Иванищева О.И., Иванищев П.И. Стохастические модели микронеоднородных материалов
Подождите немного. Документ загружается.
11
Как следует из (2.1.1), (2.1.2) , N - точечные плотности распределения и
моменты являются функциями 3N координат, определяющих положение
точек
)i(
x
, N,...2,1i
=
.
Если тензорное поле
)x(ijαβ
λ
статистически однородно , то N - точечные
плотности распределения и моменты зависят от 3(
N
-1) координат. В этом
случае одноточечные моменты являются постоянными , а двухточечные зависят
только от расстояния между точками .
При действии на композиционный материал внешних сил в нем
возникают случайные тензорные поля напряжений и деформаций. Эти поля
можно характеризовать N - точечными плотностями распределения
)x(),...,x((f)(f
)N(
jk
)1(
jk
N
2jk
N
2
σσσ = (2.1.3)
))x(),...,x((f)(f
)N(
jk
)1(
jk
N
2jk
N
3
εεε =
,
а также соответствующими моментами , которые строятся по аналогии с
(2.1.2).
Статистические связи между случайными тензорными полями
jkjkij
,,
ε
σ
λ
αβ
могут быть описаны совместной N - точечной плотностью
распределения
))x(),x(,x(
),...,x(),x(,x((f),,(f
)N(
jk
)N(
jk
)N(
ij
)1(
jk
)1(
jk
)1(
ij
N
jkjkij
N
εσλ
εσλεσλ
αβ
αβαβ
=
(2.1.4)
Если ограничиться рамками корреляционного приближения , то для
описания системы случайных тензорных полей
jkjkij
,,
ε
σ
λ
αβ
существенными
являются математические ожидания
〉
〈
〉
〈
〉
〈
jkjkij
,,
ε
σ
λ
αβ
и корреляционные
функции
.)x()x(,)x()x(
,)x()x(,)x()x(
,)x()x(,)x()x(
)2()1(
jk
)2(
pq
)1(
ij
)2(
pq
)1(
ij
)2()1(
jk
)2()1(
jk
)2(
pqrs
)1(
ij
〉⋅〈〉⋅〈
〉⋅〈〉⋅〈
〉⋅〈〉⋅〈
αβαβ
αβαβ
αβαβ
εσελ
σλεε
σσλλ
(2.1.5)
Характерной особенностью рассматриваемых случайных полей в
композиционных материалах является затухание связей между их значениями
в различных точках
)1(
x
и
)2(
x
при возрастании расстояния между точками .
При этом корреляционные функции (2.1.5) преобразуются в произведение
математических ожиданий , взятых в точках
)1(
x
и
)2(
x
. Например,
〉〈⋅〉〈→〉⋅〈 )x()x()x()x(
)2()1(
jk
)2()1(
jk αβαβ
σσσσ
12
при
∞→−
)2()1(
xx .
Практически корреляционные связи сохраняются лишь на
характерных расстояниях, называемых масштабом корреляции, которые
определяются характерным размером неоднородностей (диаметром зернистых
включений, диаметром армирующих волокон и т.д .).
Наряду с начальными моментами (2.1.5) в качестве характеристик
случайных тензорных полей рассматривают центральные моменты различных
порядков
.)x()x(,)x()x(
,)x()x(,)x()x(
,)x()x(,)x()x(
)2(0)1(
jk
0)2(
pq
0)1(
ij
0
)2(
pq
0)1(
ij
0)2(0)1(
jk
0
)2(0)1(
jk
0)2(
pqrs
0)1(
ij
0
〉⋅〈〉⋅〈
〉⋅〈〉⋅〈
〉⋅〈〉⋅〈
αβαβ
αβαβ
αβαβ
εσελ
σλεε
σσλλ
(2.1.6)
Здесь значок
0
определяет флуктуации случайных полей
αβαβ
αβ
λλλ
ijij
ij
0
−= ;
jkjk
jk
0
σσσ −
=
;
jkjk
jk
0
εεε −=
.
При исследовании напряженного и деформированного состояний
композиционных материалов стохастической структуры важными
характеристиками являются условные плотности распределения и
соответствующие им моменты .
Условная плотность распределения напряжений и деформаций
относительно тензора упругих модулей имеет вид
)(f/),,(f
),(f
ij
N
1jkjkij
N
ijjkjk
N
αβαβ
αβ
λεσλ
λεσ
=
=
(2.1.7)
В случае многокомпонентных упругих сред условная плотность (2.1.7) и
соответствующие ей моменты дают представление о напряженном и
деформированном состояниях в каждом компоненте.
В качестве примера некоторых количественных характеристик
случайного поля модулей упругости выберем стеклопластик.
Пусть эпоксидное связующее занимает объем
2
V
, стекловолокно –
объем
1
V
.Одноточечная плотность распределения постоянных упругости
двухкомпонентного материала имеет вид
()
)(c)(f
ij
m
2
1
m
ijmij
αβ
αβαβ
λλδλ
∑
=
−= (2.1.8)
13
Здесь
V
m
V
m
C = - концентрация компонентов ,
αβ
λ
ij
)1(
,
αβ
λ
ij
)2(
- тензоры модулей упругости составляющих,
)
x
(
δ
- дельта функция Дирака .
Математическое ожидание
αβ
λ
ij
определяется следующим образом
()
αβαβαβαβ
λλλλ
ijijijij
df
∫
∞
+
∞
−
⋅⋅=
.
Или с учетом (2.1.8)
∑
=
⋅=
2
1
m
ij
)m(
mij
c
αβ
αβ
λλ
Для дисперсии тензора упругих модулей справедливо соотношение
(
)
()
∫
∞
+
∞
−
⋅⋅−=⋅
αβ
αβ
αβ
αβαβαβ
λλλλλλ
ij
ij
2
ij
ij
0
ij
0
ij
df
,
которое с учетом (2.1.8) принимает вид
2
)2(
ij
)1(
ij
21
0
ij
0
ij
)(cc
αβαβ
αβαβ
λλλλ −⋅⋅=⋅
.
2.2 Постановка задачи об определении макроскопических постоянных
Тензор макроскопических модулей упругости микронеоднородного тела
определяется соотношениями
*
,
ijijlmmn
σλε
=
(2.2.1)
связывающими средние по макрообъему тела напряжения и деформации
при неодродных поверхностных нагрузках.
Тензор макроскопических коэффициентов податливости определяется
аналогично из обратного соотношения
*
,
s
ijijmnmn
εσ=
(2.2.2)
Построение соотношений (1.1), (1.2) можно проводить , исходя из
уравнений равновесия при нулевых объемных силах
0
,
ijj
σ
=
(2.2.3)
или для уравнений совместности
0
,
imnjklnlmk
ωωε
=
(2.2.4)
где напряжения
ij
σ
и деформации
ij
ε
связаны в произвольной точке
микронеоднородного тела линейными зависимостями
ijijmnmn
σλε
=
(2.2.5)
или
14
s
ijijmnmn
εσ
=
(2.2.6)
Вследствие стохастической неоднородности среды тензоры модулей
упругости
ij
σ
и коэффициентов податливости
ij
ε
являются случайными
функциями координат.
Подставив (2.2.5) в (2.2.3) или (2.2.6) в (2.2.4), приходим к формулировке
задачи в перемещениях
()0
,
u
ijmnmnj
λ
=
(2.2.7)
или напряжениях
()0
,
s
imnjklnlpqpqmk
ωωσ
=
. (2.2.8)
Определяя из уравнений (2.2.7) или (2.2.8) напряжения как функции
средних деформаций или деформации как функции средних напряжений и
осредняя их по объему тела, получим соотношения (2.2.1) или (2.2.2).
Описанная процедура , в принципе, может быть осуществлена для тела
произвольных размеров по отношению к размерам микронеоднородностей .
Однако , в действительности она связана с большими математическими
трудностями и практически осуществима для слоистой структуры композита
Если размеры тела значительно превосходят размеры
микронеоднородностей , то область , занимаемую телом, можно рассматривать
как бесконечную . В этом случае при воздействии однородной нагрузки
случайные поля напряжений и деформаций статистически однородны и
удовлетворяют свойству эргодичности , что позволяет заменить осреднение по
объему стати c тическим осреднением по ансамблю реализаций. Тогда тензоры
макроскопических модулей упругости и коэффициентов податливости
определяются формулами
*
,
ijijlmmn
σλε=
(2.2.9)
mn
*
ijmnj,i
s σε =
.
Из соотношений (2.2.5), (2.2.6) находим
mnijmnij
ε
λ
σ
=
mnijmnij
s σε =
(2.2.10)
откуда следует, что для определения макроскопических упругих
постоянных необходимо на основе уравнений (2.2.7) ,(2.2.8) найти
одноточечные моменты
mnijmn
ε
λ
,
mnijmn
s
σ
как функции средних
напряжений
j,i
σ .
Методы решения уравнений (2.2.7) , (2.2.8) идентичны , поэтому
достаточно изложить их сущность для одного из уравнений. Рассмотрим
15
уравнение равновесия в перемещениях (2.2.7).Принимая во внимание
представление
Принимая во внимание представление
0
j
jiji
uxu += ε , (2.2.11)
имеющее место при однородном нагружении тела, записываем уравнение
(2.2.7) в виде
(
)
(
)
j,
mn
c
ijmnijmn
0
nj,m
c
ijlm
u ελλλ −−=
. (2.2.12)
Здесь
0
u
- флуктуации перемещений;
ijmn
λ
-некоторый тензор модулей
упругости с постоянными компонентами .
Вследствие статистической однородности напряжений
ij
σ и деформаций
ij
ε математические ожидания напряжений и деформаций постоянны .
Поэтому регулярная составляющая перемещений
jij
xε
(2.2.11) на
бесконечности неограниченно возрастает, тогда как случайная составляющая
0
j
u
ограничена . Это дает возможность принять , что на бесконечно удаленной
поверхности , ограничивающей область , флуктуации перемещений равны нулю
0u
0
j
=
∞
(2.2.13)
Воспользуемся формулой Грина
ij
G оператора левой части уравнения
(2.2.71), удовлетворяющей уравнению
(
)
x)x(G
iknj,mk
c
ijmn
δδλ −= , (2.2.14)
где
(
)
xδ - дельта - функция Дирака ,
ik
δ
- дельта –функция Кронекера.
Тогда решение уравнения (2.2.73) можно представить в виде
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
k,
mn
c
kmnkmn
21
i
1o
i
dvxxGxu ελλ
ααα
−−=
∫
. (2.2.15)
Дифференцируя выражение (2.2.74) и проведя интегрирование по частям,
получим интегральное уравнение относительно деформаций
(
)
(
)
()()
()
()
()()
()
()
()
22c
mn
2
mn
21
ijmn
ij
1
ij
dxxxxxG
x
⋅⋅−⋅−+
+=
∫
αβαβαβ
ελλ
εε
, (2.2.16)
где интегральный оператор определяется правилом
16
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()
()()
()
()
()
()
()
()()
()
()
()
∫
∫
∫
⋅⋅⋅−+
+⋅−
=
=⋅⋅−
dsnxxxG
dvxxxG
dxxxxG
k
221
j,im
2221
kj,im
2221
ijmn
φ
φ
φ
(2.2.17)
Здесь S – бесконечно удаленная граница области
v
, занимаемой телом,
k
n
- направляющие косинусы нормали к поверхности
S
.Таким образом, задача об
определении макроскопических упругих постоянных к определению из
интегрального уравнения (2.2.17) моментов
mnijmn
ελ как функций средних
деформаций
mn
ε
.
Для сокращения выкладок при изложении методов решения задачи
воспользуемся символьной записью , представив соотношения (2.2.10), (2.2.1) и
интегральное уравнение (2.2.16) соответственно, в форме
ε
λ
σ
⋅
=
(2.2.18)
ελσ ⋅=
*
(2.2.19)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2c2211
xxG ελλεε ⋅−⋅−+= . (2.2.20)
Здесь индексы в круглых скобках веху обозначают точку , в которой
рассматривается значение функций.
2.3.Корреляционное приближение в задаче о макроскопических
постоянных
Основная трудность в решении уравнения (2.2.20) связана с его
статистической нелинейностью , обусловленной наличием произведения
случайных функций. Это приводит к необходимости решения бесконечной
последовательности уравнений относительно моментных или случайных
функций.
Рассмотрим процесс построения решения задачи о макроскопических
постоянных.
Для определения макроскопических постоянных необходимо найти
одноточечный момент второго порядка
λε
как функцию
ε
. С этой целью
умножим уравнение (1.20) на тензор модулей упругости
(
)
1
λ
и проведем
статистическое осреднение. В результате получим выражение
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2c2121
xxG ελλλελελ ⋅−⋅⋅−+⋅=⋅
, (2.3.1)
17
которое содержит неизвестный двухточечный момент третьего порядка .
Для его определения поменяем в уравнении (2.2.20) точки
(
)
(
)
21
x,x
соответственно на
(
)
(
)
32
x,x и , умножив его на выражение
(
)
(
)
(
)
c21
λλλ − ,
проведем статистическое осреднение. В результате имеем
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
()()
()
()()
()
()
()
()
3
c3c2132
c212c21
xxG ελλλλλ
ελλλελλλ
⋅−⋅−⋅−⋅+
+⋅−⋅=⋅−⋅
(2.3.1)
Выражение (2.1) содержит новый неизвестный трехточечный момент
четвертого порядка
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3c3c21
ελλλλλ −− . Продолжив это процесс,
получим бесконечную систему уравнений относительно неизвестных моментов
различных порядков и типов . При этом возникает проблема замыкания,
характерная для статистически нелинейных задач.
Если ограничиться рамками корреляционного приближения, то для
смешанного одноточечного момента получаем следующее выражение
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
c2121
xxG λλλλλε −−+= , (2.3.2)
откуда находим тензор макроскопических модулей упругости
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
c2121
*
xxG λλλλλ −−+= . (2.3.3)
Вычисление макроскопических постоянных в корреляционном
приближении приводит к результатам, близким к действительным значениям
лишь для слабо неоднородных материалов , когда флуктуации модулей
достаточно малы .
В реальных композиционных материалах различие упругих
характеристик компонентов может быть весьма существенным. Поэтому
вычисление макроскопических постоянных в корреляционном приближении
может приводить к заведомо неверным результатам.
Рассмотрим оценки флуктуаций на примере двухкомпонентного
материала.
Отношение среднеквадратического отклонения тензора модулей
упругости к его математическому ожиданию можно представить в виде
(
)
2211
2121
02
сс
сс
λλ
λλ
λ
λ
+
−
= (2.3.4)
Здесь
1
1
,с
λ
и
2
2
,с
λ
- объемные концентрации и модули упругости
соответственно первого и второго компонентов .
Очевидно, что флуктуации будут малы всегда, если модули компонентов
мало отличаются друг от друга.
18
Рассмотрим случай , когда упругие модули компонентов значительно
отличаются друг от друга. Пусть , например,
2
1
λ
λ
>>
. Тогда, согласно (2.3.4) ,
при
2
1
cс
>
получим
1
2
02
с
с
≈
λ
λ
(2.3.5)
То есть при больших концентрациях более жесткого компонента
флуктуации модулей упругости будут малыми . При условии
2
1
cс
<
отношение (2.3.5) может быть больше единицы и результаты корреляционного
приближения становятся непригодными для использования.
2.4.Теория, учитывающая одноточечные моменты высоких
порядков
Уточнение корреляционного приближения можно осуществить путем
учета моментов более высокого порядка (третьего, четвертого и т.д.) и типа
( трехточечного, четырехточечного т.д.) в связанной системе уравнений
относительно моментов . Однако при этом существенно возрастают трудности
вычислительного характера, а также трудности , связанные с необходимостью
задания многоточечных моментов случайного поля тензора модулей упругости .
Можно искать решение, пригодное для существенно неоднородных
материалов , за счет учета моментов высоких порядков при одном и том же их
типе. Одним из таких походов является теория, учитывающая только
одноточечные моменты всех порядков , которую можно назвать одноточечным
приближением . Сущность ее сводится к следующему .
Умножим уравнение (2.2.20) на
n)1(
)( λ ( произведение n тензоров
модулей упругости
λ
, взятых в точке
)1(
x
) и проведем статистическое
осреднение. В результате получим соотношения
(
)
(
)
)2(c)2(n)1()2()1(nn
xxG ελλλελελ ⋅−⋅⋅−⋅+⋅=⋅
⋅
(2.4.1)
{
}
Nn
∈
Преобразуем одноточечные моменты в правой части (2.4.1)
(
)
(
)
()
()
()
()()
)2(c)2(n)1()2()1(
cncn
)2(c)2(n)1()2()1(
xxG
G)0(G
xxG
ελλλ
ελλλελλλ
ελλλ
⋅−⋅⋅−⋅+
+⋅−⋅⋅∞+⋅−⋅⋅=
=⋅−⋅⋅−
⋅
⋅⋅
⋅
(2.4.2)
Здесь действие линейного оператора
G
распространяется на всю
область за исключением точек,
)1()2(
x
x
=
и
S
x
)2(
∈
.
19
Из (2.4.2) и (2.4.1) с учетом только одноточечных моментов , следует
бесконечная система уравнений относительно неизвестных ελ ⋅
n
(
)
(
)
()
()
ελελλ
ελλελελελ
⋅−⋅⋅⋅∞+
+⋅⋅−⋅⋅+⋅=⋅
+
cn
nc1nnn
G
0G
(2.4.3)
В случае кусочно-однородных тел решение бесконечной системы
уравнений (2.4.3) можно упростить с помощью дополнительных соотношений,
следующих из общеизвестных свойств совместной плотности распределения
случайных величин.
Рассмотрим этот подход для двухкомпонентного материала. В этом
случае совместную одноточечную плотность распределения модулей упругости
и деформаций можно записать в виде
(
)
λ
ε
ϕ
λ
ε
λ
⋅
=
⋅
)(f)(f
1
, (2.4.4)
где
(
)
λ
ε
ϕ
- условная плотность распределения деформаций, )(f
1
λ
-
плотность распределения модулей упругости , которая выражается через
упругие характеристики и концентрации компонент следующим образом
(
)
(
)
2
2
1
1
1
cc)(f
λ
λ
δ
λ
λ
δ
λ
−
⋅
+
−
⋅
=
(2.4.5)
Пользуясь представлениями (2.4.4), (2.4.5), можно получить
ii
c
2
1
i
εε ⋅
∑
=
= (2.4.6)
i
n
ii
2
1
i
n
c ελελ ⋅⋅=⋅
∑
=
откуда следуют зависимости между моментами ελ
k
, ελ ⋅
n
различных порядков
(
)
(
)
(
)
ελλλλελλλελλλ ⋅⋅−⋅=⋅⋅−−⋅⋅−
k
2
n
1
n
2
k
1
kn
2
n
1
nk
2
k
1
(2.4.7)
Для определения момента
λε
достаточно взять первое уравнение
системы (2.4.3)
(
)
(
)
()
()
ελλελ
ελλελελελ
⋅−⋅⋅∞+
+⋅−⋅⋅+⋅=⋅
c
c2
G
0G
(2.4.8)
и соотношение (2.4.7) при
2
n
=
и
1
k
=
20
(
)
ελλελλλελ ⋅⋅−=⋅⋅−−
2121
2
. (2.4.9)
Подставляя (2.4.9) в (2.4.8), получаем
(
)
(
)
(
)
(
)
()()
ελλλλ
λελλλλλ
⋅⋅⋅∞−⋅⋅−
−=⋅⋅⋅∞−−+⋅−
)G0G
(G0G1
c
21
c
21
(2.4.10)
Отсюда находим
()
()
()
()()
1
10(
12
0)
12
c
GG
c
GG
λελλλλλ
λλλλε
−
⋅=−⋅+−−∞⋅⋅−
−⋅⋅−∞⋅⋅
(2.4.11)
Таким образом, тензор макроскопических модулей упругости в
одноточечном приближении имеет вид
()
(
)
()
(
)
()()
)G0G
(G0G1
c
21
1
c
21
λλλλ
λλλλλλ
⋅∞−⋅⋅−
−⋅⋅∞−−+⋅−=
−
∗
(2.4.12)
Выражение (2.4.12) содержит неопределенный тензор
c
λ
, что является
следствием приближенности решения. Сравнение с экспериментальными
данными и некоторыми расчетами , основанными на регулярной модели
композиционных материалов , показывает. что для матричных смесей следует
принимать
c
λλ
=
, если жесткость матрицы больше жесткости
включений, и
c
s
λ =
, если жесткость матрицы меньше жесткости включений.
Здесь
s
- тензор упругих податливостей .
Точность решения задачи о макроскопических постоянных в
одноточечном приближении определяется величиной слагаемого
(
)
(
)
)2(c)2(n)1()2()1(
xxG ελλλ ⋅−⋅⋅−⋅
⋅
в (2.4.2).
Если композиционный материал является изотропным в микро - и
макрообъемах, то двухточечные моменты модулей упругости
(
)
)2(c)2(n)1(
ελλλ ⋅−⋅
⋅
зависят только от расстояния между точками
)2()1(
xx − , а интегральный оператор
G
обладает свойством
(
)
(
)
0xxxxG
)2()1()2()1(
=−⋅−⋅ ϕ
, (2.4.13)