Иванищева О.И., Иванищев П.И. Стохастические модели микронеоднородных материалов
Подождите немного. Документ загружается.
31
флуктуациях коэффициента теплопроводности , можно получить , учитывая
моменты высших порядков . Для этого представим второе из уравнений (3.1.18)
в виде интегрального уравнения относительно градиентов флуктуаций
температуры
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
xdx)x(a,xaxyGy
0
k,
0
k
0
jk,
0
j,
⋅⋅+⋅⋅−=
∫
ΘΘ
Θ
, (3.1.43)
где функция Грина
(
)
xG имеет вид (3.1.30) для зернистых материалов и
(3.1.37) для материалов однонаправленного армирования.
Введем двухточечные моменты
(
)
(
)
(
)
)xy(Sxxaya
)1m(
j
0
j,
0m0
−=⋅⋅
+
Θ
(
)
)xy(K)x(aya
)1m(0m0
−=⋅
+
. (3.1.44)
Тогда, умножив уравнение (3.1.43) на
(
)
yx
m0
и применив операцию
статистического осреднения, получим интегральные зависимости между
одноточечными и двухточечными моментами различных порядков
(
)
∫
⋅+⋅⋅−=
+
+
yd)ySk,)y(K()y(,G)0(S
k,
)1m(
k
)1m(
j
)m(
j
Θ . (3.1.45)
Исследуем структуру двухточечных моментов )y(S
)m(
j
для зернистых и
однонаправленных волокнистых материалов , когда случайное поле
коэффициента теплопроводности
a
статистически изотропно соответственно в
трехмерном пространстве или плоскости , перпендикулярной к направлению
волокон.
Векторное случайное поле
a
r
в
n
-мерном пространстве называется
статистически однородным и изотропным, если распределение вероятностей
компонент
j
a
в некоторой системе координат, определяемой векторами
α
e , в
произвольной системе точек наблюдения
m21
M,...M,M
не меняется при
преобразовании системы точек наблюдения
njnj
1
j
xxx ⋅+= δ ;
jkmk
jm
j
,constx( δδδ =⋅= ) (3.1.46)
и одновременном преобразовании координатных векторов
ββαα
δ ee
'
⋅=
, (3.1.47)
а также первых моментов
j
a векторного поля
kjk
'
j
aa ⋅= δ . (3.1.48)
Из физических представлений следует, что рассматриваемые поля градиентов
температуры
j
,
Θ
удовлетворяют приведенному определению для трехмерного
пространства в случае зернистых материалов и для двумерного пространства в
случае волокнистых композитов .
32
Для конструирования двухточечных моментов , содержащих градиенты
температуры , имеем следующие инвариантные элементы при преобразовании
(3.1.46), (3.1.47) и (3.1.48):
r
- модуль вектора y , соединяющего две точки ,
i
γ
-
единичный вектор в направлении
i
y
,
ij
δ
-единичный тензор, j,
Θ
-первый
момент градиента температуры . Следовательно , общий вид момента
(
)
yS
)m(
j
определяется соотношением
(
)
()
kkj3jk2j1
)m(
j
,))r(S)r(S(rSyS Θγγδγ ⋅⋅⋅+⋅+⋅=
. (3.1.49)
Из условия изотропии также следует, что в нуле и на бесконечности моменты
(
)
yS
)m(
j
не зависят от
i
γ
, т.е.
(
)
(
)
)(SS),0(S0S
3
1
3
1
∞
=
∞
=
. (3.1.50)
Пользуясь представлением (3.1.49), из (3.1.45) получаем
(
)
(
)
()
(
)
)m(
j
)1m(
j
)1m(
j
k,k
)1m(
j,
RS)0(SbydySyG +∞−⋅=⋅⋅−
+
+
∫
+
,
где
a3
1
b −= ,
()
∫
∞
⋅⋅
⋅
⋅
=
0
)m(
3
j,
)m(
j
r
dr
rS
a3
2
R
Θ
(3.1.52)
для зернистого материала,
a2
1
b
⋅
= ,
∫
∞
⋅⋅
⋅
=
0
)m(
3
j
m
j
r
dr
)r(S
a2
,
R
Θ
(3.1.53)
для волокнистого материала.
Если пренебрегать величинами
m
j
R , то с учетом равенств
()
,0)(K);0(S)0(KS
)1m(
)1(
j
)m(
)1m(
j
=∞⋅=∞
+
+
(3.1.54)
соотношения (3.1.45) приводятся к виду
))0(S)0(K)0(S
)0(K(b)0(S
)1(
j
)m(
)1m(
j
j,
)1m(
)m(
j
⋅−+
+⋅⋅=
+
+
Θ
. (3.1.55)
33
Последние соотношения определяют бесконечную систему уравнений
относительно моментов
()
0S
)m(
j
.
Исследуем структуру одноточечных моментов , входящих в соотношение.
(3.1.55). Для этого совместную плотность распределения коэффициентов
теплопроводности и градиента температуры
j
,
Θ
представим в виде
произведения
)a(f)a(f),,a(f
j,21j
Θ
Θ
⋅
=
, (3.1.56)
где )a(f
1
- плотность распределения ко
эффициента теплопроводности ,
(3.1.15), )a(f
j,2
Θ
-условная плотность распределения градиента
температуры относительно коэффициента
a
. Тогда будем иметь
∫
⋅
=
da)a(faa
1
; da)a(faj,j,
1
⋅
⋅
=
∫
Θ
Θ
(
)
∫
⋅⋅−= da)a(faa)0(K
1
m
)m(
(3.1.57)
(
)
∫
⋅⋅⋅−= da)a(faaa)0(S
1j,
m
)m(
j
Θ
Если материал состоит из двух компонентов , то из (3.1.57) получаем
)2(
2
)1(
1
acaca ⋅+⋅=
)2(
2
)1(
1
aj,caj,cj, ΘΘΘ ⋅+⋅= ; (3.1.58)
(
)
(
)
m
)2()1(1m
1
m1m
2
21
)m(
aac)1(ccc)0(K −⋅⋅−+⋅=
−−
(
)
(
)
−⋅
⋅−⋅⋅−−⋅=
)2(
j,
)1(
j,
m
)2()1(
1
mm
2
21
)m(
j
aa
aac)1(ccc)0(S
ΘΘ
Отсюда следует, что моменты
)m(
j
S ,
)m(
j
K удовлетворяют соотношениям
)0(K)0(S)0(K)0(S
)1m()n(
j
)1n()m(
j
+
+
⋅=⋅
. (3.1.59)
Таким образом, кроме соотношений (3.1.55), полученных на основе
стохастического уравнения теплопроводности , существуют соотношения
34
(3.1.59), вытекающие из общих свойств плотности распределения (3.1.56).
Решение систем уравнений (3.1.55), (3.1.59) имеет вид
()
()
3,2,1j;
acca3
)0(K
)0(S
j,
)3(
12
)1m(
)m(
j
=⋅
⋅−+⋅
−=
+
Θ (3.1.60)
для зернистого материала и
()
()
(1)
()
,
(3)
21
(0)
(0);1,2
2
m
m
jj
K
Sj
acca
+
=−⋅Θ=
⋅+−⋅
)2()1()3(
a
a
a
−
=
(3.1.61)
для волокнистого материала.
Подставляя (3.1.60), (3.1.61) в (3.1.62), найдем зависимости между тепловыми
потоками и градиентами температуры для зернистого материала
)3,2,1j(,aq
jj
=⋅−=
∗
Θ (3.1.62)
и волокнистого композита
j1j
,aq Θ ⋅−=
∗
,
333
,aq Θ ⋅−=
∗
,
2
,
1
j
=
. (3.1.63)
Здесь макроскопические коэффициенты теплопроводности определяются
формулами
()
)3(
12
2)3(
21
acca3
a
ccaa
⋅−+⋅
⋅⋅−=
∗
(3.1.64)
()
)3(
12
2)3(
21
acca2
a
ccaa
⋅−+⋅
⋅⋅−=
∗
Как видно, соответствующие решения (3.1.35), (3.1.42), полученные на основе
корреляционной теории, представляют собой первые члены разложения
выражений (3.1.64) в ряд по степеням
(
)
)3(
1
2
acc ⋅− . Формулы (3.1.64)
пригодны для расчета макроскопических коэффициентов теплопроводности
зернистых и волокнистых материалов с произвольно большими флуктуациями
свойств компонентов , тогда как выражения (3.1.35), (3.1.42) могут быть
35
использованы только в случае малых флуктуаций коэффициента
a
или малых
различий концентраций
(
)
2
1
cc
≈
.
3.2 Коэффициенты теплопроводности материалов с анизотропными
компонентами
Рассмотрим однонаправленный волокнистый композиционный материал,
компоненты которого обладают осевой симметрией свойств теплопроводности ,
т. е. тензор
a
в произвольной точке объема композиционного материала имеет
вид
(
)
3j3i32j2i1j1i1jk
aaa
δ
δ
δ
δ
δ
δ
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
(3.2.1)
Рассмотрим случай , когда оси симметрии тензоров теплопроводности волокон
и связующего совпадают с направлением волокон, ориентированных вдоль
координатной оси
3
x
.
Уравнение теплопроводности (3.1.7) запишем в следующей форме
ΘΘ ∂−∂=∂∂
00
aa . (3.2.2)
Если воспользоваться функцией Грина
G
уравнения (3.2.2) и предположением
о малости флуктуаций температуры на бесконечности , то (3.2.2) можно
представить в виде
0
Ga
∂Θ=∂Θ+∂∗∗∂Θ
(3.2.3)
или
0
Ka
∂Θ=∂Θ+∗∂Θ
Здесь символом
∗
обозначена операция интегральной свертки ; ядро
интегрального оператора оператора К выражается через производные функции
Грина
,,
()()()cos(,)
jmjmjm
KGxxxdvGxxnxdS
ϕϕ
′
′′′′′
∗=−⋅⋅+−⋅⋅
∫∫
rr
!
;
n
r
- нормаль к поверхности S , ограничивающей обьем V.
Проведем осреднение в обеих частях (3.2.3) при условии , что текущая
координата x принадлежит объему , занимаемому волокнами . В результате
получим
(1)(1)(1,1)
11
(2)(2,1)
12
(()
())
Kaap
aap
θθθ
θ
∂=∂+∗−⋅∂+
+−⋅∂
(3.2.4)
Здесь
,
ij
p
- вероятность события
J
xV
′
∈
при условии, что
i
xV
∈
.
Символами
(.)
ij
θ∂
обозначены условные моментные функции градиентов
температуры
36
()
(,)
,
ij
ij
xxVxV
θθ
′′
∂=∂∈∈
. (3.2.5)
Предположим, что градиенты температуры являются постоянными
величинами для каждого из компонентов , т.е. вместо (3.2.5) рассмотрим
приближенное равенство
(
)
(
)
(
)
,,
()
ijij
i
i
xxV
θθθθ
′′
∂≈∂⇒∂≈∂∈
(3.2.6)
Условные вероятности
ij
p
связаны соотношениями
2
,
1
1,
ijiijjji
j
pcpcp
⋅
=
=⋅=⋅
∑
которые позволяют выразить вероятность
12
p
через
11
p
. При этом
интегральное уравнение (3.2.4) сводится к линейному алгебраическому
() ()()
(
)
(
)
()()
()
()
112
21
12
3
2111
2
;
;
paaa
acacaa
K
accapp
c
θθθθ
′
∂=∂+⋅⋅∂−−⋅∂
′
=⋅+−⇒
′
=−⋅=∗
(3.2.7)
Решение (3.2.7) представим в виде
()()
(
)
()
1
13
2
;
IcRRIpap
θλθ
−
′
∂=+∂=−⋅⋅
, (3.2.8)
где
I
- единичный тензор второго ранга.
С учетом (3.2.8) из уравнения для среднего теплового потока (3.1.6)
получим
(
)
(2)(3)(3)
12
qacaIcRa
θθ
=∂+⋅⋅+⋅∂
.
Отсюда следует
(
)
(3)(3)
12
qaccaRa
θ
=+⋅∂
(3.2.9)
Таким образом, тензор макроскопических коэффициентов теплопроводности
можно представить в виде
(3)(3)
12
aaccaRa
∗
=+
(3.2.10)
Для выполнения конкретных расчетов необходимо найти явный вид тензора R.
Для этого найдем сначала функцию Грина G уравнений (3.2.2) при условии,
37
что тензор
a
обладает осевой симметрией (3.2.1). Функция Грина по
определению удовлетворяет уравнению
(
)
(
)
,jmmj
aGxx
δ=−
rr
(3.2.11)
и обращается в нуль на бесконечности .
Применяя к (3.2.11) преобразование Фурье, получим
(
)
(
)
222
12133
1
Gaaξξξ
++=
(3.2.12)
Здесь
()
(
)
exp
GGxixdx
ξ
=⋅−⋅⋅⋅
∫
r
rrr
. (3.2.13)
Тогда из (3.2.7) найдем формулу для оператора
p
()()
()()
()
1111
3
2
1
exp
8
jkjk
pGixpxpdxd
ac
ξξξξξ
=−−∞⋅
∫∫
rrr
rrr
(3.2.14)
Функция
11
p
в случае материала, армированного однонаправленными
непрерывными волокнами , ориентированными вдоль оси
3
x
, зависят только от
расстояния между точками в плоскости
12
xx
и , кроме того, обладает
очевидными свойствами :
11111
(0)1;()
ppc
=∞=
. (3.2.15)
После интегрирования (3.2.14) с учетом (3.2.15), получаем
112233
1
1
;0
2
ppp
a
==−=
⋅
. (3.2.16)
Тогда из (3.2.10), (3.2.16) получим следующие формулы для вычисления
макроскопических коэффициентов теплопроводности волокнистого
композиционного материала с анизотропными компонентами :
(
)
()
()
32
1
1112
11
3
331211
;
2
;
a
aacc
aa
aaacca
∗
∗∗
=−
′
+
==−
. (3.2.17)
Очевидно , что для материала с изотропными компонентами формулы
(3.2.17) совпадают с (3.1.64).
Вопросы для самопроверки
При каких условиях вычисление макроскопических постоянных в корреляционном
приближении приводит к результатам, близким к действительным ?
Может или нет вычисление макроскопических постоянных в корреляционном
приближении приводить к заведомо неверным результатам ? Ответ обосновать .
Какой компонент композиции является матрицей ?
38
Какие признаки характерны для композиционных конструкционных материалов ?
Привести примеры матричных материалов .
На какие группы в зависимости от вида армирующего компонента могут быть
разделены композиты ?
Каков механизм упрочнения дисперсных материалов ?
Можно ли утверждать , что дисперсно - упрочненные материалы имеют одинаковые
свойства во всех направлениях , если упрочняющие дисперсные частицы имеют равноосную
форму ?
Какие функции в композите выполняет матрица ?
Как зависят свойства композитов от свойств волокон и матрицы и от способов
армирования?
При каких предположениях возможно преобразование
〉〈⋅〉〈→〉⋅〈 )x()x()x()x(
)2()1(
jk
)2()1(
jk αβαβ
σσσσ
?
Чем обусловлена статистическая нелинейность
уравнения (2.2.20)?
В чем заключается проблема замыкания, характерная для статистически нелинейных
задач?
Какова степень различия результатов одноточечного приближения для материалов
зернистой и однонаправленной волокнистой структуры ?
Возможно ли с помощью одноточечного приближения описать анизотропию свойств
композиционных материалов , связанную с ориентацией структурных элементов ?
Как улавливает эффект анизотропии, корреляционное приближение ?
Возможно ли использование (3.1.64) для расчета макроскопических коэффициентов
теплопроводности зернистых и волокнистых материалов с произвольно большими
флуктуациями свойств компонентов ?
Каким образом учитывается анизотропия компонент в макроскопических
характеристиках (3.2.17) ?
Литература .
1. Иванищева О .И. Макроскопические свойства микронеоднородных материалов / О .И .
Иванищева, Т.Д . Семыкина, Ю .Д .Щеглова; Ред . О .А. Тихомирова; Пособ. ; Воронеж :
Воронежский госуниверситет,2004.-16 с.
2. Статистическая механика и эффективные свойства материалов ./Л .П . Хорошун,
Б.П .Маслов , Е .М . Шикула , Л .В . Назаренко : в 12 т. - Киев : Наук.Думка ,1993.-390
с.(Механика композитов ; т.3)
3. Расчет и проектирование композиционных материалов и элементов конструкций /
Б.Д . Аннин, А.Л . Каламкаров , А.Г .Колпаков , В.З. Партон ; Отв . ред . Ю .С . Уржумцев ;
РАН Сиб .Отд - ние. Ин - т гидродинамики им . М .А. Лаврентьева . -Новосибирск :
Наука ,1993. - 253 с.
4. Сараев Л . А . Моделирование макроскопических пластических свойств
многокомпонентных композиционных материалов / Л .А.Сараев ; Самар . гос. ун - т. –
Самара : Самар .ун. - т, 200. - 181 с.
39
Составители : Иванищева Ольга Ивановна , Иванищев Павел Иванович
Редактор Тихомирова О .А.