Григорьев В.В., Журавлева Н.В. и др. Синтез систем автоматического управления методом модального управления

Подождите немного. Документ загружается.

В этом случае матрицы описания эталонной модели выража-

ются следующим образом:

Γ =

∗

0 0 . . . 0

0 λ

∗

0 . . . 0

0 0 λ

∗

. . . 0

. . . .

0 0 0 . . . λ

∗

, H =

1 1 1 . . . 1

— требуемые корни характеристического полинома являются

вещественными и одинаковыми, то есть λ

∗

= λ

∗

= · · · = λ

∗

= λ

∗

где λ

∗

— корень n-кратности;

В этом случае матрицы описания эталонной модели имеют

вид:

Γ =

∗

1 0 . . . 0

0 λ

∗

1 . . . 0

0 0 λ

∗

. . . 0

. . . .

0 0 0 . . . λ

∗

, H =

1 0 0 . . . 0

— требуемыми корнями характеристического полинома явля-

ются два комплексно-сопряженных корня, а остальные корни веще-

ственные и различные, то есть λ

∗

= α

∗

+ jβ

∗

, λ

∗

= α

∗

− jβ

∗

, где α

∗

— вещественная часть требуемого корня характеристического по-

линома, β

∗

— мнимая часть требуемого корня характеристическо-

го полинома, λ

∗

, λ

∗

, . . . , λ

∗

— остальные требуемые вещественные и

различные корни.

В этом случае матрицы описания эталонной модели форми-

руются в блочном виде:

Γ =

∗

0 . . . 0

−β

∗

0 . . . 0

0 0 λ

∗

. . . 0

. . . .

0 0 0 . . . λ

∗

, H =

1 0 1 . . . 1

Пусть на основе показателей качества определён требуемый

характеристический полином:

∗

(λ) = λ

+ a

∗

n−1

+ a

∗

n−2

+ · · · + a

∗

+ a

∗

λ + a

∗

Тогда, на основе наблюдаемой канонической формы, матри-

цы эталонной модели формируются следующим образом:

Γ =

0 0 0 . . . −a

∗

1 0 0 . . . −a

∗

0 1 0 . . . −a

∗

. . . .

0 0 0 . . . −a

∗

n−2

0 0 0 . . . −a

∗

n−1

, H =

0 0 0 . . . 0 1

Пример 1.3 Пусть на основе показателей качества определены сле-

дующие шесть требуемых корней:

= −10; λ

= −15; λ

= −10 − 5j; λ

= −10 + 5j; λ

= λ

= −20.

Необходимо сформировать матрицы описания эталонной

модели.

Решение:

Поскольку были определены различного вида требуемые кор-

ни характеристического полинома, то матрицы описания эталон-

ной модели удобно формировать в диагональном каноническом ви-

де. Эти матрицы будут определены в виде трёх блоков, так как

можно выделить среди заданных требуемых корней характери-

стического полинома три их вида. Первый блок определяет пер-

вые два корня, которые являются вещественными и различны-

ми. Поэтому первые две строки матрицы Γ формируются та-

ким образом, чтобы на главной диагонали находились сами корни, а

остальные элементы были бы нулевые. Второй блок задаётся дву-

мя комплексно-сопряжёнными корнями. Поэтому на главной диа-

гонали находится вещественная часть комплексно-сопряжённых

корней, а справа от вещественной части первого комплексно-

сопряжённого корня задаётся мнимая часть этого корня. Осталь-

ные элементы данной строки являются нулевыми. Слева от веще-

ственной части второго комплексно-сопряжённого корня задаёт-

ся мнимая часть этого корня. Остальные элементы данной стро-

ки являются нулевыми. Третий блок формирует пара веществен-

ных и одинаковых корней. Следовательно, на главной диагонали

заносятся сами корни, а справа от первого из кратных корней за-

даётся единица. Остальные элементы данной строки нулевые. В

последней строке этой матрицы все элементы нулевые, кроме по-

следнего элемента, который является кратным корнем.

Матрица выхода H формируется по тем же правилам, что

и матрица Γ , то есть в блочном виде.

Таким образом, матрицы описания эталонной модели при-

обретают вид:

Γ =

−10 0 0 0 0 0

0 −15 0 0 0 0

0 0 −10 −5 0 0

0 0 5 −10 0 0

0 0 0 0 −20 1

0 0 0 0 0 −20

, H =

1 1 1 0 1 0

Пример 1.4 Пусть на основе показателей качества найден требу-

емый характеристический полином следующего вида:

∗

(λ) = λ

+ 120λ + 3600.

Необходимо сформировать матрицы описания эталонной

модели.

Решение: Поскольку был найден требуемый характеристи-

ческий полином, то матрицы эталонной модели удобно формиро-

вать на основе наблюдаемой канонической формы. Поэтому в по-

следний столбец матрицы Γ заносятся отрицательные значения

коэффициентов заданного полинома. На главной диагонали зано-

сятся нулевые значения, кроме последней строки матрицы, а ни-

же её вводятся единицы. В матрице H все элементы нулевые,

кроме последнего, который равен единице.

В результате матрицы описания эталонной модели прини-

мают вид:

Γ =

0 −3600

1 −120

; H =

0 1

. ¥

1.3 Синтез стабилизирующих управлений на основе метода

модального управления

1.3.1 Постановка задачи

Пусть задано уравнение движения объекта управления в про-

странстве состояний:

˙x = Ax + Bu

y = Cx

, (1.18)

где x — n-мерный вектор состояния объекта управления, то

есть x ∈ R

;

y — выходная переменная, то есть y ∈ R

;

u — управляющее воздействие, то есть u ∈ R

;

A — матрица, определяющая динамические свойства объ-

екта управления размерности (n × n);

B — матрица входа управляющих воздействий размерно-

сти n × 1;

C — матрица выхода размерности 1 × n.

Пусть объект управления обладает свойством полной управ-

ляемости, то есть на основе пары матриц A, B сформирована матри-

ца управляемости, определяемая выражением (1.2), и определитель

этой матрицы не равен нулю.

Для режима стабилизации вектор ошибок формируется как

e = −x. (1.19)

Осуществляя взятие производной по времени от выражения

(1.19) и подставляя уравнение движения объекта управления (1.18),

модель ошибок приобретает вид:

˙e = Ae − Bu

y = −Ce

. (1.20)

Пусть управляющее воздействие ищется как функция от

ошибки

u = Ke, (1.21)

где K — матрица линейных стационарных связей, состоящая

из положительных коэффициентов.

Тогда, подставляя соотношение (1.21) в уравнение (1.20), опи-

сание замкнутой системы находится как

˙e = F e,

где F = A−BK — матрица, характеризующая динамические

свойства замкнутой системы, размерности n × n.

При этом характеристический полином замкнутой системы

выражается в виде:

∗

= det[λI − F ] = λ

+ a

n−1

+ · · · + a

λ + a

Пусть по заданному набору показателей качества определены

требуемые коэффициенты характеристического полинома замкну-

той системы a

∗

, i = 1, n − 1 или требуемые корни характеристиче-

ского полинома λ

∗

, i = 1, n.

Задача модального управления состоит в нахождении мат-

рицы линейных стационарных связей K, которая обеспечивает за-

мкнутой системе требуемые корни или коэффициенты характери-

стического полинома.

1.3.2 Решение задачи нахождения стабилизирующих управ-

ляющих воздействий

Для нахождения искомой матрицы и простоты вычисле-

ний осуществляется преобразование уравнений движения объекта

управления (1.18) к управляемому каноническому виду. Это преоб-

разование основано на введении нового вектора z (z ∈ R

) следую-

щим образом:

z = P x,

где P — невырожденная матрица преобразований размерно-

сти n × n.

Причём обратное преобразование определяется как

x = P

−1

z. (1.22)

Подставляя выражение (1.22) в исходное уравнение движения

объекта управления (1.18), получается

−1

˙z = AP

−1

z + Bu

y = CP

−1

. (1.23)

Домножая слева левую и правую части первого уравнения

системы (1.23) на P , модель объекта управления в преобразованных

координатах принимает следующий вид:

˙z = P AP

−1

z + P Bu

y = CP

−1

Выбирая среди множества матриц преобразований P , такую,

которая приводит пару матриц A,B к управляемой канонической

форме, модель движения объекта управления в новом базисе при-

нимает вид:

˙z = A

z + B

y = C

, (1.24)

где A

= P AP

−1

— матрица, определяющая динамические

свойства объекта управления в управляемой канонической форме;

= P B — матрица входов управляющих воздействий в

управляемой канонической форме;

= CP

−1

— матрица выхода в управляемой канониче-

ской форме.

На основании полной управляемости объекта управления,

можно сделать вывод, что модель движения исходного объекта

управления приводится к канонически управляемой форме, и мат-

рицы описания этой формы имеют следующий вид:

0 1 0 . . . 0 0

0 0 1 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 . . . 0 1

−a

. . . −a

n−2

n−1

; B

, (1.25)

. . . b

0 . . . 1

где a

— коэффициенты характеристического полинома ис-

ходного объекта управления, (i = 0, n − 1),

— коэффициенты числителя передаточной функции

объекта управления (j = 0, m).

Учитывая управляемую каноническую форму объекта управ-

ления (1.24), модель ошибок (1.20) и уравнение (1.21), описание дви-

жения замкнутой системы приобретает вид:







˙e = P

−1

P e − P

−1

y = −C

P e

u = K

P e

, (1.26)

где K

. . . k

— матрица линейных стацио-

нарных обратных связей в управляемой канонической форме.

Подставляя третье уравнение в первое уравнение выраже-

ния (1.26) и упрощая его, получается выражение

˙e = P

−1

P e

y = −C

P e

где

= A

− B

. (1.27)

Осуществляя подстановку уравнения (1.25) в выраже-

ние (1.27), получается матрица описания замкнутой системы в ка-

нонически управляемом форме:

0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 . . . 1

−a

− k

−a

− k

−a

− k

. . . −a

n−1

− k

А её характеристический полином имеет вид:

D(λ) = λ

+ (a

n−1

+ k

)λ

n−1

+ · · · + (a

+ k

)λ + (a

+ k

Для того, чтобы коэффициенты характеристического поли-

нома замкнутой системы были равны требуемым, коэффициенты

обратных связей выбираются из условия равенства коэффициентов

характеристического полинома при соответствующих степенях λ, то

есть a

∗

= a

+ k

k(i+1)

при i = 0, n − 1.

Следовательно, коэффициенты матрицы линейных стацио-

нарных обратных связей находятся как

k(i+1)

= a

∗

− a

. (1.28)

Осуществляя обратное преобразование к координатам исход-

ного базиса, выражение, описывающее замкнутую систему, приоб-

ретает вид:

˙e = F e

y = −Ce

где

F = P

−1

P ;

C = C

Как видно из приведённых выше формул, матрицу линейных

стационарных связей можно найти в канонически управляемом ба-

зисе, а затем получить её в исходном описании.

Замечание 1.5 На основе условия эквивалентности, а именно,

при линейном преобразовании координат, когда матрица преобра-

зования P имеет обратную матрицу P

−1

, характеристический

полином исходной системы и системы в канонической управляе-

мой форме не изменяется, то есть

det[λI − F ] = det[λI − F

Таким образом, если элементы матрицы линейных стацио-

нарных обратных связей выбираются на основе уравнения (1.28), то

характеристический полином замкнутой системы будет иметь требу-

емые коэффициенты характеристического полинома или требуемое

качество протекающих процессов в замкнутой системе.

1.3.3 Последовательность вычисления матрицы линейных

стационарных обратных связей

Пусть задан объект управления в пространстве состояний, то

есть определены матрицы описания объекта управления (A, B, C).

Также задана эталонная модель в виде требуемого характеристиче-

ского полинома (a

∗

, i = 0, n − 1).

Тогда процедура вычисления матрицы линейных стационар-

ных обратных связей состоит из следующих шагов:

1. Проверка пары матриц A, B на соответствие свойству пол-

ной управляемости, то есть формирование матрицы управляемости

объекта управления в исходном базисе U с последующим опреде-

лением её ранга и его сравнение с порядком объекта управления.

Если ранг матрицы управляемости равен порядку объекта управле-

ния, осуществляется переход ко второму шагу. Если это не так, то

синтез невозможен.

2. Нахождение характеристического полинома объекта

управления (a

, i = 0, n − 1) при помощи выражения:

D(λ) = det[λI − A] = λ

+ a

n−1

+ · · · + a

λ + a

или на основе перехода от модели, заданной в пространстве состоя-

ний, к передаточной функции следующим образом:

W (s) = C(sI − A)

−1

B =

B(s)

A(s)

где A(s) — характеристический полином объекта управления;

B(s) — числитель передаточной функции.

3. Переход от исходного описания объекта управления к

управляемой канонической форме, то есть формирование матриц

, B

0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

. . . .

0 0 0 . . . 1

. . . a

n−1

, B

4. Нахождение матрицы преобразования P , которая вычис-

ляется как

P = U

−1

где U

— матрица управляемости объекта управления в

управляемой канонической форме;

U — матрица управляемости исходного объекта управле-

ния.

Матрица управляемости объекта управления в управляемой

канонической форме определяется в виде:

. . . A

n−1

Матрица управляемости объекта управления выражается в

следующем виде:

U =

B AB A

B . . . A

n−1

5. Вычисление коэффициентов обратных связей k

k(i+1)

управляемом каноническом виде:

k(i+1)

= a

∗

− a

6. Нахождение матрицы линейных стационарных обратных

связей K в исходном базисе

K = K

8. Выполнение проверочного расчета, то есть вычисление ха-

рактеристического полинома замкнутой системы с последующим

сравнением с требуемым характеристическим полиномом. В случае

совпадения коэффициентов характеристических полиномов замкну-

той системы и эталонной модели делается вывод о правильности

синтеза управляющих воздействий. В противном случае необходимо

снова осуществить расчёт матрицы линейных стационарных обрат-

ных связей.

7. Осуществление компьютерного моделирования замкнутой

системы с целью подтверждения правильности выполненого расче-

та, а также определения форматов значений переменных, участву-

ющих в процессе управления, то есть необходимо выяснить:

— принимают ли переменные, участвующие в процессе управ-

ления, положительные и отрицательные значения;

— каково максимальное значение переменных, участвующих

в процессе управления;

— можно ли изменить формат переменной с целью приведе-

ния его к целому значению и как влияет это изменение на качество

переходных процессов;

— сколько байт необходимо выделить для хранения текущего

значения каждой переменной, участвующей в процессе управления.

В результате выполнения приведённых выше шагов, находит-

ся матрица линейных стационарных обратных связей. Структура

алгоритма определения такой матрицы показана на рисунке 1.11.

Как видно из этого рисунка, процедура нахождения матрицы ли-

нейных стационарных обратных связей является простой и легко

программно реализуемой.

Пример 1.5 Допустим, что объект управления является объектом

управления с полной информацией и задан следующей передаточ-

ной функцией:

W (s) =

20s

+ 9s + 1

Пусть, исходя из цели функционирования, определён режим

работы САУ. Этот режим является режимом стабилизации.

Изменение выходной переменной находится в диапазоне от

минус двух до двух отн. ед.

Требуется синтезировать управляющее воздействие мето-

дом модального управления, которое обеспечивает в замкнутой си-

стеме требуемый характеристический полином:

∗

λ) = λ

+ 8λ + 16.

Решение:

Для нахождения уравнений, описывающих движение объек-

та управления в пространстве состояний, передаточная функция

переписывается в операторной форме:

W (p) =

20p

+ 9p + 1