Хлопков Ю.И., Жаров В.А., Горелов С.Л. Лекции по теоретическим методам исследования турбулентности

Подождите немного. Документ загружается.

бвг в г

н (,)

() (,) ( ,)

ku t

utu t

∂

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

=−

∑

(113)

Но теперь из уравнения (99) получаем, что

вг

(, ) ( , ) 0utu t

−

=jkj

если j + k – j

≠0, и правая часть уравнения для 〈 u

(k, t)〉 обращается в ноль, поскольку M

αβγ

(0) = 0.

Этот результат конечно же согласуется с нашим предыдущим наблюдением, в котором равенство

нулю средней скорости (или по меньшей мере постоянство по всему пространству) влекло за

собой однородность и изотропию турбулентного движения. Уравнение для двухвременной

корреляции можно получить умножением каждого члена уравнения (91) на

(–k, t′) с

последующим усреднением:

бу

бвг в г у

н (,) ( ,)

() (,) ( ,) ( , )

ku tu t

utu tu t

∂

⎛⎞

′

+−=

⎜⎟

⎝⎠

′

=−

∑

kjkjk

−

(114)

Кроме того, можно записать его через компоненты корреляционных

тензоров. Используя

выражение (100) и перейдя к системе бесконечного размера, получим

бу

бвг вгу

н (;, )

() (, ;, )

kQ tt

dQ t t

∂

⎛⎞

′

⎜⎟

⎝⎠

′

∫

kj jkj

−

(115)

Нашей главной целью является получение замкнутой формы уравнения (115), записанной

исключительно через

ασ

(k; t, t′), и это то, что мы рассмотрим более подробно несколько позже.

Поэтому хотя и очень просто выводить уравнения для моментов более высокого порядка

иерархическим образом, мы не будем заниматься этим. Однако можно закончить этот этап

преобразованием уравнения (115) к изотропной форме. Воспользовавшись уравнением (102) для

изотропного корреляционного тензора и полагая

σ = α, с последующим суммированием по α,

получим

н (;, ) (;, )k Qktt Pktt

∂

⎛⎞

′′

⎜⎟

⎝⎠

, (116)

бвг вгб

(;, ) () (, ;, )

ktt M dQ tt

′′

=−

∫

kj jkj

, (117)

где было использовано соотношение Tr(

αβ

(k)) = 2.

При рассмотрении одновременных моментов ситуация сильно меняется. Для начала

отметим, что вывод уравнений менее прямолинеен, чем в двухвременном случае. К тому же на

поздней стадии нам понадобятся члены более высокого порядка из одноточечной иерархии в

явной форме. В соответствии с этим на этом этапе мы можем вывести эквивалент уравнения (115)

и следующее за ним уравнение. Снова нашей отправной точкой является уравнение (91) для

(k, t). Умножаем каждый член в этом уравнении на u

(–k, t), но прежде чем усреднить его, мы

выписываем второе уравнение из (91) для

(–k, t), умноженное на u

(k, t), и складываем их

вместе. Уравнение для одновременных корреляций легко приводится к виду

бу

бвг в г у

н (,) ( ,)

() (,) ( ,) ( ,)

{;б }

ku tu t

utu tu t

∂

⎛⎞

+−=

⎜⎟

⎝⎠

=−

+↔− ↔

∑

kjkjk

−+

(118)

где второй член в правой части уравнения получен из первого заменой k на –k и

α на σ.

Переходя к системе бесконечного размера, получим

бу

бвг вгу

н (;,)

() (, ;,)

{;бу}

kQ tt

dQ t t

∂

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

=−

+↔− ↔

∫

kj jkj

(119)

Аналогичным образом можно получить уравнение для моментов третьего порядка,

образовав сначала три уравнения из (89) для

(k, t), u

(k, t) и u

(k, t). Тогда каждое из этих

уравнений умножается на дополнительную пару скоростей, и после операции сложения и

усреднения получается

бсу

бвг в г с у

н (,) (,) (,)

() (,) ( ,) (,) (,)

{;бс}{ ;бу}

k u tu tu t

M u tu tu tu t

∂

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

=−

+↔ ↔+ ↔ ↔

∑

klp

kjkjlp

kl kp

(120)

где второй и третий члены в правой части могут быть получены из первого указанной

перестановкой. Следующие уравнения в этой последовательности можно найти в работе Орзага и

Крускала (1968).

Далее мы снова рассмотрим уравнение энергии для турбулентных пульсаций. При этом

надо заметить, что теперь мы имеем дело с ситуацией, когда средняя турбулентная энергия

постоянна по пространству. Поэтому когда мы будем рассматривать перенос турбулентной

энергии, то будем иметь в виду пространство волновых чисел. Кроме того, можно рассматривать

передачу энергии от вихрей одного размера к вихрям другого размера – этот процесс носит

название энергетического каскада.

Нашей исходной точкой будет уравнение (118) для одновременной корреляции.

Конкретизировать левую часть этого уравнения для изотропного случая можно, воспользовавшись

соотношением (102), которое приводит спектральный тензор к изотропному виду. После этого

можно получить уравнение для энергетического спектра

E(k, t), определенной соотношением

(107), которой теперь обобщается на случай зависимости от времени. Если положить

σ = α,

просуммировать по

α и (помня, что Tr(D

αβ

(k)) = 2) умножить каждый член уравнения (118) на

πk

, то получим

(/ 2н )(,) (,)ddt k Ekt Tkt+=

, (121)

где нелинейный член

T(k, t) определяется выражением

бвг

(,) 2р ()

[(, ,;) (, ,;)]

4р () (, , ;)

Tkt kM

dQ t Q t

kM dQ t

βγα βγα

βγα

=×

×−−−−−

=−−

∫

j jkjk jkjk

kj jkjk

(122)

здесь последний шаг следует из условия однородности, согласно которому момент третьего

порядка не может изменяться при замене k на –k, а оператор переноса

αβγ

(k) меняет знак на

обратный. Когда мы обсуждали вопрос о сохранении турбулентной энергии ранее, то отмечали,

что нелинейные члены сохраняют энергию. Следствием этого является то, что

T(k, t) может только

перераспределить энергию в пространстве волновых чисел, поэтому при интегрировании каждого

члена в уравнении (121) по k, как это следует из (106), получим

/2н (,) 0dE dt k E k t dk

∞

∫

. (123)

Скорость затухания полной кинетической энергии флуктуаций (на единицу массы жидкости) в

точности совпадает со скоростью диссипации. Следовательно, уравнение (123) дает нам простое

выражение для скорости диссипации

ε в случае изотропной турбулентности, которое можно

записать следующим образом:

/ е 2н (,)dE dt k E k t dk

∞

=− =−

∫

. (124)

Представляет интерес проверить, что вклад от

T(k, t) действительно исчезает при

интегрировании по всем волновым числам. Это можно сделать таким образом. Исходя из

определения (93) для

αβ

(k), можно показать, что

бв в б

() (,) (,)

utut=kk k

, (125)

и, таким образом,

бв вгб вгв

( ) (, , ) (, , )DQ Q−= −kjlk jlk

−

, (126)

где временно сделана замена немой переменной l = k – j. Тогда из (122), (126) и (92) следует, что

можно представить интеграл от

T(k, t) в виде

гвгв гвгв

(,)

(2 ) [ ( , , ) ( , 2 , )]

Tktdk

dd i kQ kQ

∞

−

=−−

∫

kj jl k jl kk

(127)

где немые переменные были заменены, а немые тензорные индексы оставлены. В этом месте было

использовано также уравнение неразрывности в виде

гг

(, ) 0lu t =l

, (128)

из которого следует также

гвгв

(, , , ) 0lQ t−=jl k

. (129)

Ясно, что при этом мы можем заменить

в первом члене правой части (127) на k

– l

= j

. В

результате получим

гвгв гвгв

(,)

(2 ) [ ( , , ) ( , 2 , )]

Tktdk

dd i jQ kQ

∞

−

=−−

∫

kj jl k jl kk

. (130)

Поскольку каждый момент третьего порядка симметричен относительно перестановки k на j,

видно, что подынтегральное выражение антисимметрично относительно этой перестановки и

поэтому интеграл равен нулю при интегрировании по всему пространству по этим переменным.

Отсюда видно, что

(,) 0Tktdk

∞

∫

. (131)

Позже мы увидим, что не только результат, полученный здесь, важен, но и важен способ, которым

он получен.

Высокий уровень флуктуаций завихренности является характерным для турбулентных

течений. Этот факт вместе с историей развития гидродинамики как самостоятельного предмета

исследований очень тесно соприкасается с вихревыми движениями, делая естественным

интерпретацию турбулентности на языке вихрей. В настоящее время вихревая интерпретация

турбулентности может показаться недоразвитым ответвлением рассматриваемой темы

исследований по сравнению, скажем, со статистической теорией, основанной на поле скорости.

Тем не менее она является направлением, важность которого растет, в особенности при изучении

когерентных структур, а также при интерпретации результатов компьютерного моделирования

турбулентности. Полная формулировка вихревого метода выводит нас за пределы

рассматриваемой темы, поэтому интересующиеся исследователи могут обратиться к книге

Шорина [Шорин, 1994]. Здесь мы рассмотрим только основные идеи. Вернемся в

конфигурационное пространство. Поскольку завихренность

ω есть ротор поля скорости,

подействуем этим оператором на уравнение (5) и получим (см., например, [Бэтчелор, 1967]):

бвбв

щ / щ / нщDDt ux

∂∂

∇

, (132)

где

D/Dt означает полную производную от времени и содержит конвективные производные

∂/∂x

, которые действуют на ω

. Это уравнение движения для завихренности.

Оно говорит нам, что скорость изменения завихренности зависит от взаимодействия

завихренности с градиентами скорости и от ее диссипации за счет вязкости. Чтобы лучше понять

влияние взаимодействия членов в правой части уравнения (132), рассмотрим вихревую трубку в

направлении оси

. Можно рассматривать эту структуру как длинный тонкий цилиндрический

элемент жидкости, вращающийся вокруг своей оси, которая также расположена вдоль оси

. Это

означает, что мы принимаем

β = 1 в уравнении (132) и смотрим, что произойдет с точки зрения

физики, когда

α = 1, 2, 3.

Игнорируя вязкие эффекты, рассмотрим теперь случай

α = 2 или α = 3. В любом случае

градиент является сдвиговым и стремится заставить вращаться жидкий элемент. Ясно, что в

результате наша гипотетическая вихревая трубка будет стремиться развернуть свою ось в

направлении

или x

соответственно. Таким образом, влияние подобного рода взаимодействия

состоит в обмене завихренностью между тремя скалярными компонентами

ω. Оставшийся случай

соответствует

α = 1. В этом случае градиент ∂u

/∂x

является продольным, поэтому если он

положителен, то будет растягивать вихревую трубку в направлении

, площадь поперечного

сечения трубки при этом будет уменьшаться. Сохранение углового момента (на единицу массы)

может быть выражено в виде

щ r const=

где

r – радиус вихревой трубки. Поэтому при уменьшении радиуса под влиянием продольного

градиента угловая скорость (пропорциональная

) будет увеличиваться, а вместе с ней и энергия

, определяемая масштабом r, тоже будет увеличиваться. Следовательно, энергия

преобразуется в малые масштабы.

Конечно, при этом надо рассмотреть вопрос, что случится, если градиент будет

отрицательным. Ясно, что отдельное воздействие, содержащее отрицательную скорость

деформации, будет иметь противоположный эффект по сравнению с рассмотренным, приводя к

сжатию вихревой трубки, а не к растяжению. Обсуждение этого аспекта часто приводит к

необходимости обращаться к утверждениям, относящимся к общим свойствам случайного

блуждания, согласно которым расстояние между двумя блуждающими точками в среднем со

временем растет или бесконечно малый линейный элемент в среднем растягивается в однородной

изотропной турбулентности ([Бэтчелор, 1952], [Кок, 1969], [Орзаг, 1970], [Коррзин, 1972], [Дар,

1976]), хотя доказательство не может быть строго обобщено на случай завихренности или

конечную длину элемента. Однако как только статистический ответ приобретает какой-то смысл,

мы замечаем, что наличие вязкости приводит к стоку энергии на малых масштабах и к

необратимости. То есть в среднем передача энергии должна происходить в направлении малых

масштабов.

Имея это в виду, следует заметить, что существует тенденция извлекать много смысла из

конкретной реализации турбулентного течения, полученного либо с помощью методов

визуализации, либо методом прямого численного моделирования. При этом надо осознать, что эта

информация является единичной реализацией и мало что может сказать нам о среднем поведении.

Представление об изотропной турбулентности является весьма искусственным, поскольку

требует, чтобы некоторое свойство, которое, естественно, присутствует в какой-то степени во всех

турбулентных течениях, было доминирующим или характеристическим, по крайней мере, в

некоторых турбулентных полях. Следствием этого является цена, которую мы платим за

относительную аналитическую простоту изотропной турбулентности, – те трудности, которые

встречаются при проверке полученных результатов.

Прежде чем перейти к формулированию конкретных тестовых задач в изотропной

турбулентности, рассмотрим сначала более типичную повседневную ситуацию, которую

представляет собой течение в трубе. В принципе было бы желательно решить замкнутую форму

уравнений Рейнольдса для средней скорости с граничными условиями равенства нулю скорости на

стенке трубы. Поскольку течение в трубе возможно только при наличии градиента давления, то,

естественно, надо задать еще и градиент давления. Для простоты возьмем его постоянным во

времени, так что течение само по себе будет независимым от времени. Ввиду этого оно очень

легко осуществимо на практике. Для полноты описания мы можем задать распределение средней

скорости на входе в трубу. В качестве простого предположения можно взять равномерное по

сечению распределение скорости на входе. Это также физически реализуемо, по крайней мере, с

достаточно хорошей точностью, если предположить, что труба соединена с резервуаром большой

емкости, хотя проще, и это обычно делается, проигнорировать «длину входа» и начать вычисления

на некотором расстоянии вниз по течению, где среднее распределение скорости уже не будет

зависеть от начальных условий (т. е. будет универсальным).

Существенным в этой постановке задачи является то, что классическая постановка

описания одномерного течения в трубе может быть сформулирована очень просто и

непосредственно. К тому же предсказания теории – средний профиль скорости в зависимости от

градиента давления – могут быть проверены экспериментально совершенно непротиворечивым и

строгим образом. И эта постановка годится для многих практически важных течений, кроме

изотропной турбулентности, где наинизшим статистическим моментом является энергетический

спектр, измерить который и проинтерпретировать существенно сложнее, чем профиль средней

скорости.

Рассмотрим баланс энергии для изотропной турбулентности, определяемый уравнением

(121), где член инерционной передачи энергии

T(k, t) связан с нелинейной частью уравнения

Навье–Стокса с помощью соотношений (122) и (101). Формально проблему замыкания в теории

турбулентности можно рассматривать как необходимость в определении связи между

T(k, t) и

энергетическим спектром

E(k, t). Предположим, что мы имеем такую зависимость. Тогда можно

заметить, что уравнение (121) является уравнением первого порядка относительно времени, для

решения которой необходимо задание начальных условий. То есть нам надо проинтегрировать

уравнение (121) по времени вперед при заданном начальном энергетическом спектре

(,0) ()

ke= k

, (133)

где

e(k) – некоторая функция, определяющая начальные значения полной энергии и скорости

диссипации на единицу массы жидкости. Однако, отвлекаясь от обсуждения, заметим, что важная

черта функции

e(k) состоит в том, что она совершенно произвольна. Это подчеркивает отличие

проблемы изотропной турбулентности от течения в трубе. Поэтому мы вынуждены полагаться на

то, что с течением времени поведение системы приобретает некоторую универсальность. Другими

словами, мы предполагаем, что турбулентность, будучи возбуждена некоторым произвольным

способом в момент времени t = 0, забывает о своем начальном состоянии с течением времени в тот

момент, когда генерация вихрей обусловлена всецело нелинейными взаимодействиями. Эти

взаимодействия являются общими для всех ситуаций, будучи внутренним свойством исходных

уравнений, поэтому можно ожидать, что поведение системы будет универсальным.

На практике наблюдается именно эта ситуация: автомодельное поведение наблюдается

экспериментально. Мы не будем здесь вдаваться в подробности, а только отметим, что подробное

обсуждение этих вопросов можно найти в работах Бэтчелора (1971), Хинце (1975) и Монина и

Яглома (1975), в том числе и случай решеточной турбулентности.

Однако с нашей точки зрения действительная важность состоит не только в том, что

решеточная турбулентность является изотропной, но и в том, что она содержит в себе

рассмотренные выше свойства независимо от того, как она была создана (т. е. каждый может

построить свою собственную решетку с некоторыми уникальными параметрами), иначе говоря,

эволюционирует к состоянию, которое не зависит от выбора начальных условий.

Мы уже отмечали, что очень легко сформулировать задачу о стационарной турбулентности

для случая течения в трубе. Более того, экспериментальная реализация стационарных условий

является простой задачей, что верно и для ряда других практически важных течений. Но это не так

в случае изотропной турбулентности, если не считать приближенного локального поведения в

течениях, занимающих большой пространственный объем, сравнимый с атмосферой земли или

океаном. Можно, конечно, надеяться на то, что компьютерное моделирование достигнет этого со

временем. Но в настоящее время оценка стационарных параметров турбулентности достигается не

без трудностей. Мы коснемся этого далее, но сначала рассмотрим теоретическую формулировку

задачи.

Образование стационарного изотропного турбулентного поля требует некоторого подвода

энергии, компенсирующего потери вследствие вязкой диссипации. Поэтому естественно ввести

понятие взбалтывающей силы, случайной по природе, которая создает случайное поле скорости в

процессе воздействия на жидкость. Этот шаг оказывается весьма содержательным. Смысл

взбалтывающей силы состоит главным образом в определении турбулентного ансамбля. Но для

наших целей будет достаточно заметить, что выбор этот надо осуществлять весьма осторожно, так

чтобы получить в итоге турбулентное поле, которое является характеристикой уравнений Навье–

Стокса, а не произвольного начального состояния.

Рассмотрим уравнение движения, дополненное случайной силой с компонентами

(k, t).

Уравнение (91) тогда можно записать

бвг в г б

н (,)

() (,) ( ,) (,)

ku t

utu tf t

∂

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

=−

∑

, (134)

где для удовлетворения условию дивергентности поля скорости взбалтывающая сила должна

удовлетворять условию, обобщающему соотношение (88)

бб

(,) 0kf t=k

. (135)

Заметим также, что взбалтывающая сила (как и другие члены в (134)) должна в действительности

быть силой на единицу массы и поэтому иметь размерность ускорения. Тем не менее, мы будем,

помня это условие, ссылаться на нее как на силу. Можно использовать уравнение (134) для того,

чтобы получить уравнения баланса энергии, как и выше. Для этого умножим каждый член на

(–

t) и усредним. Затем просуммируем по α, умножим на 2 π k

и, используя выражение (107) для

энергетического спектра, получим

бб

(/ 2н )(,)

(,) 2

(,) ( ,)

ddt k Ekt

Tkt k f tu t

=+ −kk

, (136)

которое отличается от (121) только наличием члена накачки в правой части уравнения. Для того

чтобы выразить его в явном виде, надо определить природу случайной взбалтывающей силы.

Можно решить эту задачу, взяв за пример броуновское движение. Предположим, что

распределение вероятности этой силы является нормальным (или гауссовым) с автокорреляцией,

подчиняющейся условию

бв бв

(,) ( ,) ()(, )

tf t D wkt t

′

−= −kk k

, (137)

где

αβ

(k) определено соотношением (101), а функция w(k, t – t′) должна быть определена

дополнительно. Заметим, что форма правой части (137) выбрана таким образом, чтобы

корреляционная функция силы была однородна, изотропна и стационарна. По аналогии с

броуновским движением выберем случайную взбалтывающую силу некоррелированной по

времени. Это означает, что функция

w(k, t – t′) должна иметь дельтаобразный вид вблизи t = t′:

(, ) ()д(wktt Wk tt

′

−= −

)

′

. (138)

Это предположение полезно тем, что даже если в начальный момент корреляция по времени

отсутствует, то вследствие нелинейного взаимодействия в соответствии с уравнением Навье–

Стокса она появится. Для того чтобы задать

W(k), мы должны вычислить последний член в правой

части уравнения (136). Рассмотрим очень простое объяснение этой операции. Предположим, что

отклик системы для малых интервалов

t – t′| определяется функцией Грина g(k, t – t′)

(,) (, ) (, )ut gttftd

′′

=−

∫

kk k

(139)

где g обладает свойством 〈 g〉 = g, а также

(, ) 0, ;

(, ) 1, .

kt t t t

′′

−= <

′

−= =

′

(140)

Первое из условий (140) указывает на то, что причина не может предшествовать следствию, а

второе условие отражает тот факт, что мгновенное изменение скорости по времени определяется

только интегралом от ускорения. Это свойство определяется фактически только функцией

g со

свойствами, в которых мы нуждаемся, поэтому подставляя (139) для

(–k, t), можно записать

член накачки (136) как

бу

2р (,) ( ,)

2р (, ) (,) ( , )

kfktu t

kg tt f tu tdt

−=

′′

=− −

∫

kkk

′

(141)

где мы использовали соотношение (137) для автокорреляции вместе с соотношением

Tr(

αβ

(k)) = 2. С учетом уравнения (141) уравнение баланса энергии (136) примет вид

(/ 2н )(,) (,) 2р ()ddt k Ekt Tkt kWk+=+

(142)

Стационарное состояние достигается тогда, когда член накачки (который выражает

скорость, с которой случайная сила совершает работу над жидкостью) в точности тот же, что и

скорость диссипации энергии за счет вязкости. В этих условиях производная по времени

обращается в ноль, кроме того, представляет большой интерес проинтегрировать оставшиеся

члены по всем

. Требуя в соответствии с (131), чтобы интеграл от T(k, t) по всем k был равен

нулю, что соответствует консервативности нелинейных членов, получим

2н () 4н () еkEkdk kWkdk

∞∞

∫∫

, (143)

где последний шаг следует из уравнения (124). Таким образом, в условиях стационарности

автокорреляция случайной силы может быть выражена через скорость диссипации энергии.

Обычная интерпретация уравнения (142) сводится к тому, что энергия системы,

содержащаяся в малых

k (большие масштабы), преобразуется с помощью нелинейного члена

T(k, t) в большие k (малые масштабы), где она поглощается вязкими членами. Очевидно, что

нелинейный член, который представляет коллективное воздействие всех мод на моду с волновым

вектором

k, является необычайно сложным. Однако вопреки этому общим эффектом от него

является энергетический каскад, который позволяет сформулировать замечательно простую

картину.

Прежде чем обсуждать процесс инерциального переноса, рассмотрим сначала область

волновых чисел, представляющих интерес с этой точки зрения. В случае нижней границы это

очень просто. Наибольшие возможные вихри ограничены размером системы, поэтому наименьшие

волновые числа определяются соотношением

min

/k= L

, (144)

где

L – наибольший эффективный линейный размер турбулентной системы. Можно ожидать, что

величина обрезания волновых чисел сверху определяется вязкой диссипацией. Единственные

параметры, определяющие этот эффект, – кинематическая вязкость

ν и скорость диссипации

энергии

ε, поэтому из соображений размерности можно ввести характеристический масштаб

длины

31/

з (н / е)=

, (145)

и (для удобства в проведении дальнейших выкладок) соответствующий масштаб скорости

1/4

(не)=v

. (146)

Величина, обратная выражению (145), принимается в качестве приближенной меры максимально

возможного волнового числа. Назовем ее

31/4

(е/ н )

k =

. (147)

Интересно отметить, что если мы определим локальное (по волновому числу) число Рейнольдса на

основе выше определенного масштаба, то получим

R( ) зн

k =

/=1

. (148)

Это говорит о том, что вязкие и инерциальные процессы имеют один порядок величины при

k ∼ k

Важно отметить, что наименьшие волновые числа определяются характером и размерами

конкретной турбулентной системы, в то время как наибольшие – общими свойствами,

описываемыми величинами

ν и ε. Таким образом, отношение k

к k

min

можно сделать как угодно

большим, в пределе бесконечных чисел Рейнольдса – бесконечно большим. Теперь отметим

следующее: из экспериментов [Тейлор, 1938] известно, что энергия определяется наименьшими

волновыми числами, в то время как диссипация – наибольшими, и что даже при умеренных

значениях числа Рейнольдса эти две области волновых чисел не перекрываются. Таким образом,

отсюда следует, что инерционный член (который связывает эти две области) можно сделать

доминирующим в сколь угодно большой области волновых чисел за счет увеличения числа

Рейнольдса (см. (147)), т. е. уменьшения величины наименьшего (диссипативного) волнового

числа. Этот факт является решающим для описания физики турбулентности, так как он позволяет

нам рассматривать инерционный перенос энергии, не беспокоясь о деталях накачки (при малых

или диссипации (при больших

k).

Мы начнем обсуждение нелинейного инерциального переноса с рассмотрения уравнения

(91), которое является уравнением Навье–Стокса для Фурье-компонент поля скорости. В этом

уравнении нелинейный член легко интерпретировать следующим образом. Два коэффициента в

разложении Фурье поля скорости с различными волновыми числами j и l = |k – j| связаны вместе

таким образом, чтобы было влияние на коэффициент разложения с волновым числом

k. Полный

вклад нелинейных членов определяется суммой по всем таким взаимодействиям. Эта объединение

волновых векторов в триады обычно называется «условием треугольника» и является примером

явления, известного в других областях физики (например, в электронике) как нелинейное

смешение.

Коллективная природа нелинейности ясна. В принципе каждая Фурье-мода поля скорости

связана со всеми другими модами, поэтому мы оказываемся перед очень сложной физической

задачей. В этих условиях естественно искать некоторые упрощающие предположения, которые

будут полезны, если сумма по всем модам будет ограничена некоторым ограниченным

множеством волновых векторов, которое является характерным для этой нелинейности. То есть

нам хотелось бы доказать, что удаленные гармоники слабо связаны и что некоторая мода

k будет

эффективно связана с модами

j и l, такими, что моды k, j и l имеют один порядок величины.

Другими словами, проводя аналогию, скажем, со спинами на решетке, нам хотелось бы

ограничить сумму только модами, являющимися ближайшими соседями.

Физические основы для такого предположения можно обнаружить, рассматривая действие

нелинейности в конфигурационном пространстве. Взаимодействие двух вихрей можно разложить

(

а) на конвективный перенос одного вихря полем скорости другого и (б) на разрушение одного

вихря другим. Первый из названных эффектов приводит только к сдвигу фаз соответствующих

Фурье-коэффициентов и с точки зрения динамики несуществен. Второй эффект приводит к

инерциальной деформации вихрей с передачей энергии к малым масштабам. Если

взаимодействующие вихри сильно отличаются по размерам, то с физической точки зрения весьма

вероятно, что несущественное изменение фазы является основным эффектом. Отсюда один шаг до

утверждения о том, что нелинейное взаимодействие до некоторой степени локально в

пространстве волновых чисел.

Теперь, возвращаясь к уравнению энергии, мы можем интерпретировать нелинейный член

потока энергии между модами с помощью усредненного по многим модам взаимодействия

рассмотренного выше типа. Объединение идеи локальности основных взаимодействий с идеей

осреднения приводит к важному выводу о том, что после ряда подобных шагов энергетический

каскад становится независящим от способа создания турбулентности. Поэтому энергетический

спектр в области больших волновых чисел принимает универсальный вид.

Эти идеи впервые были сформулированы Колмогоровым в двух знаменитых гипотезах

[Колмогоров, 1941 а, б]. Гипотезы Колмогорова являются принципами подобия для

энергетического спектра и могут быть выражены следующим образом.

Во-первых, при достаточно больших волновых числах спектр может зависеть только от

вязкости жидкости, скорости диссипации и собственно волнового числа. Поэтому, из соображений

размерности, энергетический спектр может быть представлен в виде

1/ 4

() з ( з ) е ( з)

k==

25/4

, (149)

где второе выражение следует из (146) и (147),

f – неизвестная функция универсального вида, а

диссипативная длина определена соотношением (145).

Второй принцип подобия состоит в том, что величина

E(k) не должна зависеть от вязкости,

когда число Рейнольдса стремится к бесконечности. Легко видеть, что это приводит к тому, чтобы

неизвестная функция имела вид

5/3 5/4 5/12 5/3

( з ) б( з ) бн е

kk k

−−

−

, (150)

где

α – постоянная.

Следовательно, после подстановки формулы (150) для функции

f(kη) уравнение (148)

запишется

2/3 5/3

() бе

−

(151)

в пределе бесконечного числа Рейнольдса. Полученное распределение называется

колмогоровским, а константа

α называется константой Колмогорова. В теоретических работах

часто используется спектральная функция q(k) вместо E(k). Из соображений удобства

воспользуемся соотношением (107) , при этом получим для

q(k):

2/3 11/3

() (б /4р)еqk k

−

. (152)

Для больших, но конечных чисел Рейнольдса можно постулировать существование

инерционной подобласти волновых чисел, таких, что

2р /

Lkk

в которой спектр, задаваемый формулой (151), не зависит от вязкости. При этом можно

переписать соотношение (150) в виде

5/3

( з ) б( з )(/

)

kkFkk

−

, (153)

где

F – другая универсальная функция, удовлетворяющая условию F(0) = 1, в результате чего

формулу (149) можно записать в виде

2/3 5/3

() бе (/ )

kkFk

−

= k

(154)

для 2

π/L << k, которая асимптотически стремится к выражению (151) в инерционной подобласти

волновых чисел. Для функции нет общепринятого выражения, но, как мы увидим позже,

экспериментальные данные подтверждают экспоненциальный закон.

Теперь отметим следующее. Различные доводы и гипотезы, представленные в этом пункте,

относятся не только к математической идеализации изотропной турбулентности. Действительно,

обычно утверждается, что, поскольку каскад предшествует очень маленьким масштабам,

преобразование флуктуаций скорости в флуктуации давления (и наоборот) будет приводить к

выделению предпочтительного направления, которое затем сглаживается. Таким образом, при

условии, что рассматриваемые вихри малы по сравнению с некоторой пространственной

неоднородностью течения, можно мыслить себе «локальную изотропию». В этих условиях

(которые опять приводят к тому, чтобы число Рейнольдса было достаточно велико) можно

ожидать, что колмогоровский спектр применим также и к сдвиговым течениям.

Было сделано много попыток вывести замкнутую форму уравнений для энергетического

спектра. Ситуация фактически очень похожа на ту, что была описана в ранее в связи с

уравнениями для одноточечных моментов с аналогичным разнообразием используемых

ad hoc

методов. Как и в том случае, понятие об эффективной (или турбулентной) вязкости оказалось

очень популярным. Мы обсудим метод эффективной вязкости Гейзенберга [1948 a, b] в качестве

представительного примера.

Начнем с того, что перепишем уравнение (121) для энергетического спектра в виде

(,)/ (,) 2н (,)

(,,| |) 2н (,)

dE k t dt T k t k E k t

Sk j dj kEkt

∞

−=

=−−

∫

(155)

где подробная структура выражения

S(k, j, |k – j|) может быть получена из выражения (122), хотя

здесь нам нужно только знать, что оно антисимметрично относительно перестановки символов

k и

j. Простейший способ замыкания этого уравнения состоит в том, что T пропорционально E.

Можно привести некоторые оправдание в пользу принятого предположения.

Проинтегрируем каждый член уравнения для спектра до некоторого произвольного волнового

числа

k′, тогда

00 0

(, ,| |) 2н (,)

kk k

dk dk djS k j k E k t dk

′′ ′

∞

=−−

∫∫∫ ∫