Калин Б.А. Физическое материаловедение. Том 1. Физика твердого тела

представления периодичности повторения в пространстве гомоло-

гических точек состоит из узлов.

1.2. Основы кристаллографии

1.2.1. Кристаллографические проекции

Внешняя огранка кристалла является характерным признаком

данного вещества. На основании анализа углов между гранями

можно определить принадлежность кристалла к тому или иному

веществу. Для измерения углов между гранями применяют специ-

альные оптические устройства, называемые

гониометрами.

Для изображения расположения плоскостей (и ребер) кристалла

целесообразно использовать графические методы проектирования

на плоскость или сферу.

Часто достаточно знать лишь взаимную ориентацию граней и

ребер кристалла. Для этой цели вместо кристалла рассматривают

прямой кристаллографический комплекс. При переходе от кристал-

ла к кристаллографическому комплексу все параллельные грани

кристалла заменяются одной плоскостью комплекса, а все парал-

лельные ребра – одной прямой. Точка пересечения указанных гео-

метрических элементов носит название

центра комплекса.

На рис. 1.3 приведен пример

перехода от реального кубическо-

го кристалла с усеченными вер-

шинами (так называемый кубоок-

таэдр) к соответствующему кри-

сталлографическому комплексу,

состоящему из трех взаимно пер-

пендикулярных плоскостей и че-

тырех наклонных плоскостей (на

рисунке заштрихованы). Ребрам

кристалла отвечают три взаимно перпендикулярные прямые.

Рис. 1.3. Кристалл (а) и его

кристаллографический

комплекс (б)

В любом кристаллографическом комплексе имеются плоскости,

пересекающиеся по общей прямой. Совокупность таких плоскостей

называется кристаллографической зоной, а общее направление –

осью зоны. Таким образом, кристаллографический комплекс состо-

ит из ряда кристаллографических зон.

Во многих случаях используют

обратный (полярный) комплекс,

в котором плоскости прямого (кристаллографического) комплекса

заменены нормалями к ним, а прямые – перпендикулярными к ним

плоскостями. Для кубического кристалла изображения прямого и

обратного комплексов совпадают. Кристаллографическая зона в

обратном комплексе изображается плоскостью, отвечающей оси

зоны прямого комплекса, и совокупностью пересекающихся в об-

щей точке прямых, являющихся нормалями к плоскостям прямого

комплекса.

Для изображения кристаллов применяются следующие виды

проекций: линейная, гномоническая, сферическая, гномосфериче-

ская, стереографическая и гномостереографическая.

Линейная проекция. Для построения линейной проекции ис-

пользуют прямой кристаллографический комплекс, центр которого

C располагают на определенном расстоянии D от плоскости проек-

ции

P (рис. 1.4).

Линии и точки пересечения

плоскостей и прямых комплек-

са являются его линейной про-

екцией. Таким образом, кри-

сталлографическая зона проек-

тируется совокупностью пря-

мых, пересекающихся в общей

точке

M, являющейся проекци-

ей оси зоны.

Неудобство линейной про-

екции состоит в том, что для

изображения всех прямых и плоскостей кристаллографического

комплекса необходима бесконечная плоскость проекции. Кроме

того, измерение углов между плоскостями на линейной проекции

проводить трудно. Из-за отмеченных недостатков линейная проек-

ция применяется редко.

Рис. 1.4. Линейная проекция

кристаллографической зоны

Гномоническая проекция отличается от линейной тем, что

вместо прямого комплекса используется обратный. В этом случае

плоскости прямого комплекса изображаются на проекции точками,

а прямые – линиями. Зона плоскостей проектируется рядом точек,

расположенных на прямой, являющейся проекцией оси зоны

(рис. 1.5).

Рис. 1.5. Гномоническая проекция

кристаллографической зоны:

1 – кристаллографическая зона

в обратном комплексе;

2 – гномоническая проекция плоскости;

3 – гномоническая проекция оси зоны;

С – центр комплекса;

Р – плоскость проекций

Преимуществом гномонической проекции является возмож-

ность определения углов между плоскостями кристаллографиче-

ского комплекса, поэтому она иногда применяется для построения

проекций по лауэграммам ориентированных монокристаллов.

Недостаток гномонической проекции тот же, что и линейной –

для полного изображений всех плоскостей и прямых обратного

комплекса нужна бесконечная плоскость проекции.

Сферическая проекция получается при проектировании ком-

понентов прямого кристаллографического комплекса, помещенно-

го в центр сферы произвольного радиуса, на сферическую поверх-

ность. Плоскости комплекса изображаются большими кругами, а

прямые – точками. Кристаллографическая зона проектируется

большими кругами, пересекающимися в двух общих точках (лежа-

щих на одном диаметре) и являющимися проекциями оси зоны.

Гномосферическая проекция получается при проектировании

на сферу компонентов обратного комплекса. В этом случае кри-

сталлографическая зона проектируется рядом точек, расположен-

ных на большом круге, являющемся проекцией оси зоны.

Для построения сферических и гномосферических проекций

пользуются сферами с градусным делением. Недостаток этих двух

типов проекций очевиден – они не являются плоскими.

Стереографическая проекция. При построении стереографи-

ческой проекции центр кристаллографического комплекса

C со-

вмещается с центром сферы

О (рис. 1.6).

В качестве плоскости проекции используют плоскость, прохо-

дящую через центр сферы. Сечение сферы плоскостью проекции

называют

основным кругом проекции, а точки пересечения диамет-

ра сферы, перпендикулярного к плоскости проекции, –

полюсами

проекции.

Северный полюс (точка N) лежит над плоскостью проек-

ции, а южный полюс (точка

S) – под ней. Для получения стерео-

графической проекции прямой соответствующую линию

L прово-

дят до пересечения со сферой в точке

и соединяют эту точку

проектирующим лучом

, исходящим из южного полюса S. Пе-

ресечение проектирующего луча с плоскостью проекции дает сте-

реографическую проекцию данной прямой в виде точки

'. Соот-

ветственно проектирование точки пересечения той же прямой

L в

южном полушарии

проводят проектирующим лучом из полюса

N, что дает стереографическую проекцию в виде крестика M

Рис. 1.6. Стереографическая

проекция прямой

Рис. 1.7. Стереографическая

проекция плоскости

Для различения проекций точек северного и южного полушарий

первые обозначают точками, а вторые – крестиками.

Таким образом, стереографическая проекция прямой кристалло-

графического комплекса представляет собой две точки (точку и

крестик), расположенные на равных расстояниях от центра проек-

ции. Прямая, лежащая в плоскости проекции, изображается двумя

точками, находящимися на основном круге проекции. Прямая, пер-

пендикулярная к плоскости проекции, проектируется в ее центр.

Плоскость кристаллографического комплекса

P проектируется

как дуга большого круга (рис. 1.7), опирающаяся на диаметр ос-

новного круга проекции, (сплошная при проектировании из север-

ного полушария, пунктирная – из южного полушария).

Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекции, имеет вид

прямой, проходящей через центр основного круга.

Зона плоскостей проектируется как серия дуг больших кругов,

пересекающихся в двух диаметрально противоположных точках,

являющихся проекциями оси зоны.

Стереографическая проекция обладает следующими особенно-

стями: 1) большие и малые круги на сфере изображаются на сте-

реографической проекции кругами или дугами этих кругов; 2) углы

между дугами на сфере равны углам между стереографическими

проекциями этих дуг.

С точки зрения теории аналитических функций или теории

функций комплексного переменного, стереографическое проекти-

рование с использованием южного полюса устанавливает взаимно

однозначное соответствие между всеми точками сферы и точками

плоскости проекции (исключая точку

S). При этом отображение

точек сферы в точки на плоскости является

конформным, то есть

углы между кривыми не изменяются (сохраняются). Таким обра-

зом,

стереографическое проектирование есть конформное ото-

бражение

, при котором происходит локальное сохранение метрики

пространства

Гномостереографическая проекция (стереографическая про-

екция обратного комплекса) является более удобной для решения

практических задач. На этой проекции плоскости изображаются

точками, а прямые – большими кругами. Зона плоскостей проекти-

руется в виде точек, расположенных на большом круге.

Принцип построения гномостереографической проекции плос-

кости показан на рис. 1.8.

Плоскость P кристаллографиче-

ского комплекса (центр комплекса

совпадает с центром сферы) заме-

няется нормалью n, проходящей

через центр сферы и пересекающей

сферу в точке

1. Соединив точку 1

проектирующим лучом с точкой

получаем на плоскости проекции

точку

2, являющуюся гномостерео-

графической проекцией плоскости.

Координатные сетки Вульфа и

Болдырева. Принцип построения

сетки Вульфа показан на рис. 1.9 из

подрисуночной подписи. Любой

меридиан является стереографиче-

ской проекцией плоскости, а меридианы сетки Вульфа можно рас-

сматривать как стереографическую проекцию кристаллографиче-

ской зоны, плоскости которой повернуты через каждые 2

вокруг оси

x, лежащей в плоскости проекции. Любая параллель является проек-

цией конуса с осью

x, а параллели сетки Вульфа соответствуют сте-

реографической проекции семейства соосных конусов, угол полу-

раствора которых вокруг оси

x отличается на 2

Рис. 1.8. Гномостереографическая

проекция плоскости

Рис. 1.9. Построение сетки Вульфа:

плоскость 1 проектируется меридианом

1'; конус 2 проектируется параллелью 2'

Рис. 1.10. Сетка Вульфа

Особенностями сетки Вульфа (рис. 1.10) является равномерная

угловая шкала основного круга проекции и неравномерные, но

одинаковые шкалы нулевого меридиана и нулевой параллели (эк-

ватора). Меридианы и параллели сетки Вульфа в соответствии со

свойствами стереографической проекции изображаются дугами

окружностей (рис. 1.11). Радиус окружности для меридиана α вы-

числяют как

= (OA

+OB

)/2 = (1/2)r[ctg(α/2)+tg(α/2)] = r/sinα, (1.4)

а для параллели β

= (OA

−OB

)/2 = (1/2)r[ctg(β/2)+tg(β/2)] = r/sinβ. (1.5)

Рис. 1.11. Построение меридианов

и параллелей: R

, R

– радиусы

окружностей для построения

меридиана α и параллели β;

, O

– центры соответствующих

окружностей; r – радиус сетки

Вульфа

Положение центра окружности для меридиана α дается отрез-

ком

= (OA

−OB

)/2 = rctgα, (1.6)

а для параллели β

= (OA

+OB

)/2 = rsinβ (1.7)

(здесь

r – радиус основного круга проекции).

Сетка Болдырева состоит из концентрических окружностей и ра-

диальных прямых (рис. 1.12): первые являются стереографической

проекцией множества соосных конусов с осью

z, а вторые – про-

екцией зоны плоскостей с той же осью

z. С помощью указанных се-

ток легко определяются углы между плоскостями и прямыми в

кристалле, изображенном в стереографической и гномостереогра-

фической проекциях.

Рис. 1.12. Сетка Болдырева

При практических расчетах на

кальке чертят круг того же диамет-

ра, что и у используемой сетки

Вульфа или Болдырева. На этот

круг наносят проекции плоскостей

и направлений, совмещают центр

круга с центром выбранной сетки

и, вращая кальку вокруг этого цен-

тра (следя за тем, чтобы центр кру-

га не смещался), добиваются опре-

деленных положений, позволяю-

щих вести численные измерения.

Рассмотрим основные задачи, решаемые с помощью координат-

ных сеток.

Определение угла между двумя направлениями

. Поскольку

все направления и плоскости кристаллографического комплекса

проходят через общую точку – центр комплекса, то любые два на-

правления комплекса всегда лежат в одной плоскости. Угол между

двумя рассматриваемыми направлениями находится в этой же

плоскости, которая на стереографической проекции изображается

меридианом. Поэтому кальку с нанесенными на ней точками, яв-

ляющимися проекциями рассматриваемых направлений, повора-

чивают вокруг центра сетки Вульфа до тех пор, пока эти точки

(

1–2) не окажутся на одном меридиане сетки (рис. 1.13). Искомый

угол α определяют по разности широт, определяемым параллеля-

ми точек

1, 2.

Если проекции двух направлений получены проектированием из

разных полусфер (на кальке отмечены соответственно точка

3' и

крестик

4), то кальку поворачивают таким образом, чтобы оба вы-

хода направлений попали на симметричные меридианы относи-

тельно нулевого меридиана. Искомый угол α определяется суммой

углов α

и α

, отсчитываемых по соответствующим меридианам до

полюса сетки.

Возможен и другой вариант нахождения угла α. Для этого сле-

дует перевести проекцию направления

4 (крестик) в точку 4', что

будет отвечать случаю проектирования обоих рассматриваемых

направлений из одной (северной) полусферы. Перевод крестика

4 в

точку

4' осуществляется просто: крестик 4 соединяют прямой с

центром проекции, на продолжении этой прямой откладывают рас-

стояние, равное расстоянию от крестика до центра. Полученную

точку

4' располагаем на одном меридиане с точкой 3'. Искомый

угол α' = 180° – α отсчитывают вдоль этого меридиана.

Рис. 1.13. Определение угла

между прямыми с помощью

сетки Вульфа

Определение направляющих углов для направления. Направ-

ляющие углы α, β, γ для произвольного направления можно опреде-

лить после последовательного измерения углов между стереографи-

ческой проекцией этого направления R и стереографическими про-

екциями осей системы координат

x, y, z (рис. 1.14).

Если известны направляющие углы α, β, γ для направления, то

координаты

и R

стереографической проекции этого направле-

ния вычисляют как

= r tg(γ/2) cosα / (sinγ), R

= r tg(γ/2) cosβ / (sinγ), (1.8)

где

r – радиус основного круга проекции.

Процедура определения сферических углов φ и θ для произ-

вольной прямой показана на рис. 1.15, а координаты

и R

стерео-

графической проекции этой прямой вычисляют как

= r tg(θ/2) cosφ, R

= r tg(θ/2) sinφ. (1.9)

Рис. 1.14. Направляющие углы

в пространстве (а) и на

стереографической проекции (б)

Рис. 1.15. Сферические углы

в пространстве (а) и на

стереографической проекции (б)

Построение гномостереографической проекции плоскости.

Плоскость кристаллографического комплекса изображается на сте-

реографической проекции меридианом

P. Для построения нормали

к плоскости кальку с нанесенной проекцией плоскости

P поворачи-

вают вокруг центра сетки Вульфа до совпадения с одним из мери-

дианов сетки (рис. 1.16).

Калин Б.А. Физическое материаловедение. Том 1. Физика твердого тела

Подождите немного. Документ загружается.