Иванов Ю.И., Югай В.Я. Технические средства автоматизации и управления: Методическое руководство к лабораторным работам

Подождите немного. Документ загружается.

являются случайными сигналами и, как следует из приведенного

выше выражения, могут вносить существенные и недопустимые

изменения в состояние объекта управления. Например, для

систем стабилизации (Xвх(t)=const) выходная координата Y(t)

непостоянна и изменяется под воздействием помех. Очевидно,

что получение заданных свойств требует применения в системах

управления специальных мер для ослабления помех [3].

Ошибки

преобразования аналого-цифровых преобразовате-

лей, связанные с процессом квантования сигнала, также можно

интерпретировать как помехи. В этой связи возникает задача

определения истинного значения сигнала. С этой целью приме-

няют различные методы усреднения или сглаживания сигналов.

Разделение информационных сигналов и сигналов помех

чаще всего основано на их различном спектральном составе.

Если

в спектре сигнала помехи содержатся только высокочас-

тотные составляющие, то их можно удалить или значительно

ослабить, применив аналоговый или цифровой фильтр. В про-

тивном случае, если спектры информационного сигнала и помех

перекрываются, необходимо выполнять экранирование уст-

ройств или применять другие схемотехнические решения, менее

чувствительные к помехам.

Из практики построения систем

автоматического управле-

ния известно, что информация о состоянии объекта управления

содержится в самых низкочастотных составляющих спектра

сигнала и что этот спектр расположен в пределах от 0 до 300 Гц.

В этой связи спектральные составляющие выше 300 Гц можно

отнести к помехам.

В реальных объектах спектр информационных сигналов

может быть значительно ниже 300 Гц. Так

, например, в систе-

мах термостабилизации он находится в диапазоне от 0 до 0,01 –

0,1 Гц. В этом примере к помехам можно отнести спектральные

составляющие, лежащие выше 0,01 – 0,1 Гц. Из вышесказанного

следует, что фильтр

Ф должен иметь амплитудно-частотную

характеристику (АЧХ) типа фильтра нижних частот (ФНЧ), а

частота среза его АЧХ должна совпадать с наивысшей частотой

спектра информационного сигнала.

Обобщенная передаточная функция цифрового фильтра

записывается в виде отношения полиномов:

1...

...

)(

)2(

)1(

)2(

)1(

+++++

−−−

−

−−

−

−−−

−

−−

−

zbzbzbzb

azazazaza

. (1)

Фильтр, реализованный по передаточной функции (1), назы-

вается авторегресионным фильтром скользящего среднего с

бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) [4].

Если в (1) все коэффициенты

b равны нулю, то фильтр

называется фильтром скользящего среднего с конечной им-

пульсной характеристикой (КИХ). Передаточная функция тако-

го фильтра

)2(

)1(

...)( azazazazazF

+++++=

−−−

−

−−

−

. (2)

Наиболее простая реализация КИХ-фильтра получается,

если в выражении (2) коэффициенты выбрать равными, причем

для обеспечения коэффициента передачи фильтра на постоян-

ном токе, равном 1, их сумма также должна быть равна 1. Тогда

формула (2) преобразуется к виду:

∑

−

)(

zF . (3)

Фильтр, реализованный по формуле (3), называется N-

точечный фильтр скользящего среднего.

В качестве примера рассмотрим свойства 5 – точечного

фильтра скользящего среднего. Подставляя в (3) N=5, находим

его передаточную функцию

)1(2.0)(

1234

++++=

−−−−

zzzzzF . (4)

Для реализации цифровым устройством передаточной

функции (4) необходимо перейти к разностному уравнению

[]

))())3((())4(((

)(

kTxTkxTkx

kTy

−

. (5)

Это соотношение связывает выходную последовательность

)(kTy с входной )(kTx и ее предыдущими значениями

)))1(( Tkx −

)))2(( Tkx

−

, . . . .

Для вычисления выходной последовательности по формуле

(5) требуется выполнить пять математических операций – четы-

ре сложения и одно умножение. В общем случае для N-

точечного фильтра необходимо выполнить N-1 сложение и одно

умножение. Существует и более короткий алгоритм.

Если в цифровом устройстве запоминать в отдельном реги-

стре сумму, заключенную в квадратные скобки в

выражении (5),

то для вычисления следующего значения выходной последова-

тельности необходимо от этой суммы вычесть наиболее старое

значение входной последовательности, к полученному значению

прибавить следующее значение входной последовательности и

полученную сумму умножить на коэффициент 0,2. Причем эта

процедура справедлива для любого N-точечного фильтра, т.е.

для вычисления значения выходной последовательности N-

точечного фильтра

требуется выполнить всего три математиче-

ских операции – одно вычитание, одно сложение и одно умно-

жение.

АЧХ 5 – точечного фильтра скользящего среднего с интер-

валом дискретизации T=1 мс (частоте дискретизации 1 кГц)

приведена на рис. 11. Для сравнения на этом же рисунке приве-

дены АЧХ 10 – и 20 – точечных фильтров.

Переходная характеристика КИХ-фильтров, в отличие от

БИХ-фильров, при любом выборе коэффициентов не имеет

выброса. Существенно также и то, что время реакции фильтра

на ступенчатое воздействие от 0 до 100% равно произведению

общего количества точек фильтра

на период дискретизации. Это

показано на рис. 12 в виде реакции 5 – точечного фильтра сколь-

зящего среднего на видеоимпульс.

Рис. 11. АЧХ 5 –, 10 – и 20 – точечных фильтров скользящего

среднего

В отличие от аналоговых фильтров АЧХ цифровых фильт-

ров имеют периодический характер. Еще одной особенностью

КИХ-фильтров является то, что затухание АЧХ в полосе задер-

живания имеет всплески. Первый всплеск АЧХ 5 – точечного

фильтра примерно равен 11 дБ, а 20 – точечного – 13,5 дБ, т.е. с

увеличением числа точек фильтра значительного увеличения

затухания АЧХ не наблюдается. Необходимо обратить внимание

на то, что ширина основного лепестка АЧХ с увеличением по-

рядка передаточной функции фильтра скользящего среднего

существенно уменьшается (рис. 11).

Рис. 12. Реакция 5 – точечного фильтра скользящего среднего на

видеоимпульс

В КИХ-фильтре значительное увеличение затухания АЧХ в

полосе задерживания может быть достигнуто за счет

выбора

неравных коэффициентов

a . Так, например, КИХ-фильтр Кай-

зера (Kaiser) с передаточной функцией

001001.001848,007556.0

1661,02388,02388,0z1661,0

07556,001848,0001001,0)(

3456-

789

+++

+++++

+++=

−−

−−−

zzz

zzzzF

, (6)

имеет АЧХ, приведенную на рис. 13.

Из анализа графика реакции фильтра Кайзера на видеоим-

пульс (рис. 14) видно, что его переходная характеристика также

не имеет выброса, а величина ступенек непосредственно связана

с численными значениями коэффициентов передаточной функ-

ции (6).

Рис. 13. АЧХ фильтра Кайзера

Рис. 14. Реакция фильтра Кайзера на видеоимпульс

Очевидно, что помехи таким фильтром будут значительно

сильнее подавлены. Однако, из-за большого объема вычисли-

тельных операций (см. выражение (6)) реализовать такое уст-

ройство на основе 8-битного микроконтроллера затруднительно.

Выше было отмечено: если в знаменателе передаточной

функции (1) хотя бы один из коэффициентов

b не равен нулю,

то такой фильтр называется БИХ-фильтром. Когда единствен-

ный коэффициент

не равен нулю, БИХ-фильтр имеет переда-

точную функцию первого порядка

)(

−

. (7)

Разностное уравнение, определяющее выходную последова-

тельность такого фильтра, имеет вид

)())1(()(

kTxaTkybkTy

−

. (8)

Коэффициенты в последнем выражении обычно выбирают

следующими:

−

a , тогда

)()1())1(()( kTxTkykTy

−

. (9)

Фильтр, реализованный в соответствии с разностным урав-

нением (9), называют авторегрессионным фильтром скользяще-

го среднего первого порядка или экспоненциальным фильтром.

В отличие от КИХ-фильтров, у БИХ-фильтров существуют

их прототипы (аналоги) в аналоговых фильтрах. На рис.15 при-

ведены АЧХ экспоненциального фильтра (с параметром

9.0

и частотой дискретизации кГцf

) и аналогового фильтра с

эквивалентными параметрами, а на рис. 16 показаны их реакции

на прямоугольный импульс. Из анализа графиков видно, что

существенное различие между АЧХ цифрового (ЦФ) и аналого-

вого (АФ) фильтров начинается на частотах равных 2/

f и

выше.

Рис. 15. АЧХ аналогового и цифрового фильтров первого поряд-

ка

В соответствии с теоремой Котельникова для “правильной

работы” цифрового фильтра спектральный состав его входного

сигнала должен быть ограниченным. При частоте дискретизации

1 кГц в спектре входного сигнала не должно быть частот выше

0,5 кГц. Причем здесь речь идет

о спектре входного сигнала,

состоящего из суммы информационного сигнала и сигнала по-

мехи. Если спектральный состав сигналов заранее неизвестен, то

на входе цифрового фильтра рекомендуется устанавливать ог-

раничитель спектра – аналоговый фильтр нижних частот.

Рис. 16. Реакция аналогового и цифрового фильтров на видео-

импульс

Порядок выполнения лабораторной работы № 2:

Используя программные модули лабораторной работы № 1,

реализовать в микроконтроллере один из следующих алго-

ритмов цифровой фильтрации:

•

8-точечный фильтр скользящего среднего (для бригад

1и 4),

•

16-точечный фильтр скользящего среднего (для бри-

гад 2 и 5),

•

экспоненциальный фильтр (для бригад 3 и 6).

Для схемы исследований, приведенной на рис. 9 (лаборатор-

ная работа № 1), изменяя частоту синусоидального сигнала

на выходе генератора, снять АЧХ фильтра.

3. Установить на выходе генератора форму сигнала “меандр” с

периодом импульсов 50 мс и наблюдать переходную харак-

теристику с помощью осциллографа.

По результатам выполнения работы оформить отчет, сделать

выводы.

Примечание. Для выполнения арифметических операций могут

использоваться стандартные подпрограммы, приведенные в

приложении 2