Холоднов В.А. Системный анализ и принятие решений. Компьютерное моделирование и оптимизация объектов химической технологии в MathCad и Excel

Подождите немного. Документ загружается.

331

13.7 Составление оптимального плана производства раствора

Цех промышленного предприятия выпускает две марки раствора. Известно

соотношение цемента и песка для каждой марки раствора. Запасы сырья

определяются возможностями поставщиков.

Составить оптимальный план производства раствора всех марок с позиций

многоцелевой оптимизации, при котором объем реализации раствора будет

максимальным (в стоимостном выражении) и будет также соблюдаться качество

раствора, если известна цена одной тонны раствора (Таблица 13.30).

Таблица 13.30 – Производственные данные для оптимизации

Нормы расхода ресурсов Характеристика

производства

Располагаемый

ресурс

Цемент

3000 6 5

Песок

3500 5 7

Объем реализации продукции

200 800

Показатель качества продукции

900 200

пред

=190000, 210000, 240000

пред

=180000, 200000, 250000

Введем обозначения переменных:

– количество раствора Р

, т;

– количество раствора Р

, т.

На первом этапе предпочтение отдается объему V как основной

характеристике производства. При этом необходимо составить математическую

модель, когда первый критерий V выступает в качестве целевой функции, а

второй К – в виде ограничений:

.пред

K)x(K

max,)x(V





Целевая функция: V = 200

+ 800

→ max

Ограничения: 6

+ 5

≤ 3000

+ 7

≤ 3500

900

+ 200

≥ К

пред

На втором этапе предпочтение отдается качеству К как одной из наиболее

важных характеристик производства. При этом необходимо составить

математическую модель, когда первый критерий К выступает в качестве целевой

функции, а второй V – в виде ограничений:

.пред

V)x(V

max,)x(K





Целевая функция: К = 900

+ 200

→ max

Ограничения: 6

+ 5

≤ 3000

+ 7

≤ 3500

200

+ 800

≥ V

пред

Решим задачу для обоих случаев с помощью системы Mathcad.

332

Первый случай:

Второй случай:

V x1 x2( ) 200 x1 800 x2

g1 x1 x2( ) 6 x1 5 x2

g2 x1 x2( ) 5 x1 7 x2

Kpred x1 x2( ) 900 x1 200 x2

x1 10

x2 400

Given

g1 x1 x2( ) 3000

g2 x1 x2( ) 3500

Kpred x1 x2( ) 190000

V x1 x2( ) 3.22 10















Maximize V x1 x2( )













118.868

415.094















Given

g1 x1 x2( ) 3000

g2 x1 x2( ) 3500

Kpred x1 x2( ) 210000













Maximize V x1 x2( )













145.283

396.226















V x1 x2( ) 3.558 10



Given

g2 x1 x2( ) 3500

g1 x1 x2( ) 3000

Kpred x1 x2( ) 240000

V x1 x2( ) 3.46 10















Maximize V x1 x2( )













184.906

367.925















V x1 x2( ) 200 x1 800 x2

g1 x1 x2( ) 6 x1 5 x2

g2 x1 x2( ) 5 x1 7 x2

Kpred x1 x2( ) 900 x1 200 x2

x1 10

x2 400

Given

g1 x1 x2( ) 3000

g2 x1 x2( ) 3500

V x1 x2( ) 180000













Maximize Kpred x1 x2( )

Kpred x1 x2( ) 3.805 10



333

Полученные результаты представлены в таблице 13.31.

Таблица 13.31 – Результаты вычислений

№ решения

V K

1 118.8679 415.0943 355849.1 190000

2 145.283 396.2264 346037.7 210000

3 184.9057 367.9245 331320.8 240000

4 394.7 126.31 180000 380526.3

5 368.42 157.89 200000 363157.9

6 302.63 236.84 250000 319736.8

С учетом полученных результатов можно построить кривую компромиссных

решений (рисунок 13.8).

0,00

150000,00

300000,00

450000,00

189928,00 235218,00 280508,00 325798,00 371088,00

Показатель качества

Показатель объема

Рисунок 13.8 – Кривая оптимальных решений

13.8 Многоцелевое линейное программирование

13.8.1 Решение задачи на основе маргинальных решений

Рассмотрим задачу линейного программирования с несколькими критериями

оптимальности. Пусть задана система критериев оптимальности в виде линейных

форм:

V x1 x2( ) 250000

Given

g1 x1 x2( ) 3000

g2 x1 x2( ) 3500

Kpred x1 x2( ) 3.197 10















302.632

236.842



























Maximize Kpred x1 x2( )

334

21213

21212

21211

x5x2)x,x(f

x3x4)x,x(f

x2x3)x,x(f







и ограничения на управляемые переменные.

,0x,0x

,010xx2

,018x3x2







определяющие область допустимых значений

x,x . Требуется найти такое

решение

)x,x(



, которое максимизирует одновременно все три частных критерия

оптимальности.

С помощью Mathcad определим максимальные маргинальные значения )(f

 ,

)(f

 и







f , которые они могут принимать в заданной ограниченной области

управляемых переменных.

Линейная форма )(f

 имеет маргинальное значение 12)(f

 в точке с

координатами 6x,0x

 . При этом 18)(f

 , .30)(f



Линейная форма )(f

 имеет маргинальное значение 24)(f

 в точке с

координатами .4x,3x

 При этом ,1)(f

 .14)(f



Линейная форма )(f

 имеет маргинальное значение 10)(f

 в точке с

координатами .0x,5x

 При этом ,15)(f

 .20)(f



Обобщенный критерий оптимальности составим в следующем виде:







iim

x,x

.)](f)(f[min)x,x(f

Таким образом, при этом критерии решением задачи будет точка

)x,x(



, в которой

достигается минимум суммы квадратов отклонений частных критериев

оптимальности от соответствующих маргинальных значений.

Подставляя в выражение )x,x(f

заданные линейные формы, запишем





.)]x5x2(10[)]x3x4(24[)]x2x3(12[x,xf

2121



После раскрытия скобок получим





.820x92x160xx8x38x29x,xf

2121

121



Минимальное значение этой функции достигается в точке с координатами

,52.1x;97.2x





которая принадлежит области допустимых значений управляемых переменных.

В этой точке частные критерии оптимальности имеют следующие значения:













66.1f,44.16f;87.5f

321





Отметим, что в данной задаче важность всех трех частных критериев

оптимальности принята одинаковой. Отметим, что подобным образом можно

решать задачи и нелинейного программирования.

Ниже представлены результаты расчетов:

f1 x1 x2( ) 3 x1 2 x2

f2 x1 x2( ) 4 x1 3 x2

f3 x1 x2( ) 2 x1 5 x2

g1 x1 x2( ) 2 x1 3 x2 18

g2 x1 x2( ) 2 x1 x2 10



335

g1 x1 x2( )



13.8.2 Метод условного центра масс

Пусть последовательно найдены значения экстремумов для каждого показателя

(u), что соответствует точкам в пространстве параметров с координатами {x

,..., xn

Введем понятие "условной массы" точки:





 

x,...,x,xW





где W

, x

,..., x

) – значение i-го показателя эффективности при совокупности

управляемых параметров, обеспечивающих его значение.

Тогда решению будет удовлетворять набор параметров, соответствующих точке с

координатами "условного центра масс":





Given

g1 x1 x2( )



g2 x1 x2( )















Maximize f1 x1 x2( )



























f1marg f1 x1 x2( )

f1marg 12

Given

g2 x1 x2( )









































Maximize f2 x1 x2( )

f2marg f2 x1 x2( )

f2marg 24

Given

g1 x1 x2( )



g2 x1 x2( )















Maximize f3 x1 x2( )



























f3marg f3 x1 x2( )

f3marg 10

F x1 x2( ) f1 x1 x2( ) f1marg( )

f2 x1 x2( ) f2marg( )

 f3 x1 x2( ) f3marg( )















Minimize F x1 x2( )













2.969

1.523















336

Найденные по этому методу средневзвешенные значения параметров x

учитывают не только интересы всех показателей качества, но и чувствительность

каждого по отношению к данному параметру.

Тогда в соответствии с методом условного центра масс получаем:



m1 0.261

m2 0.522

m3 0.217

S m1 m2



S 1

x1 m1 0 m2 3 m3 5

x1 2.652

x2 m1 6 m2 4 m3 0

x2 3.652

337

Приложение A

(Справочное)

Работа с математической системой Mathcad

В этой главе дается краткое обзорное описание системы компьютерной

математики Mathcad. Это описание позволит пользователю легко разобраться с

многочисленными примерами применения системы Mathcad в вычислениях,

моделировании и оптимизации химико-технологических процессов. Описание

операторов и фукций дано избранно, частности с учетом задач, решение которых

приводится в этой книге. Полный список операторов и фунций представлен в

специальной литературе.

A.1 Начало работы с Mathcad

A.1.1 Первый запуск системы

Прежде чем использовать систему Mathcad 2000/2001/2001i ее надо установить

(проинсталлировать) на жесткий диск ПК. Инсталляция Mathcad подобна

установке других программ в среде операционной системы Windows и достаточно

подробно описана в руководстве по установке. В связи с этим здесь процесс

инсталляции опускается и считается, что система Mathcad (для определенности

версии 2001i) уже установлена.

Для запуска системы Mathcad достаточно активизировать ярлык этой системы,

расположенный на рабочем столе Windows, или позицию рабочего меню с именем

Mathcad 2001i. При этом на рабочем столе Windows можно увидеть появление

основного окна системы с окном центра ресурсов – рисунок A.1.

Рисунок A.1 – Окно системы Mathcad 2001i с окном центра ресурсов

338

Обычно при повторных запусках появляется также окошко каждодневных

подсказок Tip of the day – рисунок A.2. Оно позволяет оперативно знакомиться с

основными возможностями Mathcad. Для переключения тем в этом окошке служит

кнопка “Next Tip”, а для перехода к работе с Mathcad – кнопка “OK”. Установив

мышью опцию Show tip on startup можно обеспечитьвывод этого окна при каждом

запуске Mathcad.

Рисунок A.2 – Окошко каждодневных подсказок Tip of the day

Окна Mathcad имеют стандартные средства управления. В частности это кнопки

сворачивания окна, изменения его размера от частичного к полному и наоборот и

закрытия окна. Свернутое окно размещается в панели задач.

Сразу после запуска система готова к созданию документа с вычислениями.

Первая же кнопка инструментальной панели “New WorkSheet” позволяет задать

подготовку нового документа с заданным стилем. Соответствующее ему окно

получает название Untitled: N, где N = 1, 2, 3.... В окне редактирования видны

маркер ввода (визир) в виде красного крестика и вертикальная черта, отделяющие

текущую страницу от соседней (справа). Для установки маркера ввода в нужное

окно надо указать его курсором мыши и щелкнуть ее левой клавишей (т. е.

быстро ее нажать и отпустить). Маркер ввода намечает места ввода блоков

текущего документа, которые будут рассмотрены позже.

A.1.2 Интерфейс пользователя системы Mathcad

Общий вид интерфейса пользователя системы Mathcad в наше время уже хорошо

известен. Поэтому ниже описаны лишь его характерные детали. Одна из них -

«заслонки» в виде выпуклой вертикальной черты в начале панелей. Уцепившись

за такую «заслонку» курсором мыши и нажав, с удержанием, левую клавишу

мыши можно перетащить ту или иную панель в любое место окна редактирования

и прилепить ее к любой стороне окна – рисунок A.3. Отдельные детали

интерфейса, например палитры математических знаков, можно удалять или

вводить с помощью опций, размещенных в позиции “View” (Вид) главного меню.

339

Рисунок A.3 – Основные элементы интерфейса системы Mathcad

Сверху окна системы Mathcad расположены титульная строка, меню и панель

инструментов “Toolbox” (рисунок A.3). Она имеет ряд кнопок:

Кнопки операций с файлами

1 New (Новый) – создание нового документа заданного стиля.

2 Open (Открыть) – загрузка ранее созданного документа из диалогового окна.

3 Save (Сохранить) – запись текущего документа с его именем.

Печать и контроль документов

4 Print (Печать) – распечатка документа на принтере.

5 Print Preview (Просмотр) – предварительный просмотр документа.

6 Check Speling (Проверка) – проверка орфографии документа.

Кнопки операций редактирования

7 Cut (Вырезать) – перенос выделенной части документа в буфер обмена

(Clipboard) с очисткой этой части документа.

8 Copy (Копировать) – копирование выделенной части документа в буфер обмена

с сохранением выделенной части документа

9 Paste (Вставить) – перенос содержимого буфера динамического обмена в окно

редактирования на место, указанное курсором мыши.

10 Undo (Отменить) – отмена предшествующей операции редактирования.

11 Redo (Повторить) – повтор отмененной операции.

340

Кнопки размещения блоков

12 Align Across (Выровнять по горизонтали) – блоки выравниваются по

горизонтали.

13 Align Down (Выровнять вниз) – блоки выравниваются по вертикали,

располагаясь сверху вниз.

Кнопки операций с выражениями

14 Insert Function (Вставить функции) – вставить функцию из списка,

появляющегося в диалоговом окне.

15 Insert Utit (Вставить единицы) – вставку размерных единиц.

16 Calculate (Пересчитать) – вычисление выделенного выражения.

Доступ к новым возможностям Mathcad 8/2000/2001 PRO

17 Insert Giperlink (Включение Гиперссылки) – обеспечивает создание

гиперссылки.

18 Component Wizard (Мастер Компонент) – открывает окно Мастера, дающего

удобный доступ ко всем компонентам системы.

19 Run MathConnex (Запуск системы MathConnex) – запуск системы для

стимуллирования блочно заданных устройств.

Переключатель размера символов

20 Zoom (Размер) – окно переключателя с полем выбранного размера символов.

21 Zoom – кнопка переключателя выводящее меню размеров символов.

Кнопки управления ресурсами

22 Resource Center (Центр Ресурсов) – дает доступ к центру ресурсов.

23 Help (Справка) – дает доступ к ресурсам справочной базы данных системы.

24 (Закрыть) – кнопка закрытия панели и ее удаления.

Кнопок управления вполне достаточно для работы с документами без применения

главного меню. Четвертая строка верхней части экрана – панель форматирования

(Рисунок A.1). Она имеет кнопки (Рисунок A.3) со следующим назначением:

Переключатель стиля текстовых блоков

1 Style (Стиль) – поле отображения стиля текстовых блоков.

2 Style – переключатель вывода и выбора стиля текстовых блоков.

Переключатель набора символов

3 Font (Фонт) – поле отображения наименования набора символов (фонтов).

4 Font – переключатель наборов символов (выводит меню имен символов).

Переключатель размера символов

5 Font Size (Размер фонтов) – поле отображения размера символов (фонтов).

6 Font Size – переключатель размера символов (выводит меню типовых

размеров).