Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурминский Е.А., Холодов Я.А., Шамрай Н.Б. Введение в математическое моделирование транспортных потоков

Подождите немного. Документ загружается.

108

получить фундаментальную диаграмму. Простейшим вариантом

предложенной модели является следующая модель:

 

   

s t s t



















Ускорение n-го АТС

 



прямо пропорционально разности скоростей:

     

n n n

t s t s t





  

(если

 

t

, то

 





– ускорение n-го АТС;

 

t

– тор-

можение;

 

t

– стационарный режим (ускорение равно нулю)) с

коэффициентом пропорциональности (чувствительности) обратно про-

порциональным расстоянию до впереди идущего АТС:

     

1n n n

h t s t s t





Перепишем эту модель следующим образом:

 

dt dt





или

   

 

v v ln

  

  

Положим

 





 

max





Тогда (в обозначениях предыдущего пункта)

 

max

lnV



















Эта зависимость была экспериментально обнаружена Х. Гринбергом

также в 1959 г. по данным для туннеля Линкольна в Нью-Йорке.

В 1961 г. Д. Газис, Р. Херман и Р. Розэри предложили следующую

модель [56, 113]:

 





   

 

   





n n n

s t s t s t

s t s t











  

  







где

 

1m 

 

1m 

– эмпирически подбираемые константы (

0,8m 

2,8m 

). Исходя из этой микроскопической модели (путѐм интегриро-

вания), несложно получить уравнение состояния транспортного потока:

109

 

max











  









где

– скорость свободного движения (желаемая скорость, макси-

мально возможная скорость). При

0m 

2m 

получим уравнение

Гриншилдса состояния транспортного потока (см. п. 2.1.3).

Заметим, что время реакции





вводится в модели следования

за лидером по той же причине, что и в модель Ньюэлла: для неустойчи-

вости в линейном приближении стационарного режима движения при

больших значениях плотности.

2.2.3. Модель «разумного водителя» Трайбера

Модели оптимальной скорости и следования за лидером можно

объединить в одну общую микроскопическую модель разумного водите-

ля (Intelligent Driver Model (IDM)):

           





n n n n n n

s t F s t s t s t s t s t



   

  

Как показали численные эксперименты, наиболее «удачной» моделью

этого класса является

модель М. Трайбера (Трайба) (1999) [10, 56, 58,

114, 115]:

 

     





   

n n n n

d s t s t s t

s t a

s t s t

























   



















Первое слагаемое

 





















в правой части этого соотношения описывает динамику ускорения АТС

на свободной дороге, в то время как второе слагаемое описывает тор-

можение из-за взаимодействия с лидером (впереди идущим АТС). Соб-

ственно модель

Калибровка и численные эксперименты с этой моделью показали, что ее свойства ус-

тойчивы к вариации параметров; модель демонстрирует реалистическое поведение при

разгоне и торможении и воспроизводит основные наблюдаемые свойства однополосного

транспортного потока.

110

 

s t a













  









даже более естественно называть моделью оптимальной скорости, чем,

скажем, модель Ньюэлла, которая, скорее, ближе к моделям следования

за лидером, а модель

 

     





   

n n n n

d s t s t s t

s t a

s t s t



















  















естественно называть моделью следования за лидером.

Очевидно, что параметр



отвечает за поведение при разгоне

(при





имеет место экспоненциальный по времени разгон, в пределе

при





разгон происходит с постоянным «комфортным» ускорени-

ем

вплоть до достижения желаемой скорости

). Тормозящий член

определяется отношением желаемой дистанции

(безопасным рас-

стоянием) к фактической дистанции:

     

1n n n

h t s t s t





причем желаемая дистанция определяется следующим образом:

     





 

     





n n n

n n n n n n n

s t s t s t

d s t s t s t d T s t











   

где

– расстояние между АТС (

-м и

 

1n

-м) в заторе (естественно,

что

dL

, где

5,7L 

м – средняя длина АТС, и, действительно, при-

нято считать, что

7,5

d 

м),

– ускорение «комфортного» торможе-

ния (

2 мс

ab

– аналог времени реакции водителя.

Поясним предложенную для безопасного расстояния формулу.

Пока водитель n-го АТС среагирует на изменение ситуации впереди, он

проедет путь

 

T s t



. Потом, «поняв, что надо, скажем, тормозить»

(

   

1nn

s t s t







), он успеет выровнять свою скорость со скоростью впе-

реди идущего АТС (двигаясь с ускорением торможения

) до момента,

когда достигнет

 

1n

-е АТС, только если расстояние в момент, когда

«пришло понимание» между n-м и

 

1n

-м АТС, было не меньше

111

     





n n n

s t s t s t









Ситуация, когда надо ускоряться (

   

1nn

s t s t







), рассматривается

аналогичным образом. Собственно, из-за желания охватить «одной

формулой» две довольно разные ситуации (ускорение и торможение) и

возник знаменатель

Заметим, что в правилах дорожного движения (ПДД) некоторых

стран величина

достаточно жестко регламентирована (ограничена

снизу ПДД). Так, например, в США от водителя требуют увеличивать

безопасное расстояние (считается, что впереди идущее АТС имеет ту же

скорость) на длину АТС

при увеличении скорости на 5 м/с (т.е. на

18 км/ч). Таким образом,

 

5,7[м] 5 м с 1,1

T 

с,

что хорошо согласуется с оценками этой величины, приведенными

(см. п. 2.1.4) и полученными (см. п. 2.2.1) ранее.

В равновесном потоке одинаковых АТС, когда

 





   

s t s t







 

s t V





       

 

,0 1

def

d V s t s t d V V V









   





Из этого соотношения (считая, что

   

v1dV





) можно сначала по-

строить уравнение состояния транспортного потока – зависимость

 



, а потом фундаментальную диаграмму

 



. В пределе при





так построенная фундаментальная диаграмма будет стремиться

к треугольной (см. рис. 8):

 

min ,















В этой формуле (а также и в других формулах этого пункта) вместо

среднего расстояния между соседними АТС в заторе

7,5d 

м пишут

также среднюю длину АТС

5,7L 

м (см., например, п. 2.2.1). В част-

ном случае, когда





d 

м (отметим, что в этом случае адекват-

ность модели в значительной степени сохраняется), можно найти и ана-

литическое выражение для равновесной скорости

 



112

2.2.4. Модели клеточных автоматов

В моделях клеточных автоматов (Cellular Automata (CA)) дорога

разбивается на клетки, дискретным считается и время. Часто (но далеко

не всегда [80–83], см. также ниже в этом пункте) считается, что в клетке

может находиться не больше одного АТС. Таким образом, получаются

разностные аналоги рассматриваемых ранее макроскопических уравне-

ний. Заметим также, что часто и множество возможных значений скоро-

сти АТС считают дискретным в таких моделях.

Концепция клеточных автоматов была введена Дж. фон Нейма-

ном (Нойманом) в 50-е годы ХХ века [116] в связи с разработкой теории

самовоспроизводящихся машин. Применять клеточные автоматы для

моделирования транспортных потоков предлагалось в работе [117]. Од-

нако активное использование этой концепции началось только после

работы К. Нагеля и М. Шрекенберга [118] (подробности см. в обзорах

[119, 120]).

Опишем вкратце модель Нагеля–Шрекенберга (1992). В CA-мо-

дели на каждом шаге

1mm

состояние всех АТС в системе обнов-

ляется в соответствии со следующими правилами.

Шаг 1. Ускорение (отражает тенденцию двигаться как можно бы-

стрее, не превышая максимально допустимую скорость):

   

 

max

v 1 min v 1, v

mm  

Шаг 2. Торможение (гарантирует отсутствие столкновений с

впереди идущими АТС):

       

 

v 1 min v ,

n n n n

m m s m s m d



   

где

7,5d 

м (см. п. 2.2.3).

Шаг 3. Случайные возмущения (учитывают различия в поведении

АТС):

 

 

 

max v 1, 0 , ,

v , 1 .

















Шаг 4. Движение:

     

n n n

s m s m m  

Все четыре приведенных шага необходимы для воспроизведения

основных свойств транспортного потока. Так, например, шаг 3 обуслав-

Этот пункт написан совместно с Я. А. Холодовым.

113

ливает неустойчивость транспортного потока при достаточно больших

плотностях.

В работах [121, 122] описан переход от моделей типа Нагеля–

Шрекенберга к гидродинамическим моделям (типа Бюргерса, Хопфа) –

гидродинамический предельный переход. А в работе [123] описан об-

ратный переход – ультраметрический предельный переход.

Продемонстрируем, следуя М. Л. Бланку [124–126] (см. также

приложение М. Л. Бланка и цитированную там литературу), один из

способов вывода уравнения состояния

 



, исходя из довольно про-

стой CA-модели.

Рассмотрим кольцевую дорогу, состоящую из

ячеек (клеток). В

каждой ячейке может находиться не более одного АТС. Длины всех

ячеек одинаковы и равны (условной) единице. Будем также считать, что

достаточно большое. Если брать не кольцевую топологию, а, скажем,

бесконечную прямолинейную дорогу (полосу), то по

необходимо бу-

дет сделать «термодинамический предельный переход» (это понятие

пришло из статистической физики, см., например, [127] и цитирован-

ную там литературу) – устремить

к бесконечности, «сохраняя про-

порции». Пусть в начальный момент времени в некоторые из ячеек по-

местили АТС. Обозначим через





долю занятых ячеек. Будем

считать, что сначала все АТС «смотрят» в следующую по ходу движе-

ния ячейку, а потом те из АТС, для которых эти ячейки оказались сво-

бодными, независимо от остальных двигаются в свободную ячейку с

вероятностью

01p

. И так происходит на каждом шаге по времени.

Определим среднюю пространственную скорость:

   

def

V m V m







Тогда по эргодической теореме для марковских процессов (см. прило-

жение Е. В. Гасниковой) при

01p

средняя временная скорость каж-

дого АТС (при

1p 

см. [124])

   

п.в. п.в.

lim lim

def

i i i

V V m V V m

 



  



Зависимость «средней» скорости

от плотности



изображена на

рис. 11, из которого становится ясно, что фундаментальная диаграмма,

соответствующая рис. 11, будет треугольного типа. Ввиду простоты мо-

дели несложно качественно объяснить приведенную на рис. 11 зависи-

мость.

114

Рис. 11. «Фазовый переход» при





Для дальнейшего знакомства с CA-моделями см. [128]. Оказывается,

что простые модификации рассматриваемых здесь моделей демонстри-

руют [119, 126, 128], что одной плотности соответствует целый набор

средних скоростей, или последнее понятие может не быть корректно

определено. С точки зрения фазовых переходов описанное поведение

соответствует возникновению новой «гистерезисной» фазы, которая,

по-видимому, соответствует режиму синхронизированного движения

(см. [10] или главу 3).

Интересные идеи исследования многополосности (которые также

объясняют экспериментальную «размазанность» фундаментальной диа-

граммы) недавно были предложены А. П. Буслаевым и др. (кафедра

высшей математики МАДИ) [129–131]. Для описания транспортного

потока использовалась модель Танака (см. п. 2.1.2), в которую помимо

плотности и скорости еще вводился «параметр регулярности», с помо-

щью которого ―часть водителей АТС «разрыхляет регулярное движе-

ние» для того, чтобы осуществить относительное перемещение внутри

потока‖. Отметим также, что с помощью моделей такого типа удалось

теоретически объяснить невогнутость фундаментальной диаграммы

(рис. 2) в случае многополосного движения.

Перейдем теперь к другому типу клеточных моделей, которые, по

сути, являются разностными аналогами рассматриваемых ранее уравне-

115

ний. В п. 2.1.6 мы уже упоминали одну из таких моделей (CTM модель).

Приведем схему, в которую «ложатся» многие модели этого класса. Ог-

раничимся ситуацией магистрали (вообще говоря, многополосной) с

въездами и выездами. Разобьем магистраль на клетки (ячейки) – прямо-

линейные участки дороги длиной не менее сотни метров. Будем считать

(не ограничивая общности), что в каждую клетку имеется только один

въезд и из каждой клетки имеется только один выезд (см. рис. 12). Тогда

           

i i i i i i

n m n m r m q m s m q m



     

   

i i i

s m q m





где

 

– число АТС в i-й клетке в момент времени

Рис. 12

Так, в работах [84, 85] (рассматривалась кольцевая топология

транспортной сети без въездов и выездов) полагали

     

 

i i i i

q m Q n m







– аналог схемы бегущего счета для модели LWR. Очевидным недостат-

ком этой схемы является возможность следующих «неправдоподобных»

ситуаций (считаем





 

rm

). Предположим, что есть две

клетки (без въездов и выездов). Первая клетка полностью загружена (в

ней максимальная плотность АТС – «стоячая пробка»), а следующая по

ходу движения клетка полностью свободна (в ней нет АТС). Тогда со-

гласно выбранному способу описания потока АТС ничего происходить

не будет, т.е. ситуация со временем меняться не будет. В то время как из

опыта известно, что АТС начнут «перетекать» в свободную клетку.

Предположим теперь, что первая клетка загружена, например, наполо-

вину, а в следующей по ходу движения клетки – стоячая пробка. Тогда

 

qm

, а модель говорит об обратном. Тем не менее исследование

116

«до критических режимов» – «левая (возрастающая) ветка» фундамен-

тальной диаграммы с помощью этой модели вполне корректно.

В работах [80–83] (рассматривался случай треугольной фунда-

ментальной диаграммы (см. рис. 8), «вершина» которой имеет коорди-

наты

 

max



) полагали

       

 

 

max max max

1 1 1 1

min 1 v , , ,

i i i i i i i i i

q m n m Q Q n n m w



   

  

– аналог схемы Годунова (см. п. 2.1.4) для модели LWR с треугольной

фундаментальной диаграммой (CTM-модель К. Даганзо (1994)). Пояс-

ним обозначения:

max





– скорость свободного потока,

max











– скорость волны от перегрузки,

т.е. скорость роста затора. Другими словами, если перекрыть дорогу

(при условии, что движение было достаточно плотным

 

11ii

n m n







то образовавшийся затор будет расти со скоростью



– длина затора

через время

после перекрытия будет равна



. Теперь должно ста-

новиться ясно, в чем преимущество схемы Годунова, например, над

схемой бегущего счета. В заключение заметим, что для длинных участ-

ков дороги, включающих довольно много клеток, координаты

 

max



не зависят от индекса

Можно обобщить CTM-модель на графы транспортной сети бо-

лее сложной топологии, чем кольцевая или линейная магистраль. Прав-

да, для этого потребуется знать матрицу перемешивания в каждом узле

графа транспортной сети. Кроме того, нужно дополнительно (по срав-

нению с магистральной топологией) прописать разрешение «конфликт-

ных ситуаций» (знания матрицы перемешивания может оказаться не

достаточно). Например, таких, как следующая: пусть имеется перекре-

сток. Две трети водителей с входящей в перекресток дороги A хотят по-

вернуть на выходящую с перекрестка дорогу C, и две трети водителей с

входящей дороги B также хотят повернуть на дорогу C. Будем считать,

что двухполосная дорога C может пропустить 4000 АТС/час (макси-

мальная пропускная способность). Дороги A и B также двухполосные, и

на обеих из них поток АТС, входящий в перекресток, по 4000 АТС/км.

Очевидно, что ситуация не доопределена. Для понимания того, что бу-

117

дет происходить, необходимо еще знать, например, режим работы све-

тофора в этом перекрестке (в случае его наличия). Таким образом, ре-

альное расщепление потоков зависит не только от матрицы перемеши-

вания, но и, например, от режима работы светофора. Зная матрицу пе-

ремешивания и «беря на вооружение» правило работы светофора, мож-

но получить упомянутое обобщение рассмотренных моделей на графы

транспортной сети общего вида. Аналогично можно рассмотреть и бо-

лее сложные развязки. Здесь также можно упомянуть, что еще в 1936

году молодой профессор Московского университета А. Н. Колмогоров в

письме в журнал «Строительство Москвы», по сути, обсуждал вопрос,

связанный с правильной организацией перекрестка [132]. Кстати ска-

зать, проходившее в августе 2010 года обследование различных развя-

зок г. Москвы специалистами из Японии, приглашенными руково-

дством г. Москвы, показало «не оптимальность» ряда важных развязок.

Как уже отмечалось, несмотря на свою относительную простоту,

CTM-модель является одной из наиболее востребованных в приложени-

ях (см., например, [80–83] и цитированную там литературу).

Что касается изучения аналитических свойств этих моделей (по-

лученных с помощью разностных схем для LWR-модели), то, по-

видимому, проще исследовать все-таки дифференциально-разностные

аналоги LWR-моделей, т.е. считать, что время течет непрерывно [84,

85]. Разностные схемы (в том числе и упомянутые выше) очевидным

образом переделываются в дифференциально-разностные, при этом не-

обходимое условие Куранта–Фридрихса–Леви (см. п. 2.1.4) корректно-

сти схемы, аппроксимирующей уравнение LWR (шаг по времени доста-

точно мал по сравнению с шагом по пространственной переменной),

выполняется автоматически.

В связи со всем вышесказанным возникает задача: исследовать

положения равновесия – стационарные режимы (а также бассейны их

притяжения, отталкивания) динамической системы на графе транс-

портной сети общего вида, полученной с помощью дифференциально-

разностной схемы Годунова из LWR-модели (с треугольной или парабо-

лической фундаментальной диаграммой). В 2004 г. для схемы бегущего

счета исследования в этом направлении были предприняты А. П. Бус-

лаевым и др. [84] для графов специальной структуры (кольцевой, «цве-

точной» и т.п.). В 2006 г. А. И. Назаров обобщил результаты статьи [85]

на графы общего вида. Однако, как уже отмечалось выше, схема бегу-

щего счета – не самый подходящий вариант для описания транспортно-

го потока во всевозможных состояниях. В диссертации 2007 г. А. А. Ку-

ржанского [80] исследовалась асимптотическая устойчивость (глобаль-