Глушко А.В., Глушко В.П. Современное программное обеспечение в пользовательском процессе: Сборник заданий по курсу

Подождите немного. Документ загружается.

Max@Table@t301 = Random@Real, Rest@g30@x, y, zD@@2DDDD; Chop@

Evaluate@Abs@eq30@x30, y30, z30D@@1DD

.tÆ t301DD,1* 10^-8D, 8100<DD

4.48592 × 10

−7

Max@Table@t302 = Random@Real, Rest@g30@x, y, zD@@2DDDD; Chop@

Evaluate@Abs@eq30@x30, y30, z30D@@2DD

.tÆ t302DD,1* 10^-8D, 8100<DD

2.5843 × 10

−7

ad ok7bis.nb 11

Max@Table@t303 = Random@Real, Rest@g30@x, y, zD@@2DDDD; Chop@

Evaluate@Abs@eq30@x30, y30, z30D@@3DD

.tÆ t303DD,1* 10^-8D, 8100<DD

7.94925 × 10

−7

Задача 4

Найти численное решение (с повышенной точностью) следующих

начальных задач для нелинейных систем из двух уравнений первого

порядка (1£j£5). Построить графики решений в фазовой плоскости и

объединённый график. Провести проверку первой из предложенных

задач

@tD +

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

100

RoundA100

1 +

0.6

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

H1 + jL

{

E y@tD +

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

100

RoundA100

1 +

0.78 j

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

H2 + jL

{

E Sin@tD

== 0,

@tD +

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

100

RoundA100

1 +

0.55 j

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

H3 + jL

{

E Sin@x@tDD

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

100

RoundA100

1 +

0.76 j

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

H5 + jL

{

E x@tD

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

100

RoundA100

1 +

0.72 j

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

H4 + jL

{

E y@tD == 0,

x@0D == 0.85 - 0.0008 j RoundA100

1 +

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

H1 + jL

{

y@0D == 0.03 + 0.0011 j RoundA100

1 +

0.3 j

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

H1 + jL

{

8t, -2.0 + 0.1 * j, 4.8 - 0.05 * j<, MaxSteps -> 1000 H14 + jL,

AccuracyGoal -> •, PrecisionGoal Æ 15 + j, WorkingPrecision Æ 15 + j,

PlotPoints Æ 10 j + 100, Method -> RungeKutta

Введём изменяющиеся начальные условия по формулам

ad ok7bis.nb 12

w41@j_D = 0.85 - 0.0008 j RoundA100

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

Hj + 1L

+ 1

{

w42@j_D = 0.03 + 0.0011 j RoundA100

0.3 j

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

H j + 1L

+ 1

{

E ;

После этого обозначим

eq40 = 9D@#1@tD,tD +

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

100

RoundA100

1 +

0.6 * #3

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

H1 + #3L

{

* #2@tD +

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

100

RoundA100

1 +

0.78 * #3

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

H2 + #3L

{

* Sin@tD^3,

D@#2@tD,tD +

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

100

RoundA100

1 +

0.55 * #3

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

H3 + #3L

{

* Sin@#1@tDD^2 +

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

100

RoundA100

1 +

0.72 * #3

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

H4 + #3L

{

* #2@tD +

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

100

RoundA100

1 +

0.76 * #3

ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

H5 + #3L

{

#1@tD^2,

H#1@tDê.tÆ 0L, H#2@tD

.tÆ 0L= &;

g40@j_D = 8eq40@x, y, jD@@1DD ä 0, eq40@x, y, jD@@2DD ä 0,

eq40@x, y, jD@@3DD ä w41@jD, eq40@x, y, jD@@4DD ä w42@jD<;

Определим решения задач по формулам

x40 =

First@8x, y<ê. First@NDSolve@g40@#D, 8x, y<, 8t, -2.0 + 0.1 * #, 4.8 - 0.05 * #<,

MaxSteps -> 1000 H14 + #L, AccuracyGoal -> •,

PrecisionGoal Æ 15 + #, WorkingPrecision Æ 15 + #,

Method -> RungeKuttaDDD &;

y40 =

Last@8x, y<ê. First@NDSolve@g40@#D, 8x, y<, 8t, -2.0 + 0.1 * #, 4.8 - 0.05 * #<,

MaxSteps -> 1000 H14 + #L, AccuracyGoal -> •,

PrecisionGoal Æ 15 + #, WorkingPrecision Æ 15 + #,

Method -> RungeKuttaDDD &;

ad ok7bis.nb 13

Найдём решение при j=1

8x40@1D, y40@1D<

8InterpolatingFunction@88-1.9, 4.75<<, <>D,

InterpolatingFunction@88-1.9, 4.75<<, <>D<

При построении графиков решений используются вспомогательные функции

sty41 = 8Thickness@0.007 - 0.00027 * #D, GrayLevel@0.0 + 0.013 * #D< &;

poi4 = H100 + 10 * #L &;

Заметим, что более эффективна цветная раскраска графиков. Для этого

функцию sty41 можно заменить, например, на sty042={-

Thickness[0.002+0.0008*j],Hue[0.9-0.18*j]}

sty42 = 8Hue@0.9 - 0.18 * #D, Thickness@0.002 + 0.0008 * #D< &;

После этого строим график

p411 = ParametricPlot@Evaluate@8x40@1D@tD, y40@1D@tD<D,

8t, -1.9, 4.75<, PlotRange Æ 88-1.1, 1.3<, 8-1.2, 1.5<<,

PlotStyle Æ sty41@1D, PlotPoints Æ poi4@1D, AxesLabel Æ 8"x", "y"<D

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1.5

 Graphics 

8x40@2D, y40@2D<

8InterpolatingFunction@88-1.8, 4.7<<, <>D,

InterpolatingFunction@88-1.8, 4.7<<, <>D<

ad ok7bis.nb 14

p412 = ParametricPlot@Evaluate@8x40@2D@tD, y40@2D@tD<D,

8t, -1.8, 4.7<, PlotRange Æ 88-1.1, 1.3<, 8-1.2, 1.5<<,

PlotStyle Æ sty41@2D, PlotPoints Æ poi4@2D, AxesLabel Æ 8"x", "y"<D

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1.5

Ü Graphics Ü

8x40@3D, y40@3D<

8InterpolatingFunction@88-1.7, 4.65<<, <>D,

InterpolatingFunction@88-1.7, 4.65<<, <>D<

p413 = ParametricPlot@Evaluate@8x40@3D@tD, y40@3D@tD<D,

8t, -1.7, 4.65<, PlotRange Æ 88-1.1, 1.3<, 8-1.2, 1.5<<,

PlotStyle Æ sty41@3D, PlotPoints Æ poi4@3D, AxesLabel Æ 8"x", "y"<D

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1.5

 Graphics 

ad ok7bis.nb 15

8x40@4D, y40@4D<

8InterpolatingFunction@88-1.6, 4.6<<, <>D,

InterpolatingFunction@88-1.6, 4.6<<, <>D<

p414 = ParametricPlot@Evaluate@8x40@4D@tD, y40@4D@tD<D,

8t, -1.6, 4.60<, PlotRange Æ 88-1.1, 1.3<, 8-1.2, 1.5<<,

PlotStyle Æ sty41@4D, PlotPoints Æ poi4@4D, AxesLabel Æ 8"x", "y"<D

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1.5

 Graphics 

8x40@5D, y40@5D<

8InterpolatingFunction@88-1.5, 4.55<<, <>D,

InterpolatingFunction@88-1.5, 4.55<<, <>D<

ad ok7bis.nb 16

p415 = ParametricPlot@Evaluate@8x40@5D@tD, y40@5D@tD<D,

8t, -1.5, 4.55<, PlotRange Æ 88-1.1, 1.3<, 8-1.2, 1.5<<,

PlotStyle Æ sty41@5D, PlotPoints Æ poi4@5D, AxesLabel Æ 8"x", "y"<D

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1.5

 Graphics 

Теперь можно построить объединённый график

ad ok7bis.nb 17

Show@p411, p412, p413, p414, p415, PlotRange Æ 88-1.2, 1.3<, 8-1.2, 1.5<<D

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1.5

 Graphics 

Проверим точность найденного решения, например, для j=1. Для этого

вначале проверим выполнение начальных условий

8x40@1D@0D - w41@1D, y40@1D@0D - w42@1D<

80., 0.<

а затем подсчитаем максимальную величину модуля разности между

правой и левой частями первого и второго уравнений. Поскольку проверка

выполнения уравнения может занять довольно много времени,

следует для контроля включить счётчик времени выполнения команды.

<< Utilities`ShowTime`

r401 = Max@Table@t401 = Random@Real, 8-1.9, 4.75<D;

Chop@Abs@Evaluate@eq40@x40@1D, y40@1D,1D@@1DD

.tÆ t401DD,

1 * 10 ^-6D, 8100<DD

48.28 Second

0.000019898

ad ok7bis.nb 18

Max@Table@t402 = Random@Real, 8-1.9, 4.75<D;

Chop@Abs@Evaluate@eq40@x40@1D, y40@1D,1D@@2DD

.tÆ t402DD,1* 10^-6D,

8100<DD

47.12 Second

0.000138948

Off@ShowTimeD

В некоторых случаях после завершения решения задачи можно с помощью

функции Clear отменить все введённые при её решении обозначения. Это

позволит избежать возможных недоразумений при решении других задач в

течение одного сеанса.

Clear@w41, w42, eq40, g40, x40, y40, r401, sty41,

sty42, poi4, p411, p412, p413, p414, p415, r402, t401, t402D

Задача 5

Найти численное решение граничной задачи для уравнения второго

порядка с комплекснозначными данными. Построить объединённый

график абсолютной величины, вещественной и мнимой частей

решения, а также трёхмерный график решения с помощью команды

arametricPlot3D в подпакете <<Graphics`ParametricPlot3D`. Провести

проверку решения

H3 + 4 ‰L u@xD + H1 -‰L u

@xD + u

¢¢

@xD ==

„

H-3+3 ‰L x

HH1.05 + 0.9 ‰L + H3.05 - 1.9 ‰LH-5.15 + xLL,

0.7 ‰ u@0D + u

@0D == 4.07 - 0.22 ‰,

-0.5 ‰ u@5.15D + u

@5.15D == -0.01 - 1.94 *‰*„

-5.15*‰

8x, 0, 5.15<, MaxSteps Æ 15000, PrecisionGoal Æ 17,

WorkingPrecision Æ 17, Method -> RungeKutta

Обозначим правую границу интервала v50

v50 = 5.15;

Граничные данные задачи и правая часть уравнения имеют вид

ad ok7bis.nb 19

v501 = 4.07 - 0.22 *‰; v502 =-0.01 - 1.94 *‰*„

-v50*‰

;

f50 =„

H-3+3 ‰L x

HH1.05 + 0.9 ‰L + H3.05 - 1.9 ‰L* Hx - v50LL;

Для проверки набираем

8v50, v501, v502, f50<

85.15, 4.07 - 0.22 Â, 1.74719 - 0.822127 Â,

‰

H-3+3 ÂLx

HH1.05 + 0.9 ÂL+ H3.05 - 1.9 ÂLH-5.15 + xLL<

Введём обозначения

eq50 = 8D@#@xD,x,xD + H1 -‰L * D@#@xD,xD + H3 + 4 ‰L * #@xD,

HD@#@xD,xD + 0.7 *‰*#@xDL

.xÆ 0,

HD@#@xD,xD - 0.5 *‰*#@xDL

.xÆ v50< &;

g50 = 88eq50@uD@@1DD ä f50,

eq50@uD@@2DD ä v501, eq50@uD@@3DD ä v502<, 8x, 0, v50<< &;

Проведём проверку

g50@uD

88H3 + 4 ÂLu@xD+ H1 -ÂLu

@xD+ u

££

@xD ==

‰

H-3+3 ÂLx

HH1.05 + 0.9 ÂL+ H3.05 - 1.9 ÂLH-5.15 + xLL,

0.7 Â u@0D+ u

@0D == 4.07 - 0.22 Â,

-0.5 Â u@5.15D+ u

@5.15D == 1.74719 - 0.822127 Â<, 8x, 0, 5.15<<

u50 = u ê. First@NDSolve@Evaluate@g50@uD@@1DDD,u,

Evaluate@g50@uD@@2DDD, MaxSteps Æ 15000, PrecisionGoal Æ 17,

WorkingPrecision Æ 17, Method -> RungeKuttaDD

InterpolatingFunction@880., 5.1500000000000004<<, <>D

Одновременно программа делает замечание

NDSolve::"inaccur" :

"Now doing a transformation to the original

differential equation. The result may be

inaccurate at a low working precision."

Построим двумерные графики абсолютной величины, вещественной и

мнимой частей решения u50[x].

ad ok7bis.nb 20