Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Горелов С.Л. Лекции по теоретическим методам исследования турбулентности

Подождите немного. Документ загружается.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(государственный университет)

Ю.И. Хлопков, В.А. Жаров, С.Л. Горелов

ЛЕКЦИИ

ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ МЕТОДАМ

ИССЛЕДОВАНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Рекомендовано Учебно-методическим объединением

Московского физико-технического института

(государственного университета)

в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений

по направлению “Прикладные математика и физика”

Москва 2005

УДК 532.529

Х58

Рецензенты:

Кафедра физики Российского химико-технологического университета

(Зав. кафедрой, доктор физико-математических наук, профессор В.М. Кузнецов)

Доктор физико-математических наук, профессор И.И. Липатов

Хлопков Ю.И., Жаров В.А. Горелов С.Л.

Х58 Лекции по теоретическим методам исследования турбу-

лентности: Учебное пособие. — М.: МФТИ, 2005. — 179 с.

ISBN 5-7417-0132-9

Рассмотрены теоретические основы изучения турбулентного движения жидкости. Дан критический анализ

многочисленных теоретических подходов описания турбулентности. Турбулентность рассматривается в контексте

физических методов. Приведенный в пособии ретроспективный взгляд позволяет легко перейти к изучению

современных методов теоретического и численного исследования сложных неоднородных турбулентных течений. Книга

доступна как для студентов, так и для аспирантов-аэродинамиков.

Предназначено для широкого круга читателей, интересующихся современными проблемами описания

турбулентных течений.

УДК 532.529

ISBN 5-7417-0132-9 © Московский физико-технический институт

(государственный университет), 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Современные методы исследования

турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Турбулентность как естественное состояние

жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Турбулентность как ветвь статистической

физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Перенормировочная теория возмущений . . . . . . . . . 107

5. Ренормализационная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

170

ПРЕДИСЛОВИЕ

Вопросу теоретического описания турбулентных явлений посвящено множество

монографий и научных статей, так как эта проблема оказывается неувядающей вот уже в течение

более 150 лет. Время от времени появляются очень яркие новые идеи и методы, которые

вдохновляют многочисленных исследователей на преодоление необычайных трудностей,

связанных с пониманием сути проблемы. Тем не менее практическая важность хотя бы

инженерного решения этой проблемы породила огромное число полуэмпирических моделей, в

которых вопрос о сути проблемы не ставится, а результаты ориентируются на определенный

набор интересных для технических приложений течений. При этом делается упор на описание

средних моментов низкого порядка: средняя скорость, среднее давление, средняя кинетическая

энергия, средние концентрации химических компонентов и т. п. Кроме того, развивалось

моделирование, мотивацией которого была невозможность точного численного описания течений

при очень больших числах Рейнольдса.

В последнее время достигнут значительный прогресс в экспериментальном и

теоретическом изучении анизотропных турбулентных течений, который позволяет вернуться к

исходным проблемам, связанным с существом этого явления [1–4]. Экспериментально

обнаружены когерентные структуры, которые представляют существенные элементы течений,

оказывающие сильное влияние на различные физические характеристики потоков. Таким образом,

течение разбивается на глобально среднее течение, когерентную структуру и стохастический

компонент. Были сделаны эксперименты, которые способствовали выявлению деталей

когерентных структур. Стохастический же компонент стал теоретически связываться с так

называемой фрактальной структурой множества сингулярностей поля завихренности [6–8].

Сингулярная структура турбулентного поля пульсаций следует, например, из простых

рассуждений [5].

Рассмотрим уравнение Навье–Стокса:

() /сн

∂

+⋅∇=−∇ +Δvv v v

. (1)

При ν → 0 уравнение инвариантно относительно преобразований [29]:

л , л , л , л 0

rr t t

−

→→ → >vv

. (2)

Для конечных

ν уравнение будет инвариантным, если

нл

→ н

. (3)

Заметим, что число Re =

VL/ν инвариантно относительно преобразований (2) и (3). Предполагая,

что мелкомасштабная турбулентность статистически инвариантна относительно этих законов

подобия, мы можем выбрать

h, исходя из физических соображений. Предположение Колмогорова

(1941) –

законы подобия турбулентности оставляют неизменным поток энергии в

предположении о локальности нелинейных взаимодействий в k-пространстве.

Из этого

предположения следует, что скорость диссипации энергии инвариантна относительно

преобразований подобия (3). По определению,

ε = ν〈 (·v)

〉 , где символ 〈 …〉 – среднее по

ансамблю. Отсюда

ел

h−

→

(4)

Из инвариантности получаем

h = 1/3. Теория Колмогорова имеет сильное продолжение по

отношению к величине градиента скорости

·v. Рассмотрим величину

[

]

ΔΔvvv/()()/(

xxyxy

13 13

=− −)

Из преобразования подобия с

h = 1/3 следует

1/3

lim / 0

→

ΔΔ ≠v

. (5)

т.е. градиент скорости является сингулярной величиной.

Сингулярность поля пульсаций с самого начала проблемы обыгрывалась по аналогии с

кинетической теорией газов, т.е. несжимаемая жидкость рассматривалась как ансамбль жидких

частиц – молей. При этом течение определяется хаотическим движением молей, каждый из

которых обладает собственной скоростью и координатой. Изменение характера течения в целом,

например, поля средних скоростей происходит из-за турбулентного перемешивания молей с

разными собственными скоростями. Вообще любая характеристика течения является усреднением

аналогичных характеристик молей, составляющих данный поток. Аналогию между молярным

перемешиванием в турбулентном потоке и молекулярным переносом в газах использовали еще

Буссинеск и Прандтль для вывода известных формул турбулентного трения. Формула Буссинеска

имеет вид

фсн /,н v

uy l

∂∂

здесь величины

l и v – случайные длина перемешивания и пульсационная скорость жидкой

частицы. Формула Прандтля имеет вид

фсн /,н /

uy Luy

∂

∂∂

∂

здесь

L (путь смешения) – эмпирическая величина. В общем случае подобными формулами

осуществляется связь двух тензоров: тензора напряжения и тензора скоростей деформации.

Заметим, что подобная связь между названными тензорами называется

линейной, даже если

коэффициент

зависит от элементов поля скорости.

Большим вкладом в развитие теории турбулентности явилась каскадная теория передачи

энергии по спектру турбулентных пульсаций, т. е. передача энергии от больших масштабов к

меньшим. Колмогоров и Обухов придали этой теории в однородном и изотропном случае

аналитический вид, воспользовавшись теорией размерности и подобия. Результаты были

экспериментально подтверждены с большой степенью точности. С тех пор для течений с

большими числами Рейнольдса изотропная и однородная турбулентность рассматривается как

основная составляющая, хотя и допускается существование ситуаций, в которых спектр энергии

еще не установился.

Главный вывод этой теории – наличие инерционной области спектра по волновым числам

k: 1/L << k << (1/L)Re

3/4

, в которой вязкие эффекты диссипации энергии несущественны, благодаря

чему спектральная плотность энергии изменя ется в зависимости от волнового числа по закону «–

5/3». Включение этого элемента в динамику жидкости приводит к появлению моделей с некоторой

феноменологической связью тензора напряжений с тензором скоростей деформаций

дополнительными уравнениями, наподобие указанных выше, а также к некоторому числу

дополнительных уравнений для величин типа турбулентной энергии, скорости диссипации и т. п.

(например,

K–ε модель). Однако практика показала, что подобные модели имеют узкую область

применения. С изменением области применения меняются и константы, входящие в эти

уравнения, которые надо снова определять экспериментально. Кроме того, для течений типа

пограничного слоя возникали трудности с удовлетворением граничных условий на твердых

поверхностях.

Более последовательное, на наш взгляд, направление построения моделей для течений с

большими числами Рейнольдса связано с так называемым

подсеточным моделированием, смысл

которого связан с тем, чтобы оставить в уравнениях гидродинамики только масштабы,

превосходящие размеры расчетной сетки (разрешенные масштабы). Это уменьшает количество

степеней свободы до разумной величины и позволяет использовать современную вычислительную

технику для определения средних полей течения. Размер расчетной сетки выбирают так, чтобы

соответствующее ей волновое число находилось в инерционной области, и вводится некоторая

связь тензора напряжений с элементами поля течения. Так, например, в модели Смагоринского

вводится линейная связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформации.

Коэффициент вязкости заменяется на коэффициент турбулентной вязкости, который определяется

из осреднения подсеточных пульсаций, т. е. пульсаций, размер которых меньше размера сетки. К

исходным уравнениям могут быть добавлены несколько дополнительных уравнений, например,

для подсеточной кинетической энергии и т. п. Уравнения решаются по времени относительно

разрешенных переменных, при этом пульсации с подсеточными частотами отфильтровываются с

помощью того или иного фильтра, а то, что остается, усредняется по времени.

В этом их главное

отличие от моделей типа Буссинеска или Прандтля

, которые можно использовать и в

стационарных постановках.

Однако практика показала, что сильно анизотропные течения, такие, как течение в

пограничном слое или в слое смешения, не ухватываются такими теориями, приводя к

неправильному профилю скорости и другим эффектам. Последние экспериментальные

достижения показывают, что подобные модели не содержат ряд эффектов, которые наблюдаются в

реальных потоках. После скрупулезного анализа оказалось, что подсеточные модели должны

содержать эффекты переноса энергии по спектру в инерционной области, включая обратное

рассеяние энергии, а также ее перераспределение между нормальными компонентами тензора

напряжений. Эти эффекты являются следствием нелинейных взаимодействий и анизотропии.

Результаты, полученные при использовании нелинейной модели в крупномасштабном

моделировании нейтрального сдвигового пограничного слоя в атмосфере, демонстрируют

существенное улучшение в предсказании средних величин по сравнению с линейными моделями

типа модели Смагоринского. Эти результаты показывают также сильное влияние модели на

структуру течения.

Отметим также методы [24–28], в которых для турбулентного пограничного слоя на основе

множественного трехволнового резонанса получены уравнения для пульсаций в виде

кинетического уравнения для элементарных волн и явным образом выделенного уравнения для

пристеночной когерентной структуры, ответственной за генерацию завихренности со стенки.

Явное выделение когерентной структуры позволяет вновь вернуться к стационарной постановке

задачи. Характер нелинейности тензора напряжений при этом сохраняется.

Кроме методов подсеточного моделирования большое распространение получили методы

статистического моделирования турбулентных течений [16–22]. В этих методах делается попытка

феноменологически сформировать уравнение для плотности вероятности флуктуаций поля

скорости (и других параметров), которое затем решается с помощью методов Монте-Карло. Такой

подход позволяет вычислять как средние моменты низшего порядка, так и более тонкие

статистические характеристики. В качестве практических достижений этих подходов можно

указать на численное решение задач о турбулентном следе за цилиндром, о расплывании

турбулентного пятна, о профиле турбулентного пограничного слоя, обтекание обратной ступеньки

и т. п.

Параллельно с указанными результативными подходами к описанию турбулентной

динамики развиваются теоретические методы исследования, в которых на основе уравнений

Навье–Стокса делаются попытки найти либо статистическое решение проблемы [9, 10] (проблема

замыкания, уравнения в функциональных производных), либо используются методы

динамических систем (мультифрактальная структура поля завихренности, вейвлетный анализ –

фрактальное преобразование свертки) [5–7], либо используются уже зарекомендовавшие себя в

исследовании критических явлений ренормгрупповые приложения теоретико-физических

асимптотических методов, развитых в применении к описанию динамических систем с

бесконечным числом степеней свободы с возбуждением непрерывного спектра масштабов

[11–

14, 23, 30]. Детали метода громоздки, однако суть некоторых его вариантов можно пояснить на

примере метода Гаусса [15] вычисления эллиптического интеграла (в RNG методах тоже

вычисляются интегралы для нахождения средних по ансамблю величин, только эти интегралы

являются, вообще говоря, континуальными) с помощью арифметико-геометрического среднего.

Пусть надо вычислить интеграл вида

2р

22 22

2р cos sin

∫

Для его вычисления делается преобразование этого интеграла, которое оставляет вид и величину

этого выражения неизменными, т. е. новое выражение можно записать как

2р

22 22

2р cos sin

′

′′

∫

′

m′ и n′ определены выражениями

′′

т. е. рекуррентно. Гауссом было доказано, что предел для

m′ и n′ этих рекуррентных соотношений

существует, и

m′ и n′ совпадают. После этого искомый интеграл I легко выражается через этот

предел. Сведение задачи к рекурсивным соотношениям является основой многих RNG подходов.

Далее описаны результаты теоретических исследований, связанных с решением задачи об

изотропной и однородной турбулентности. Приводится простое физическое введение в сущность

явления, дается краткое описание математических методов, позволяющих описывать системы с

бесконечным числом степеней свободы. Кроме того, подводится итог применения этих методов

для описания однородной и изотропной турбулентности. Рассмотрены парадоксы и особенности

этих методов. Все это дает хорошую основу для понимания и применения современных

математических подходов к решению задач о турбулентном движении жидкости.

Список литературы

1. 1. Репик Е.У., Соседко Ю.П. Исследование прерывистой структуры течения в пристенной

области турбулентного пограничного слоя // Турбулентные течения. – М.: Наука, 1974.

2. 2. Садовский В.С., Синицына Н.П., Таганов Г.И. Численное исследование математической

модели пристенного течения в турбулентном пограничном слое // Пристенные турбулентные

течения. Ч. 1. – Новосибирск: Изд. СО АН СССР, 1975.

3. 3. Robinson S.K. Coherent Motions in the Turbulent Boundary Layer // Ann. Rev. Fluid Mech. –

1991. V. 23. P. 601–639.

4. 4. Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Горелов С.Л. Когерентные структуры в турбулентном

пограничном слое. – М.: МФТИ, 2002. – 267 с.

5. 5. Benzi R., Paladin G., Parizi G., Vulpiani A. On the multifractal nature of fully developed

turbulence and chaotic systems // J. Phys. A. Math. Gen. –1984. 17. P. 3521–3531.

6. 6. Суини Х. и др. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. – М.:

Мир, 1984. – 344 с.

7. 7. Farge Maric. Are wavelets and related multiscale techniques useful for turbulence? //

Tagungsber. Math. Forschungsinst. Obervolfach. – 1995. N 31. Р. 6–7.

8. 8. Монин А.С., Полубаринова-Кочина П.Я., Хлебников В.И. Космология, гидродинамика,

турбулентность. А.А. Фридман и развитие его научного наследия. – М.: Наука, 1989. – 325 с.

9. 9. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Теория турбулентности. Т. 2. –

М.: 1996. – 742 с.

10. 10. Inoue A. Functional Derivative Equations (including the Hopf equation) in an Analysis on

superspace over co-dimentional Frechet-Grassman algebra // Tagungsber. Math. Forschungsinst.,

Obervolfach. – 1991. N 35. Р. 9.

11. 11. Теодорович Э.В. Использование метода ренормализационной группы // Монин А.С., Яглом

А.М. Статистическая гидромеханика. Теория турбулентности. Т. 2. – М.: 1996. – 742 с.

12. 12. Аджемян Л.Ц., Антонов Н.В., Васильев А.Н. Квантовополевая ренормализационная группа

в теории развитой турбулентности // УФН. – 1996. Т. 166, № 12. С. 1257–1284.

13. 13. Захаров В.Е., Львов В.С. О статистическом описании нелинейных волновых полей //

Известия ВУЗов, Радиофизика. – 1975. Т. XVIII. № 10. С. 1470–1487.

14. 14. Ширков Д.В. Ренормализационная группа, принцип инвариантности и функциональная

автомодельность // ДАН СССР. – 1982. Т. 263. С. 64–67.

15. 15. Клайн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии: в двух томах. Т. 1. – М.: Наука,

1989. – 456 с.

16. 16. Кузнецов В.Р., Сабельников В.А. Турбулентность и горение. – М.: Наука, 1986. – 287 с.

17. 17. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. – М.:

Физматлит, 1994. – 448 с.

18. 18. Van Slooten P.R., Pope S.B. Advances in PDF modeling for inhomogeneous turbulent flow //

Phys. Fluids. – 1998. V. 10, N 1. Р. 246–265.

19. 19. Delarue B.J., Pope S.B. Calculation of subsonic and supersonic turbulent reacting mixing layers

using probability density functions methods // Phys. Fluids. – 1998. V. 10, N 2. Р. 487–498.

20. 20. Ong L., Wallace J. M. Joint probability density analysis of the structure and dynamics of the

vorticity of a turbulent boundary layer // J. Fluid Mech. – 1998. V. 367. Р. 291–321.

21. 21. Белоцерковский О.М., Иванов С.А., Яницкий В.Е. Прямое статистическое моделирование

некоторых задач турбулентности // ЖВМ и МФ. – 1998. Т. 38, № 3. С. 489–503.

22. 22. Белоцерковский О.М., Опарин А.М. Численный эксперимент в турбулентности. От

порядка к хаосу. Изд. 2-е, доп. – М.: Наука, 2000. – 223 с.

23. 23. Васильев А.Н. Квантово-полевая ренормгруппа в теории критического поведения и

стохастической динамике. Сиб. Изд. ПИАФ, 1998. – 774 с.

24. 24. Жаров В.А., Додонов И.Г., Хлопков Ю.И. Резонансные свойства ламинарного и

турбулентного пограничных слоев // Численное моделирование в задачах аэродинамики и

экологии. – М.: МФТИ, 1998.

25. 25. Zharov V.A., Dodonov I.G., Khlopkov Yu.I. Resonant properties of laminar and turbulent

boundary layers // Proc. of the third seminar on RRDPAE’98, Warsaw University of Technology,

Research Bulletin N 7, part II, Warsaw, 1999.

26. 26. Жаров В.А., Додонов И.Г., Хлопков Ю.И. Локализованные когерентные структуры в

пограничном слое // ПМТФ.– 2000. Т. 41, № 6. С. 60–68.

27. 27. Bogolepov V.A., Zharov V.A., Lipatov I.I., Khlopkov Yu.I. Turbulent boundary layer model with

explicit representation of coherent generative structure // Proc. of Int. conf. «Progress in nonlinear

science». Nizhniy Novgorod, Russia, July 2–6, 2001, V. II, pp. 209–214.

28. 28. Жаров В.А., Боголепов В.В., Липатов И.И., Хлопков Ю.И. Модель турбулентного

пограничного слоя с явным выделением когерентной генерационной структуры // ПМТФ.

2002. Т. 43, № 4. С. 65–74.

29. 29. Frish U. Fully developed turbulence and singularities // In: Chaotic behavior of deterministic

systems, Les Houches, 1981, North-Holland: Amsterdam, 1983, pp. 665–704.

30. 30. Теодорович Э.В. Метод ренормализационной группы в задачах механики // ПММ. – 2004.

Т. 68. Вып. 2. С. 335–367.

СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

1. Введение

Турбулентное движение жидкости является весьма привлекательной проблемой для

исследователей. Турбулентное движение можно наблюдать очень часто в повседневной жизни, а,

кроме того, для описания этого движения теоретически мы должны обратиться за помощью к

квантовой теории поля. Последнее обстоятельство делает турбулентность предметом внимания

все большего числа физиков-теоретиков.

Совершенно ясно, что турбулентность представляет проблему теории поля, которая в силу

своей нелинейности приводит к исходным понятиям детерминистического хаоса. Однако, если мы

преобразуем поле скорости по Фурье в пространство волновых чисел, исходная проблема

преобразуется в проблему многих степеней свободы с сильной связью, превращаясь фактически в

проблему многих тел. Этот подход к исследованию, выражаясь математически, переводит

проблему в ту же область, к которой принадлежат и критические явления, и статистическая теория

поля. Действительно, пионеры современной теории турбулентности в своих работах

руководствовались сходством с квантовой теорией поля с «константой» связи, которая может

изменяться от нуля до бесконечности. С их точки зрения привлечение турбулентности придавало

этим проблемам строгую и, очевидно, простую формулировку. Это как раз тот аспект

турбулентности, который будет интересовать нас в данном изложении, и далее будет видно, что

эта простота окажется иллюзорной.

Однако надо заметить, что отмеченное обстоятельство не является единственным,

привлекающим внимание к изучению турбулентности. Огромная практическая важность явления в

промышленных технологиях, в аэрокосмических приложениях и в описании окружающих нас

потоков убеждает нас, что турбулентность является объектом обширных феноменологических

исследований, проводимых теми, кто не хочет ждать, когда фундаментальная наука даст ответы на

многие поставленные вопросы. Фактически этот вид исследования является доминирующим в

исследовании турбулентности, поэтому желательно, чтобы теоретики были осведомлены о

достижениях в этой области. По этой причине мы затрагиваем основы феноменологии в пункте 2

наряду с рассмотрением некоторых идей, перед тем как познакомиться с полуэмпирическими

теориями, используемыми в приложениях. Следует подчеркнуть, что это лишь небольшой экскурс

в литературу, посвященную турбулентности. Поэтому сначала мы закончим этот пункт

дискуссией о различных предварительных соображениях.

В действительности жидкость или газ, рассматриваемые в качестве сплошной среды,

являются гораздо более сложными с точки зрения физики объектами, чем это будет определено

ниже. Для того чтобы исследовать как можно более простые задачи, ограничим наше внимание

средами с линейным соотношением между напряжением и скоростью деформации. Такие среды

называются «ньютоновскими». При этом мы исключаем интересные среды, подобные слоистым,

мелкодисперсным или пластическим. Последние остаются твердыми до некоторого критического

напряжения сдвига и начинают течь, когда напряжение превышает это значение. Кроме того, мы

не будем рассматривать увлекательную проблему уменьшения сопротивления с помощью

введения полимерных добавок [МакКомб, 1990].

Ограничимся также рассмотрением несжимаемой жидкости, т. е. плотность жидкости

всегда остается постоянной. Это означает, что мы исключаем некоторые явления, связанные с

понятием скорости звука.

Можно думать, что, вводя эти два ограничения, мы исключаем слишком многое. Но на

самом деле мы оставляем огромное количество жидких ньютоновских сред, имеющих большое

техническое значение, наподобие воды, алкоголя, глицерина или нефти, а также многих газов, при

условии, что скорость движения частиц в этих средах не превосходит одной трети скорости

распространения звука в них. В пункте 2 будут приведены основные уравнения, которым

подчиняется движение этого широкого класса сред. Здесь же мы рассмотрим соотношения,

связывающие жидкий континуум и микроскопическую структуру сред.

Рассмотрим газ, скорость частиц которого равна

ξ. Тогда, если газ находится в покое

(макроскопическое условие), среднее от всех составляющих молекулярных скоростей должно

быть равно нулю, т. е.

system

>=о

где осреднение производится по скоростям всех молекул. Однако если газ подвергнуть действию

макроскопических градиентов импульса, плотности и температуры, то это приведет к появлению

макроскопических потоков массы и тепла. Теперь, если мы снова выполним усреднение по

некоторому объему, содержащему достаточное количество молекул, но вместе с тем и достаточно

малое, чтобы можно было пренебречь изменением макроскопических величин внутри него, то

получим поле скорости континуума в виде

(,)

box

>=о x

Теперь мы хотим получить уравнения переноса для описания этих макроскопических процессов.

Для импульса – это уравнения Навье–Стокса, которые будут приведены в пункте 2. Однако если

бы вы захотели вывести их из микроскопических рассмотрений, то обнаружили бы, что подобная

трактовка строга и универсальна для тех свойств, которые являются основными для континуума.

А свойства, которые зависят от природы частных сред (т. е. вида напряжений), будут возвращать

нас к проблеме многих тел молекулярного взаимодействия. На практике мы можем избежать

столкновения с этими проблемами, если будем оперировать понятиями механики континуума,

ограничивая свое внимание (что и делается на самом деле) линейными ньютоновскими

жидкостями. Тем не менее поучительно взглянуть на то, что при этом остается, по крайней мере, в

принципе.

При выводе макроскопических свойств с помощью статистической механики нам

требуется одночастичная функция распределения

, которая определяет вероятность того, что

частица имеет определенные координаты в фазовом пространстве в некоторый момент времени.

Если мы выведем строгие уравнения для эволюции во времени для

, то обнаружим, что она

зависит от новой функции

, которая определяет вероятность того, что частица 1 имеет

определенные координаты в фазовом пространстве при условии, что частица 2 имеет некоторые

определенные координаты. Очевидно, что

– это условная вероятность, и если две частицы

статистически независимы, то мы получаем простой результат:

Однако в реальных ситуациях частицы не являются независимыми. Они взаимодействуют, так как

в противном случае они не смогли бы образовать макроскопических потоков, в которых бы

доминировал процесс стремления к равновесию. В соответствии с этим нам нужно получить

уравнение для двухчастичной функции распределения, но это приводит к тому, что в уравнении

появляется трехчастичная функция распределения. И так далее. Мы получаем незамкнутую

статистическую иерархию, в которой всегда на одно неизвестное больше, чем уравнений. Это

известная BBGKY-иерархия [Балеску, 1975; Райхль, 1980] и ее замыкание – серьезная нерешенная

проблема микроскопической статистической физики. Переходя к макроскопической

статистической физике, мы видим, что в самом центре ее существует проблема, в точности

аналогичная рассмотренной, поэтому главная тема будет связана с путями замыкания цепочки

уравнений в теории турбулентности и аналогией между теорией турбулентности и

микроскопической статистической теорией. (Отметим, что некоторые исследователи называют эту

аналогию мезоскопической физикой, но здесь этот термин не используется).

Следует, однако, понять ограничения, сопутствующие такой аналогии. В

микроскопической теории переноса, соответствующей умеренным условиям, макроскопические

процессы генерируют внешние масштабы, которые существенно больше микроскопических. Так

можно представить локальное равновесие, существующее в объеме достаточно большом, чтобы

подансамбль был представительным, т. е. позволял использовать результаты, полученные при

условии теплового равновесия. В турбулентности это не так. Поскольку в турбулентности

«транспортные процессы» – это не то же самое, что «молекулярные процессы», турбулентное

распределение не является нормальным. Поэтому нет аналогов ни константе Больцмана, ни

распределению Больцмана.