Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурминский Е.А., Холодов Я.А., Шамрай Н.Б. Введение в математическое моделирование транспортных потоков
Подождите немного. Документ загружается.
118
ная) положений равновесия (образующих многообразие с довольно про-
стой и полностью описанной линейной структурой) для CTM-модели
(схема Годунова + треугольная фундаментальная диаграмма) транс-
портных потоков на магистрали (т.е. с простой топологией графа транс-
портной сети).
Выпишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений
(СОДУ) на графе транспортной сети,
22
используя лишенную деталей
модификацию правила «пропорциональных приоритетов» [81, 83]:
max max max
:
min min v , , min ,
j
i
i j j j i i i i
j j i
d
Q w Q
dt
max max
max
max
:
:
min ,
min v , min 1,
min v ,
k k k k
i
k i i i
l
k i k
k l l l
l l k
wQ
Q
Q
,
здесь каждое ребро ориентированного графа транспортной сети прону-
меровано,
i
– плотность потока на i-м ребре,
j
i
– доля потока АТС на
ребре
j
, ответвляющаяся на ребро
i
. Обратим внимание, что в общем
случае следует считать
,
j
i
t
. Причем если учитывать задержки в
узлах графа транспортной сети, связанные, например, с наличием све-
тофоров, то, вообще говоря,
:
,1
i
k
k i k
t
. Имеются и другие «прави-
ла обработки» узлов графа транспортной сети (см., например, [34, 78,
79]).
Упражнение ** (мотивированное работами [80, 84, 85]). Для
каждой замкнутой транспортной сети (можно обобщить и на открытые
сети) стационарный режим будет устойчивым, если значения стацио-
нарных плотностей «лежат» на левых (возрастающих) ветках соответст-
вующих треугольных фундаментальных диаграмм.
22
Для простоты считаем, что нет источников и стоков АТС, в противном случае их следо-
вало бы учитывать, например, подобно тому, как это было сделано выше.
119
2.3. МОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
В пункте 2.3 будут приведены решения ряда модельных задач.
Основная задача – это задача об эволюции затора (локального,
глобального) в предположении, что транспортный поток описывается
моделью LWR, моделью Уизема, моделью Ньюэлла, моделью Пэйна.
Будет определена скорость распространения затора. Заметим, что, как
будет показано в этом пункте, информация о заторе, вообще говоря,
может распространяться по транспортному потоку не только в виде
одной (бегущей, ударной) волны, но и в виде системы таких волн, в
которую могут также входить и волны разрежения. В заключение будет
рассмотрена (путем решения ряда модельных задач об эволюции затора
по модели LWR) задача Лайтхилла–Уизема о светофоре: при каком
соотношении между временами горения красного и зеленого сигналов
светофора перед ним не будет скапливаться очередь?
2.3.1. Эволюции глобального затора в транспортном потоке, описы-
ваемом моделями LWR и Уизема
Для простоты изложения будем везде в дальнейшем в этом
пункте считать, что
Q
– кусочно-гладкая функция, имеющая
кусочно-гладкие производные до четвертого порядка включительно и
не имеющая точек сгущения нулей второй производной.
Напомним необходимые соотношения (по модели LWR):
0
Q
tx
, (13)
,0
0,
,0
x
x
x
(начальное условие Римана), (14)
0
,
0, ,
,
xx
x x x x x
xx
(начальное условие типа Римана), (15)
где
0
x
– ограниченная измеримая функция (см. рис. 13, 14). Для
определенности будем считать в формулах (14), (15)
. Случай
рассматривается аналогично и может быть заменой
120
сведен к случаю
(с
:QQ
). Задача Коши (13), (14)
называется задачей (Римана) о распаде (произвольного) разрыва.
Рис. 13. Начальное условие Римана
Рис. 14. Начальное условие типа Римана
121
Рис. 15 Ударная волна
Рис. 16. Волна разрежения
122
Для того чтобы понять, какое решение будет иметь задача Коши
(13), (14) (впрочем, частично ответ на этот вопрос мы уже можем дать,
основываясь на примерах, разобранных в п. 2.1.1), заметим сначала, что:
закон сохранения (13) имеет однопараметрическое (
0
x
–
параметр) семейство автомодельных решений вида ударной
волны (см. рис. 15):
0
0
,,
,
x x ct
x ct
x x ct
тогда и только тогда, когда на разрыве этой ударной волны
выполняется RRH-условие и E-условие;
закон сохранения (13) имеет двухпараметрическое (
tt
;
x x a
) семейство автомодельных решений вида волны
разрежения (см. рис. 16):
1
,,
,,
,
x Q t
xx
g Q Q t x Q t
tt
x Q t
(16)
(
1
Q
означает обратную функцию к функции
Q
)
тогда и только тогда, когда
0Q
при
,
, за ис-
ключением, быть может, конечного числа точек, в которых
имеет место равенство (напомним, что
).
Замечание. По поводу автомодельных решений см., например,
[1, 133, 134], а также более ранние книги этих авторов. Грубо говоря,
автомодельные решения – это решения рассматриваемого уравнения в
частных производных, которые могут быть представлены как функции
(в данном случае) одного аргумента, зависящего от пространственных и
временных переменных (т.е. от
t
и
x
). Групповой анализ указывает на
то, что если автомодельные решения существуют, то прежде всего их
следует искать в виде неизвестной функции от инвариантов (сконструи-
рованных из аргументов неизвестной функции (т.е. от
t
и
x
)) группы
преобразований, допускаемой рассматриваемым уравнением. Поясним
сказанное немного подробнее. Хорошо известно, что сфера, например,
допускает группу ортогональных преобразований (всевозможных пово-
ротов), т.е. сфера будет переходить сама в себя при таких преобразова-
123
ниях. С другой стороны, на сферу можно смотреть, как на многообра-
зие, заданное хорошо известным уравнением. Групповой анализ предла-
гает смотреть на уравнение в частных производных, как на многообра-
зие, заданное этим уравнением в продолженном (на различные частные
производные) пространстве. Правда, в отличие от обычных многообра-
зий, на класс возможных групп преобразований налагается условие, по
сути, определяющее действие группы на продолженных переменных,
через действие группы на неизвестную функцию и еѐ аргументы.
В качестве примера укажем, что закон сохранения (13) допускает
группу трансляций по времени и по координате, группу подобных пре-
образований временной и пространственной переменной. Это означает,
что вид уравнения (13) не поменяется при заменах:
tt
;
x x a
;
t kt
,
x kx
.
Отсюда, поскольку
x ct
(при любом
c
) является инвариантом
группы трансляций:
tt
,
x x c
,
а
xt
является инвариантом группы растяжений:
t kt
,
x kx
,
в частности, следует, что решение уравнения (13) прежде всего следует
попробовать искать в виде
x ct
и
x
g
t
.
Роль автомодельных решений (параметрических семейств таких
решений) в теории эволюционных (эволюция по времени) уравнений в
частных производных часто аналогична роли неподвижных точек в
теории обыкновенных дифференциальных уравнений [1; 89–97; 100–
111; 133–144]. Параметрическое семейство автомодельных решений
(или семейство, полученное путем «склеивания» автомодельных
решений) часто является, например, притягивающим (другие решения)
семейством (см. теоремы 1, 2 в п. 2.3.1).
Зная приведенный выше (в этом пункте) материал и тот
материал, который был изложен в п. 2.1.1, И. М. Гельфанд построил в
конце 50-х годов ХХ века (см. [17, 28]) решение задачи о распаде
произвольного разрыва, т.е. решение задачи Коши (13), (14). Можно
было также добавить (см. п. 2.1.3): «построил с помощью метода
исчезающей вязкости». Поскольку, как будет показано ниже в этом
пункте, выполнение RRH-условия и E-условия на разрывах обобщенных
решений уравнения (13) есть прямое следствие этого метода.
124
Приведем способ построения решения. Строгое обоснование см.
в оригинальных, и отчасти монографических, записях курса лекций
[28], которые С. Н. Кружков читал в конце 60-х и начале 70-х годов XX
века на мехмате МГУ. Для этого введем функцию
**
QF
,
,
F Q I
,
,
0, , ,
, , ,
I
где
*
sup
y
F x xy F y
– функция, сопряженная (по Юнгу–Фенхелю–Лежандру) к
Fy
[45].
Таким образом,
Q
– нижняя граница выпуклой оболочки множества
, : , ,q q Q
.
Будем искать автомодельное решение уравнения
0
Q
tx
(17)
вида
,:
x
tx
t
(заметим, что
xt
является инвариантом группы растяжений:
x kx
,
t kt
, допускаемой законом сохранения (17)), удовлетво-
ряющее начальному условию (14). Подстановка
xt
в (17) приводит
к обыкновенному дифференциальному уравнению
0Q
.
Откуда с учетом начального условия (14) следует, что
1
,
x
t x Q
t
(
1
Q
– обратная функция к
Q
).
Для уточнений и большей наглядности представим решение не-
много в другом виде. Положим (см. рис. 17)
0 0 1 1
, : , , ... ,
nn
QQ
,
125
0 0 0
c Q Q
,
n n n
c Q Q
,
k k k
c Q Q
(очевидно, что
1kk
cc
),
1,..., 1kn
,
где
0 0 1 1 2 1
...
n n n
.
Рис. 17. Построение И. М. Гельфанда (1958)
И будем считать (для простоты и наглядности формулировок), что вы-
полняются условия «отсутствия прилипания» [106]:
0Q
при
1
,
kk
,
0,..., 1kn
;
0
0Q
, если
00
и
00
Qc
;
0
n
Q
, если
nn
и
nn
Qc
.
Тогда (см. рис. 18 с
0
k
d
)
0
1
1
,,
, , , 1,..., ,
,.
kk
n
x c t
t x Q x t c t x c t k n
x c t
(18)
Заметим, что по построению мы можем быть уверены лишь в не-
строгих неравенствах:
126
0Q
при
1
,
kk
,
0,..., 1kn
;
0
0Q
, если
00
и
00
Qc
;
0
n
Q
, если
nn
и
nn
Qc
.
Рис. 18. Система волн
Если же условия «отсутствия прилипания» не выполняются, то все при-
водимые ниже результаты остаются в принципе верными (с некоторыми
несущественными для приложений оговорками), но оценки будут менее
точными (см. [110, 111] и цитированную там литературу).
Заметим также, что
,tx
определяется с точностью до почти
всюду по
x
при любом фиксированном значении
0t
(см. п. 2.1.3).
Поэтому в формуле (18) можно не доопределять значения
,tx
на
разрывах. Естественно называть разрывы решения (18) ударными
волнами, а
1
Q x t
,
1kk
c t x c t
,
1,...,kn
– волнами разрежения (волна разрежения исчезает, если
1kk
cc
,
поскольку в этом случае
1kk
).
127
Естественно ожидать, что если немного «размазать разрыв» в
начальных условиях (14), то решение уравнения (13) будет иметь
схожий вид. Иначе говоря, мы ожидаем, что решение задачи Коши (13),
(15) будет структурно похоже на (18). Действительно, имеет место
следующий факт [14, 90; 93–96; 106, 111] (см. рис. 18).
Теорема 1. Существует такой набор
0
n
k
k
d
(причем если
1kk
cc
, то
1kk
dd
), что решение задачи Коши (13), (15) сходится
при
t
в
1 x
L
к системе волн
00
1
11
0
,,
, ; , , 1,..., ,
,.
n
k k k k k
k
nn
x c t d
t x d Q x t c t d x c t d k n
x c t d
(19)
Заметим, что в работах [90, 95, 96] также были найдены формулы
для расчета
k
d
.
Рассмотрим теперь модель Уизема:
Q
D
t x x x
,
0D
,
0
. (20)
«Построим» решение задачи Коши (20), (15). Поскольку задачи
Коши (13), (15) и (20), (15) описывают одно и то же явление (на разных
уровнях детализации) – эволюцию («размазанного») глобального затора
в транспортном потоке, то мы вправе ожидать, что решение задачи
Коши (20), (15) будет структурно похоже на решение задачи Коши (13),
(15) и, стало быть, будет вести себя на больших временах подобно
системе волн (19).
Действуя по тому же плану, что и при исследовании асимптотики
(по времени) задачи Коши (13), (15), найдем сначала автомодельные
решения уравнения (20). Согласно работам [17, 90]:
закон сохранения с диффузией (20) имеет однопара-
метрическое (
0
x
– параметр) семейство автомодельных
решений вида бегущей волны (см. рис. 19):
0
x ct x
,
таких, что
lim
s
s
,
lim
s
s
,
тогда и только тогда, когда выполняется RRH-условие