Ильясов С.Г. Процессы и аппараты упаковочного производства

Подождите немного. Документ загружается.

указывает на равенство критериев подобия, Следовательно, у подобных явлений индикаторы

подобия равны единице.

Если константы подобия найдены из условий однозначности, то образованные из них критерии

называют определяющими. Критерий, в который входит искомая величина, называют определяемым.

Любая комбинация критериев подобия также представляет собой критерий подобия

рассматриваемого явления.

Для некоторой группы подобных процессов критерии подобия имеют определенные численные

значения. При переходе к другой группе подобных процессов, описываемых теми же

дифференциальными уравнениями, при том же наборе критериев подобия их численные значения

будут иными (вследствие, например, различий геометрических характеристик, скоростей потоков и

т. д.).

Из сказанного следует, что любая зависимость между переменными, характеризующими какое-

либо явление (т. е. система дифференциальных уравнений), может быть представлена в виде

зависимости между критериями подобия:

ƒ(К

,К

,...) = 0. (4.1)

Эту зависимость называют обобщенным (критериальным) уравнением, а критерии подобия К

обобщенными переменными величинами.

Таким образом, теория подобия дает возможность представить решение дифференциальных

уравнений и обрабатывать экспериментальные данные в виде обобщенных критериальных уравнений.

Это позволяет сократить число экспериментов при получении конкретных уравнений типа (4.1) за

счет варьирования критериев подобия, минуя определение всех величин, входящих в критерии

подобия уравнения (4.1).

Обычно уравнение (4.1) записывают в виде зависимости определяемого критерия подобия (в

который входит искомая величина) от определяющих:

= ƒ

(К

,К

,...) (4.2)

например,

= A К

,К

…,

где К

- определяемый критерий подобия; значения А, п, т находят опытным путем.

Если какой-либо эффект в исследуемом процессе становится очень слабым по сравнению с

другими (численные значения критериев могут быть при этом весьма малы или велики), то его

влиянием можно пренебречь. В этом случае критерии, характери

зующие интенсивность этого

эффекта, могут быть опущены из рассмотрения, и процесс приобретает свойство

автомодельности, т.е. независимости от этих критериев. Такое моделирование называют

приближенным.

Таким образом, теория подобия указывает, как надо ставить опыты и обрабатывать опытные

данные, чтобы, ограничившись минимальным числом опытов, иметь основание обобщать их

результаты и получать закономерности для целой группы подобных явлений. Теория подобия

позволяет с достаточной для практики точностью изучать сложные процессы на моделях

(значительно меньших по размерам и часто более простых, чем аппараты натуральной величины),

используя при этом не рабочие вещества (иногда токсичные, пожаро- и взрывоопасные,

дорогостоящие и т. п.), а модельные (например, воду, воздух и т. д.). Все это позволяет существенно

упрощать и удешевлять эксперименты, быстрее реализовывать результаты исследований.

Необходимо иметь в виду, что при использовании теории подобия существуют определенные

ограничения. Например, используя методы теории подобия, нельзя получить информации больше,

чем ее содержится в исходных уравнениях. Можно без обычных математических методов

интегрирования этих уравнений получить их интегральные решения, но если исходные уравнения

неверно описывают физическую сущность процесса, то и полученные с использованием методов

теории подобия зависимости будут неверны. Кроме того, моделирование на основе метода

обобщенных переменных всегда связано с проведением эксперимента, иногда достаточно сложного

и большого по объему, требующего значительных затрат времени. Полученные обобщенные

уравнения работают надежно только в тех интервалах изменения переменных, которые были

использованы при проведении эксперимента.

Преобразование дифференциальных уравнений методами теории подобия. Итак, теория

подобия дает возможность выражать дифференциальные уравнения в виде функциональной

зависимости между критериями подобия. При этом производят следующие действия:

формулируют подобие условий однозначности, т.е. задают константы подобия или

масштабные множители; обычно полагают, что они заданы (а

, а

и т. д.);

каждый из элементов дифференциального уравнения умножают на соответствующие

константы подобия, причем последние выносят за знак дифференциала (как постоянные

величины); при этом производная любого порядка преобразуется следующим образом:







;

3) приравнивают коэффициенты, стоящие при одинаковых слагаемых исходных и

преобразованных уравнений; тем самым выполняется тождественность уравнений для подобных

процессов и инвариантности исходных дифференциальных уравнений. Полученные уравнения или

инварианты подобия связывают между собой константы подобия;

4) в полученных индикаторах подобия константы подобия заменяют соответствующими

отношениями величин, выводят критерии подобия и устанавливают зависимость между ними

(критериальное уравнение).

2.2. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ

Используемые в химико-технологических процессах вещества обладают различными

физическими свойствами (вязкостью, плотностью и т. п.), а их состояние и условия проведения

процесса характеризуются различными параметрами (температурой, давлением, скоростью и т. п.),

которые могут измеряться в различных единицах.

Выражение данной физической величины через величины, положенные в основу определенной

системы единиц, называют размерностью этой величины. Одна и та же физическая величина может

иметь разную размерность в различных системах единиц.

Если неизвестно исходное уравнение, описывающее данное явление (процесс), то для

формирования критериев подобия можно использовать анализ размерностей - учение о методах

рационального построения систем единиц измерения. При этом величины разделяют на первичные,

численные значения которых устанавливают прямым измерением, и вторичные, определяемые как

функции первичных. Вторичная величина, выраженная через первичные, всегда представляет

собой степенной комплекс, записываемый в виде формулы размерности, так как только в этом

случае отношение одноименных величин не зависит от выбора единиц. Это условие совпадает с

требованием равенства размерностей величин в левой и правых частях получаемого уравнения.

Формула размерности какой-либо физической величины А имеет вид

[А] =L

... ,

(4.5)

где [А] - символ размерности определяемой (вторичной) физической величины; L, М, Т ... -

символы измеренных (первичных, основных) физических величин (соответственно длины, массы,

времени и т.д.);

, т,

, ...- целые или дробные, положительные или отрицательные числа, называемые

показателями размерности, или размерностью, определяемой величины А. Так, формула

размерности для ускорения а записывается в виде [а] = LT

-2

, для силы ƒ - в виде [ƒ] = LMT

-2

, и

т.д.

Выбор числа первичных (основных) физических величин в принципе произволен, но

практические соображения приводят к некоторому ограничению свободы в выборе этих величин и

их единиц.

Если для исследуемого процесса установлено, какие величины влияют на искомую

(вторичную) величину, но вид связи между

4.3. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Ниже излагаются основы теории подобия, предложенные А. Н. Колмогоровым Предположим, что

для описания изучаемых явлений используют т основных (первичных) независимых единиц

измерения А

, А

, ... (например, единицы длимы L, массы М и времени Т). Производные единицы

измерения образуются из основных согласно соотношению

AAAQ .....



. (4 .6)

Их размерность характеризуется числовыми показателями p

, p

, ….p

. Каждая величина X

размерности [X] = [Q] представляется в виде X = xQ (где x - числовое выражение величины X при

выбранной системе основных величин).

Пусть изучается класс явлений S и пусть каждое из них определяется заданием некоторой

системы величин У. Два таких явления S

и S

называют подобными, если значения величин У

характеризующих явление S

, получаются из значений соответствующих величин У

характеризующих явление S

, по формуле

,.....

1212

YkkkY



(4.7)

где коэффициенты подобия к

, к

, ... , к

постоянны, а показатели р

, р

, ... , р

определяются

размерностью величин У:

 

.......

AAAY 

(4.8)

Предположим, что из системы величин У выделена некоторая часть, образующая систему

определяющих параметров X, так что численное значение у любой величины У является функцией

у=f(X), численное значение х-параметров X, а вид функциональных зависимостей остается

одними тем же при любом выборе основных

единиц измерения А

, А

….А

. При таком предположении основной принцип теории подобия может быть сформулирован

следующим образом: для подобия явлений S

и S

необходимо и достаточно, чтобы значения любой

безразмерной комбинации определяющих параметров

XXXk .....



(4.9)

в явлениях Si и S

были равны, т.е. к

= к

Каждое безразмерное выражение к вида (4.9) называют критерием подобия. Очевидно, что при

таком определении критериев подобия в их число попадают все безразмерные определяющие

параметры и все соотношения вида

(4.10)

k= Х

{

/Х

где Х

и Х

– определяющие параметры одной и той же размерности.

Необходимость для подобия равенств k

= k

в применении к безразмерным параметрам и

отношениям вида (4.10) очевидна. Их можно называть тривиальными (симплексными). Отношения к

вида (4.10) при перечислении критериев подобия часто опускают. Если тривиальные условия подобия

= к

считаются заведомо выполненными, то среди нетривиальных условий подобия k

= k

имеется

только s= n — т

независимых (где n -число различных размерностей величин системы

 

, т

-число

независимых размерностей среди этих п). Поскольку всегда m



т, S



n. — т.

Если исследуемые явления изучают с помощью дифференциальных уравнений, то определяющие

параметры появляются либо в виде величин, входящих в начальные и граничные условия, либо в виде

коэффициентов, входящих в дифференциальные уравнения. После приведения уравнений к

безразмерному виду в них остаются безразмерные коэффициенты, которые и являются критериями

подобия.

Таким образом, рассмотренный аналитический метод получения обобщенных с переменных-

критериев подобия - объединяет основы теории подобия с анализом размерностей и определяет

необходимые и достаточные условия получения обобщенных критериальных уравнений любого

процесса, для которого составлено математическое описание.

4.4. ПОДОБИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Запишем уравнение Навье-Стокса (3.56)-уравнение переноса количества движения - для

вертикальной оси z:

wvg

























Перемножим все элементы этого уравнения на соответствующие константы подобия:



























.)(

zaa





















Для сохранения тождественности полученного и исходного уравнений приравняем все

коэффициенты, стоящие при одинаковых слагаемых:

./)(//

111

aaaaaaaaaaa

wvgppww





(4.11)

(1) (2) (3) (4) (5)

Разделив в выражении (4.11) комплексы констант подобия (1), (3), (4) и (5) на (2), получим

соотношения между соответствующими силами и силами инерции:







wlp

aaa



wlv

aaa

(4.12)

(1) (IV) (Ш) (IV)

Рассмотрим соотношение (IV) в выражении (4.12):

.1)/( 

wlv

aaa

Заменяя константы подобия на

отношения соответствующих величин, получим:

)/)(/(

2121



llww

или

idem



откуда

Re,// 



wlvwl

(4.13)

т.е. уже известное безразмерное число - критерий Рейнолъдса. Ом характеризует отношение сил

инерции к силам трения и определи режим движения во всех сходственных точках подобных систем.

Соотношение (I) в уравнении (4.12) учитывает неустановившееся движение жидкости:

;1



или

idem





откуда

./ Holw 



(4.14)

Выражение (4.14) является критерием подобия, характеризующим неустановившееся состояние

процесса, и называется критерием гомохронности Но. Во всех сходственных точках подобных систем

(натуры и модели) критерий гомохронности имеет одно и то же значение, если только в этих системах

движение неустановившееся.

Из соотношения (//) получим критерий подобия, характеризующий отношение сил

гидростатического давления к силам и инерции в подобных системах:



или

idem





Безразмерное отношение P/(



) называют критерием Эйлера

При решении многих технических задач гидродинамики важно

определять не абсолютное давление Р в системе, а разность давлений



Р между какими-либо точками

или сечениями потока жидкости. Поэтому обычно критерий Эйлера отражает влияние перепада

гидростатического давления на движение жидкости и выражается следующим образом:

)./(

wPEu





(4.15)

Наконец, соотношение (III) характеризует отношение силы тяжести к силе инерции:



или

idem



Отсюда получаем новый безразмерный комплекс, называемый критерием Фруда, который

отражает влияние сил тяжести на движение жидкости:

/(gl) = Fr. (4.16)

Таким образом, решение уравнения Навье-Стокса, описывающее в общем виде процесс движения

вязкой жидкости, может быть представлено критериальным уравнением вида

f (Но, Eu, Fr, Re) = 0, (4.17)

Которое называют обобщенным (критериальным) уравнением гидродинамики. Любая задача

движения вязкой жидкости может быть решена путем нахождения зависимости между критериями,

входящими в уравнение (4.17).

В уравнении (4.17) все критерии подобия, кроме Еu, являются определяющими, так как они

составлены только из величин, выражающих условия однозначности. Поскольку при решении

практических задач с помощью уравнения (4.17)обычно определяют величину



Р, входящую в Еu,

то в этом случае уравнение (4.17)вписывают относительно определяемого критерия Еu: