Иванец В.Н., Крохалев А.А. и др. Процессы и аппараты пищевых производств. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Режимы движения жидкости

Чтобы правильно решить одну из основных задач практики гидравлики, -

т.е. определить величину гидравлических сопротивлений, необходимо соста-

вить ясное представление о механизме самого движения жидкости. При ис-

следовании вопроса пришли к заключению о существовании двух различных

режимов движения. Впервые предположение о существовании двух режимов

движения жидкости было высказано Д.И. Менделеевым (1880г.), но со всей

очевидностью наличие режимов было подтверждено в 1883г. английским фи-

зиком 0. Рейнольдсом на основе простых и наглядных опытов.

К напорному баку 1 присоединена (рис.2.15.) прозрачная (стеклянная)

труба 2, по которой движется исследуемая жидкость. Над баком 1 расположен

небольшой бачок 3 с подкрашенной (контрастной) жидкостью, свойства кото-

рой близки к свойствам исследуемой жидкости. Т.е., эту подкрашенную жид-

кость можно назвать индикатором или трассером. Подкрашенная жидкость при

помощи тонкой трубки вводится в поток исследуемой жидкости.

В своих опытах Рейнольдс исследовал жидкости с различными физиче-

скими свойствами (вязкостью  и плотностью ) в трубах разного диаметра d.

Во время опытов также в широком диапазоне изменялась средняя скорость v

движения жидкости.

При некоторых определенных условиях подкрашенная жидкость обра-

зует прямолинейную, резко выделяющуюся и не смешивающуюся с окружаю-

щей жидкостью струйку. Иначе говоря, жидкость движется отдельными не пе-

ремешивающимися слоями. Такой режим движения жидкости называется ла-

минарным.

турбулентный

переходный

ламинарный

Рис.15

Рис.2.15.

С увеличением скорости струйка подкрашенной жидкости начинает дви-

гаться волнообразно, затем разрываться и перемешиваться с потоком жидко-

сти. Становится заметными вихреобразования и вращательное движение

жидкости. Отдельные частицы перемешиваются между собой и движутся по

самым причудливым, все время изменяющимся траекториям. Такой режим

движения жидкости называется турбулентным. Такое движение называется

еще беспорядочным. Однако, и при турбулентном режиме имеют место опре-

деленные закономерности.

Обобщив результаты своих многолетних (более 10 лет) опытов, прове-

денных на круглых трубах, Рейнольдс нашел общие условия, при которых

возможны существование того или иного режима и переход от одного режима

к другому. Установил основные факторы, определяющие характер режима:

средняя скорость движения жидкости v, диаметр трубопровода d, плотность

жидкости , ее вязкость . Для характеристики режима движения жидкости

Рейнольдс ввел безразмерный параметр, учитывающий влияние перечислен-

ных факторов, называемый числом или критерием Рейнольдса:

Re 





(2-22)

или, с учетом того, что =

Re 



(2-23)

Границы существования того или иного режима движения жидкости оп-

ределяются двумя критическими значениями критерия Рейнольдса: нижним

и верхним Re

. Значения скорости, соответствующие этим значениям

также называют критическими. При Re < Re

возможен только ламинарный

режим, а при Re > Re

- только турбулентный режим, в интервале от Re

до

- неустойчивое состояние потока (переходный режим). В опытах самого

Рейнольдса Re

=2000, Re

=12000. Многочисленные эксперименты, проведен-

ные в более позднее время, показали, что критические числа не являются ус-

тойчивыми и, при известных условиях, неустойчивая зона может оказаться

шире. В настоящее время при расчетах принято считать, что при Re < 2320

всегда ламинарный режим, а при Re > 10000 - турбулентный. Это спра-

ведливо для труб и каналов круглого сечения, а в других случаях могут

быть другие значения.

Отметим, что при определении режима движения в каналах некруглого

сечения, критерий Рейнольдса рассчитывается:

Re Re 



или (2-24)

где d

-эквивалентный диаметр (2-21)

L - характерный линейный размер

Критерий Рейнольдса Re является одним из основных критериев гидро-

динамического подобия напорных потоков. Он является мерой отношения ки-

нетической энергии (сил инерции) жидкости к работе сил вязкого трения и от

него в общем случае зависят все безразмерные коэффициента, входящие в

расчетные зависимости, которые применяют в практике гидравлических рас-

четов.

Уравнение неразрывности потока.

Вначале выведем уравнение неразрывности для струйки. Рассмотрим

(рис.2.16.) отсек жидкости между сечениями 1-1 и 2-2 элементарной струйки.

За время dt в отсек 1-2 через площадь живого сечения dS

втечет жидкость в

количестве dS

dt (т.е. объем бесконечного малого цилиндра, имеющего ос-

нование dS

и длину u

dt). За это же время через живое сечение dS

из отсека

1-2 вытечет объем жидкости dS

dt. При этом

форма отсека не меняется (свойство “а” элемен-

тарной струйки), боковая поверхность непрони-

цаема (свойство “б”) и жидкость несжимаема.

Следовательно, объем жидкости, поступающий за

время dt в отсек через сечение 1-1, должен быть

равен объему жидкости, вытекающей за то же

время из отсека через сечение 2-2:

dS u dt dS u dt или dS u dS u

1 1 2 2 1 1 2 2



Аналогично и для других сечений, следовательно

dS u

const



(2-24)

уравнение неразрывности для элементарной струйки. Таким образом,

расход жидкости во всех сечениях элементарной струйки одинаков (в данный

момент времени). На основании уравнения (2-20) можно заключить, что ско-

рости движения жидкости обратно пропорциональны площадям соответст-

вующих живых сечений:



Рассмотрим участок потока (рис.2.14.). Возьмем несколько сечений 1-1,

2-2, 3-3. Обозначим S

, S

и dS

, dS

площади живых сечений потока и

площади живых сечений элементарной струйки в указанных сечениях, соот-

ветственно. Интегрируя выражение (2-24) в пределах соответствующих сече-

ний, получим:

u dS u dS u dS

S S S

1 1 2 2 3 3

1 2 3

  

 

. На основании зависимости (2-18) можно за-

писать

Q v dS v dS v dS v S v S v S const

S S S

      

  

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

1 2 3

; (2-25)

где v

, v

- значения средних скоростей в сечениях 1-1, 2-2, 3-3.

Уравнение (2-26) является уравнением неразрывности (сплошности) для це-

лого потока жидкости при установившемся движении.

Рис.16

Рис.2.16.

Аналогично (2-25) для целого потока можно записать:

 . При ус-

тановившемся движении произведения площади живого сечения потока на

среднюю скорость есть величина постоянная, причем средние скорости пото-

ка обратно пропорциональны площадям соответствующих живых сечений.

Дифференциальные уравнения движения

идеальной жидкости (уравнения Эйлера).

В различных точках движущейся жидкости в результате действия внеш-

них сил возникает давление, называемое гидродинамическим (в отличие от

гидростатического, свойственного жидкости, находящейся в равновесии). По-

этому, как уже говорилось выше, одной из задач гидродинамики является оп-

ределение величин гидродинамического давления, возникающего внутри жид-

кости, а также скоростей движения жидкости в различных точках пространст-

ва, занятого жидкостью. Для решения этих задач необходимо составить урав-

нения движения жидкости, связывающие между собой скорости и ускорения с

силами, действующими на жидкость.

Рассмотрим движение элементарного жидкого тела. Введем обозначе-

ния: p- гидродинамическое давление, u- скорость движения жидкости в точке с

координатами x, y, z; u

, u

- составляющие скорости по осям координат.

Предположим, что на движущуюся жидкость действуют объемные силы, про-

екции которых на оси координат, отнесенные к единице массы (иначе, проек-

ции ускорений), равны X, Y, Z.

Общие уравнения движения идеальной жидкости могут быть получены

из дифференциальных уравнений равновесия той же жидкости, если согласно

принципу д’Аламбера, к действующим силам присоединить силы инерции.

Проекции сил инерции, которые должны быть присоединены к уравнениям

равновесия, также отнесем к единице массы, т.е. в виде:

     ; ; j j

Знак (-) показывает, что силы инерции направлены в сторону, противо-

положную ускорению.

Присоединив к дифференциальным уравнениям Эйлера (2-8) проекции

сил инерции, получим:

 























(2-27)

Полученная система уравнений (2-27) устанавливает связь между объ-

емными силами и скоростями, давлением и плотностью жидкости и называет-

ся уравнениями Эйлера. Смысл каждого из уравнений заключается в сле-

дующем: полное ускорение частиц вдоль координатной оси складывается от

ускорения массовых сил и ускорения от сил давления.

Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости.

Воспользуемся дифференциальными уравнениями движения (2-27).

Умножим первое уравнение на dx, второе - на dy, третье - на dz:

dx Xdx

dy Ydy

dz Zdz

 























(2-28)

Cложим систему уравнений:

dz Xdx Ydy Zdz

       

















(2-29).

Будем рассматривать струйку, которая при установившемся движении

является траекторией движения частиц. В этом случае dx, dy, dz будут проек-

циями элементарного пути dL, проходимого частицами за время dt, т.е.

dx=u

dt, dy=u

dt, dz=u

dt. Подставим эти значения в левую часть уравнения (2-

29), учитывая, что полная скорость u выражается через составляющие по

осям координат u u u u

x y z

2 2 2 2

   :

   

u dt

u dt u du u du u du

d u u u d u

z x x y y z z

x y z

     

   

2 2 2 2

В правой части уравнения (2-29) выражение Xdx+Ydy+Zdz=dU - являет-

ся полным дифференциалом силовой функции U (см. уравн. 2-9).

Т.к. мы рассматриваем установившееся движение, при котором гидро-

динамическое давление не зависит от времени, то трехчлен в скобках урав-

нения (2-29) представляет собой полный дифференциал давления:



dz dp   .

Итак, уравнение (2-29) можно привести к виду:





d u dU dp 



или





d u dp dU 



(2-30)

Уравнение (2-30) устанавливает связь между скоростью u, давлением p

и силовой функцией U для любого сечения струйки движущейся жидкости.

Проинтегрировав уравнение (2-30), получим

u p

U const

  



(2-31)

Т.е. для двух любых сечений элементарной струйки можем записать:

u p

2 2

    

 

(2-32)

Рассмотрим частный случай, когда из внешних объемных (массовых)

сил на жидкость действует только сила тяжести. Тогда, силовая функция,

соответствующая силе тяжести, может быть представлена, таким образом:





Подставляя значение U в уравнение (2-32), получим

u p

2 2

    

 

(2-33)

Ранее отмечалось, что все слагаемые отнесены к единице массы. Отне-

сем слагаемые уравнения (2-33) к единице веса жидкости, помня, что вес

единицы массы равен g. Разделив левую и правую части уравнения на g, по-

лучим:

u p

2 2

    

 

(2-34)

Зависимость (2-34) является уравнением Бернулли для элементарной

струйки идеальной жидкости, оно устанавливает связь между скоростью дви-

жения u, давлением p и геометрическим положением сечений струйки z. Впер-

вые получено Даниилом Бернулли в 1738 г. в результате применения к дви-

жущейся жидкости закона сохранения энергии. Это уравнение дало возмож-

ность решать многие практические задачи гидравлики.

Геометрический и энергетический смысл уравнения

Бернулли для струйки идеальной жидкости.

Предположим, что центры тяжести живых сечений струйки 1-1 и 2-2 рас-

положены на высотах z

и z

от плоскости сравнения 0-0 и что в этих центрах

тяжести расположены пьезометрические трубки. Жидкость в каждой трубке

поднимется на высоту h





,т.е. на пьезометрическую высоту.

Т.е. z

и z

представляют собой геометрические высоты центров тяжести

соответствующих живых сечений струйки над плоскостью сравнения, а члены



пьезометрические высоты, отвечающие давлениям в указанных

центрах тяжести. Третий член уравнения

имеет ту же размерность, что и

два других, т.е.





м и представляет собой скоростную высоту, соответствую-

щую скорости u и называется скоростным или динамическим напором. Отло-

жим от т.А отрезок Аа равный пьезометрической высоте



, а от т.В - отрезок

Вb равный



. Затем от точек a и b отложим отрезки аа

и bb

, соответствую-

щие скоростным напорам

2 2

и .

Аналогичные построения можно сделать для ряда живых сечений, взя-

тых вдоль элементарной струйки. Т.к. сумма трех членов

, и z



для

идеальной жидкости постоянна, вдоль оси струйки, то вершины вертикальных

отрезков аа

и bb

располагаются на одинаковых вертикальных расстояниях от

плоскости сравнения 0-0, и вершины этих отрезков должны лежать в одной

горизонтальной плоскости, называемой напорной плоскостью 0

-0

. В случае

идеальной жидкости напорная плоскость является горизонтальной. Если

плавно соединить уровни жидкости в пьезометрических трубках, то получим

пьезометрическую линию p-p.

Рис.17

Рис.2.17.

Сумма трех высот называется полным гидродинамическим напором и

обозначается H

. Следовательно, полный напор представляет собой сумму

потенциального H z

 



и скоростного h

ск



напоров, т.е. H

=H+h

ск

Все изложенное отражает геометрический смысл уравнения Бернулли.

Выясним физический смысл уравнения Бернулли. Рассмотрим частицу

жидкости массой dm, которая движется по линии тока. Определим величину

полной энергии, которой обладает частица в сечениях 1-1 и 2-2. Полная энер-

гия представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергии. Кине-

тическая энергия в сечении 1-1 равна

dm u

. Потенциальная энергия относи-

тельно плоскости сравнения 0-0 равна произведению веса частицы на высоту

ее подъема над этой плоскостью dm g z

. В сечении 1-1 частица будет подня-

та на высоту z





, где



- высота, соответствующая давлению, которое

поднимет эту частицу, например, в пьезометрической трубке. В сечении 2-2

частица, будет поднята на высоту z





. Таким образом, в сечении 1-1 час-

тица обладает потенциальной энергией dm g z

















. Аналогично в сечении

2-2: dm g z

















. Тогда полная энергия dE в сечениях будет равна:

dm u

dm g z

dm u

dm g z

  













  

























(2-35)

Разделив почленно уравнения (2-35) на вес dm g, определим полную

энергию жидкости, отнесенную к единице ее веса, т.е. удельную энергию de:

dm g

1 1

2 2

   













(2-36)

здесь:

2 2

и - удельная кинетическая энергия;

1 2

 

и - удельная

потенциальная энергия давления; z

1 2

и z - удельная потенциальная энергия

положения частицы в сечениях 1-1 и 2-2, соответственно.

Согласно уравнению Бернулли сумма трех указанных величин является

постоянной, что приводит к равенству de

= de

Сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, поэтому можно записать:

z const   

2 

(2-37)

Итак, сумма трех членов уравнения Бернулли есть сумма трех удельных

энергий: удельной кинетической энергии, удельной потенциальной энергии

давления и удельной потенциальной энергии положения. Для идеальной жид-

кости сумма трех удельных энергий (полный напор) по длине элементарной

струйки постоянна.

В общем уравнение Бернулли является специальным выражением ос-

новного физического закона сохранения энергии.

Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости.

Если вместо идеальной жидкости рассматривать реальную, то уравне-

ние Бернулли должно будет существенным образом измениться. При движе-

нии реальной жидкости ее полная удельная энергия или напор будет убывать

по направлению движения. Причина этому - неизбежные затраты энергии на

преодоление сопротивлений движению, обусловленные внутренним трением

в вязкой (т.е. реальной) жидкости. Значит для струйки реальной жидкости пол-

ная удельная энергия в сечении 1-1 будет всегда больше, чем полная удель-

ная энергия в следующем за ним сечении 2-2 на величину указанных потерь

энергии, и уравнение Бернулли вследствие этого принимает вид:

z h

2 2

     

 

(2-38)

Подобно тому, как три члена левой части этого уравнения и три первых

члена правой его части представляют собой полную энергию жидкости соот-

ветственно в сечениях 1-1 и 2-2, так и величина h

, является мерой энергии,

потерянной на преодоление сопротивлений при ее движении между указан-

ными сечениями. Соответствующий этой потере удельной энергии напор на-

зывают потерей напора между сечениями 1-1 и 2-2. В соответствии с этим

график уравнения Бернулли для струйки реальной (рис.2.16.) жидкости будет

отличаться от аналогичного графика для идеальной жидкости. Поскольку в

случае реальной жидкости полный напор вдоль струйки убывает по направ-

лению движение, напорную линию изображают не горизонтальной прямой (как

в случае идеальной жидкости), а некоторой кривой 0

-0

. Для характеристики

движения вязкой реальной жидкости пользуются понятиями гидравлический и

пьезометрический уклоны потока. Гидравлическим уклоном i называется па-

дение полного напора, отнесенное к единице длины, измеряемой вдоль

струйки. Средний гидравлический уклон на участке между двумя сечениями 1-

1 и 2-2 определяется:



(2-39)

Пьезометрическим уклоном i

называется изменение потенциального

напора, отнесенное к единице длины:

















 













 

(2-40)

Уклоны i и i

- отвлеченные, безразмерные величины.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости.

Выведем уравнение Бернулли для установившегося потока вязкой (ре-

альной) жидкости, состоящего из совокупности элементарных струек. Вос-

пользуемся уравнением (2-33) для элементарной струйки. Т.к. мы предпола-

гаем, что поток состоит из совокупности элементарных струек, то уравнение

Бернулли для целого потока может быть получено путем суммирования (ин-

тегрирования) полных энергий всех элементарных струек, составляющих по-

ток, и потерь энергии, в них происшедших.

Проинтегрировав уравнение (2-38) по живому сечению потока, получим

уравнение Бернулли для потока реальной жидкости:









1 1

2 2

z h      (2-41)

Рис.18

Т.е. мы установили, что уравнение Бернулли для целого потока вязкой

жидкости по своему построению аналогично уравнению Бернулли для элемен-

тарной струйки. Как бы увеличили элементарную струйку до размеров целого

потока. Отметим важное отличие. Удельная кинетическая энергия или скорост-

ной напор в уравнении Бернулли для потока реальной жидкости рассчитывает-

ся по средней скорости v движения жидкости.

Рис.2.18.