Кармелюк Г.І. Теорія ймовірностей та математична статистика
Подождите немного. Документ загружается.
321
.
4
3
4
9
30
4
93
2
0
2
0
2
0
2
0
0
3
0
xxxx
x
x
=−+=−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
Середнє квадратичне відхилення
== )()( XDX
σ
.
2
3
4
3
0
2
0
xx ==
4.4.9. Густина ймовірності випадкової величини Х рівна:
mx
eAxxf
−
=
2
)( (m > 0, x ≥ 0).
а) знайти коефіцієнт А;
б) побудувати функцію розподілу F(x);
в) обчислити ймовірність попадання випадкової величини
Х в інтервал
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
m
1
;0
.
Розв’язок.
а) Коефіцієнт А знайдемо з рівності:
,1)(
0
=
∫
∞
dxxf
яка для
заданої функції f(х) з розбиванням невласного інтегралу на
два інтеграли у відповідності з заданими інтервалами густини
набере вигляду:
==+=
−
∞
−
∞
∞−
−
∞
∞−
∫∫∫∫
dxeAxdxeAxdxdxeAx
mxmxmx 2
0
2
0
0
2
0
=
−=
−==
===
=
∫∫
∫
−−
−
.
;
1
;2;;
2
vduuvudv
e
m
dxev
xdxdudvdxeux
mxmx
mx
*
2
0
0
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅+−=
−
∞
∞
−
∫
dxex
m
e
m
x
A
mxmx
322
Обчислимо перший доданок, використавши правило Ло-
піталя:
=−
⋅⋅
−=−−=−
∞→
⋅−
∞→
∞
−
0
2
lim
0
lim
0
2
0
2
mx
x
m
mx
x
mx
emm
x
e
mme
x
e
m
x
.0
2
lim
3
=
⋅
−=
∞→
mx
x
em
=
−==
==
==
−−
−
∞
∫
mxmx
mx
e
m
vdvdxe
dxduux
dxxe
m
A
1
;
;;
2
*
0
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=
−
∞
∞
−
∫
dxe
m
e
m
x
m
mxmx
0
0
12
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+−=
∞
−⋅−
∞→
0
2
0
10
lim
12
mxm
mx
x
e
m
e
me
x
mm
A
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−+−=
⋅−
∞→∞→
0
22
11
lim
1
0
1
lim
12
m
mx
x
mx
x
e
memmemm
A
.1
21
00
2
32
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−=
m
A
mm
A
Звідси,
2
3
m
A =
. Отже, функція щільності має вигляд:
mx
ex
m
xf
−
=
2
3
2
)(
.
б) Для обчислення інтегральної функції F(x) скорис-
туємось формулою:
dxxfxF
x
∫
∞−
= )()( . Якщо х < 0, то ;00)( ==
∫
∞−
dxxF
x
для
0≥x :
⎢
⎣
⎡
⎜
⎝
⎛
++−==
−−−
∫
0
0
23
2
0
3
2
22
)(
x
mx
x
mxmx
x
e
m
x
m
e
m
xm
dxex
m
xF
323
⎢
⎣
⎡
⎜
⎝
⎛
−+−+−=
⎥
⎦
⎤
⎟
⎠
⎞
+
⋅−−−− 0
2
23
0
2
12
2
1
mmxmx
x
mx
e
m
e
m
x
m
e
m
xm
e
m
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+
⋅
−−==
⎥
⎦
⎤
⎟
⎠
⎞
−
−−−− mxmxmxmx
e
mm
e
m
x
e
m
xm
e
m
332
23
2
222
2
1
.
2
22
11
2
2222
mxmxmxmx
e
mxxm
emxee
xm
−−−−
++
−=−+−−=
в) Імовірність знаходження випадкової величини в зада-
ному інтервалі
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
m
1
;0
рівна різниці інтегральних функцій на
кінцях інтервалів:
−=−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤≤ 1)0(
11
0 F
m
F
m
xP
.0803.0
2
5
1
2
5
1
2
2
1
2
1
1
1
2
2
≈−=−=
+⋅+⋅
−
−
⋅−
e
ee
m
m
m
m
m
m
4.4.10. Випадкова величина ексцентриситету деталі має
розподіл Релея:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<
≥−
=
−
.0,0
;0,1
)(
2
2
2
x
xe
xF
x
σ
Знайти:
а) густину ймовірності випадкової величини;
б) її моду і медіану.
Розв’язок.
а) Густина ймовірності випадкової величини:
.)1()()(
2
2
2
2
2
2
/
2
/
σσ
σ
xx
e
x
exFxf
−
−
=−==
б) Для знаходження моди Мо знайдемо максимальне зна-
чення функції щільності f(х) прирівнявши її похідну до 0.
324
.0)(,0
2
21
)(
//
2
22
2
/
2
2
2
2
<=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅−=
−−
xf
x
xeexf
xx
σσ
σσ
Звідси
22
σ
=x , або
σ
=
x
, отже
σ
=
Mo
.
Значення медіани Ме обчислимо виходячи з рівності:
.
2
1
)()()( =≥==< MexPMeFMexP
Підставимо Х = Ме у вираз інтегральної функції:
2
1
1
22
2/
=−
−
σ
Me
e , або
2
1
22
2/
=
−
σ
Me
e . Прологарифмувавши
вираз за основою е, отримуємо після спрощення:
=
2
Me
.2ln2
2
σ
= Таким чином,
σσ
1774.12ln2 ≈=Me .
4.4.11. Які з поданих нижче функцій є функціями розпо-
ділу:
a)
xxF arctg
2
1
4
3
)(
π
+= ;
б)
[]
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤<
≤
=
2 ,1
20 ,
2
0 ,0
)(
x
x
x
x
xF
;
в)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
+
≤
=
0 ,
1
0 ,0
)(
x
x
x
x
xF
;
г)
x
e
exF
−
−
=)(
, );(
+
∞
−
∞
∈
x ;
д)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
−
−
≤
=
−
0 ,
1
1
0 ,0
)(
x
x
e
x
xF
x
?
325
Розв’язок.
а) Множина можливих значень випадкової величини Х є
вся числова вісь. Отже, щоб дана функція була інтегральною
функцією розподілу необхідно, щоб виконувалась така її
властивість щодо границь:
1)(lim)(;0)(lim)(
=
=
+
∞
=
=−∞
+∞→−∞→
xFFxFF
xx
.
Перевіримо її:
=+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
−∞→−∞→−∞→
arctgxarctgxxF
xxx
lim
24
1
4
3
2
1
4
3
lim)(lim
π
;0
2
1
22
1
4
3
≠=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅+=
π
π
.1
22
1
4
3
lim
2
1
4
3
)(lim =⋅+=+=
−∞→∞→
π
π
π
arctgxxF
xx
Отже, дана функція не є інтегральною функцією розпо-
ділу.
б) Випадкова величина Х в інтервалі (0, 2) є неперервною,
отже, згідно означення інтегральної функції, яку можна зада-
ти формулою
dxxfxF
x
)()(
0
∫
=
, F(х) є теж неперервною. По-
дана ж функція
2
][x
, де [x] – ціла частина числа х непе-
рервною не є, оскільки в точках х = 1, х = 2 вона має розриви
першого роду (див. рис. 4.4.2).
Отже, дана функція інтегральною не є.
в) Дана функція
1+x
x
є неперервною, невід’ємною для
всіх х ≥ 0, і неспадною, оскільки для
21
xx
≤
різниця
0
)1)(1(11
)()(
21
12
1
1
2
2
12
≥
++
−
=
+
−
+
=−
xx
xx
x
x
x
x
xFxF , звідки
)()(
12
xFxF ≥ .
326
Рис. 4.4.2.
Перевіримо тепер дану функцію на існування границь на
кінцях інтервалу:
;0
1
lim
0
=
+
→
x
x
x
.1
1
1
1
lim
1
lim =
+
=
+
∞→∞→
x
x
x
xx
Таким чином,
дана функція є інтегральною.
г) Множиною можливих значень випадкової величини Х є
вся числова вісь, на якій дана функція є неперервною і не-
від’ємною. Перевіримо дану функцію на існування границь:
==
∞
===
∞→
−
−∞→−∞→
−
−∞→
−
)(lim;0
11
lim)(lim
lim
xF
e
exF
x
e
e
xx
x
x
x
.1
111
0
1
lim
1
====
∞
−
∞→
e
e
e
x
x
e
Якщо
21
xx ≤ , то
21
1
2
)(
)(
1
2
xx
x
x
ee
e
e
e
e
e
xF
xF
−−
−
−
−
−
−
==
.
Про логарифмуємо ліву і праву частину рівності:
х
2 1
0,5
1,0
2
][x
327
0
11
)(
)(
ln
21
12
21
21
1
2
≥
⋅
−
=−=−=
−−
xx
xx
xx
xx
ee
ee
ee
ee
xF
xF
, звідки
,1
)(
)(
0
1
2
=≥ e
xF
xF
тому )()(
12
xFxF ≥ , тобто дана функція є
неспадною. Отже, дана функція задовільняє всім власти-
востям інтегральної функції.
д) На множині додатніх чисел, де визначена функція, вона
є неперервною і неспадною. Оскільки для
21
xx
≤
різниця
=
−
−
−
=
−
+−
−
−=−
−−−−
2112
12
2112
111
1
1
1)()(
x
e
x
e
x
e
x
e
xFxF
xxxx
*
Запишемо
1
x
e
−
і
2
x
e
−
як розклади в ряд за формулою
Тейлора:
...
!4!3!2!1
1
4
1
3
1
2
11
1
−+−+−=
−
xxxx
e
x
...
!4!3!2!1
1
4
2
3
2
2
22
2
−+−+−=
−
xxxx
e
x
=+−+−−+−=
2462
1
2462
1*
3
2
2
22
3
1
2
11
xxxxxx
=
−+−−−
=
24
)()(4)(12
3
1
3
2
2
1
2
212
xxxxxx
=
++−++−−−
=
24
))(())((4)(12
2
221
2
112211212
xxxxxxxxxxxx
=
+++−−−
=
24
]4412)[(
21
2
2
2
11212
xxxxxxxx
0
24
]4)2()2)[((
21
2
2
2
112
≥
++−+−−
=
xxxxxx
.
Отже,
)()(
12
xFxF ≥ , що й потрібно було довести.
Обчислимо границі функції:
328
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
−
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
→
−
→
0
0
1
1
lim1
1
1lim
00
x
e
x
e
x
x
x
x
*
Використаємо правило Лопіталя.
;0111
1
lim1*
0
0
=−=−=−=
−
→
e
e
x
x
101
1
1
lim1
1
lim1
1
1lim =−=
−
−=
−
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
∞→
−
∞→
−
∞→
x
e
x
e
x
e
x
x
x
x
x
x
.
Таким чином, дана функція задовольняє всі властивості
інтегральної функції.
4.5. Асиметрія і ексцес розподілу
Початковий момент k-го порядку випадкової величини
Х визначається інтегралом:
dxxfx
k
k
)(
∫
∞
∞−
=
ν
, отже )(
1
ХM
=
ν
(4.5.1).
Центральний момент k-го порядку випадкової величи-
ни Х визначається інтегралом:
[]
dxxfxMx
k
k
)()(
∫
∞
∞−
−=
μ
(4.5.2).
Звідси,
0
1
=
μ
, )(
2
xD
=
μ
. Третій центральний момент
3
μ
служить характеристикою асиметрії (“скошеності”) розпо-
ділу, оскільки для симетричного розподілу відносно прямої
х = М(Х) кожний центральний момент непарного порядку
рівний нулю і
0
3
=
μ
. Для несиметричних розподілів цент-
ральні моменти непарного порядку відмінні від нуля.
Оскільки
3
μ
вимірюється в кубічних одиницях, то для
отримання безрозмірної характеристики вводять відношення
329
3
μ
до кубу середнього квадратичного відхилення:
3
3
σ
μ
=
s
A
(4.5.3) і називають
коефіцієнтом асиметрії.
Якщо “полога” частина кривої розташована правіше
моди, то асиметрія додатня (A
s
> 0), якщо зліва – від’ємна
(A
s
< 0).
Ексцесом теоретичного розподілу називають величину,
яка визначається так:
3
4
4
−=
σ
μ
k
E (4.5.4) і служить мірою
гостровершинності чи плосковершинності кривої розподілу.
Для найбільш поширеного нормального закону розподілу
3
4
4
=
σ
μ
, отже 0
=
k
E . Якщо 0>
k
E , то крива має більш
високу і “гостру” вершину, ніж нормальна крива, якщо
0<
k
E , то крива має більш низьку і “плоску” вершину, ніж
нормальна крива (див. рис. 4.5.1, 4.5.2).
Рис. 4.5.1.
Рис. 4.5.2.
330
Задачі
4.5.1. Задана щільність pозподілу випадкової величини X:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−×
=
0
)2(
2
3
2
3
0
)(
2
2
x
x
xf
Знайти:
а) початкові і центpальні моменти пеpших чотиpьох
поpядків;
б) асиметpію і ексцес цієї випадкової величини.
Розв’язок.
Графік даної функції подано на рис. 4.5.3.
Рис. 4.5.3.
а) Початкові моменти k-ого порядку неперервної випад-
кової величини, що задана щільністю розподілу f(x) будемо
обчислювати згідно формули:
х
2,0 1,0
0
1,0
1,5
f(x)
при 0
<
x ,
при
10
<
≤
x ,
при
21
≤
<
x ,
при
2>x .