Иванищева О.И., Иванищев П.И. Стохастические модели микронеоднородных материалов

Подождите немного. Документ загружается.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИЕРСИТЕТ

Стохастические модели микронеоднородных материалов.

Учебно- методическое пособие по специальности 010900(510300),

010901(010500) -Механика

Воронеж -2005

Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной

математики , информатики и механики 21 .09.2005 г., протокол № 1 .

Составители : Иванищева О .И., Иванищев П . И .

Учебно - методическое пособие подготовлено на кафедре теоретической и

прикладной механики факультета ПММ Воронежского государственного

университета .

Рекомендуется для бакалавров и магистров 4,5 курсов .

Содержание

1. Общие представления о композиционных материалах.

1.1 Признаки и свойства композиционных материалов . 4

1.2. Дисперсно- упрочненные композиционные материалы . 4

1.3 Волокнистые композиты . 5

1.3.1.Компоненты волокнистых композитов . 6

1.3.2.Классификация и основные особенности волокнистых

композитов 8

2. Основные уравнения и методы механики композиционных

материалов стохастической структуры .

2.1 Тензорное случайное поле. 10

2.2.Постановка задачи об определении макроскопических постоянных. 13

2.3 Корреляционное приближение в задаче о макроскопических

постоянных. 16

2.4Теория, учитывающая одноточечные моменты высоких порядков . 18

2.5Теория условных моментных функций. 21

3 . Прогнозирование макроскопических коэффициентов

теплопроводности , стохастически неоднородных материалов .

3.1.Основные уравнения. Решения для слоистых, зернистых и 24

волокнистых материалов .

Учебно - методическое пособие представляет вторую часть учебных

материалов для курса «Композиционные материалы». В них изложены основы

теории прогнозирования физико - механических характеристик композиционных

материалов стохастической структуры . Дана постановка и проведено решение

задачи прогнозирования макроскопических постоянных теплопроводности ,

диффузии и диэлектрических проницаемостей стохастически неоднородных

материалов . Представлены формулы для расчета макроскопических

постоянных различных типов композиционных материалов . Исследуется

влияние свойств компонентов и геометрических параметров неоднородностей

на свойства композиции.

На основе рассмотренных решений разработаны лабораторные работы ,

представленные первой части [1] и предназначенные для проведения

компьютерного моделирования эффективных характеристик композиционных

материалов с целью прогнозирования их физико - механических свойств и

выбора оптимальной структуры

1.Общие представления о композиционных материалах

1.1. Признаки и свойства композиционных материалов

Композиционные материалы представляют собой гетерофазные системы ,

полученные из двух или более компонентов с сохранением индивидуальности

каждого отдельного компонента .

Для композиционных конструкционных материалов характерны

следующие признаки :

состав и форма компонентов материала определены заранее;

компоненты присутствуют в количествах, обеспечивающих заданные

свойства материала ;

материал является однородным в макромасштабе и неоднородным в

микромасштабе (компоненты различаются по свойствам, между ними

существует явная граница раздела ).

В большинстве случаев компоненты композиции различны по

геометрическому признаку . Один из компонентов , обладающий

непрерывностью по всему объему , является матрицей , компонент прерывный,

разделенный в объеме композиции, считается усиливающим или армирующим.

Матричными материалами могут быть металлы и их сплавы, органические и

неорганические полимеры , керамика и другие вещества. Усиливающими или

армирующими компонентами чаще всего являются тонкодисперсные

порошкообразные частицы или волокнистые материалы различной природы.

В зависимости от вида армирующего компонента композиты могут быть

разделены на две основные группы :

• дисперсно- упрочненные

• волокнистые,

которые отличаются структурой и механизмами образования высокой

прочности .

1.2.Дисперсно-упрочненные композиционные материалы

Это материалы , в матрице которых равномерно распределены

мелкодисперсные частицы второго вещества. В таких материалах при

нагружении всю нагрузку воспринимает матрица, в которой с помощью

множества практически не растворяющихся в ней частиц второй фазы

создается структура, эффективно сопротивляющаяся пластической

деформации.

Известно , что вязкий, лишенный хрупкости материал перед разрушением

претерпевает значительную деформацию . Причем пластические деформации в

реальных кристаллических материалах начинаются при напряжениях, которые

меньше, чем теоретически рассчитанные для идеальных материалов , примерно

в 1000 раз.

Такая низкая прочность по сравнению с теоретической объясняется тем ,

что в пластической деформации активно участвуют дислокации-локальные

искажения кристаллической решетки . При деформировании благодаря

дислокациям сдвиг атомов в соседнее положение происходит не одновременно

по всей поверхности скольжения, а растягиваются во времени . Такое

постепенное скольжение за счет небольших смещений атомов в области

дислокации не требует значительных напряжений, что и проявляется при

испытаниях пластичных материалов . Упрочнение таких материалов

заключается в создании в них структуры , затрудняющей движение дислокаций.

Наиболее сильное торможение передвижению дислокаций создают

дисперсные частицы второй фазы , например, химические соединения типа

корбидов , нитридов , оксидов , бороидов , характеризующиеся высокой

прочностью и температурой плавления.

Проблема повышения конструкционной прочности состоит не только в

повышении прочностных свойств , но и в том, как при высокой прочности

обеспечить высокое сопротивление вязкому разрушению , т. е. повысить

надежность материала.

В дисперсно- упрочненных материалах заданные прочность и надежность

достигаются путем формирования определенного структурного состояния, при

котором эффективное торможение дислокаций сочетается с их равномерным

распределением в объеме материала либо (что особенно благоприятно) с

определенной подвижностью скапливающихся у барьеров дислокаций для

предотвращения хрупкого разрушения.

Возможность получения дисперсно - упрочненных композитов заданной

структуры можно продемонстрировать на примере гетерогенных сплавов ,

подвергнутых закалке и старению . Во многих сплавах после затвердевания

происходят фазовые превращения, связанные с изменением взаимной

растворимости компонентов в твердом состоянии. Неустойчивый

перенасыщенный твердый раствор при нагреве ( а в некоторых случаях при

комнатной температуре) начинает распадаться . На начальных стадиях распада в

пересыщенном твердом растворе образуются объемы , обогащенные

компонентом растворенного вещества. При дальнейшем распаде твердого

раствора эти зоны растут, образуя ультрадисперсные частицы , равномерно

распределенные в объме материала.

Упрочнение при старении объясняется тем , что при деформировании в

случае встречи частиц избыточной фазы дислокации вынуждены либо огибать

эти частицы , либо их перерезать , на что требуется приложение дополнительной

работы .

1.3. Волокнистые композиты

У волокнистых композитов матрица (чаще всего пластичная ) армирована

высокопрочными волокнами , проволокой , нитевидными кристаллами . Идея

создания волокнисто - армированных структур состоит не в том, чтобы

исключить пластическое деформирование матричного материала, а в том,

чтобы при его деформировании обеспечивалось нагружение волокон и

использовалась бы их высокая прочность

Механические свойства высокопрочных материалов определяются

наличием поверхностных дефектов (надрезов , трещин и т. п.). Около вершин

этих дефектов при нагружении концентрируются напряжения, которые зависят

от приложенного напряжения, глубины трещины и радиуса кривизны в

вершине трещины . В этом случае при действии уже относительно небольших

средних напряжений у кончика трещины растягивающие напряжения

достигают предельных значений и материал разрушается .

Существует критическая длина трещины , при которой проявляется

тенденция к ее неограниченному росту , приводящая к разрушению материала.

Важен тот факт, что соответствующее критическое напряжение зависит от

абсолютного размера трещины и оно тем выше, чем меньше длина трещины . Из

хрупких веществ материалы с высокой воспроизводимой прочностью можно

получить в основном в виде волокон. Это обусловлено тем , что волокна на

много менее чувствительны к имеющимся в них дефектам, чем монолитные

изделия. Из-за геометрии волокна трещины в них должны быть либо очень

короткими , либо они должны быть преимущественно параллельны продольной

оси волокна и , следовательно , относительно безопасны .

Особенность волокнистой композиционной структуры заключается в

равномерном распределении высокопрочных, высокомодульных волокон в

пластичной матрице (содержание их, т. е. объемная доля , может достигать

75%). В дисперсно- упрочненных материалах оптимальным содержанием

дисперсной фазы считается 2-4%. Дисперсные частицы в указанных материалах

в отличие от волокон создают только «косвенное» упрочнение, т.е. благодаря

их присутствию стабилизируется структура, формирующаяся при термической

обработке. Другая отличительная особенность волокнистой композиционной

структуры - анизотропия свойств , обусловленная преимущественным

расположением волокон в том или ином направлении. Дисперсно -

упрочненные же материалы имеют одинаковые свойства во всех направлениях,

так как упрочняющие дисперсные частицы имеют равноосную форму .

1.3.1. Компоненты волокнистых композитов

В волокнистых композиционных материалах высокопрочные волокна

воспринимают основные напряжения, возникающие в композиции при

действии внешних нагрузок, и обеспечивают жесткость и прочность

композиции в направлении ориентации волокон.

Податливая матрица, заполняющая межволокнистое пространство,

обеспечивает совместную работу отдельных волокон за счет собственной

жесткости и взаимодействия, существующего на границе раздела матрица-

волокно . Соотношение этих параметров характеризует весь комплекс

механических свойств материала и механизм его разрушения.

Работоспособность композиционного материала обеспечивается как

правильным выбором исходных компонентов , так и рациональной технологией

производства, обеспечивающей прочную связь между компонентами при

сохранении первоначальных свойств .

Армирующие волокна, применяемые в конструкционных композиционных

материалах, должны удовлетворять требованиям прочности , жесткости ,

плотности , стабильности свойств в определенном температурном интервале,

химической стойкости т . п.

При создании волокнистых композиционных материалов применяются

высокопрочные стеклянные, углеродные, борные и органические волокна ,

металлические проволоки , а также волокна и нитевидные кристаллы ряда

корбидов , оксидов , нитридов и других соединений.

Армирующие компоненты в композитах применяются в виде

моноволокон, нитей , проволок, жгутов , сеток, тканей , лент, холстов .

Важным требованием является совместимость волокон с материалом

матрицы , т. е. возможность достижения прочной связи волокно- матрица при

условиях, обеспечивающих сохранение исходных значений механических

свойств компонентов . Другим важным требованием является технологичность

волокон, определяющая возможность создания высокопроизводительного

процесса изготовления изделий на их основе.

Матричные материалы

В композитах важным элементом является матрица , которая обеспечивает

монолитность композита , фиксирует форму изделия и взаимное расположение

армирующих волокон, распределяет действующие напряжения по объему

материала, обеспечивая равномерную нагрузку на волокна и ее

перераспределение при разрушении части волокон. Материал матрицы

определяет метод изготовления изделий из композитов , возможность

выполнения конструкций заданных габаритов и формы , а также параметры

технологических процессов и т.п.

Таким образом, требования, предъявляемые к матрицам, можно разделить

на эксплуатационные и технологические. К первым относятся требования,

связанные с механическими и физико - химическими свойствами материала и

матрицы , обеспечивающими работоспособность композиции при действии

различных эксплуатационных факторов . Механические свойства матрицы

должны обеспечить совместную работу армирующих волокон при различных

видах нагрузок. Прочностные характеристики материала матрицы являются

определяющими при сдвиговых нагрузках, нагружении композита в

направлениях, отличных от ориентации волокон, а также при циклическом

нагружении. Природа матрицы определяет уровень рабочих температур

композита , характер изменения свойств при воздействии атмосферных и других

фактров . С повышением температуры прочностные и упругие характеристики

матричных материалов , так же как и прочность их соединений со многими

типами волокон, снижается , материал матрицы также характеризует

устойчивость композита к воздействию внешней среды, химическую стойкость ,

частично теплофизические, электрические и другие свойства.

Технологические требования к матрице определяются протекающими

обычно одновременно процессами получения композита и изделия из него, т.е.

процессами совмещения армирующих волокон с матрицей и окончательного

формообразования изделия. Целью технологических операций является

обеспечение равномерно ( без касания между собой ) распределения волокон в

матрице при заданном их объемном содержании, максимально возможное

сохранение свойств волокон, создание достаточно прочного взаимодействия на

границе волокно-матрица . Таким образом, к материалу матрицы предъявляют

следующие требования: хорошая смачиваемость волокна , возможность

предварительного изготовления полуфабрикатов с последующим

изготовлением из них изделий; качественное соединение слоев композита в

процессе формования; невысокие значения параметров формообразования

(например, температуры , давления) и т.п.

Свойства границы раздела, в первую очередь, адгезионное взаимодействие

волокна и матрицы определяют уровень свойств композитов и их сохранение

при эксплуатации. Локальные напряжения в композите достигают

максимальных значений как раз вблизи или непосредственно на границе

раздела , где обычно и начинается разрушение материала . Граница раздела

должна иметь определенные свойства, чтобы обеспечить эффективную

передачу механической нагрузки от матрицы на волокно. Адгезионная связь на

границе раздела не должна разрушаться под действием термических и

усадочных напряжений, возникающих вследствие различия в температурных

коэффициентах линейного расширения матрицы и волокна и в результате

химической усадки связующего при его отверждении. Защита волокон от

внешнего воздействия также в значительной степени определяется

адгезионным взаимодействием на границе раздела.

1.3.2.Классификация и основные особенности волокнистых

композитов.

Простейший случай волокнистой структуры , характеризующей

особенности данного класса материалов , представляет собой набор однородных

волокон, заключенных в пластической матрице. Свойства такого композита ,

образованного однонаправленно ориентированными волокнами , анизотропны .

Максимальные прочность и жесткость однонаправленного композита

реализуются в направлении укладки волокон и могут быть в общем случае

рассчитаны по известным свойствам его компонентов и их колическтвенному

соотношению .

Направленный характер свойств композитов , естественно, предполагает,

что наряду с высокими механическими характеристиками в одних

направлениях они обладают низкими в других.

Важнейшее достоинство композитов - возможность создавать из них

элементы конструкций с заранее заданными свойствами , наиболее полно

отвечающими характеру и условиям работы . Многообразие волокон и

матричных материалов , а также схем армирования, используемых при создании

композитов , позволяет направленно регулировать прочность , жесткость ,

уровень рабочих температур и другие свойства путем подбора состава,

изменения соотношения компонентов и макроструктуры композита .

Для композиционных волокнистых материалов существует несколько

классификаций, в основу которых положены различные признаки , например

материаловедческий ( по природе компонентов ); конструктивный ( по типу

арматуры и ее ориентации в матрице). В рамках рассматриваемых

классификаций можно выделить несколько больших групп композиционных

материалов . К таким группам следует отнести композиты с полимерной

матрицей (пластики ), композиты с металлической матрицей

( металлокомпозиты ), композиты с керамической матрицей и матрицей из

углерода.

В зависимости от природы армирующих волокон различают, например,

следующие композиты на полимерной матрице: стеклопластики , углепластики ,

боропластики , органопластики и т. д . Существуют аналогичные по названиям

композиты и на других матрицах.

Свойства композитов зависят не только от свойств волокон и матрицы , но

и от способов армирования. Различают композиты : образованные из слоев ,

армированных параллельными непрерывными волокнами (свойства их в

основном определяются свойствами однонаправленного слоя); армированные

тканями (текстолиты ); с хаотическим и пространственным армированием .

Волокнистое армирование позволяет использовать новые принципы

проектирования и изготовления изделий, основанные на том, что материал и

изделие создаются одновременно в рамках одного и того же технологического

процесса .

В результате совмещения армирующих элементов и матрицы образуется

комплекс свойств композита , не только отражающих исходные характеристики

его компонентов , но и включающий свойства, которыми изолированные

компоненты не обладают. В частности , появление ряда новых свойств в

композитах связано с гетерогенной структурой , обусловливающей наличие

большой поверхности раздела между волокнами и матрицей . Так, наличие

границы раздела между армирующими элементами и матрицей существенно

повышает трещиностойкость материала.

Устойчивость любого твердого тела к распространению трещин

определяется механизмом поглощения энергии в вершине растущей трещины .

В композитах поперечные растягивающие напряжения в конце растущей

трещины могут вызвать отслаивание волокон от матрицы , а сдвиговые

напряжения на границе раздела – распространение отслоенных участков вдоль

волокон. При отслаивании затрачивается энергия, поскольку волокна должны

перемещаться относительно матрицы . Кроме того, при дальнейшем нагружении

до разрушения волокна могут разрываться в матрице вдали от плоскости

распространяющейся трещины . Поэтому для армированных материалов

характерны такие механизмы повышения вязкости разрушения, которых нет у

гомогенных материалов .

Эти механизмы связаны с наличием в композиционных волокнистых

материалах большого числа поверхностей раздела, которые могут стать

тормозом на пути развития трещины . Можно в первом приближении отметить

два явления, способствующих интенсивной диссипации энергии движения

трещины -вытягивание волокон из матрицы и разрушение границы раздела

между ними . Дополнительное сопротивление распространению трещин,

развившихся в матрице, оказывают силы трения между вытягиваемым

волокном и матрицей .

Повышенное сопротивление развитию разрушающих трещин в

волокнистых материалах обусловлено их работоспособностью при

значительных накопленных повреждениях.

Характерное для композитов высокое сопротивление усталости связано с

тем , что высокомодульные волокна , воспринимающие основную нагрузку , как

хрупкие материалы не снижают несущей способности при циклических

нагрузках в отличие от пластически деформируемых материалов .

Современные композиционные материалы имеют не только широкий

спектр физико - механических свойств , но и способны к направленному их

изменению , например, повышать вязкость разрушения, регулировать

жесткость , прочность и другие свойства. Эти возможности расширяются при

применении в композитах волокон различной природы и геометрии, т.е. при

создании гибридных композитов . Кроме того, для данных материалов

характерно появление синергетического эффекта (согласованного совместного

действия нескольких факторов в одном направлении).

Причины синергетического эффекта в гибридных композитах связаны со

статистической природой прочности волокон, специфической концентрацией

напряжений при разрушении композита положительными начальными

напряжениями , которые могут возникнуть в процессе изготовления изделий.

2. Основные уравнения и методы механики композиционных

материалов стохастической структуры .

Одним из эффективных подходов к описанию композиционных

материалов является статистический, когда физические свойства материала

описываются случайными функциями координат. Примером может служить

композиционный материал со случайно расположенными включениями . Если

рассмотреть только упругие свойства среды, то тензор упругих модулей

ijlm

представляет собой естественное обобщение понятия случайной функции

одной переменной на тензорные функции нескольких переменных.

2.1. Тензорное случайное поле.

Тензорное случайное поле

ijlm

считается заданным в некоторой области

V , если каждой конечной системе точек

)N(

x,...

)2(

)1(

x из области V

поставлен в соответствие MN

⋅

- мерный закон распределения вероятностей

))x(),...,x((f)(f

)N(

ijmn

)1(

ijmn

1ijmn

λλλ = (2.1.1)

для величин

ijlm

, где

- число независимых компонент тензора модулей

упругости

ijlm

Случайное тензорное поле упругих модулей

ijlm

можно

характеризовать также моментами . N - точечным моментом

-го порядка

называется величина

444443444442144444344444214444434444421

N21

)

)N(

pqrs

)...

)N(

...

)

)2(

pqrs

)...

)2(

)

)1(

pqrs

)...

)1(

〉⋅〈 λ

αβ

λλ

αβ

λλ

αβ

λ ;

∑

mm (2.1.2)

Здесь

- число сомножителей в точке

)i(

x .