Иванец В.Н., Крохалев А.А. и др. Процессы и аппараты пищевых производств. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Новым элементом здесь являются коэффициенты кинетической энергии

(коэффициент Кориолиса) , величина которых зависит от степени неравно-

мерности распределения скоростей по живому сечению потока; они корректи-

руют величину кинетической энергии при определении ее по средним скоро-

стям v в соответствующих живых сечениях 1-1 и 2-2.Коэффициент  определя-

ется опытным путем на основании специальных измерений скоростей в различ-

ных точках потока жидкости. Для ламинарного режима в круглых трубах =2,0,

а для турбулентного (развитого) =1,05-1,1. Уравнение (2-41) является уравне-

нием Бернулли для целого потока реальной жидкости. При этом сумма трех его

членов - есть сумма трех удельных энергий целого потока вязкой жидкости в

сечениях 1-1 и 2-2:

 v

- удельная кинетическая энергия потока;

g

- удель-

ная потенциальная энергия давления; z - удельная энергия положения; h - поте-

ри энергии, происшедших при движении реальной (вязкой) жидкости от перво-

го сечения ко второму.

Как уже указывалось, удельная энергия в гидравлике называется напо-

ром, поэтому уравнения Бернулли в геометрической интерпретации может

быть представлено: H

Д1

Д2

+ h, где H

Д1

- полный напор потока в сечении 1-1;

Д2

- полный напор потока, в сечении 2-2; h- потери напора между сечениями

1-1 и 2-2.

Виды гидравлических сопротивлений.

При движении жидкости различают два вида сопротивлений и, соответ-

ственно, два вида. потерь напора:

1) потери напора по длине (сопротивления по длине);

2) местные потери напора (местные сопротивления).

Потери напора обусловливаются наличием трения жидкости о стенки,

ограничивающие поток, а также действием сил внутреннего трения. Потери

напора, по длине распределяются равномерно по длине потока. Местные по-

тери - это потери напора, возникающие в местах изменения живого сечения

или конфигурации потока (то есть происходит резкое местное изменение ве-

личины и/или направлений его скоростей).

Ламинарный режим.

Основное уравнение равномерного движения.

Рассмотрим (рис.2.19.) поток жидкости произвольной формы, имеющий

по длине постоянное живое сечение S и наклоненное к горизонту под углом .

Выделим в потоке сечениями 1-1 и 2-2 отсек АВСD длиной L. Обозначим дав-

ления в центрах тяжести живых сечений 1-1 и 2-2 соответственно p

и p

, гео-

метрические высоты центров тяжести z

и z

(отметим, что sin  



z z

2 1

В условиях равномерного движения внешние силы, приложенные к

жидкости, должны быть равны силам сопротивления, поэтому сумма проекций

внешних сил на любую ось должна быть равна сумме проекций сил сопротив-

ления на ту же ось (т.е. сумма проекций всех внешних сил, приложенных к

указанному объему, на любую ось должна быть равна нулю). На выделенный

объем действуют внешние силы: - силы давления F

и F

нормальные к этим

сечениям:

F p S p S p S p S

1 1 1 1 2 2 2 2



; F (S

=S. т.к. равномерное движе-

ние);

- силы гидродинамического давления p

на боковую поверхность отсека

АВСD со стороны окружающей его жидкости, направлены перпендикулярно к

этой поверхности;

- сила тяжести (вес отсека), направлена по вертикали вниз:

gSL





;

- силы сопротивления движению T, приложены вдоль поверхности сте-

нок отсека. Обозначим через  силу трения, приходящуюся на единицу по-

верхности (т.е. касательные напряжения): T=   L - эта сила направлена па-

раллельно оси, но в сторону, обратную течению. Здесь - смоченный пери-

метр (2-20).

Составим уравнения проекций внешних сил на ось x-x (с учетом того,

что p

не дают проекции на эту ось).

F F G T

1 2





sin



, или

p S p S gSL

z z

1 2

2 1

 



  L

дл

Рис.19

Рис.2.19.

разделим все члены последнего уравнения на gS:

z z

1 2

2 1

 





   



, или

 



















 















L

так как кинетические энергии в сечениях 1-1 и 2-2 равны (равны площа-

ди сечений, значит, и скорости равны), то левая часть уравнения выражает

потери напора на длине отсека (см.2-41):

h h

ДЛ

 







(2-42)

основное уравнение равномерного движения.

Таким образом, сопротивления, возникающие при равномерном движе-

нии вязкой жидкости, прямо пропорциональны длине потока, смоченному пе-

риметру, напряжению силы трения на стенке и обратно пропорциональны

площади живого сечения потока. Учтем, что



 (2-20), тогда уравнение

(2-42) будет иметь следующий вид h

R g

ДЛ







Разделим на L:

L R g

ДЛ







. Т.к.

ДЛ

 (см. 2-39), получим:









iR g iR

Г Г

(2-43)

наиболее часто употребляемый вид основного уравнения равномерного

движения.

Потери напора по длине и распределение скоростей по живому

сечению при ламинарном режиме

в условиях установившегося движения.

Рассмотрим наиболее интересный и важный для нас случай движения

вязкой жидкости в напорном

трубопроводе (рис.2.20.) круг-

лого сечения радиусом r

. Со-

вместим ось x-х с осью трубы

и наметим ось r по направле-

нию измерения диаметра. Вы-

делим внутри трубы цилинд-

рический столб движущейся

жидкости радиусом r (заштри-

хован).

Рис.20

Рис.2.20.

Для продольного касательного напряжения трения  по боковой поверх-

ности жидкого столба можно записать два выражения:

-1 согласно закону Ньютона (2-6):   

-2 cогласно уравнению равномерного движения (2-43):    R i

(где R

 



Решая совместно эти два уравнения относительно скорости u, получим:

du irdr 





. Интегрируя это уравнение получаем:

u ir C  



4

. Постоянную интегрирования С находим из следующего

условия: при r = r

u=0. Окончательно





u i r r 



4

2 2

(2-44)

т.е. скорость изменяется по па-

раболическому закону (рис.2.21).

Причем при =0 (в центре трубы) ско-

рость максимальна u ir

max





4

Или подставив это выражение в

(2-44) получим закон Стокса:

u u

 













max

(2-45)

Из выражения (2-6) следует, что величина напряжения сил трения изме-

няется по живому сечению трубы по линейному закону. При этом 

max

при r=r

(у стенки) и  = 0 при r = 0(в центре трубы).

Определим расход жидкости, проходящей по трубе. Элементарный рас-

ход жидкости, проходящей через элементарную часть площади живого сече-

ния в виде кольца толщиной dr, имеющего радиус r (рис.2.18.):





dQ u dS u 2 i r r r dr  





r dr =

2 2

Интегрируя по всей площади живого сечения

 

Q r r r dr   



128

2 2





 











i i r i d

r=r

4 4

(2-46)

- закон (формула) Гагена-Пуазейля.

u=0

max

Рис.21

Рис.2.21.

Средняя скорость:

ДЛ

 













 

128 4 32 32

















i d i d

4 2

(2-47)

Откуда:

L L

ДЛ

 







g d

(2-48)

Сопоставляя выражения (2-47) и (2-44) можно видеть, что в круглой тру-

бе при ламинарном режиме движения средняя скорость v в два раза мень-

ше максимальной, т.е. v u

max

Из (2-48) видно, что потери напора по длине при ламинарном режиме

движения пропорциональны первой степени скорости.

Установим выражение для гидравлического уклона. Разделим почленно

уравнение (2-48) на L:

g d

дл

 

32 v



, или, помножив и поделив на 2v, пере-

пишем в виде i

v d 2g d v d g d







2 32 64

v v

2 2

 

, а т.к.

v d



 Re, то i 

64 v

2g d

(2-

49)

Следовательно, гидравлический уклон при ламинарном режиме движе-

ния зависит от числа Re; выражение

обозначают  

(2-50) и называ-

ют коэффициентом гидравлического трения.

Окончательно формула для определения потери напора по длине мо-

жет быть записаны:

дл

 

(2-51)

-формула Дарси-Вейсбаха.

Турбулентный режим движения

В технологических аппаратах наиболее часто встречается не ламинар-

ный, а турбулентный режим движения. Многочисленные попытки подойти к

исследованию турбулентного режима, методами математического анализа

оканчивались неудачей из-за невозможности охватить с помощью закончен-

ной теории наблюдаемые многообразные и сложные явления. В турбулент-

ном потоке каждая отдельно взятая частица жидкости движется по сложной

криволинейной траектории. Т.е. описать уравнениями движение частиц прак-

тически невозможно. Современная гидродинамика при изучении турбулентно-

го режима использует в основном статистический метод исследования, рас-

сматривающий какие-то “сглаженные”, средние по времени, характеристики

потока. И на основании всестороннего теоретического и экспериментального

исследований с помощью этого метода можно установить основные эаконо-

мерности и дать их количественную оценку. Рассмотрим некоторый поток

жидкости при турбулентном режиме. Несмотря на то, что каждая частица уча-

ствует как в продольных, так и поперечных движениях, все же можно устано-

вить главное направление движения - движение частиц вдоль оси потока, т.к.

каждая из них, в конце концов, перемешается в этом направлении. Отметим

т.0 (рис.2.22.) в пространстве, заполненном движущейся жидкостью. Через

нее будут проходить различные частицы жидкости, причем скорости будут

различны не только по величине, но и по направлению. Скорости движения

частиц жидкости в данной точке в данный момент времени называют мгно-

венными местными скоростями в дан-

ной точке или просто мгновенными ско-

ростями. Любую мгновенную скорость

можно разложить на составляющие.

Изобразим графически (рис.2.23.) из-

менения этих составляющих в зависи-

мости от времени (допустим продоль-

ную составляющую скорости, имеющей

наибольшие значения для практиче-

ских целей). Эти графики называют графиками пульсаций. Поскольку мгно-

венная скорость в данной точке не постоянна, а измененяется во времени, в

гидродинамике для удобства исследования потока вводится понятие усред-

ненной скорости (

) - т.е. средней скоростью в данной точке за достаточно

большой промежуток времени: v

v dt





. Усредненную скорость иногда назы-

вают средней местной скоростью.

Разность между истинным и усредненным значениями мгновенной ме-

стной скорости называется

пульсационной скоростью или

пульсационной добавкой:







. Понятие усреднен-

ной скорости не следует сме-

шивать (нельзя!) с понятием

средней скорости, представ-

ляющей собой не среднюю по

времени скорость в данной

точке, а среднюю скорость

для всего поперечного сече-

ния. В гидродинамике вводит-

ся понятие интенсивности

турбулентности:





Рис.22

Рис.23

Рис.2.22.

Рис.2.23.

Профиль осредненных во времени скоростей отличается от графика

скоростей при ламинарном режиме движения, т.е. не параболический, -

вершина имеет более широкую вершину. И средняя скорость v v

ср max

, 0 5 ,а

значительно больше, причем это соотношение зависит от Re.

В турбулентном потоке всегда наблюдается пульсация скоростей,

вследствие чего между соседними слоями жидкости возникает обмен части-

цами, вызывающий непрерывное перемешивание жидкости. Однако, у стенок,

ограничивающих поток, создаются особые условия для движения жидкости

(рис.2.24.). Многочисленными экспериментами было установлено, что скоро-

сти течения жидкости непосредственно на самой поверхности стенок вследст-

вие прилипания к ним смачивающей жидкости, равны нулю; на весьма малом

расстоянии от стенок скорости достигают значительной величины; в более

удаленных от стенок точках сечения происходит дальнейшее (но уже более

медленное) увеличение скорости.

На основании этих пред-

посылок Л. Прандтлем (30-е

годы XX в.) была предложена

схематизированная модель

турбулентного потока. По этой

схеме у стенок образуется

весьма тонкий слой, в котором

скорость изменяется не скач-

кообразно, а непрерывно и

движение жидкости происхо-

дит по законам ламинарного

режима. Основная часть пото-

ка (ядро), связанная с этим

слоем, называемым вязким

(или ламинарным) подслоем,

короткой переходной зоной,

движется турбулентно с почти одинаковой для всех частиц жидкости осред-

ненной скоростью. Наличие подслоя доказано экспериментально. Толщина

весьма мала, обычно определяется долями мм и зависит от Re. Несмотря на

малую толщину, вязкий подслой оказывает решающее влияние на интенсив-

ность тепло- и массопереноса.

Касательные напряжения в турбулентном потоке

Полное суммарное касательное напряжение , возникающее в турбу-

лентном потоке, определяют как сумму двух напряжений - вязкостного



, вы-

зываемого внутренним трением жидкости, и инерционного 

, обусловленного

турбулентным перемешиванием: =

+

. Первое из них находится по урав-

нению (2-6). Второе слагаемое обусловливается пульсационными добавками

скорости, зависимость которых от осредненных характеристик турбулентного

потока до сих пор полностью не установлена. Наиболее известным является

решение, полученное на основе полуэмпирической теории Прандтля, соглас-

ядро турбулентного

потока

переходная

область

ламинарный

подслой

стенка

трубы

Рис.24

Рис.2.24.

но которой  















. Здесь L - длина пути перемешивания. При турбу-

лентном движении помимо продольного движения, имеется еще и поперечное

перемещение частиц со скоростью



(пульсационная скорость). Поэтому фи-

зически длину пути перемешивания можно представить как путь, который

должна пройти в поперечном направлении частица жидкости относительно

остальной ее массы, чтобы в результате смешения с окружающим турбулент-

ным потоком потерять свою пульсационную составляющую скорости.

Таким образом суммарное касательное напряжение равно:

       













В И

(2-52)

При ламинарном режиме, когда перемешивание не происходит, длина

пути перемешивания L=0 и уравнение превращается в обычное для этого слу-

чая уравнение (2-6). При турбулентном режиме, который характеризуется ин-

тенсивным перемешиванием, значением



пренебрегают и полное напряже-

ние определяют как  













. Таким образом при большой турбулент-

ности потока (Re>>10000) можно считать, что касательное напряжение будет

пропорционально плотности жидкости и квадрату градиента скорости. Если

турбулентный режим характеризуется небольшими числами вязкостное на-

пряжение соизмеримо с инерционным и полное напряжение будет пропор-

ционально скорости в степени, несколько меньше второй.

Понятие о гидравлически гладких и гидравлически

шероховатых трубах.

На механизм турбулентного потока большое влияние оказывает состоя-

ние ограничивающих его твердых стенок, всегда обладающих в той или иной

степени известной шероховатостью. Шероховатость характеризуется величи-

ной и формой различных выступов и неровностей, имеющихся на стенках и

зависит от материала и их обработки. С течением времени шероховатость

изменяется от появления ржавчины, коррозии, осадков и др. В качестве ос-

новной характеристики шероховатости служит так называемая абсолютная

шероховатость , представляющая собой среднюю величину выступов и не-

ровностей. Пределы  от 0,05мм (новые цельнотянутые трубы) до 2,0 мм (ста-

рые стальные). В случае, если выступы шероховатости меньше толщины вяз-

кого (ламинарного) подслоя, т.е. если <, тогда неровности стенки будут

полностью погружены в этот слой, турбулентная часть потока не будет вхо-

дить в непосредственное соприкосновение со стенками и потери энергии (на-

пора.) не будут зависеть от шероховатости, а будут обусловлены лишь свой-

ствами самой жидкости. Такие трубы называются гидравлически гладкими.

Если же >, неровности стенок будут выступать в турбулентную об-

ласть, увеличивать тем самым беспорядочность движения и существенным

образом влиять на потерю энергии. В этом случае трубы называют гидрав-

лически шероховатыми.

Такое деление условно,

т.к. величина  не постоянна и

уменьшается с увеличением

Re. Следовательно, одна и та

же труба (стенка) в зависимо-

сти от Re может быть и гидрав-

лически гладкой и шерохова-

той.

Для характеристики

влияния шероховатости на гид-

равлические сопротивления в

гидравлике вводится понятие

относительной шероховатости

, под которой понимают без-

размерное отношение абсо-

лютной шероховатости к неко-

торому линейному размеру, на-

пример, радиусу трубы:  =/r.

Иногда вводится понятие отно-

сительной гладкости: 

= r/. На

гидравлические сопротивления влияет не только абсолютное значение шеро-

ховатости, но в значительной степени и форма выступов, густота и характер

их расположения. Различают стенки с равномерной (обычно в лабораторных

исследованиях) и неравномерной (практически) шероховатостью. При гидрав-

лических расчетах используют понятие так называемой эквивалентной шеро-

ховатости. Эта шероховатость представляет собой такую величину выступов

однородной абсолютной шероховатости, которая дает при подсчетах одина-

ковую с действительной шероховатостью величину потери напора.

Потери напора по длине при турбулентном равномерном

установившемся движении жидкости.

Как показывают опыты, потеря напора по длине может быть выражена

через скоростной напор. В общем случае зависимость для потери напора, по

длине записывается так: h

ДЛ

 

4 2

(2-53), где L- длина потока, R

- гид-

равлический радиус. Для круглых труб (4R

=d) получим формулу Дарси-

Вейсбаха:

ДЛ

 

(2-54)

где - коэффициент гидравлического трения. В случае ламинарного ре-

жима движения была получена теоретическая формула для коэффициента

гидравлического трения (2-50).

Рис.25

гидравлически гладкая труба

гидравлически шероховатая труба

Рис.2.25.

При турбулентном режиме движения жидкости коэффициент  находит-

ся по эмпирическим формулам. В общем случае коэффициент гидравлическо-

го трения зависит от числа Re и от шероховатости стенок русла , т.е.

=f(Re,).

Вопросу влияния различных факторов на значение посвящено большое

число экспериментальных и теоретических работ. Большой вклад в решение

этого вопроса внес И. Никурадзе (1932 г.). Опыты проводились в трубах с ис-

кусственной однородной шероховатостью. В трубах с такой шероховатостью

при различных расходах определялась потеря напора и по формуле (2-54)

вычислялся коэффициент гидравлического трения и строился график =f(Re).

В области ламинарного режима (Re < 2300 или lgRe < 3,36) все опытные точки

независимо от шероховатости уложились на одну прямую I . Следовательно, в

этом случае  зависит только от критерия Рейнольдса Re и не зависит от ше-

роховатости. При значениях Re от 2300 до 3000  быстро возрастает с увели-

чением Re, оставаясь одинаковым для различных значений шероховатости. В

области турбулентного режима (lg Re > 3,48 т.е. Re > 3000) начинает сказы-

ваться влияние шероховатости, при этом чем больше шероховатость, тем

выше значение  для одних и тех же чисел Re. Для труб с большой шерохова-

тостью  постепенно возрастает с увеличением Re, достигая некоторого по-

стоянного значения. Для труб с малой шероховатостью опытные точки в неко-

тором интервале располагаются вдоль наклонной прямой II (так называемая

прямая Блазиуса для “гладких” труб). Отклонение от этой прямой наступает

тем раньше, чем больше шероховатость. При этом  тоже стремится к неко-

торому определенному пределу (III). Это так называемая область вполне

“шероховатых труб”, отвечающая квадратичному закону сопротивления

(т.е.



 v м

2 2

или h

дл

). Таким образом всю область чисел на графике Нику-

радзе можно разделить на пять зон:

1 - ламинарный режим, =f(Re);

2 - переходная из ламинарного в турбулентный режим, =f(Re);

3 - область "гидравлически гладких" труб при турбулентном режиме,

=f(Re); 40 r/ <Re< 80 r/;

4 - область шероховатых труб (доквадратичная область смешанного

трения при турбулентном режиме, =f(Re,); 80 r/ <Re< 1000 r/;

5 - область вполне шероховатых труб (квадратичная или автомодельная

область) при турбулентном режиме, =f(); Re > 1000 r/.

Основные закономерности, установленные Никурадзе, были в дальней-

шем подтверждены и развиты рядом исследователей. В настоящее время,

при определении коэффициента , предпочтение отдают графику Г.А. Мури-

на. (или график ВТИ), который приводится практически во всех книгах по гид-

равлике. Во многих случаях предпочтительней пользоваться для определения

не графиком, а расчетными зависимостями. Для зоны гладкого трения реко-

мендуют формулу Блазиуса:

 

0 3164

0 25

или формулу Конакова:

 

 

, lgRe - 1,5