильтр имеет весовые множители видаН, =

|1,1,1|/3.

При сдвиге апертуры фильтра на один пиксел вправо значения вы

хода фильтра

= (gi +/2

+/з)/3.

Подставляя сюда значение

]

+/j ч

)/3, можно получить, что весовые и нормирующие множители из

менилисьи приняли видН

|1,

1, 4, 3|/9. Повторяя проделанное, на

ходим Н

|1,

1,4, 12, 9|/27, Н

|1,

1,4, 12, 36,

27|/81.

Если исходные весовые и нормирующий множители низкочасто!

ного фильтра имеют вид H

|1,

2, 1|/4, то аналогично предыдущему слу

чаю можно получить, что Н

= |1, 2, 9, 4|/16, Н

- |1, 2, 9, 36, 16 |/6

и Н

|1,

2, 9, 36, 144, 64|/26. Таким образом, весовые и нормирующим

множители рекурсивного фильтра зависят от местоположения маски,

рекурсивный локальный фильтр позволяет учитывать все входные зна

чения фильтруемого изображения, т.е. приближается по своему дейст

вию к глобальному фильтру. Рекурсивный фильтр, вообще говоря

не является пространственно-инвариантным.

Если изображение описывается авторегрессионной моделью

для выделения его из шума можно использовать двумерный филыр

Калмана (ФК), по существу, являющийся вариантом фильтра Винер;!

(ФВ).

Фильтр Винера оптимален при всех допустимых спектрах сигнл

ла и шума, описываемых однородными и изотропными гауссовскими

случайными полями. Как и ФВ, ФК обеспечивает минимальный срел

ний квадрат ошибки фильтрации изображения на фоне шума, но для су

щественно более узкого класса случайных полей. Он оптимален,

KOI

да сигнал имеет экспоненциальную функцию корреляции и спек-ц>

мощности вида G

(u, v) =1/[1 + a (w

)]. При этом спектр мощнос-i

шума

(и, v) = const (такой шум называют белым).

Один из вариантов фильтра Калмана предложил А. Хабибп

Для трехточечной авторегрессионной модели оценка яркости

(/,У)-К'

пиксела, по Хабиби, записывается как

&,У= PI&-IJ+ P2&V-1 - (PlP2 -FV/Jgi-lj-i +

V/jfij,

где Р| и р

—

коэффициенты корреляции между соседними элементами

по строке и столбцу, F, v

— коэффициенты, зависящие от дисперсии

порождающего процесса, дисперсии шума и p

. Очевидно, что н-

рекурсивный фильтр. Фильтр Винера определен в частотной плоское

фильтр Калмана

—

в плоскости координат. Фильтр Винера относи ь

128

н числу некаузальиых (см. рис. 2.10, г), поскольку для вычисления пре-

образования Фурье используется вся плоскость координат. Фильтр

Кндмана — каузальный, поскольку для формирования оценки сигна-

ля использует область, показанную на рис. 2.10, б. Отметим, что требо-

; Инине каузальности вступает в противоречие с условием пространствен-

ной инвариантности. Фильтр Винера обеспечивает несколько лучшее

качество фильтрации, так как использует все изображение целиком,

- й ФК

—

только текущий и предыдущие пикселы. Важнейшей особен-

ностью фильтра Калмана является быстродействие, он обеспечивает вы-

Деление изображения на фоне шума в реальном времени. При обработ-

I ке изображений Земли, получаемых со спутников, ФК применяется

|; релко, так как работа в реальном времени, как правило, не требуется.

Линейные фильтры могут не только подавлять шум, но и подчерки-

вай

перепады яркости и контуров. Выделение вертикальных перепадов

г (Н'уш

ествляется

дифференцированием по строкам, горизонтальных

—

| по столбцам. Дифференцирование производится в цифровой форме:

| g,\

А//,

k/Ьх

L к

_, (по строкам);

I ft\ t =

А//.

А/АУ

=fi.

-fi-хл (по столбцам).

| Здесь Ах =

1 —

приращение вдоль строки, равное

пикселу, Ау = I —

| приращение вдоль столбца, также равное

пикселу.

Щ Выделение перепадов по диагонали можно получить, вычисляя

= ризности уровней диагональных пар элементов. Для этого используют

\ следующие наборы весовых множителей, реализующих двумерное диф-

1 ференцирование:

север северо-восток восток юго-восток

-1

-2

-1

-2

-1

-2

-1

-1 1

-1

-2 1

1 1

юг юго-запад запад северо-запад

-1 -1 -1

1 -2 1

1 1 1

* Ню =

1-1-1

1 -2 -1

1 1 1

,н,,=

1 1-1

1-2-1

1 1 -1

Н|

1 1 1

1-2-1

1-1-1

Название географических направлений говорит об ориентации склона

перепада, вызывающего максимальный отклик фильтра. Сумма весо-

мых множителей масок равна нулю, поэтому на участках изображения

1 постоянной яркостью эти фильтры дают нулевой отклик.

• -1.11111:1 Л» 2500. -. 9Q

Горизонтальный перепад можно также выделить путем вычисления

приращения разности яркостей пикселов вдоль строки, что равноцен

но вычислению второй производной по направлению (операторЛапла-

са):

gi,k =

fi,k/

Ax2

=[fi,k~fi,k~\\~\fi.k+)-fi,k]

Vi,k-fi.k~\~fi,k+\-

Это соответствует одномерной маске Н =

|—1

—1|,

сумма весовых

множителей равна

нулю.

Таким же образом можно искать перепады по

вертикали и

по

диагонали. Для выделения перепадов без учета их ори

ентации используются двумерные операторы Лапласа:

-1

14 =

-1 -1 -1

-1 8 -1

-1 -1 -1

. н

Здесь сумма весовых множителей также равна

нулю.

На

рис.

3.14 при-

ведены исходное изображение и результат применения оператора Ла

пласа Н|з-

Операторы Лапласа реагируют

не

только на ступенчатый

«крыше

образный» перепады яркости, но

на изолированные

точки,

тонкие

ли-

нии, их концы и острые углы объектов: на линию

—

раза ярче, чем

ступенчатый перепад, на конец линии

—

в 3 раза ярче, а на точку

—

в 4

раза. Поскольку оператор Лапласа выделяет

основном не структу

рированные элементы, он чувствителен к

шуму.

Хотя подчеркивание пе

репадов

помощью оператора Лапласа происходит

без

учета их ориен

тации, этот оператор не инвариантен к ориентации перепадов:

например, его отклик на наклонный перепад

диагональном направ

лении почти вдвое больше, чем в горизонтальном и вертикальном.

С физической точки зрения фильтры Н

—Н|

представляют собой

фильтры верхних

частот:

они выделяют высокочастотные составляющие

неискаженного изображения, ответственные за перепады яркости

и контуры, и подавляют «постоянную составляющую». Однако при их

использовании уровень шума на изображении возрастает.

Фильтры для выделения перепадов

границ, как и фильтры Н,— Н.|

для подавления шума, могут быть рекурсивными.

Изображение с подчеркнутыми границами (контурами) субъек-

тивно воспринимается

лучше,

чем оригинал. При использовании опе-

ратора Лапласа

для

этих целей применяют

три

типовых набора весовых

множителей:

130