Ивантер Э.В., Коросов А.В. Введение в количественную биологию

Подождите немного. Документ загружается.

Задача «Доказать отличие нескольких выборок»

140

χ² ≈

∑

Стабилизировать поведение данной случайной величины позволяют

поправки, применение которых дает критерий Бартлетта:

~ χ²

(

,k–1)

∑

⋅−−⋅−=

ln)1(ln)]1([

jjj

SnSnB ,













−

⋅

−⋅

∑

)1(

)1(3

nnk

C ,

)(

−

∑

S ,

−

⋅−

−

∑

)1(

)(

где k – число градаций (сравниваемых выборок),

– объем j-й градации (j = 1, 2,…, k),

S² – дисперсия для всей совокупности данных (общая средняя

сумма квадратов),

² – дисперсии для каждой j-й градации (средняя сумма

квадратов по каждой градации),

∑∑

j 1

– операция суммирования по всем k градациям.

Рассмотрим пример использования критерия Бартлетта для

изучения изменчивости длины тела дафний (данные Н. М. Калин-

киной). Животных в течение месяца содержали в пяти разных кон-

центрациях лигнина, основного компонента сточных вод предпри-

ятий целлюлозно-бумажной промышленности. К концу опыта раз-

меры рачков (M, мм) в высоких концентрациях стали выше, чем в

контроле. Возникает вопрос, не сказалась ли жизнь в загрязненной

Задача «Доказать отличие нескольких выборок»

141

среде на изменчивости (S, мм) размеров тела дафний? Предвари-

тельные расчеты приведены в табл.7.5.

Таблица 7.5

Концентрация

лигнина, мг/л

M n 1/(n–1)

–1)·S

–1)·lnS

0 4.05 8 0.143

0.057

0.0227 –40.106

1 4.08 10 0.111

0.158

0.2247 –33.213

50 4.45 10 0.111

0.126

0.1429 –37.286

100 4.36 10 0.111

0.190

0.3249 –29.893

150 4.40 10 0.111

0.158

0.2247 –33.213

Всего 48 0.587

0.689

0.93988 –173.711

Искомые величины составят:

02185.0

93988.0

)1(

−

⋅−

∑

⋅−−⋅−=

ln)1(ln)]1([

jjj

SnSnB =

= )711.173(02185.0ln43

−

⋅

= –164.416 + 173.711 = 9.29816,













−

⋅

−⋅

∑

)1(

)1(3

nnk

C =













−⋅

587.0

)15(3

1 = 1.04698,

04698.1

29816.9

= 8.88.

Полученная величина (8.88) не превышает табличное значе-

ние критерия χ²

(0.05,4)

= 9.49 (табл. 9П), следовательно, отличия дис-

персий друг от друга недостоверны. Пока не удалось доказать влия-

ние токсиканта на изменчивость длины тела дафний.

Задача «Доказать отличие нескольких выборок»

142

Сравнение нескольких выборок по величине двух признаков

(двухфакторный дисперсионный анализ)

Двухфакторный дисперсионный анализ исследует влияние на

результативный признак двух факторов как порознь, так и совмест-

но. Учет эффекта влияния каждого фактора по отдельности теоре-

тически ничем не отличается от описанных выше схем. И там и тут

оценивается изменчивость средних по градациям на фоне случайной

изменчивости вариант внутри градаций, с помощью критерия Фи-

шера устанавливается достоверность отличий межгрупповых дис-

персий от внутригрупповых.

Важным преимуществом двухфакторного дисперсионного

анализа перед однофакторным служит то, что с его помощью в рам-

ках факториальной изменчивости удается определить варьирование

по сочетанию градаций С

сочет.

, позволяющее получить новый и

весьма ценный в биологическом отношении показатель – оценку

влияния сочетанного действия (взаимодействия) факторов.

Логико-теоретические основы

Модель двухфакторного дисперсионного анализа становится

сложнее и выражает отклонение варианты (x

) от общей средней (M)

за счет действия двух контролируемых факторов порознь (x

факт

) и совместно (x

сочет

AB.

), а также за счет действия случайных

причин (x

случ.

= M ± x

факт

± x

факт

± x

сочет

AB.

± x

случ.

Правило разложения вариаций предстает как:

общ.

= С

+ С

случ.

факт.

= С

общ

– С

случ.

= С

+ С

где С

общ

= Σ(x

– M)²,

= Σ(M

– M)², j – число градаций фактора А,

= Σ(M

– M)², k – число градаций фактора В,

случ

= Σ(x

– M

)²,

= С

общ

– (С

+ С

случ.

Сочетанное действие (взаимодействие) факторов означает,

что каждый из них помимо прямого воздействия на объект исследо-

Задача «Доказать отличие нескольких выборок»

143

вания сказывается и на характере влияния на объект и другого фак-

тора, усиливает или ослабляет его. К примеру, неурожай кормов

усугубляет негативное действие зимнего холода на численность по-

пуляций мелких млекопитающих.

Выделяют три основных вида взаимодействия факторов:

– аддитивное, когда взаимодействия факторов нет, их эффек-

ты просто складываются,

– антагонизм, когда один фактор ослабляет действие другого,

и наоборот,

– синергизм, когда наблюдается усиление действия обоих

факторов.

Эти эффекты часто встречаются в практике токсикологиче-

ских исследований. Рассмотрим гипотетические примеры действия

на подопытных животных двух веществ, взятых в разных концен-

трациях. По осям OX и OY диаграммы отложены концентрации

этих веществ в диапазоне от 0 до CL

, которые за время опыта вы-

зывают гибель 50% особей (рис. 7.2). Первая иллюстрация показы-

вает точки на осях, в которых концентрации вещества [A] = 0 и

[B] = CL

, а наблюдаемая гибель составляет 50% особей, то

же наблюдается для вещества [A] = CL

и [B] = 0.

Аддитивное действие – простое сложение влияний. Прямая,

соединяющая точки [A] = CL

, [B] = CL

, есть мно-

жество опытов, в которых токсиканты ведут себя по отношению

друг к другу как одно и то же вещество, поскольку эффекты от их

доз просто суммируются. Так, половинные по эффекту дозы

/2 в сумме дают одну «полноценную» совместную CL

. Од-

нако важно отметить, что пропорциональность эффектов разных

веществ вовсе не означает пропорциональности их концентраций.

А основа аддитивизм антагонизм синергизм

Рис. 7.2. Виды взаимодействия веществ

100

Задача «Доказать отличие нескольких выборок»

144

Антагонизм – подавление вредного действия одного вещест-

ва другим. Любая точка на выгнутой кривой свидетельствует о том,

что для достижения эффекта CL

требуется взять дозы, которые в

сумме должны бы превышать эффект CL

. Например, эффект CL

в точке 1 достигается суммой 0.7·

+ 0.7·

50.

Чисто арифме-

тически (аддитивно) эффект должен был составить 1.4·CL

, т. е.

70% гибели тест-объектов.

Синергизм – усиление действия. Точки на вогнутой кривой

соответствуют ситуации, когда для достижения эффекта CL

можно

взять дозы, суммы которых аддитивно меньше CL

. Так, эффект

обнаруживается в точке для суммы 0.4·

+ 0.4·

50.

Адди-

тивный эффект должен был составить 0.8·CL

, т. е. 40% гибели ор-

ганизмов, но синергизм обеспечивает гибель 50% особей.

Сочетанное действие факторов нельзя смешивать с корреля-

цией факторов. Взаимодействие осуществляется «внутри» объекта

исследования и связано со спецификой реакции биосистемы, а кор-

реляция реализуется «снаружи» и связана как с природой фактора,

так и со способом организации наблюдений. Чтобы выявить эффект

именно взаимодействия, совместного воздействия, изучаемые фак-

торы должны быть, по возможности, независимы друг от друга.

Кроме этого, имеется ряд условий правильного применения

данного метода. Так, дисперсионному комплексу необходима пол-

нота, т. е. второй фактор (В) должен быть представлен в каждой

градации первого фактора (А) одинаковым числом градаций.

Ниже рассмотрены алгоритмы, относящиеся лишь к равно-

мерным комплексам, характеризующимся равной численностью

групп (в градациях содержатся одинаковое число вариант). Что же

касается неравномерных многофакторных комплексов, то их анализ

принципиально возможен, но имеет свои особенности, существенно

усложняющие технику вычислений.

Если исходные данные представлены по градациям неравно-

мерно, вполне допустимо искусственное превращение их в равно-

мерные комплексы. Для этого нужно составить выборки одинаковой

величины, используя часть имеющихся данных. Следует помнить,

что такой отбор должен быть не субъективным, но случайным. При

организации случайного отбора вариант лучше всего прибегнуть к

жеребьевке. Например, убирать из выборки те варианты, номера ко-

торых совпадают со значениями случайных чисел (табл. 3П). От-

Задача «Доказать отличие нескольких выборок»

145

бросив часть вариант, мы лишаемся и части информации о варьиро-

вании признаков; избежать неправильных выводов, вызванных ме-

тодикой формирования выборок, помогает многократный пересчет

по схеме дисперсионного анализа с использованием результатов не-

скольких жеребьевок. Ограниченные рамки настоящего краткого

руководства не позволяют остановиться на этом вопросе более под-

робно, поэтому мы отсылаем заинтересованного читателя к специ-

альным пособиям, где техника дисперсионного анализа неравно-

мерных многофакторных комплексов изложена с исчерпывающей

полнотой.

Условием эффективности многофакторного анализа является

также выбор схемы организации факторов в градации. Выше был

рассмотрен дисперсионный анализ массива данных с повторностями

в каждой градации, для которого разложение суммы квадратов со-

ответствует выражению С

общ.

= С

+ С

случ.

(табл. 7.6).

Таблица 7.6

Двухфакторный дисперсионный комплекс: c градаций фактора А

(столбцы) и r градаций фактора В (ряды) с n повторениями

в каждой градации (l

= 1, 2,…, r; j = 1, 2,…, c; i = 1, 2,…, n)

А1 …

Аj Аc

В1 x

111

112

…

… … …

… …

Вl

…

lji

…

Вr x

…

rjn

…

rcn

Однако простейшей структурой дисперсионного анализа

служит таблица, поля и графы которой характеризуют градации

действия двух факторов, а в каждой ячейке содержится лишь одно

значение результативного признака (табл. 7.7).

Задача «Доказать отличие нескольких выборок»

146

Таблица 7.7

Дисперсионный комплекс для трех градаций без повторений

А1 А2 А3

В1 x

В2 x

В3 x

Комплексы без повторений в градациях упрощают не только

алгоритм обработки, но, к сожалению, и результаты. Сумма квадра-

тов разлагается только на следующие компоненты:

общ.

= С

+ С

остат.

эффект сочетанного действия становится не отличим от случайного

варьирования (С

остат.

= С

+ С

случ.

Техника расчетов

Рассмотрим конкретный пример – испытания стимулятора

многоплодия при разной полноценности рационов. Полноценность

рациона (первый фактор) представлена двумя градациями: A1– ра-

цион с недостатком минеральных веществ, А2 – рацион, полностью

сбалансированный по всем питательным веществам, включая и ми-

неральные. Стимулятор (второй фактор) был испытан в трех дозах:

В1 – одинарная, В2 – двойная, В3 – тройная. Результативный при-

знак – плодовитость самок, измерявшаяся числом детенышей в по-

мете. Для каждого сочетания градаций рациона и стимулятора были

подобраны три одновозрастные самки.

Комбинативная таблица двухфакторного равномерного дис-

персионного комплекса с трехкратной повторностью (n

= 3) вклю-

чает две градации по фактору А и три градации по фактору В

(табл. 7.8). Варианты размещаются по градациям, определяется объ-

ем градации, вычисляются суммы вариант, частные средние, затем

вспомогательные величины (Н1, Н2, Н3, Н

, Н

) и суммы квадратов

отклонений (дисперсий) по рабочим формулам. В завершение всего

заполняют таблицу дисперсионного анализа (табл. 7.9), находят по-

казатель достоверности влияния Фишера и, сопоставляя его с таб-

личным для соответствующих степеней свободы и принятого уров-

ня значимости, делают статистический вывод.

Задача «Доказать отличие нескольких выборок»

147

Таблица 7.8

А2 Для

x x

Σ M

ΣΣx²/n

Σ(Σx²/n)

В1

5 25

1 1

6 36

4 16

7 49

1 1

Σx² 110

18 ΣΣx² = 128

Σx 18 6 ΣΣx = 24 4 96

n 3 3 n

= 6

Σx²/n 108

12 Σ(Σx²/n)= 120

В2

4 16

10 100

3 9 9 81

5 25

11 121

Σx² 50

302

ΣΣx² = 352 Σ(Σx²/n)

Σx 12 30 ΣΣx = 42 7 294 = 486

n 3 3 n

= 6

Σx²/n 48 300

Σ(Σx²/n)= 348

В3

2 4 7 49

3 9 4 16

1 1 7 49

Σx² 14

114

ΣΣx² = 128

Σx 6 18 ΣΣx = 24 4 96

n 3 3 n

= 6

Σx²/n 12 108

Σ(Σx²/n)=120

ΣΣx² 174

434

H1 = ΣΣΣx² = 608

ΣΣ

ΣΣx 36 54 ΣΣΣx = 90 H2 =

(ΣΣΣx)²/N

= 450

= Σn 9 9 N = ΣΣn = 18

Σx²/n 168

420

H3 = ΣΣ(Σx²/n) = 588

ΣΣx/n

2 6 c – число градаций фактора А

(столбцы)

Для

Σx²/n 144

324

r – число градаций фактора В

(ряды)

A H

= Σ(Σx²/n) = 468

Задача «Доказать отличие нескольких выборок»

148

общ.

= H1–H2 = 608–450 = 158

случ.

= H1–H3 = 608–588 = 20

факт.

= С

B+AB

= H3–H2 = 588–450 = 138

= H

–H2 = 468–450 = 18

= H

–H2 = 486–450 = 36

= C

факт.

–С

= 138–18–36 = 84

В нашем примере все факториальные влияния оказались дос-

товерными с доверительной вероятностью Р>0.95. Это позволяет

сделать определенные выводы относительно действия стимулятора

на плодовитость самок. Влияние каждого фактора в отдельности

(качества рациона и дозы стимулятора) и их суммарного эффекта

достаточно существенно, но особенно результативно действие сти-

мулятора в сочетании с полноценным рационом (величина η²

АВ

вы-

ше, чем η²

и η²

). Более того, при недостатке в корме минеральных

веществ двукратные и трехкратные дозы стимулятора могут даже

снизить плодовитость животных.

Таблица 7.9

Составляю-

щие диспер-

сии

Суммы

квад-

ратов,

Сила

влия-

ния,

η² (%)

Степени

свободы,

Дис-

пер-

сии, S²

Критерий,

(α,dfi,dfсл.)

)

Фактор А 18 11 c–1 = 1 18 10.8 (4.7)

Фактор В 36 23 r–1 = 2 18 10.8 (3.9)

Взаимодейст-

вие АВ

84 53 df

· df

= 2 42 25.2 (3.9)

Факториаль-

ная (всего)

138 87 c·r–1 = 5 27.6 16.5 (3.1)

Случайная 20 13 N–c·r = 12 1.67

Общая 158 100 N–1 = 17

Таблица двухфакторного дисперсионного анализа имеет ту

же структуру, что и таблица для однофакторного анализа, только

факториальная дисперсия разложена на три компоненты (для фак-

торов А, В и их взаимодействия). Для каждой из них требуется вы-

числить число степеней свободы с учетом числа градаций фактора А

(c, количество столбцов) и числа градаций фактора В (r, количество

Задача «Доказать отличие нескольких выборок»

149

рядов), значения дисперсий, а также критерий Фишера. Поскольку

каждому из расчетных значений критерия соответствует свое число

степеней свободы, табличные значения окажутся разными.

Дисперсионный анализ в среде Excel

Алгоритм двухфакторного дисперсионного анализа, естест-

венно, требует более сложных вычислительных операций, чем од-

нофакторный, но все они заложены в программе Excel «Двухфак-

торный дисперсионный анализ с повторениями» (только для равно-

мерных комплексов!), который вызывается командой меню Сервис/

Анализ данных …. Исходные данные следует расположить на лис-

те Excel по схеме 1 (табл. 7.6).

В пункте макроса «Число строк для выборки» следует поста-

вить объем выборки в одной градации, n; для нашего примера n = 3.

Результаты расчетов (рис. 7.3) помимо общей статистической обра-

ботки для каждой градации содержат дисперсионную таблицу, поч-

ти идентичную приведенной выше (табл. 7.9). Отличие касается от-

сутствия строки для учета общей факториальной суммы квадратов

факт.

) и дисперсии (S²

факт.

), а также добавления новых столбцов –

табличного значения уровня значимости для рассчитанного крите-

рия F Фишера; табличное значение критерия также приведено для

уровня значимости α = 0.05.

В среде пакета Excel есть возможность провести и «Двухфак-

торный дисперсионный анализ без повторений», который вызывает-