Гулякина Н.А. Общая теория систем

Подождите немного. Документ загружается.

Остается подчеркнуть, что системный анализ в современном

понимании не сводится к декомпозиции проблемы; это важный, но

промежуточный этап.

Наконец, третий момент — это понятие конфигуратора, т.е.

совокупности качественно различающихся точек зрения на проблему,

подлежащую разрешению. Здесь главным является предположение о

том, что такая совокупность точек зрения, "языков" (в кавычках и без

них) исчерпывающим образом позволяет описать систему и проблему.

Естественно, речь идет не об абсолютной, безотносительной полноте, а

о полноте, связанной с целью анализа. К такой полноте следует

стремиться в максимально возможной степени, а для ее обеспечения

вводится понятие "проблематика", которое будет рассмотрено в

следующей главе.

Раздел VIII. ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Тема 8.1 ВВЕДЕНИЕ

Ранее отмечалось, что почти во всех системах, используемых на

практике, наряду с полезным сигналом имеют место случайные

возмущения. Присутствие этих возмущений приводит к тому, что

форма и уровень сигнала на выходе системы отличаются, и в ряде

случаев в значительной степени, от его номинальных параметров. В

таких случаях, естественно, возникает вопрос: можно ли каким-нибудь

образом видоизменить данную систему так, чтобы уменьшить влияние

этих возмущений? Оказывается, что обычно представляется

возможным выбрать такую импульсную характеристику системы или

ее комплексную частотную характеристику (передаточную функцию),

которые минимизируют некоторые характерные признаки возмущений

на выходе системы. При этом систему называют оптимальной.

Исследование оптимальных систем для разных видов полезных

сигналов и широкого класса шумовых возмущений и помех связано с

большими сложностями из-за значительного разнообразия физических

ситуаций, в которых возникают различные сигналы и возмущения.

Литература по данному вопросу достаточно обширна, а методы,

используемые для определения структуры (т. е. синтеза) оптимальной

системы, достаточно общие (универсальные) и высокорезультативные

при всей их сложности, выходят за рамки рассматриваемого материала.

Тем не менее целесообразно ввести некоторые термины и пояснить ряд

вопросов с тем, чтобы Вы представляли себе возможности этих

методов и испытывал меньшие затруднения при знакомстве с

соответствующей литературой.

Один из первых этапов изучения оптимальных систем состоит в

точном определении самого понятия оптимальности. Существует

много различных критериев оптимальности, поэтому при выборе

подходящего критерия необходимо соблюдать осторожность. Эти

вопросы будут рассмотрены далее.

Следующий этап, который предполагает, что некоторый

критерий оптимальности уже выбран, заключается в определении

физической природы анализируемой системы. Здесь также возникает

возможность выбора, от правильности которого в значительной, а

иногда и в решающей степени зависит простота процедуры

оптимизации. Особенности этого этапа кратко рассматриваются в

параграфе "Ограничения оптимальных систем".

После того как определена структура оптимальной системы,

остается нерешенной задача оценки ее характеристик (т. е. задача

анализа оптимальной системы). В ряде случаев эта задача решается

достаточно просто, в других же ситуациях ее решение может оказаться

сложнее синтеза системы. В рамках рассматриваемого материала не

предпринимается попытка выполнения общего обзора методов анализа

— каждый случай должен анализироваться отдельно.

В задачах, возникающих в инженерной практике, последний этап

заключается в решении вопроса: возможна ли практическая реализация

(в том числе и с экономической точки зрения) оптимальной системы

или необходимы упрощенные ее варианты. Если окажется, а зачастую

именно эта ситуация и имеет место, что не представляется возможным

реализовать действительно оптимальную систему, то резонно

возникает сомнение относительно практической значимости методов

оптимизации. Однако, как это ни удивительно, оптимизация очень

часто оказывается высокоэффективной и целесообразной с

практической точки зрения операцией, даже если отсутствуют

намерение или прямая необходимость построения оптимальной

системы. Причина в том, что характеристики оптимальной системы

представляют собой критерий и меру, относительно которых могут

быть выполнены оценка и сравнение характеристик любых реальных

систем. Так как любая реальная система по своим параметрам не может

превзойти оптимальную систему этого же типа, их сравнение дает

ясный ответ на вопрос: есть ли необходимость в дальнейшем

совершенствовании реальной системы или же ее показатели настолько

близки к характеристикам оптимальной системы, что дальнейшее их

улучшение неоправданно, в том числе с экономической точки зрения?

Вероятно, именно возможность такого сравнения является основным

доводом в пользу исследования оптимальных систем, так как

действительно оптимальные в полном смысле этого слова системы

могут быть реализованы практически только в очень редких случаях.

Так как существует значительное число критериев

оптимальности, из которых может быть сделан выбор, необходимо

установить основные факторы, определяющие целесообразность

использования того или иного критерия. Прежде всего необходимо,

чтобы критерий удовлетворял ряду требований.

1. Критерий оптимальности должен иметь физический смысл, а

его применение не должно приводить к очевидным результатам.

Например, если в качестве критерия оптимальности был бы выбран

критерий минимума (минимизации) мощности шума на выходе

системы, то очевидно, что в результате мы получили бы систему, на

выходе которой как полезный сигнал, так и шум имеют нулевые

значения. Ясно, что это тривиальный результат. С другой стороны,

если формулировку критерия минимума мощности выходного шума

дополнить словами “при заданной мощности полезного сигнала на

выходе”, то он может оказаться вполне приемлемым.

2. Следствием применения критерия оптимальности должна быть

единственность и однозначность решения поставленной задачи.

Например, критерий с формулировкой “математическое ожидание

ошибки воспроизведения выходного сигнала системой должно быть

равно нулю” может быть реализован с помощью многих систем, далеко

не равнозначных в отношении получаемой при этом дисперсии данной

ошибки.

3. Критерий оптимальности должен приводить к математическим

соотношениям и алгоритмам, поддающимся решению. Это требование

оказывается весьма строгим и является главной причиной,

обусловливающей широкое применение на практике лишь очень

незначительного числа критериев. Вследствие этого выбор критерия

часто осуществляется с учетом в первую очередь именно этого

требования, даже если в данной ситуации могли бы быть более

целесообразными некоторые другие критерии.

На выбор критерия оптимальности часто влияет физическая

природа входного сигнала, а именно является ли этот сигнал

детерминированным или случайным. Причина различия такого рода

заключается в том, что обычно применительно к этим двум разным по

характеру сигналам используются и системы, имеющие разное

назначение. В частности, если входной сигнал является

детерминированным, то задача его наблюдения (приема) заключается

либо в установлении факта его наличия или отсутствия (задача

обнаружения), либо в определении момента времени прихода сигнала,

либо в измерении его уровня и т. д. С другой стороны, если сигнал

является случайным, то назначение системы, на вход которой он

воздействует, состоит в определении этих параметров с максимальной

достоверностью. В любом из этих двух случаев может иметь смысл

применение ряда критериев, однако для каждого из них будет

рассмотрено только по одному критерию, наиболее общепринятому и

простому с математической точки зрения.

Для детерминированных сигналов в качестве критерия

оптимальности используется критерий максимизации (максимума)

отношения сигнал/шум по мощности на выходе системы в

фиксированный момент времени. Этот критерий особенно эффективен

для систем, предназначенных для обнаружения сигнала известной

формы или определения момента прихода такого сигнала. Этот

критерий обладает определенной гибкостью в отношении выбора

момента времени, для которого должно обеспечиваться максимальное.

отношение сигнал/шум, однако обычно физическая природа и

структура сигнала диктуют разумный выбор этого параметра.

Применительно к случайным сигналам в качестве критерия

оптимальности будет рассмотрен критерий минимизации (минимума)

среднего квадрата разности между выходным сигналом системы и

истинным значением принимаемого полезного сигнала. Этот критерий

особенно эффективен, когда система должна быть предназначена для

приема сигналов с неизвестными параметрами и последующего их

измерения, а также решения задачи управления. Разность между

выходным сигналом системы и истинным значением входного

полезного сигнала состоит из двух компонент. Одна из них,

представляющая собой сигнальную ошибку, равна разности между

входным и выходным сигналами в отсутствие шумов на входе системы.

Второй компонентой является выходной шум, одновременно

представляющий собой ошибку воспроизведения выходного полезного

сигнала. Общая ошибка равна сумме этих компонент, а

минимизируемой величиной является средний квадрат этой общей

ошибки.

Рассмотрим несколько примеров с целью пояснения введенных

выше критериев и для иллюстрации ситуаций, в которых они могут

быть применены.

Критерий максимума отношения сигнал/шум на выходе очень

широко используется в радиолокационных системах. В

радиолокационных системах осуществляется периодическое излучение

радиоимпульсов очень малой длительности; принимаемый сигнал

представляет собой одну или несколько копий зондирующего сигнала,

которые формируются за счет отражения последнего облучаемыми

объектами. Таким образом, форма принимаемого сигнала оказывается

известной. Признаками, неизвестными в отношении принимаемого

сигнала, являются: число отраженных сигналов, временное

запаздывание между моментами приема и излучения сигналов,

амплитуда принимаемого сигнала и даже факт его наличия или

отсутствия. Используя методы, которые выходят за рамки

рассматриваемого материала, можно показать, что вероятность

обнаружения слабого радиолокационного сигнала в условиях

воздействия шумов или помех максимальна при максимальном

отношении сигнал/шум. Таким образом, критерий максимума

отношения сигнал/шум соответствует задачам, решение которых

возложено на радиолокационные системы.

Аналогичная ситуация возникает в цифровых системах

радиосвязи. В этих системах передаваемое сообщение преобразуется в

последовательность двоичных символов, условно обозначаемых 0 и 1.

Затем каждый из этих двоичных символов представляется в виде

временной функции определенной формы. При этом важно, чтобы в

приемном устройстве принимались правильные решения относительно

истинной полярности (положительной или отрицательной)

принимаемых импульсов, однако реализация процедуры принятия

правильных решений может оказаться непростой при наличии

интенсивных шумов. И в этом случае вероятность принятия

правильного решения максимизируется путем максимизации

отношения сигнал/шум.

С другой стороны, на практике существует много типов

сигналов, форма и другие параметры которых не известны вплоть до

момента приема, когда осуществляется их наблюдение на фоне шумов.

Например, в аналоговых системах радиосвязи сообщения (речь,

музыкальные программы) не преобразуются в двоичную форму, а

передаются в исходном виде после осуществления модуляции

соответствующего типа. В приемном устройстве необходимо

восстановить сообщение с минимально возможными отклонениями от

исходного сообщения. В данном случае наиболее целесообразным

оказывается критерий минимума средней квадратической ошибки

между принимаемым и переданным сообщениями. Примером другой

ситуации, когда наиболее эффективным является данный критерий,

является измерение параметров биологических сигналов,

осуществляемое при снятии электроэнцефалограмм и

электрокардиограмм. При этом большое значение имеют точное

воспроизведение данных сигналов и предельно возможная

минимизация влияния шумов.

Итак, вышеприведенные рассуждения в более сжатой форме

можно резюмировать в виде следующих выводов, в общем случае

справедливых на практике:

а) При определении факта наличия или отсутствия сигнала с

известными параметрами и известной формы целесообразно

использовать критерии максимума отношения сигнал/шум на выходе

системы.

б) Для измерения параметров сигнала, наличие которого

установлено, целесообразно использовать критерий минимума

среднего квадрата ошибки.

Естественно, на практике возникают ситуации, для которых не

применим ни один из вышерассмотренных критериев, однако эти

вопросы выходят за рамки предлагаемого материала.

Обычно возникает необходимость ограничить класс допустимых

систем. Ограничение наиболее общего характера заключается в том,

что система должна быть каузальной, так как это фундаментальное

требование связано с физической реализуемостью (физической

осуществимостью) системы. Часто оказывается справедливой

ситуация, когда некаузальная система, выходной сигнал которой может

представлять собой отклик на будущие значения входного сигнала,

лучше удовлетворяет выбранному критерию, чем любая физически

реализуемая система. Однако обычно некаузальная система не может

быть реализована и, кроме того, такая система не дает возможности

приемлемого сравнения с реальной системой, что не может нас

удовлетворить. Возможное исключение из этого правила связано с

ситуацией, когда осуществляется запись процессов, протекающих в

системе, а значит, имеется возможность использования

соответствующих будущих значений.

Другое ограничение (допущение) общего характера связано с

линейностью системы. Основная причина использования этого

допущения заключается в том, что обычно не представляется

возможным решить задачу аналитически для оптимальной нелинейной

системы. Можно показать, что в значительном числе случаев, особенно

при наличии гауссовских шумов, не существует нелинейных систем,

которые имеют преимущества по сравнению с применением

оптимальных линейных систем. Однако в более общем случае

линейная система может уступать по своим характеристикам

нелинейной системе. Тем не менее трудности, связанные с

определением структуры и анализом оптимальной нелинейной

системы, таковы, что часто эти процедуры оказываются

труднореализуемыми.

При современном уровне технологии все более широко

реализуются и применяются цифровые варианты аналоговых систем.

Это исключает необходимость использования громоздких емкостных и

индуктивных элементов, за счет чего уменьшаются масса и габариты

оптимальной системы. Кроме того, оказывается возможным

реализовать системы, которые были бы слишком сложными и

дорогостоящими при их исполнении в аналоговом варианте. Вопросы

реализации таких цифровых систем выходят за рамки нашего

обсуждения, однако Вы должны иметь представление о том, что в

принципе действительно возможны цифровые варианты очень

сложных систем, но их реализация всегда связана с возникновением

ошибок как вследствие дискретизации аналоговых сигналов, так и в

результате квантования их амплитуд. Таким образом, проводимый

анализ ошибок, возникающих в аналоговых системах, не отражает в

необходимой степени характера ошибок, имеющих место в их

цифровых вариантах.

Если выбран приемлемый и оправданный с физической точки

зрения критерий оптимальности, а система (синтез или анализ которой

должны быть выполнены) ограничена классом каузальных и линейных

систем, то можно определить импульсную характеристику либо

комплексную частотную характеристику (или передаточную функцию),

соответствующие выбранному критерию оптимальности. Однако в

ряде случаев целесообразно осуществить сужение класса

рассматриваемых систем за счет введения дополнительных

ограничений. Причина введения этих ограничений заключается в

реализации при этом системы с заданным уровнем сложности (а

значит, и стоимости), тогда как более общие методы оптимизации

позволяют получить систему, являющуюся либо дорогостоящей, либо

сложной при практической реализации ее цифрового варианта. Пример

такого метода оптимизации будет рассмотрен в следующем параграфе.

Как говорит само название раздела, данный метод оптимизации

реализуется путем задания структуры используемой системы и

определения параметров ее компонентов, оптимизирующих выбранный

критерий, т. е. реализующих выбранный критерий оптимальности. Этот

метод имеет очевидное преимущество, связанное с анализом систем,

уровень сложности которых задан, и, следовательно, наиболее

применим в случаях, когда первостепенное значение имеет именно

фактор сложности систем, что непосредственно связано с их

габаритами, массой и стоимостью.

Недостаток этого метода оптимизации состоит в том, что

реализуемые с его использованием оптимальные системы всегда

уступают по своим характеристикам оптимальным системам более

широкого класса, на которые заранее не накладывается ограничение,

связанное с заданием их структуры. Любые попытки улучшения

характеристик систем с заданной структурой путем перебора систем,