Кашкин В.Б., Сухинин А.И. Дистанционное зондирование Земли из космоса. Цифровая обработка изображений

Подождите немного. Документ загружается.

н.

-1

, н

1 -1

1 9

н,

1 -2 1

•2 5-2

1 -2 1

тличаюшиеся от фильтров Н,

Н,, тем, что к центральному элемен-

ту матрицы прибавлена 1, т.е. при фильтрации исходное изображение

^Ийклалыпается на контур.

I Для авторегрессионной модели изображения существуют эффектив-

ные алгоритмы подчеркивания контуров и перепадов лркости.

ри трехточечной схеме авторегрессии весовые множители фильтра

КЗ имеют вид

Р|р2 -PlO

Pf) P

-р

+ Р?) 0 + P,

)(l+fc

) -P2(l+P

PlP2

-PiO + Pz)

PiP:

Й6 p|,

P2 —

по-прежнему коэффициенты корреляции между соседни-

элементами по строке/столбцу. При Pi =р

= 0 все весовые множи-

ли равны нулю, кроме центрального, который равен 1, и маска не из-

меняет исходного изображения. При р, = р

= 1 маска переходит

оператор Лапласа Н

Для повышения помехоустойчивости при выделении и наложении

оитуров, для устранения эффекта размывания контуров при подавле-

нии шума следует переходить к нелинейной обработке.

Как указывалось, если и полезный сигнал (в нашем случае это изо-

рнжение), и шум имеют нормальный закон распределения, то самый

ручший эффект фильтрации, с точки зрения получения минимума

Ррсднего квадрата ошибки, обеспечивает линейный фильтр. Реальные

Изображения по своим статистическим характеристикам часто не соот-

||тствуют нормальному закону распределения, и потому оптималь-

ный алгоритм следует, вообще говоря, искать среди нелинейных алго-

ритмов фильтрации.

3.4. НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

1,4.1.

Медианная фильтрация

Для подавления шума, построенного из эвристических соображе-

нии, применяют нелинейный медианный фильтр. Медианная фильт-

131

рации, а также алгоритмы экстремальной фильтрации, использующие

значения минимума и максимума текущей окрестности, относятся

к так называемым ранговым методам.

общем случае ранговая фильтрация описывается функцией чле-

нов вариационного ряда

К,,...,

V„

значений элементов текущей окрест-

ности. Вариационным рядом

V\,...,

V„

выборки/],...,/, называют упо-

рядоченную по неубыванию последовательность элементов выборки,

т.е.

К, =

min(/j,

...,/,),

V„ =

max(/j,

...,/,) и т.д. В нашем случае выборка

берется по (к, /)-окрестности точки с координатами (/,_/). Окрестность,

как и ранее, задается некоторой маской.

Максимальная фильтрация

g,-j

max{f

i+k

J+]

}

обладает следующим

свойствами: независимость от ориентации импульсов, сохранение рез-

кости, независимость от отрицательных выбросов, что позволяет уст-

ранять помехи изображения, обусловленные дефектными пикселами,

строками и/или столбцами. Присвоение

(/,у')-му

пикселу максималь

ного по окрестности значения

—

операция нелинейная.

Минимальная фильтрация g,j= min{

i+k

}

также не зависит от ори-

ентации импульсов и сохраняет резкость. Кроме этого, она нечувстви-

тельна к положительным выбросам, сужает размеры импульсов, дела-

ет линии более тонкими, тем самым частично исправляя искажения

типа дефокусировки. Присвоение (/',/ )-му пикселу минимального по

окрестности значения яркости

—

операция также нелинейная.

Медианная фильтрация g,j

Me{f

i+k

\}, сочетая многие полезные

свойства максимального и минимального фильтров, нечувствительна

как к отрицательным, так и к положительным выбросам. При медиан

ной фильтрации

(/,у)-му

пикселу присваивается медианное значение-

яркости, т.е. такое значение, частота которого равна 0,5. Пусть, напри-

мер,

используется маска

в пределы которой наряду

более или ме-

нее равномерным фоном попал шумовой выброс, этот выброс при-

шелся на центральный элемент маски:

68 79 74

63 212 83.

66 71 89

Вариационный ряд имеет вид

63,

66,68, 71,74,

79,83,

89, 212.

дан-

ном случае медианное значение

—

пятое по счету (подчеркнуто), так как

всего чисел в ряду 9. При этом значение 212, искаженное шумовым вы

бросом, заменяется на 74, выброс на изображении полностью подавлен

На рис. 3.15 приведены исходное изображение и результат применения

132

_Мьчолнос изображение Медианный фипыр, окно Ч> 3

^Медианного фильтра, для сравнения показано действие линейною

фильтра.

Медианный фильтр обладает некоторыми чертами линейного филь-

Tptt:

Me{afi/} =

aMe{/

Me{f

}

+ Me {/у}, где а и с

—

постоян-

ные неличины. Однако поскольку принцип суперпозиции не выполня-

ем:

Mt{fy+Sjj}

Ме{/у}

Me{s,j\,

то

это нелинейный фильтр. Функция

рвессяния точки для медианного фильтра есть нуль. При размерах ок-

Щщ (2к

+ \)(2к +

полностью подавляются помехи, состоящие не более

Ч1М из

2(к

+ к)

пикселов,

также

те,

которые пересекаются

не

более чем

{

строками или

столбцами.

При этом

в точках

фона не изменяется яр-

кость. Разумеется, при медианной фильтрации может происходить ис-

ржение объекта на изображении, но только на границе или вблизи

Иве,

если размеры объекта больше размеров маски. Фильтр обладает

|Мсокой эффективностью при подавлении импульсных помех, однако

tfo качество достигается подбором размеров маски, когда известны ми-

нимальные размеры объектов и максимальные размеры искаженных

[Помехой локальных областей. На случайный шум с нормальным зако-

[ дом

распределения такой фильтр воздействует

слабее,

чем линейный ус-

редняющий фильтр (приблизительно на

60%

менее эффективно).

133

Вариационный ряд

К,,...,

У„текущей

окрестности можно использо

вать

для синтеза так называемых L-фильтров.

общем случае /,-фильт|

•<

дает оценку

#,-,-

полезного сигнала в виде некоторой функции от членом

вариационного ряда#,-у= F(V

..., V

). Как и при линейной фильтрации

различают линейную L-фильтрацию (функция F— линейная), квадра

тичную (функция F— квадратичная) и т.д.

Задача синтеза L-фильтра решается так же, как и

случае линейной

квадратичной и т.д. фильтрации. При этом необходимо вычислять на

чальные моментные функции членов вариационного ряда на основе за

данных эталонных импульсов, которые выделяются на изображении

3.4.2. Сигма-фильтр

Помимо ранговых алгоритмов фильтрации, при нелинейной об

работке изображений применяют пороговые алгоритмы, из которых на

иболее известен о-фильтр.

Идея построения о-фильтра основана на том, что закон распредс

ления шума можно приближенно считать гауссовским. Часто шум обус

ловлен многими независимыми или слабо зависимыми факторами

Известно, например, что сумма небольшого числа (5—6) независимы\

равномерно распределенных слагаемых достаточно хорошо подчиня

ется гауссовскому закону распределения. Свойство нормализации за

кона распределения суммы независимых случайных величин (при ус

ловии равномерно малого вклада слагаемых в сумму) следует и ;

центральной предельной теоремы теории вероятностей. Предположи

ние о гауссовском характере закона распределения суммы выполняем

ся тем лучше, чем большее число факторов ее обусловливают.

95,5%

значений гауссовского распределения отклоняются от сред

него значения меньше, чем 2а.

соответствии с алгоритмом а-филы

pa оценивается среднее значение и среднеквадратическое отклонение

яркостей в пределах достаточно большой маски; пикселы, имеющие яр

кость выше этого допуска, исключаются. Вместо исключенных пиксе-

лов подставляется среднее по окрестности, возможна интерполяция

с использованием схемы авторегрессии. Выбранный допуск не на

столько велик, чтобы исказить пикселы, принадлежащие крутым кром

кам и мелким деталям, а также слабо искаженные шумом, а-фильтр на

иболее эффективен в борьбе с импульсными помехами в ви;и

небольших точек. Вероятность

того,

что такая помеха попадет на контур

обычно невелика, поскольку при использовании о-фильтра контуры

практически не искажаются. В этом состоят преимущества а-фильтр..

по сравнению с линейным, медианным, L-фильтрами. Однако таки-.

134

Преимущества заметнее всего при распределении шума на изображении,

§Ли

жом к нормальному

(см.

рис. 3.15).

а-фильтр

может

быть

реализо-

|ин также

рекурсивной форме.

|j При использовании обратноградиентного фильтра вычисляется

Йансшенное среднее с коэффициентами, обратно пропорциональными

Йодулю градиента изображения в соответствующей точке. Основное

Преимущество обратноградиентных фильтров

—

сглаживание одно-

родных областей с сохранением границ между ними.

J.4.3. Нелинейные градиентные фильтры

W- Нелинейные фильтры, как

линейные, позволяют выделять кон-

уры и перепады яркости. Отличие нелинейных алгоритмов состоит

Том,

что

они используют нелинейные операторы дискретного диффе-

ниирования.

фильтре Робертса применяется перемещающаяся по

Юбражению маска 2x2:

JiJ JiJ + l

Л'+lj //+1,7

+ 1

(ффсренцирование производится с помощью одного из выражений:

*/.;=<(Л;-/ж,л-1 )

+ (fun

-fMj)

Mi,j-\fi,j~fi+\J+\

\fi.j+l —fi+l,j\-

фильтре Собела используется окно 3x3:

Ji-l,j-l fi-l,j Ji-\J+l

Ji,j-\ JiJ JiJ+l

Ji+IJ-l Ji+lJ Ji+lJ

Центральному (i,j)-uy пикселу вместо./^присваивается значение яр-

ИИк-тиа,

= (X

)Wлибоg

\Х\

\Y\, ттХ=

(/,_,,,_,

;

_,,,-

¥f<

i.y

i)-(//+1./-I

+ 2f

i+IJ

i+IJ+]

(/,-_,,,,,

+ 2Д,_,

+//+.,;-.)

(//-1,7+1

+ 2fiJ+\

//+l,y+l)-

I На рис. 3.16 показаны результаты применения фильтров Робертса

|й Собела к изображению, показанному на рис. 3.14.

При

логарифмическом методе выделения контуров используют

опе-

ipiop Лапласа Нп, причем

вместо

яркостей подставляют

их

логарифмы.

135

У Vi*- н

111

#•

x^c

"11 V

\ » %

—л

_J—#*•

Фильтр Робертса Фильтр Собела

Рис.

3.16. Обработка изображения нелинейными градиентными фильтрами

При сравнении логарифма яркости центрального пиксела, умножение)

го согласно Н

на 4,

логарифмами яркости четырех его соседей:

L =

4\ogf,j-\ogf

]

j-\ogf

i+Uj

-\ogf

]

logf

u+u

(i,j)-i\ пиксел относят к контуру или перепаду яркости, если его лот

рифм яркости превосходит среднее значение логарифма яркости четы

рех его ближайших соседей, т.е. когда L > 0. Выражение для L можг

быть переписано в виде

\o&

Г-

Ji-\,jJi+\,jJi,j-\ Ji,jM

(З.\ч

При этом необходимо предварительно принять меры, чтобы знамена

тель был больше единицы либо, во всяком случае, больше нуля. Лога

рифмирование уменьшает диапазон возможных значений яркости, по

этому (3.19) следует применять там, где необходимо выделяв

незначительные перепады яркости («рябь» на изображении).

Пусть изображение искажено мультипликативной помехой, при во

дяшей к ослаблению (усилению) яркости в отдельных участках. При

чиной такого рода искажений при исследовании Земли из космоса мо

гут

быть неоднородные по поглощению участки атмосферы. Величин

нечувствительна к мультипликативным помехам, если

пределах ок

на яркости всех пикселов изменяются в одинаковое число раз: т •/.

т •/_!,/, т -fi+tj, m • f

-\, m •/.,+,.

136

При функциональной фильтрации происходит вычисление обоб-

ffHitoro среднего.

самом общем виде под функциональной фильтра-

ми понимаются преобразования вида

ц-

aF~

]

/nTF{f

)),

где

—

Иффициент, вводимый для сохранения средней яркости, п

—

число

Усолов текущей области D.

До настоящего времени исследованы

не

все допустимые классы

Дикими

Некоторые виды таких преобразований

(F-f

F=f

]/2

) ис-

№11*

|уются

системах технического зрения

роботов.

Достаточно общий

Широкий класс функциональных фильтров образует обобщенное ус-

ИК'иие по Колмогорову (степенное среднее),

что

соответствует

F-fP.

|ОГ»снностью функционального фильтра является то, что резкие гра-

|ИНМ

изображения приобретают форму F

(n), где

п —

нормаль к гра-

JHllf,

направленная

сторону больших значений. Например, класс

1НРЙНЫХ

преобразований переводит прямоугольный импульс втране-

1дильный. Класс обобщенно-усредняющих фильтров

качестве

iflimx случаев включает

себя экстремальные (т.е. минимальный

Миксимальный) фильтры. Минимальному фильтру соотвстству-

—»

0, максимальному

р —»

°°.

Иногда

задачах обработки изображений может оказаться полез-

применение функциональных фильтров типа степенного средне-

!•¥ мзаимно-обратными показателями:

\/р.

Эти фильтры позво-

лит целенаправленно изменять форму локальных минимумов

или

Циимумов

на

изображении. Например, среднеквадратичный

jjit.i'P

F=f

обостряет локальные максимумы и сглаживает локаль-

Iff минимумы. В свою очередь, фильтр

обратным показате-

|М

- 1/2,

наоборот, обостряет локальные минимумы и сглаживает

Щильные максимумы.

4.4.

Кепстральная обработка

Вернемся

задаче выделения изображений

на

фоне помех.

Мо-

flu

искаженного помехами изображения записывается в виде

/(.V,

у) =

т(х,

у)

•

s(x,

у)

п(х,

у),

»(v,

у)

—

неискаженное изображение,

т(х,

у)

—

мультипликативная

IMi'xa,

n(x,

у)

—

аддитивная помеха. Уже рассмотрены достаточно эф-

'Кгииные

линейные и нелинейные методы устранения аддитивных no-

на изображении. Труднее бороться с мультипликативными помеха-

ри,

которые могут быть обусловлены, например, различной

[(«мрачностью участков атмосферы. Если мультипликативная помеха

137

т(х, у) постоянна в пределах объекта на изображении, то с успехом

может быть применен логарифмический фильтр, работающий в плос-

кости координат. Пример такого фильтра, предназначенного

для

выде

ления контуров при наличии мультипликативной помехи, приведен

в выражении (3.19).

Сложнее, когда помеха образует свертку с сигналом:

f(x,y)

jjs(x\y')m(x,y,x',y')dx

dy', (3.201

изображение имеет конечные размеры: А<х<

В;

С<у<

Если

перейти в плоскость пространственных частот, то вместо (3.20) имеем

F(u,

v) =

S(u, v)- M(u, v), (3.21)

где

/*"(«,

v), S(u, v), M(u, v)

—

преобразования Фурье от/(х, у), s

(x,

у)

(х,

у) соответственно, причем F(u,

и S(u, v)

—

пространственны!

спектры искаженного

истинного изображения. Прологарифмировав

(3.21),

получим

lnf(«,

= \nS(u, v) +

\nM(u,

v).

Для вещественных функций/(х,

у) и

s(x,

у)

спектры, вообще говоря

являются комплексными:

F(u,

(u,

v) +

(u,

\F(u,

v)|exp«p(«, v),

где F,(w, v) и

(u,

—

действительная и мнимая части,

\F(u,

V)\

^F^(U,

(U,

V) —модуль;

ф(м,

= arcsin/*^ v)/F\(u,

v) —

фазовый спектр. (3.2?

Для изображения

s(x,

у)

5(м,

v) =

\S(u,

v)|

exp/(i(«, v);

если

(x,y) описывает пространственно-инвариантное преобразование

то

М(и,

\М(и,

v)|,

138

ИЛИ

пространственно-неинвариантных преобразований

| М(и, v)-\M(u, v)|expn|)(u, v).

|%К1Ш образом, для пространственно-инвариантного случая

^ \\\Г\и, v)

ln\S(u, v)| + \п\М(и, v)| + /ф(м, v),

вЛН

нространственно-неинвариантного

Ёг

I' \r\F(u, v) = \n\S(u, v)| + ln|A/(w, v)| + /ф(и, v) + /u(w, v).

= Кспстр, определяемый соотношением

K(x, у) = F~' [In \F(u,

v)|

ехр/ц(«, v)],

обозначает обратное преобразование Фурье, является вещест-

нной четной функцией (слово «кепстр» получено путем перестановки

Кв в слове «спектр»).

Используя кепстр и оценив фазовый спектр согласно (3.22), вместо

скидного изображенияДх, у) получаем преобразованное:

|*,.v) = /

-'|ln|5(w, v)|exp/u(w, v)| +

р-

[

\\ъ\М(и,

v)|exp/u(w, v)]. (3.23)

Важной проблемой при кепстральном анализе является

установление фазового спектра. Теоретически при пространственно-

Ниприантном преобразовании (3.20) должно быть ц(м, v) = ср(м, v).

1днако реально существует проблема восстановления фазы. Дело

том,

Jo (3.22) позволяет определить фазовый спектр ср(м, v) только

интервале [-тс, тс]. Если функция

ц>(и,

v) достигнет

тс,

то произойдет

ipecKOK фазы на -тс вместо монотонного изменения. Разработаны

эличные методы восстановления фазы, которые используются

(случае пространственно-неинвариантного преобразования.

Замечательной особенностью кепстра является то, что он согласно

1.23) переводит мультипликативную помеху, «запрятанную» в свертку,

аддитивную, методы борьбы с которой хорошо разработаны.

,4.5.

Ряд Вольтерра в нелинейной обработке изображений

| К числу перспективных фильтров относятся фильтры, использую-

рйне ряд Вольтерра (3.6). При цифровой обработке вместо интегриро-

вания используется суммирование

139

I к I p q

в некоторой окрестности точек i,j

т, п, задаваемой в виде квадратно!

маски с нечетным числом строк и столбцов N. Ядро первого порядка за

дается в виде матрицы Н, похожей на матрицы Н|-Н

. Ядро второго по

рядка h

—

это блочная матрица Nx N, составленная из простых матрт

такой же размерности. Если окрестность задана маской 3x3, то при вы

числении второго члена ряда Вольтерра необходимо перемножип

9x9 =

значение яркости, каждое из таких произведений умножает

ся на весовой коэффициент h

{i,j, m, и), число которых в принципе так

же равно 81. Результат суммирования упомянутых двух членов ряд.

Вольтерра присваивается (/, у)-му пикселу обработанного изображе

ния. При выборе h\(i,j) и

(i,j,

m, п) учитываются условия симметрии

этот набор коэффициентов должен удовлетворять условию прострап

ственной инвариантности, в частности быть инвариантным к прои

вольным поворотам вокруг точки

(i,j).

Как и в случае линейных фильтров Н

(

—

Н]

в составе Н есть толь

ко три независимых коэффициента. Часть членов матрицы коэффицп

ентов

(i,j,

m, п) также совпадает, например коэффиценты при /у

•/„,.

и/„„-/у должны быть одинаковыми. Кроме того, из условия изотроп

ности оператора Вольтерра следует, что матрица коэффициенте)!

{i,j, m, п) не должна измениться, если исходное изображение повер

нуть на произвольный угол. На практике при прямоугольных окнах уди

ется добиться инвариантности только при поворотах, кратных 90° (до

статочно рассмотреть три последовательных поворота на 90°). Поэтом

матрица содержит лишь 11 независимых коэффициентов.

Основная проблема синтеза фильтров Вольтерра — выбор ядер

частности, их можно найти из условия минимума среднего квадрат

ошибки фильтрации: mm<[g(x, у)

—

s(x,

у)]

однако, как и прилинеп

ной фильтрации, ядра чаще подбирают эвристически.

Фильтры, использующие ряд Вольтерра, позволяют эффективно

подавлять помехи на изображении и одновременно контрастировать

выделять контуры.

В качестве примера рассмотрим фильтр для подавления шума n.i

изображении при сохранении резкости (благодаря наложению конт\

ров на отфильтрованное изображение) используются операторы перв<>

го и второго порядков, маска h\{i,j) представлена в виде таблицы

х :

маска

V,j,

m, п)

—

в виде таблицы 9x9. При обработке по изображ-.

140