Гулякина Н.А. Общая теория систем

Подождите немного. Документ загружается.

имеющих несколько более высокий уровень сложности, связаны с

трудностями их аналитического математического описания при

определении оптимальных значений более чем одного параметра (так

как системы уравнений, которые должны быть решены для их

определения, в редких случаях являются линейными), хотя вполне

возможны численные методы решения соответствующих уравнений на

ЭВМ. На практике методы аналитического решения обычно

ограничиваются случаем одного параметра. С целью пояснения сути

данного метода оптимизации рассмотрим два примера.

В качестве первого примера предположим ситуацию, когда

наблюдается аддитивная смесь прямоугольного импульса,

изображенного на рис. 8.1, а, и белого шума со спектральной

плотностью N

. В силу того что форма сигнала известна, оптимальная

система должна быть предназначена для обнаружения этого сигнала на

фоне шума. Как было отмечено выше, при этом в качестве наиболее

целесообразного критерия оптимальности должен быть выбран

критерий максимума отношения сигнал/шум по мощности в некоторый

момент времени на выходе этой системы. Это означает, что если s

(t)

— полезный выходной сигнал, а М (t) — выходной шум, средний

квадрат которого равен М'

, то требуется получить оптимальную

систему, максимизирующую отношение s

)/M'

, где t

— момент

времени, соответствующий максимуму этого отношения.

Рисунок 8.1. Форма сигнала и система, максимизирующая

отношение сигнал/шум:

а — обнаруживаемый сигнал, б — частный вариант оптимальной

системы.

В методе подбора параметров структура системы считается

заданной. Пусть в данном примере это будет простая RC-цепь,

изображенная на риc. 8.1, 6. Параметром, для которого должно быть

выбрано оптимальное значение, является постоянная времени RC-

фильтра

= RC или обратная ей величина b= 1/

= 1/RC. Один из

первых этапов решения этой задачи состоит в выборе момента времени

, соответствующего максимуму отношения сигнал/шум. Выбор

требуемой величины t

очевиден из анализа структуры полезного

сигнала на выходе системы. Этот сигнал описывается выражением

(1)

и изображен на рис. 8.2. Этот результат может быть получен с

помощью любого из методов анализа систем. Из рис. 8.2 следует, что

выходной полезный сигнал максимален в момент времени t= Т,

поэтому следует выбрать t

= Т.

Рисунок 8.2. Сигнальная компонента случайного процесса на выходе

RС-фильтра.

Таким образом, имеем

(2)

Для RC-цепи анализируемого типа значение среднего квадрата

выходного шума равно

(3)

Следовательно, максимизируемое отношение сигнал/шум имеет

вид

(4)

Прежде чем перейти к процедуре максимизации, следует

отметить, что это отношение положительно для всех b > 0 и равно

нулю для b = 0 и b=. Следовательно, должно существовать

положительное значение b, при котором это отношение максимально.

Для определения этого значения b продифференцируем (4) по

переменной b и производную приравняем нулю:

(5)

После упрощения это соотношение приводится к виду

(6)

Это уравнение легко решается относительно неизвестной

величины bТ методом “проб и ошибок” и приводит к решению

(7)

откуда оптимальное значение постоянной времени RС-цепи

определяется как

(8)

Следует отметить, что именно это значение постоянной времени

RС-фильтра обеспечивает максимум отношения сигнал/шум в момент

времени T.

Следующим этапом процедуры оптимизации является оценка

характеристик фильтра, т. е. определение того, насколько высокими

фильтрующими свойствами обладает данная RС-цепь. Эта операция

легко реализуется подстановкой оптимального значения bТ в

выражение (4) для отношения сигнал/шум. В результате получим

(9)

Нетрудно заметить, что энергия в импульсе равна A

T, тaк что

максимальное отношение сигнал/шум пропорционально отношению

энергии сигнала к спектральной плотности шума. Этот результат

характерен для всех случаев максимизации отношения сигнал/шум при

наличии белого шума. Имеются результаты, свидетельствующие о том,

что в последнем случае, а именно при воздействии белого шума и при

условии, что структура оптимальной системы не является заданной в

противоположность тому, что полагалось выше, постоянная

пропорциональности равна единице, а не 0, 8145. Уменьшение

отношения сигнал/шум, имеющее место в данном примере, может

рассматриваться как плата за использование простого RС-фильтра. Из

данного примера видно, что при этом энергетические потери

незначительны, хотя в других случаях они могут быть ощутимыми.

И наконец, последний этап решения задачи оптимизации,

который зачастую не принимается во внимание, заключается в анализе

чувствительности отношения сигнал/шум к выбору параметра b. Проще

всего реализовать этот этап, выразив постоянную пропорциональности

в (4) как функцию параметра b. График этой постоянной

(10)

представлен на рис. 8.3. Видно, что отношение сигнал/шум на

выходе системы изменяется незначительно при изменении b в

окрестности точки, соответствующей значению параметра bТ, при

котором имеет место максимум этого отношения. Таким образом,

выбор постоянной времени оптимального фильтра не столь важен в

части ее совпадения с действительно оптимальным значением.

Рисунок 8.3. Зависимость отношения сигнал/шум на выходе

системы от параметра bТ.

Тот факт, что анализируемая система не очень чувствительна

(критична) к выбору ее параметра, не должен толковаться как всегда

имеющий место. Например, если бы сигнал представлял собой импульс

с высокочастотным синусоидальным заполнением, а система —

резонансную цепь, то характеристики этой системы в значительной

степени зависели бы от резонансной частоты, а значит, и от

индуктивности и емкости ее элементов.

В качестве второго примера использования этого метода

оптимизации рассмотрим воздействие случайного сигнала и будем

использовать критерий минимума среднего квадрата ошибки.

Анализируемой системой будет идеальный фильтр нижних частот, для

которого необходимо определить оптимальную ширину полосы

пропускания.

Предположим, что на вход этого фильтра воздействует

случайный сигнал Х (t), спектральная плотность которого

(11)

Этот сигнал принимается на фоне белого шума N (t) со

спектральной плотностью N

. На рис. 8.4 иллюстрируются

спектральные плотности сигнала и шума, а также квадрат модуля

комплексной частотной характеристики идеального фильтра нижних

частот.

Рисунок 8.4. Спектральные плотности сигнала и шума; квадрат

модуля комплексной частотной характеристики идеального фильтра

нижних частот.

Так как линейный фильтр представляет собой фильтр нижних

частот, ошибка Е (t) = X (t) — Y (t) воспроизведения сигнальной

компоненты целиком обусловлена составляющими спектральной

плотности сигнала, находящимися вне пределов полосы пропускания

фильтра. Значение среднего квадрата этой ошибки может быть

определено интегрированием спектральной плотности случайного

сигнала в пределах, превышающих |2В|. В силу симметрии

спектральной плотности достаточно вычислить соответствующий

интеграл в одном полуинтервале с последующим удвоением

полученного результата.

Тогда получим

(12)

Шум М (t) на выходе фильтра имеет значение среднего квадрата

(13)

Суммарное значение среднего квадрата ошибки в силу

независимости сигнала и шума равно сумме компонент, определяемых

выражениями (12) и (13), а именно

(14)

Минимизация этой суммы реализуется соответствующим

выбором параметра В, что означает дифференцирование (14) по

аргументу В и приравнивание результата нулю:

откуда получаем оптимальное значение параметра В

(15)

Подставляя это значение параметра В в выражение (14), получим

минимальное значение среднего квадрата ошибки.

Форма записи вида (15) не столь очевидна в ее интерпретации.

Поэтому представим несколько более простую форму записи с учетом

того, что средний квадрат сигнала равен X

= A

/4f

, а значение

среднего квадрата шума, содержащегося в пределах эквивалентной

шумовой полосы сигнала равно N

= f

, так как эквивалентная

шумовая полоса сигнала равна (/2)f

. Тогда соотношение (15) можно

переписать в виде

(16)

График зависимости B/f

от X

изображен на рис. 8.5.

Рисунок 8.5. Оптимальная полоса пропускания фильтра нижних

частот.

Анализ рис. 8.5 позволяет сделать интересный вывод,

заключающийся в том, что оптимальная полоса пропускания фильтра

нижних частот равна нулю при равенстве среднего квадрата сигнала на

входе фильтра среднему квадрату шума в пределах эквивалентной

шумовой полосы сигнала. При этом на выходе фильтра отсутствуют

как сигнал, так и шум. Таким образом, минимальное значение среднего

квадрата ошибки равно значению среднего квадрата сигнала. Для

меньших значений среднего квадрата сигнала оптимальная полоса по-

прежнему остается равной нулю, а минимальное значение среднего

квадрата ошибки — равным значению среднего квадрата сигнала.

В каждом из вышеприведенных примеров в процессе реализации

выбранного критерия оптимальности осуществлялся выбор значений

только одного параметра системы. Процедура выбора значений двух и

более параметров оказывается аналогичной, а именно

максимизируемая или минимизируемая величина (в зависимости от

выбранного критерия) дифференцируется по каждому из параметров,

для которых должны быть определены оптимальные значения, а

соответствующие производные приравниваются к нулю. В результате

получается система уравнений, решения которой представляют собой

оптимальные значения этих параметров. Однако на практике процедура

решения такой системы уравнений реализуема только в редких случаях

в силу того, что уравнения этой системы оказываются нелинейными и

затрудняют получение окончательного результата в аналитической

форме. При этом часто могут быть использованы численные методы

решения на ЭВМ, однако при этом остается много неразрешенных

вопросов, связанных, в частности, с единственностью получаемых

решений.

Раздел IX. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ

Тема 9.1 МНОГООБРАЗИЕ ЗАДАЧ ВЫБОРА

Главная цель курса системного анализа - раскрытие системности

(о системности было сказано во "Введении") любой целенаправленной

деятельности. Для этого необходимо построить систему моделей, с

помощью которых можно обобщать, передавать и совершенствовать

опыт такой деятельности. Предстоит построить еще достаточно полный

список действий, из которых складывается всякая успешная

деятельность, и только после этого можно будет приступить к

обсуждению ее структуры и принципов организации. В данной главе

рассмотрим операцию, обязательно входящую в целенаправленные

процессы, — выбор.

Выбор является действием, придающим всей деятельности

целенаправленность. Именно выбор реализует подчиненность всей

деятельности определенной цели или совокупности целей. Рано или

поздно наступает момент, когда дальнейшие действия могут быть

различными, приводящими к разным результатам, а реализовать можно

только одно действие, причем вернуться к ситуации, имевшей место в

этот момент, уже (как правило) нельзя.

Способность сделать правильный выбор в таких условиях —

очень ценное качество, которое присуще людям в разной степени.

Великие полководцы, выдающиеся политики, гениальные инженеры и

ученые, талантливые администраторы отличались и отличаются от

своих коллег или конкурентов прежде всего умением принимать

лучшие решения, делать лучший выбор.

Естественно стремление понять, что такое "хороший выбор",

выработать рекомендации, как приблизиться к наилучшему решению, а

если возможно, то и предложить алгоритм получения такого решения.

Работа многих исследователей в этом направлении выявила